1.4. Orden en la recta numérica

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1 30 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES Figura 1.7: Ubicación de puntos 1.4. Orden en la recta numérica intervalo, y valor abso- En esta sección abordaremos los conceptos matemáticos de: desigualdad, luto, conceptos claves en el estudio de la matemática universitaria La recta real. Una manera muy útil de visualizar los números reales es extendiendolos a lo largo de una recta, de manera que cada número real coincida con un punto sobre la recta y, recíprocamente, cada punto de la recta se corresponda con un número real. Es usual tomar la dirección positiva de la recta hacia la derecha e indicarla con una flecha. Como punto de partida tomamos un punto O arbitrario sobre la recta que llamaremos el origen, que corresponde al número real 0. Para representar un número real sobre la recta, tomamos una unidad de medida conveniente, de manera tal que, un número real positivo x se representa por un punto sobre la recta, que esta a una distancia de x unidades a la derecha del origen. De igual manera, un número negativo x se representa por un punto sobre la recta a una distancia de x unidades a la izquierda del origen. como puede verse en la figura 1.3. Ejemplo El número 5 esta a la derecha del origen en un punto de la recta a 5 unidades de éste, mientras que el número 5 estará a la izquierda del origen en un punto de la recta a 5 unidades de éste, ver figura 1.4. Figura 1.8: Ubicación de 5 y -5 en la recta real De esta manera identificamos un número real como un punto sobre la recta y por tanto a esta recta la llamamos Recta real.

2 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 31 En este momento es importante apropiarnos de las siguientes propiedades del conjunto de números reales. La recta real es continua, esto es, la recta real no tiene huecos. No hay vacios a ocupar por otro real. Los reales llenan totalmente todos los puntos de una recta. Los números reales son ordenados. Diremos que el número a es menor que b y lo notamos a < b, si la diferencia b a es un número positivo. Geométricamente, esto significa que el numero a esta a la izquierda del número b, o equivalentemente, el número b esta a la derecha del número a, lo cual se escribe b > a, de manera que las expresiones a < b y b > a son dos maneras de escribir lo mismo. Una expresión que contenga los simbolos < o >, se llama una desigualdad. Las desigualdades juegan un papel importante en nuestro siguiente curso de calculo diferencial. Terminologia Notación Definición a es menor que b a < b b a es positivo a es mayor que b a > b b a es negativo Ejemplo La desigualdad 3 < 1, es una desigualdad verdadera, pues, 1 ( 3) = 4 > 0. Ver figura 1.5. Figura 1.9: -3 esta a la izq. de 1 Ejemplo Al contrario del ejemplo anterior, desigualdad 2 < 3 es falsa, ya que, 3 ( 2) = 1 < 0. Los números a que satisfacen la desigualdad a > 0, se les llaman positivos, los números a que satisfacen la desigualdad a < 0, se les llaman negativos mientras que los números a tales que a 0 se denominan reales no negativos. Relaciones entre a y a si a es positivo, entonces a es negativo si a es negativo, entonces a es positivo Es importante reconocer la siguiente propiedad de los números reales. Teorema 1.4 (Tricotomia). Para todo número real a se cumple una y solo una de las siguientes: a = 0 o a es un número positivo, o, a es un número negativo.

3 32 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES Geométricamente, lo que dice el resultado es que si tomamos un número en la recta real, este número es el origen o está a la derecha del origen o está a la izquierda del origen. Como era de esperarse. Debido a esta propiedad podemos afirmar que si a, b son dos números cualesquiera, se cumple una y solo una de las siguientes: 1. a b = 0, o, 2. a b positivo, ó 3. (a b) positivo, o sea, b a es positivo. De manera que si tomamos dos números a y b podemos compararlos, ya que lo anterior, para estos dos números se cumple una y solo una de las siguientes: 1. a = b, ó, 2. a < b, ó, 3. a > b. Por lo anterior se dice que los reales son un conjunto ordenado. Ejemplo Ordenamiento de tres números reales 1 < 3 < 5 3 < 2 < 0 5 > 1 > 2 Ley de si a y b tienen el mismo signo, ab y a b signos si a y b tienen signos contrarios, ab y a b son positivos son negativos En realidad en la ley anterior podemos cambiar la palabra entonces por si y solo si. Mediante este resultado podemos argumentar que si a 0 es un real cualquiera, a 2 es positivo, pues, si a es positivo entonces a 2 = aa es positivo. Y si a es negativo esto es, a es positivo entonces ( a)( a) = a 2 es positivo. Hasta el momento solo hemos hecho referencia a las desigualdades simples a < b o a > b. La notación a b que se lee a menor o igual a b y significa que a < b o que a = b. Notación a b a b significado a < b o a = b a > b o a = b Ejemplo La desigualdad 2 3 es una desigualdad verdadera, pues, 2 < 3. La desigualdad x x también es una desigualdad cierta para todo número real x, ya que, x = x.

4 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 33 Ejemplo La desigualdad 3 2 es falsa, pues, ni 3 < 2, ni 3 = 2. Al manipular desigualdades usaremos las siguientes propiedades. Para a, b, c y d números, se tiene que: Propiedad Significado Ejemplo a < b, si y solo si < se preserva si sumamos o restamos un 2 < 3, es equivalente a a ± c < b ± c número a lado y lado de la desigualdad 2 4 < 3 4 o 6 < 1. Si a < b, y c > 0 < se preserva si multiplicamos por un 3 < 1, es equivalente a ac < bc número positivo a lado y lado de la desigualdad 3(2) < 1(2) o 6 < 2. Alerta. Si en la desigualdad 2 < 7 multiplicamos por el número negativo -3, obtenemos la desigualdad, 6 < 14, la cual es una desigualdad falsa, pues, -14 esta a la izquierda de -6 en la recta real. De modo que nuestra propiedad no se cumple al multiplicar por números negativos, pero se cumple la siguiente. Propiedad Significado Ejemplo Si a < b, y c < 0 < se invierte (>) si multiplicamos por un 3 < 1, es equivalente a ac > bc número negativo a lado y lado de la desigualdad 3( 2) > 1( 2) o 6 > 2. Prosigamos con las propiedades de las desigualdades. Propiedad Significado Ejemplo Si a < b y b < c, el simbolo < es transitivo de 3 < 1 y 1 < 4, se obtiene la a < c desigualdad 3 < 4 Si a < b y c < d, dos desigualdades en el mismo al sumar 3 < 1 y 2 < 5, se a + c < b + d sentido se pueden sumar obtiene < o 1 < 4 Si a > 0 y b > 0, entonces los inversos multiplicativos como 2 < 4 entonces a < b si y solo si 1 a < 1 1 de números positivos b 2 > 1 4 invierten la desigualdad Estas propiedades también son ciertas si cambiamos el simbolo < por el simbolo Con frecuencia en el calculo debemos tratar desigualdades que contienen incognitas, estas desigualdades son llamadas inecuaciones. Definición 1.4. Se llama inecuación variables. a una desigualdad que involucra una o más incógnitas o Ejemplo La desigualdad 2x es una inecuación que contiene una incógnita, x. Por ejemplo el número x = 0 satisface la inecuación, mientras que el número x = 2 no la satisface. Ver la siguiente tabla.

5 34 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES x 2x Conclusión Verdadero Falso Verdadero Falso Ejemplo La desigualdad x 2 +y 2 2 es una inecuación con dos incógnitas x e y. Por ejemplo la pareja de números x = 1 y y = 2 satisfacen la inecuación, mientras que, la pareja x = 0 y y = 1 no la satisface. Resolver una inecuación que contenga una incógnita significa hallar el conjunto de todos los números que al ser sustituidos por la incógnita hacen de la inecuación una desigualdad verdadera. Los métodos para resolver desigualdades en una variable x son similares a los que se usan para resolver ecuaciones. El conjunto de todos los números que satisfacen la inecuación se llama conjunto solución ( CS) de la inecuación. Resolver una inecuación significa hallar su conjunto solución. En general, el (CS) de una inecuación es un tipo de conjunto de números muy importante y requiere un tratamiento especial. Veamos una de las nociones más importantes de la matemática moderna y de mucha utilidad en nuestro trabajo. Dentro del conjunto de números reales existe un tipo de conjunto especial y que juega papel importante en lo que sigue, los intervalos Intervalos Sean a y b números reales con a < b, se llama intervalo abierto al conjunto de todos los números que se encuentran entre a y b, sin incluir ni a ni a b y se denota por (a, b). Geométricamente, un intervalo (a, b) es el segmento de recta de la recta real comprendido entre los puntos a y b sin incluir los puntos extremos. Ver figura 1.6. Figura 1.10: Intervalo abierto (a, b) En notación de conjuntos, un intervalo abierto (a, b) se escribe (a, b) = {x R : a < x < b}

6 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 35 Si el intervalo contiene los extremos a y b se llama intervalo cerrado y se denota [a, b] que en notación conjuntista escribimos [a, b] = {x R : a x b} y geometricamente, es el segmento de recta entre a y b incluyendo los extremos a y b. Ver figura 1.7. Figura 1.11: Intervalo cerrado [a, b] Un intervalo puede contener uno de sus extremos, en tal caso, el intervalo de dice intervalo semiabierto. También consideramos intervalos infinitos, como se describen en la siguiente tabla. Notación Desigualdad Gráfica (a, b) a < x < b [a, b] a x b - [a, b) a x < b - (a, b] a < x b - (a, ) x > a -> [a, ) x a > (, b) x < b < (, b] x b < - (, ) < x < < > Observese que ahora el conjunto de los reales puede definirse de las siguientes dos formas equivalentes, R = (, ) = {x : < x < } A diferencia de los intervalos que son copias pequeñas del conjunto de los reales y que por lo tanto no tienen huecos sino que son conjuntos continuos, y que por ende, si tomamos dos elementos cualesquiera de un intervalo, digamos x y y, los elementos del subintervalo entre x y y, son todos elementos del mismo intervalo. Esto no sucede por ejemplo con el conjunto de números racionales, ya que si tomamos los números racionales 1 y 2 el intervalo entre 1 y 2 contiene elementos que no son números racionales como el número 2, 3. Conjuntos como los racionales son ejemplos de conjuntos que no son continuos en el sentido que si tomamos dos elementos distintos en el conjunto, existen números reales entre estos elementos que no pertenecen al conjunto, tales conjuntos son llamados conjuntos discretos.

7 36 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES Definición 1.5. Un conjunto se dice discreto si esta formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden colocar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente. Estos conjuntos se pueden describir completamente mediante la notación {x 1, x 2, x 3,..., x n,...} Ejemplo El conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números racionales son conjuntos discretos. Ejemplo El conjunto A n = { } 1 n : n N es un conjunto discreto. Con estos conceptos a disposición podemos entrar a resolver inecuaciones más generales. Ejemplo Resolver la inecuación 1 2x < 3. Solución. Realizamos los siguientes pasos: Paso 1. Sumamos -1 a lado y lado de la desigualdad 1 2x 1 < 3 1 para obtener 2x < 2. Paso 2. Multiplicamos por 1 2 a lado y lado de la desigualdad 1 2 ( 2x) > 1 2 (2) para obtener x > 1. Por tanto, el conjunto solución de esta inecuación es CS= {x/ x > 1} = ( 1, ). (ver figura 1.8.) Figura 1.12: CS de la inecuación 1 2x < 3 Ejemplo (Doble desigualdad) Resolver la inecuación 2 < 3x + 2 < 3. Solución. Realizamos los siguientes pasos: Paso 1. Sumar a lado y lado -2, 2 2 < 3x < 3 2. Esto es, 4 < 3x < 1. 1 Paso 2. Multiplicar a lado y lado por 1/3, 3 ( 4) < 1 3 3x < 1 3. Esto es 4 3 < x < 1 3 Por tanto el (CS) de la inecuación es el intervalo ( 4 3, 1 3 ). Ejemplo (Doble desigualdad) Resolver la inecuación 2x < 3x 1 < x.

8 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 37 Solución. Resolvemos por separado las desigualdades: 2x < 3x 1 y 3x 1 < x. Caso 1. Resolvemos la desigualdad 2x < 3x 1. Sumamos 2x a lado y lado 0 < 5x 1 sumamos 1 a lado y lado 1 < 5x 1 multiplicamos por 1/5 a lado y lado 5 < x. Para este caso obtenemos como conjunto solución al intervalo, S 1 = ( 1 5, ). Caso 2. Resolvemos la desigualdad 3x 1 < x. Sumamos x a lado y lado 2x 1 < 0 sumamos 1 a lado y lado 2x < 1 multiplicamos por 1/2 a lado y lado x < 1 2 Para este caso tenemos el conjunto solución S 2 = (, 1 2 ). Por tanto el conjunto solución de la inecuación 2x < 3x + 2 < x será: S = S 1 S 2, esto es S = ( 1 5, 1 ). Ver fig Figura 1.13: Conjunto solución de 2x < 3x < x El siguiente concepto de distancia en la recta real, desempeñará un papel decisivo en este curso Valor absoluto y distancias Para medir la distancia en la recta real de un punto cualquiera x al origen, usamos la notación x y se denomina valor absoluto del número real x. Como la distancia es no negativa, se tiene siempre que x 0. Ver figura Figura 1.14: Distancia de x y de x al origen.

9 38 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES de acuerdo con la figura podemos tomar la siguiente definición para el valor absoluto de un número. Definición 1.6. El valor absoluto de un número real x es { x, si x 0 x = x, si x < 0 Ejemplo = 4 y 4 6 = 2 = ( 2) = 2. Ejemplo π 4 = (π 4) = 4 π (pues π 4 < 0). Ejemplo Si x es un número real, entonces, x 2 será igual a x 2 en caso que x 2 0, es decir, en caso que x 2, pero, será igual a (x 2) = 2 x en caso que x 2 < 0, es decir, en caso que, x < 2. Lo cual podemos resumir en { x 2, si x 2 0 x 2 = (x 2), si x 2 < 0 o equivalentemente, x 2 = { x 2, si x 2 2 x, si x < 2 Alerta. Observese que cada vez que deseamos evaluar el valor absoluto de un número del cual desconocemos si en la recta real esta a la derecha o a la izquierda del origen, se requiere la consideración por separado de distintos casos, como en el ejemplo anterior. El valor absoluto también lo podemos utilizar para hallar la distancia entre dos puntos de la recta real. Definición 1.7. Sean a y b dos números cualesquiera en la recta real, La distancia entre el número a y el número b notada d(a, b) es: d(a, b) = b a Notese que b a = a b. (Ver figura 1.11.) Ejemplo Para calcular la distancia entre 3 y -2 calculamos 3 ( 2) = 5 = 5 o también 2 3 = 5 = 5. Ejemplo Para calcular la distancia entre -5 y -20 calculamos 20 ( 5) = 15 = 15 o también 5 ( 20) = 15 = 15. Las siguientes propiedades en los números reales serán de gran utilidad en el manejo del valor absoluto:

10 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 39 Figura 1.15: Distancia entre a y b. Propiedad Interpretación ejemplo Para todo real a se tiene que El valor absoluto de todo real 5 = 5 a 0 y a = 0 si y solo si a = 0 es siempre no negativo x 2 = 0, x = 2 Para todo real a se tiene que El valor absoluto de un número 5 = 5 a = a y su negativo es el mismo x 2 = 2 x Veamos algunos ejemplos. Ejemplo (Ecuaciones con valor absoluto.) Resolver la ecuación x 3 = 0. Solución. Debemos hallar todo el conjunto de números que satisfacen la ecuación, es decir, el conjunto de números que puede tomar la variable x y que al ser remplazados en la ecuación la convierten en una identidad. Por la propiedad x 3 = 0, solo si, x 3 = 0, esto es, x = 3. Ejemplo Resolver la ecuación x = 3. Solución. Si x > 0, la igualdad se convierte en: x = 3. Mientras que si x < 0, la igualdad se convierte en: x = 3, esto es, x = 3, por consiguiente las soluciónes de la ecuación son x = 3 y x = 3. La figura 10. ilustra gráficamente la solución. En general se tiene la siguiente propiedad. Propiedad Interpretación ejemplo Sea a > 0. Las soluciones de la ecuación a y a estan a la misma Las soluciones de x = 2 x = a son x = a y x = a distancia del origen son x = 2 y x = 2 La figura ilustra graficamente la situación. Ejemplo (Ecuaciones con valor absoluto.) Resuelva la ecuación x 1 = 2.

11 40 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES Figura 1.16: Puntos cuya distancia al origen es a Solución. Por la propiedad anterior considerar dos casos. O bien x 1 = 2, es decir, x = 3, o x 1 = 2, es decir, x = 1. Las soluciones de la ecuación son: x = 3 y x = 1. (Compruebe que efectivamente estos valores son soluciones de la ecuación) Ejemplo (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuación x + 1 = x. Solución. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bién x + 1 = x, osea, 1 = 0, lo cual es imposible, o bién, x + 1 = x, o sea, x = 1/2. Obteniendose la única solución x = 1 2. Ejemplo (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuación x + 1 = x. Solución. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bién x + 1 = x, osea, 1 = 0, lo cual es imposible, o bién, x + 1 = x, o sea, x = 1/2. Obteniendose la única solución x = 1 2. Propiedad Interpretación Ilustración Para todo par de números a El valor absoluto de un producto ( 2)(4) = 2 4 = 8 y b, ab = a b es el producto de los valores ab 1 x 2 = 1 x 1 + x Para todo par de números a El valor absoluto de un cociente es x 3 + x 2 + x + 1 y b 0, a = a b b el cociente de los valores absolutos 1 + x x 1 + x x 2 = = 1 + x La siguiente propiedad se cumple en un triángulo, de hay su nombre desigualdad del triángulo Propiedad Interpretación Ilustración Para todo par de números El valor absoluto de una suma nunca 1 = = 9 a y b, a + b a + b excede la suma de los valores absolutos 1 x 2 = 1 x 1 + x Ejemplo = 2 + 3, mientras que 5 3 < 5 + 3

12 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 41 Alerta. Observe que, a + b = a+b siempre que los números a y b tengan el mismo signo, mientras que a + b < a + b si a y b tienen signos contrarios. Propiedad Interpretación Ilustración Si a > 0, entonces La distancia de x al origen es menor x < 1 1 < x < 1 x < a si y solo si a < x < a que a, significa que x > a y que x < a La propiedad se ilustra en la grafica Figura 1.17: La igualdad x = a y las desigualdades x < a y x > a Ejemplo Resolver la inecuación x + 1 < 2. Propiedad Interpretación Ilustración Si a > 0, entonces x > a La distancia de x al origen es mayor x < 1 1 < x < 1 si y solo si x > a o x < a que a, significa que x > a o que x < a La propiedad se ilustra en la grafica Estas propiedades siguen siendo válidas si el simbolo < o > es reemplzado por el simbolo o. Ejemplo Resolver la inecuación x Solución. La desigualdad x es equivalente a la desigualdad 2 x+1 2. Sumando 1 a lado y lado se recibe, 3 x 1, obteniendose así el intervalo [ 3, 1] como conjunto solución. Ejemplo Resolver 2x

13 42 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES Solución. 2x es equivalente a 2x o 2x propiedad 2x 5 o 2x 7 sumar -1 a lado y lado x 5 2 o x 7 2 multiplicar por 1 a lado y lado. 2 En consecuencia, la solución de la inecuación es la union de los intervalos (, 7/2] [5/2, ). Alerta. En la solución anterior no es correcto escribir la solución x 7 2 o x 5 2 como 5 2 x 7 2 pues Tampoco es correcto escribir a x b, ya que cuando se usa una doble desigualdad, el sentido de las desigualdades debe ser el mismo. Ejemplo (Desigualdades con doble valor absoluto.) Resolver la inecuación 2x 3 < x 4. Solución. Como 2x 3 se anula en x = 3 2 y x 4 se anula en x = 4 y estos puntos dividen la recta en tres segmentos, como se ilustra en la grafica 13. Resolvemos entonces la inecuación en cada uno de esos intervalos así: a) Para el primer segmento donde x < 3 la desigualdad se convierte en (2x 3) < (x 4), 2 esto es, 2x 3 > x 4, o sea, x > 1, como estamos en el primer segmento, se tiene como (CS) al intervalo I 1 = ( 1, 3 2 ). b) En el segundo segmento se tiene 3 2 < x < 4. La desigualdad se convierte en 3x 3 < (x 4) esto es 2x < 7 o x < 7 2, como estamos en el segundo segmento, el (CS) es I 2 = ( 3 2, 7 2 ). c) Por último, en el tercer segmento, x > 4 la desigualdad se escribe 2x 3 < x 4, o, x < 1. En este caso I 3 =. Uniendo las soluciones y observando que x = 3 satisface la desigualdad (en 2 este caso los números 3/2 y 4 no se habian considerado), la solución de la inecuación es el intervalo: ( 1, 7/2). Ejemplo (Desigualdad racional.) Resolver la desigualdad 1 x 3 > 0. Solución. Como el numerador es positivo, es necesario que el denominador también lo sea, es decir x 3 > 0, en consecuencia x > 3 y la solución son todos los números del intervalo (3, ). Ejercicios propuestos 1. Sean a, b y c números reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Encuentre el signo (+ o -) de cada una de las expresiones a) a b) bc

14 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 43 c) ab + ac d) ab 2 e) a + bc f ) ab bc + ac g) c(a b) 2. Grafique el conjunto sobre la recta real. a) ( 3, 1) [0, 3] b) (, 0] [0, ) c) (, 0) (0, ) d) ( 3, 1] [0, 3] 3. Grafique el par de números en la recta real y luego encuentre la distancia entre los puntos. a) 5, 8 b) 3, 5 c) 8, 2 1 d) 17, 1 18 e) 1,2, 0,5 4. Observando la figura, explique como ubicar el punto 3 en la recta real. Y cómo ubicar el punto 5? Figura 1.18: Construcción de 2 en la recta real. 5. Escriba en el espacio el signo correcto (<, >, o =) 7/2-7/ / Sea H = la desigualdad? { π, e, 3, 1, 0, 12, e, π, 4 }. Cuáles de los elementos del conjunto H satisfacen

15 44 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES a) 2x 1 < 2 b) 1 2x < π c) 1 < 1 2x < 3 d) 2x x < 0 e) 3 < 2 x < 1 7. Complete la tabla con los signos de <, >, o = / < 2 π -1/ / Diga si la desigualdad es verdadera o falsa. Si la desigualdad es falsa corríjala / > < -0,3 < < < 15/16 > > < 2 > > 9. Escriba cada enunciado en términos de una desigualdad válida. a) x es positivo. b) y es negativo. c) x es menor a 1/2 y mayor a -5. d) La distancia de x a 5 es a lo más 3. e) w es positiva y menor igual a 11. f ) y está al menos 2 unidades de π. g) El cociente de p y q es al menos Considere los intervalos I 1 = ( 1, 1), I 2 = [0, 5] y I 3 = ( 2, 3]. Halle: a) I 1 I 2 b) I 1 I 2 c) I 1 I 2 I 3 d) I 1 I 2 I Considere los conjuntos I 1 = {x x 1}, I 2 = {x 2 x < 1}, I 3 = {x x 0}. Halle: a) I 1 I 2 b) I 1 I 2

16 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 45 c) I 1 I 2 I 3 d) I 1 I 2 I Dada la desigualdad 5 < 1, determine la desigualdad que se obtiene si: a) Se suma 8 a lado y lado. b) Se multiplica por 1/2 a lado y lado. c) Se resta 5 a lado y lado. d) Se multiplica por 1 2 a lado y lado. 13. Exprese la desigualdad como un intervalo y trace su grafica. a) x 3 b) x 3 c) 2 x < 1 d) 3 x > Exprese el intervalo como una desigualdad en la variable x. a) (0, 5) b) [ 4, 1] c) (, 5) d) (2, ). 15. Sean a y b reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Halle el valor exacto de: a) a b) b c) a + bc d) ab bc + ac e) c(a b) 16. Compare los números 5 101, y Escriba el enunciado en términos de desigualdad. a) x es negativo. b) x esta a menos de 3 unidades de 2. c) La distancia entre x y π esta entre 1 y 2. d) x es no negativo y menor a Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el enunciado dado. a) El peso de una persona no ha de variar más de 2 lbs de 148 lbs. b) El radio de un globo esférico no debe variar más de 0,001 cm. de 1 cm.

17 46 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES Figura 1.19: Intervalo cerrado [0, 4] c) La diferencia de dos temperaturas T 1 y T 2 de una una lámina homogenea tiene que estar entre 5 CC y 10 CC. 19. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el conjunto ilustrado en la grafica. 20. En la desigualdad despeje x, suponiendo que a, b y c son positivos y a < c. a) a + b(c ax) a + b(c a) b) a c bx a c) x a b > c 21. Evalúe cada expresión. a) 2 6 b) π 3 3 π c) π 2 3 d) 2x Exprese la expresión dada sin utilizar el simbolo de valor absoluto y simplificar. a) 1 + 2x si x < 1 2 b) b a si a < b c) x 2 1 d) x 2 + x Pruebe que si x x 0 < r 2 y y y 0 < r 2, entonces se tiene que (x + y) (x 0 + y 0 ) < r. Y que (x y) (x 0 + y 0 ) < r, r un real positivo. 24. Obtenga los números que estan a una distancia de 3 unidades del número Encontrar todos los números x para los cuales se cumple que: a) x 3 = 8

18 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 47 b) x 3 < 8 c) x 3 > 8 d) x 1 + x 2 > 1 e) x + 1 x + 2 = 3 f ) (x 3) 2 = 1 g) 2x h) 3 1 x 2 = Resuelva la inecuación lineal. Exprese la solución en notación de intervalo y grafique el conjunto solución. a) 3 x < 5 2x b) 1 x < 0 c) 1 2 < 2 3x d) 7x e) (1 x) (x + 2) > 0( En que casos es positivo el producto de dos números?) f ) 3 x 3 + x 1 g) x 1 x + 1 > Sean a, b, c y d números positivos tales que a b < c d. Muestre que a b < a + c b + d < c d. { } Considere el conjunto A n = n : n N. a) Explique el porque el conjunto A n es un conjunto discreto. b) Halle i=1 A n { n Considere el conjunto H = n } : n N. a) Explique el porque el conjunto H es un conjunto discreto. b) Encuentre el intervalo más pequeño I tal que H I c) El conjunto H tiene primer elemento? d) El conjunto H tiene último elemento? e) Halle la distancia entre el número 1 y un número cualquiera de H. 30. Mostrar que a) Si 0 < a < 1, entonces a 2 < a b) Si 0 < a < b, entonces a 2 < b 2 c) Si a y b son no negativos con a 2 < b 2, entonces a < b d) Si 0 < a < b, entonces a < ab < a + b < b Una oficina de correos por razones de logística solo acepta paquetes cuya longitud más perímetro de una sección trasversal no exceda los 100 cm.

19 48 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES a) Realice un dibujo y coloque sus variables. b) Escriba la inecuación correspondiente a los datos dados. c) Si usted tiene que llevar un paquete de 8 cm. de ancho por 7 cm. de alto, cuál es la máxima longitud que puede tener el paquete? 32. La relación entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) está dada por la ecuación C = 5 9 (F 32). Si un alimento debe conservarse refrigerado entre los 0 CC y los 10 CC. A qué intervalo de temperatura Fahrenheit corresponde? 33. Una compañia de alquiler de autos goza de dos planes para sus clientes: Plan A: $ por día más $ 100 por kilometro recorrido. Plan B : $ por día y kilometraje ilimitado. a) Cuántos kilometros por día debe recorrer un cliente para que el plan A sea más ventajoso que el plan B? b) Cuántos kilometros por día debe recorrer un cliente para que el plan B sea más ventajoso que el plan A? 34. Establecer la veracidad (V) o falsedad (F) de la proposición. En caso que la proposición sea falsa reemplacela por una proposición correspondiente que sea verdadera. a) Una desigualdad lineal en una incógnita tiene un número infinito de soluciones siempre. b) Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente de cero se preserva el sentido de la desigualdad. c) Si un número negativo se resta a lado y lado de una desigualdad, el sentido de la desigualdad cambia. d) El conjunto solución de una inecuación puede ser un número. e) Si x = a, entonces x = a o x = a para todo valor de a. f ) Si x = y, entonces x = y o x = y. g) La ecuación x 2 + x 3 = 0 no tiene solución. h) x + y = x + y, si y solo si, x y y tienen el mismo signo. i) Si x es un número real, entonces x x y x x. j ) x > y implica x > y k) Si x 2 > y 2, entonces x > y. 35. Si una tienda puede vender x unidades diarias de un producto a un precio de $ p cada uno, donde p = 600 x Cuántas unidades del pruducto debe vender para obtener un ingreso diario de al menos $ 8000? 36. Si dos resistores R 1 y R 2 se conectan en paralelo en un circuito eléctrico, la resistencia neta R está dada por 1 R = 1 R R 2 Si R 1 = 10 ohms qué valores de R 2 darán una resistencia neta de menos de 5 ohms?

20 1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F en lbs requerida para estirar un resorte x pulgadas, más allá de su longitud natural, esta dada por F = 4, 5x (ver figura). Si 10 F 18 cuáles son los valores correspondientes de la variable x? 38. Según la figura, si una lente convexa tiene una longitud focal de f cm y si un objeto se coloca a una distancia de p cm de la lente p > f, entonces la distancia desde la lente a la imagen está relacionada con p y f mediante la fórmula 1 p + 1 q = 1 f Si f = 5 vm, cuán cerca debe estar el objeto de la lente para que la imagen quede a más de 12 mc de la lente?