José Manuel Arroyo Sánchez

Transcripción

1 Programación lineal entera-mixta José Manuel Arroyo Sánchez Área de Ingeniería Eléctrica Universidad de Castilla La Mancha 1

2 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA BIBLIOGRAFÍA G. L. NEMHAUSER, L. A. WOLSEY. INTEGER AND COMBINATORIAL OPTIMIZATION. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK S. P. BRADLEY, A. C. HAX, T. L. MAGNANTI. APPLIED MATHEMATICAL PROGRAMMING. ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. READING, MASSACHUSETTS E. CASTILLO, A. J. CONEJO, P. PEDREGAL, R. GARCÍA, N. ALGUACIL. BUILDING AND SOLVING MATHEMATICAL PROGRAMMING MODELS IN ENGINEERING AND SCIENCE. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK

3 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN APLICACIONES GENERALES APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA 3

4 INTRODUCCIÓN QUÉ ES UN PROBLEMA DE PLEM? PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN FUNCIÓN OBJETIVO Y RESTRICCIONES LINEALES VARIABLES ENTERAS Y CONTINUAS SI TODAS LAS VARIABLES SON ENTERAS PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA SI LAS VARIABLES ENTERAS SON BINARIAS PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA 0/1 INTERÉS PRÁCTICO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA!!! 4

5 INTRODUCCIÓN FORMULACIÓN GENERAL DE UN PLEM MINIMIZAR z = n j= 1 c j x j SUJETO A: n j= 1 a ij x j = b i ; i = 1Km x j 0 ; j = 1Kn x j I ; PARA ALGÚN j = 1Kn I = { 0,1, 2K} 5

6 INTRODUCCIÓN CONJUNTO DE SOLUCIONES FACTIBLES 6

7 INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM MAXIMIZAR z = 5x x 2 SUJETO A: x 1 x x + x x + 9x x,x2 1 I 7

8 INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. REGIÓN FACTIBLE 8

9 INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. SOLUCIÓN PROBLEMA LINEAL RELAJADO PLEM ÓPTIMO REDONDEO SOLUCIÓN ENTERA MÁS PRÓXIMA ÓPTIMO x x z INFACTIBLE LA SOLUCIÓN FACTIBLE MÁS PRÓXIMA A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA LINEAL RELAJADO NO ES LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DE PLEM NECESIDAD DE TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN 9

10 INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1) SÓLO PUEDEN TOMAR LOS VALORES 0 Ó 1 COMPLEJIDAD PROBLEMA LINEAL POR FALTA DE CONTINUIDAD ÚTILES EN PROBLEMAS EN LOS QUE LAS VARIABLES SÓLO PUEDEN TOMAR 2 VALORES: x = 1 LA SITUACIÓN TIENE LUGAR 0 LA SITUACIÓNNO TIENE LUGAR 10

11 INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1) TAMBIÉN ÚTILES PARA MODELAR NO LINEALIDADES: CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES RESTRICCIONES CONDICIONALES FUNCIONES DISCONTINUAS FUNCIONES LINEALES A TRAMOS Y NO CONVEXAS EJEMPLOS: PROBLEMA DE LA MOCHILA, PROBLEMA DEL VIAJERO, PROGRAMACIÓN HORARIA (ARRANQUE Y PARADA DE GRUPOS GENERADORES) 11

12 INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN BRANCH & BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN) CORTES DE GOMORY BRANCH & CUT (RAMIFICACIÓN Y CORTES) 12

13 INTRODUCCIÓN VENTAJAS DE LA PLEM CONVERGENCIA AL ÓPTIMO EN UN TIEMPO FINITO CONOCIMIENTO DE PROXIMIDAD AL ÓPTIMO (DIFERENCIA DE COTAS) DESARROLLO DE SOFTWARE DE CÁLCULO (CPLEX, XPRESS) 13

14 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN APLICACIONES GENERALES APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA 14

15 BRANCH & BOUND RESOLUCIÓN DE SECUENCIA ORDENADA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: RELAJACIÓN DE RESTRICCIONES DE INTEGRALIDAD RESTRICCIONES ADICIONALES CUYO NÚMERO CRECE A MEDIDA QUE PROGRESA EL PROCEDIMIENTO PROBLEMA CADA VEZ MÁS RESTRINGIDO CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO 15

16 BRANCH & BOUND ESTABLECIMIENTO DE: COTA SUPERIOR (z) CUALQUIER SOLUCIÓN FACTIBLE DE PLEM 0/1 COTA INFERIOR (z) SOLUCIÓN ÓPTIMA PROBLEMA LINEAL RELAJADO z z * z PROCEDIMIENTOS DE RAMIFICACIÓN COTA SUPERIOR, COTA INFERIOR DIFERENCIA ENTRE COTAS MEDIDA DE CERCANÍA AL ÓPTIMO 16

17 ELEMENTOS DEL ALGORITMO DE BRANCH & BOUND ESTABLECIMIENTO DE COTAS RAMIFICACIÓN RESOLUCIÓN DE PL CADA VEZ MÁS RESTRINGIDOS ACTUALIZACIÓN DE COTAS 17

18 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND PASO 1 (INICIACIÓN): z = + z = RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR): INFACTIBLE PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE FIN FACTIBLE: SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD SOLUCIÓN ÓPTIMA FIN SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD z = z IR A PASO 2 R 18

19 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND PASO 2 (RAMIFICACIÓN): SE ELIGE x k QUE NO CUMPLE INTEGRALIDAD EN PLR ( x k = a. b) GENERACIÓN DE 2 PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS: INCLUSIÓN DE LOS NUEVOS PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS EN LA LISTA DE PROBLEMAS A RESOLVER RESOLUCIÓN SECUENCIAL O PARALELA PASO 3 19

20 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND PASO 3 (RESOLUCIÓN): SE RESUELVE EL PRÓXIMO PROBLEMA EN LA LISTA ( SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE IR A PASO 4 PASO 4 (ACTUALIZACIÓN DE COTAS): * z R ) ALGORITMO FACTIBLE, SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y z R * z CANDIDATA A MINIMIZADOR IR A PASO 5 * z = z R SOLUCIÓN FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y z * R z z z = * z R RAMIFICACIÓN E INCLUSIÓN DE NUEVOS PROBLEMAS RELAJADOS EN LA LISTA IR A PASO 2 FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y z R * z IR A PASO 5 INFACTIBLE IR A PASO 5 20

21 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND PASO 5 (PODA): PODA POR INTEGRALIDAD IR A PASO 6 PODA POR COTAS IR A PASO 6 PODA POR INFACTIBILIDAD IR A PASO 6 PASO 6 (OPTIMALIDAD): LISTA DE PROBLEMAS NO VACÍA IR A PASO 3 LISTA DE PROBLEMAS VACÍA FIN 21

22 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND 22

23 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND ESTRATEGIAS DE RAMIFICACIÓN Y PROCESAMIENTO ELECCIÓN ADECUADA DE LA VARIABLE CANDIDATA PARA LA RAMIFICACIÓN DEPENDE DE LA ESTRUCTURA DEL PROBLEMA ESTRATEGIAS EN ANCHURA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SIMILARES VENTAJAS COMPUTACIONALES ESTRATEGIAS EN PROFUNDIDAD PRODUCE RÁPIDAMENTE * R z z z Y PODAS POR INFACTIBILIDAD ESTRATEGIAS MIXTAS z * R z z Y BÚSQUEDA EN ANCHURA 23 BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD

24 ALGORITMO DE BRANCH & BOUND PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA PUEDE SER NECESARIO RAMIFICAR TODAS LAS VARIABLES DEL PROBLEMA PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA 0/1 RAMIFICACIÓN DE VARIABLES 0/1 IMPLICA FIJAR LAS VARIABLES BINARIAS A 0 Ó 1 24

25 EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA MINIMIZAR z SUJETO A: x 1 0 = x 1 x 2 2x 2x2 1 2x 2 x,x2 9 1 I 1 25

26 EJEMPLO I REGIÓN FACTIBLE 26

27 EJEMPLO II PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA MINIMIZAR z = 3x x 2 SUJETO A: x 2x2 + x3 1 = 2.5 2x + x2 + x4 1 = 1.5 x,x2,x3,x4 1 0 x,x3 2 I 27

28 CORTES DE GOMORY RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ORIGINAL RELAJADO (PLR) INCLUYENDO RESTRICCIONES ADICIONALES LLAMADAS CORTES DE GOMORY PROCESO ITERATIVO 1 CORTE DE GOMORY ADICIONAL POR ITERACIÓN SE REDUCE PROGRESIVAMENTE LA REGIÓN FACTIBLE SIN EXCLUIR SOLUCIONES ÓPTIMAS CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO 28

29 CORTES DE GOMORY 29

30 GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY REGIÓN FACTIBLE: Ax = b x 0 EMPLEANDO NOTACIÓN ESTÁNDAR DEL MÉTODO SIMPLEX: BxB + NxN = b x B + B 1 Nx N = B 1 b xb + UxN = ~ b PARA UNA VARIABLE BÁSICA x Bi I QUE NO ES ENTERA EN PLR: x + = Bi uijxnj b ~ i j DONDE ~ b i I 30

31 GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY ~ SI SE EXPRESAN u ij Y b i COMO SUMA DE UNA PARTE ENTERA Y UNA PARTE DECIMAL: u = i + ij ij f ij ~ b ~ i = i ~ i + f i ~ DONDE f ij 0 Y f 0 POR LO TANTO: i > j ~ ( iij + fij) xnj = i i i x ~ Bi + + f x Bi + ~ ~ iijxnj i i = f i j j f ij x Nj 31

32 GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY ~ POR LO TANTO f i fijxnj DEBE SER: j ENTERO, YA QUE x Bi iijxnj ~ i i j + ES ENTERO MENOR QUE QUE j f ij x Nj ~ f 0 i, QUE ES UNA FRACCIÓN POSITIVA MENOR QUE 1, YA CONCLUSIÓN: SE DEFINE EL CORTE DE GOMORY ASOCIADO A LA VARIABLE BÁSICA : x Bi ~ f i f j ij x Nj 0 O IGUALMENTE, j f ij x Nj ~ f i 0 32

33 ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY PASO 1 (INICIACIÓN): RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR) INFACTIBLE PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE FIN FACTIBLE IR A PASO 2 PASO 2 (CONTROL DE OPTIMALIDAD): SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD SOLUCIÓN ÓPTIMA FIN SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD IR A PASO 3 33

34 ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY PASO 3 (GENERACIÓN DE CORTE): SE EMPLEA UNA VARIABLE BÁSICA QUE HA DE SER ENTERA Y NO LO ES, Y SE GENERA EL CORTE DE GOMORY PASO 4 (RESOLUCIÓN): SE AÑADE EL CORTE Y SE RESUELVE EL NUEVO PLR IR A PASO 2 MÉTODO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE 34

35 EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA MINIMIZAR z SUJETO A: x 1 0 = x 1 x 2 2x 2x2 1 2x 2 x,x2 9 1 I 1 35

36 BRANCH & CUT COMBINACIÓN DE BRANCH & BOUND Y DE GENERACIÓN DE CORTES USO DE HEURÍSTICOS QUE REDUCEN LA REGIÓN FACTIBLE REDUCCIÓN ESPECTACULAR DE TIEMPO DE CÁLCULO CPLEX, XPRESS 36

37 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN APLICACIONES GENERALES APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA 37

38 RESTRICCIONES LÓGICAS FACTIBILIDAD DE UNA RESTRICCIÓN K? CUÁNDO SE CUMPLE LA RESTRICCIÓN f( x,x,,x ) b 1 2 n MODELO PLEM 0/1: f ( x,x,,x ) By b K (1) 1 2 n y 0 LA RESTRICCIÓN SE CUMPLE = (2) 1 LA RESTRICCIÓN NO SE CUMPLE DONDE B ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE TAL QUE CUANDO LA RESTRICCIÓN NO SE CUMPLE, 1 y =, (1) NO SE ACTIVA ADECUADA ELECCIÓN DE B EVITAR PROBLEMAS NUMÉRICOS 38

39 RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I SE DEBE CUMPLIR AL MENOS UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: f f ( x1,x 2, K,xn) 1 1 b ( x1,x 2, K,xn) 2 2 b 39

40 RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I MODELO PLEM 0/1: f ( x1,x 2,,xn) B1y 1 1 K (1) 1 b f ( x1,x 2,,xn) B2y2 2 K (2) 2 b y1 2 + y 1 (3) y,y2 { 0,1 } 1 (4) DONDE B 1 Y B 2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES 40

41 RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II SE DEBE CUMPLIR SÓLO UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: f f ( x1,x 2, K,xn) 1 1 b ( x1,x 2, K,xn) 2 2 b MODELO PLEM 0/1 (I): f f ( x1,x 2,,xn) B1y 1 1 K (1) 1 b ( x1,x 2,,xn) B2y2 2 K (2) 2 b y1 2 = + y 1 (3) y,y2 { 0,1 } 1 (4) DONDE B 1 Y B 2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES 41

42 RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II MODELO PLEM 0/1 (II): f ( x1,x 2,,xn) B1y 1 1 K (1) 1 b f ( x1,x 2,,xn) B2( 1 y1) 2 K (2) 2 b y 1 { 0,1 } (3) DONDE B 1 Y B 2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES AHORRO DE 1 VARIABLE BINARIA COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL (ÁRBOL DE BÚSQUEDA DEL BRANCH & BOUND REDUCIDO) 42

43 RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS III SE DEBEN CUMPLIR AL MENOS k DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: f j ( x1,x 2,,xn) bj K, j = 1Kp MODELO PLEM 0/1: f j ( x1,x 2,,xn) Bj( 1 y j) bj K, j = 1Kp (1) p j= 1 y j k (2) y j 1 LA RESTRICCIÓN j SE CUMPLE =, j = 1Kp 0 LA RESTRICCIÓN j NO SE CUMPLE (4) DONDE B j SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES 43

44 RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS REGIÓN FACTIBLE DEFINIDA POR CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES (NO NECESARIAMENTE DISJUNTOS): 44

45 RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS MODELO PLEM 0/1: f f f f f f f ( x1,x 2) B1y 1 1 ( x1,x 2) B2y1 2 ( x1,x 2) B3y2 3 ( x1,x 2) B4y2 4 ( x1,x 2) B5y3 5 ( x1,x 2) B6y3 6 ( x1,x 2) B7y3 7 (1) 1 b (2) 2 b (3) 3 b (4) 4 b (5) 5 b (6) 6 b (7) 7 b y y + y 2 (8) x1,x 2 0 (9) { 0,1 } y1,y 2,y3 (10) DONDE B 1 - B 7 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES 45

46 RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES CONDICIONALES ( x1,x 2, K,xn) 1 IMPLICA QUE f2( x1,x 2,,xn) b2 f > 1 b K (CONDICIÓN IF... THEN) EQUIVALENTE A RESTRICCIONES ALTERNATIVAS (AL MENOS UNA SE DEBE CUMPLIR): f ( x1,x 2, K,xn) 1 Y/O f2( x1,x 2, K,xn) b2 1 b 46

47 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD f ( x) = 0 K + cx SI SI x 0 = < 0 x B EJEMPLO PRÁCTICO: COSTES FIJO (K) Y VARIABLE (c) DE UNA CENTRAL ELÉCTRICA 47

48 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD MODELO PLEM 0/1: ( x) Ky cx f = + (1) x By (2) x 0 (3) y { 0,1 } (4) DONDE: B VALOR MÁXIMO DE x (POTENCIA MÁXIMA NOMINAL) y VARIABLE 0/1 IGUAL A 0 SI x = 0 (NO SE INCURRE EN EL COSTE FIJO), E IGUAL A 1 EN OTRO CASO (SÍ SE INCURRE EN EL COSTE FIJO) OJO, SÓLO FUNCIONA SI SE MINIMIZA f(x) Y K > 0!!! 48

49 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS ( ) ( ) ( ) ( ) < < + γ + β α + β α α = c x b b x a a x 0 b x a b a a x a x x f DONDE: γ < β < α < 0 c b a 0 < < < 49

50 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS MODELO PLEM 0/1: f ( x) αx1 + βx2 + γx3 = (1) x = x + (2) 1 + x2 x3 ay1 x1 a (3) ( b a) y 2 x 2 ( b a) y 1 (4) ( c b) 2 0 x (5) y,y2 3 y { 0,1 } 1 (6) OJO, (4) IMPIDE LA COMBINACIÓN y 1 = 0, y 2 = 1 3 COMBINACIONES POSIBLES 50

51 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS x j TROZO j DE x y 1 = 1 0 SI x 1 = a EN OTRO CASO y 2 = 1 0 SI x 2 = b EN OTRO CASO PARA EL CASO GENERAL LA RESTRICCIÓN PARA EL TROZO j ES: L j y j x j L j y j 1 DONDE L j REPRESENTA LA LONGITUD DEL TRAMO j SI LA FUNCIÓN ES CONVEXA Y EL PROBLEMA ES DE MINIMIZACIÓN LAS VARIABLES 0/1 NO SON NECESARIAS 51

52 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON DISCONTINUIDAD INICIAL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < < < + γ + β + α + β + α + α = d x c c x b b x a a x 0 c x b c a b f b x a b f a x f 0 x f DONDE: γ < β < α < 0 c b a 0 < < < 52

53 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON DISCONTINUIDAD INICIAL 53

54 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON DISCONTINUIDAD INICIAL MODELO PLEM 0/1: f ( x) vf0 + αx1 + βx2 + γx3 = (1) x = va + x + (2) 1 + x2 x3 ( a) y x ( b a)v b 1 1 (3) ( c b) y 2 x 2 ( c b) y 1 (4) ( d c) 2 0 x (5) 3 y { 0,1 } v,y1,y 2 (6) OJO, (3) IMPIDE y j > v Y (4) IMPIDE LA COMBINACIÓN y 1 = 0, y 2 = 1 4 COMBINACIONES POSIBLES 54

55 MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES APROXIMACIÓN LINEAL A TROZOS p i Linealización cóncava a trozos Puntos de mejor eficiencia local U i U i u i NO CONCAVIDAD VARIABLES BINARIAS PRECISIÓN TRAMOS LINEALES 55

56 MODELADO DEL PRODUCTO DE VARIABLES BINARIAS MODELO PLEM 0/1: n z =, x i { 0,1 } i= 1 z 0 (1) z, i = 1, K, n (2) x i x i z i n = 1 xi n + 1 (3) x i { 0,1 } (4) (3) SÓLO SE ACTIVA CUANDO TODOS LOS x i SON IGUALES A 1 56

57 MODELADO DEL PRODUCTO DE UNA VARIABLE BINARIA Y UNA VARIABLE CONTINUA MODELO PLEM 0/1: z = xp, { 0,1 } x, p [ p min, p max ] z = p r (1) xp min max z xp (2) ( 1 x) p min r ( 1 x) p max (3) x { 0,1 } (4) r [ p min, p max ] DONDE r ES UNA VARIABLE CONTINUA AUXILIAR (5) 57

58 MODELADO DEL PRODUCTO DE LAS CONDICIONES DE COMPLEMENTARIEDAD π f = 0, 0 π, f 0 MODELO PLEM 0/1 (EXPRESIÓN DE FORTUNY-AMAT): π My (1) π 0 (2) f ( y) M 1 (3) f 0 y { 0,1 } (4) (5) DONDE M ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE 58

59 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN APLICACIONES GENERALES APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA 59

60 OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA LÍMITES MÁXIMO Y MÍNIMO DE PRODUCCIÓN TIEMPOS MÍNIMOS DE FUNCIONAMIENTO Y DE PARADA RAMPAS: SUBIDA, BAJADA, ARRANQUE Y PARADA RESERVA RODANTE COSTES: DE PRODUCCIÓN (FIJOS Y VARIABLES), DE ARRANQUE Y DE PARADA 60

61 OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA MODELO BASADO EN LA DEFINICIÓN DE 3 VARIABLES BINARIAS: v(k): VARIABLE DE ACOPLAMIENTO/DESACOPLAMIENTO EN EL PERIODO k y(k): VARIABLE DE ARRANQUE AL COMIENZO DEL PERIODO k z(k): VARIABLE DE PARADA AL COMIENZO DEL PERIODO k 61

62 OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA Power (MW) P RU RD P SU SD Time (h) k v(k) y(k) z(k)

63 OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA OJO!! ( k) [ 0,1 ] y ( k) z( k) = v( k) v( k 1) z VENTAJAS COMPUTACIONALES v(k-1) v(k) y(k) z(k) MINIMIZACIÓN DE COSTES

64 LÍMITES DE PRODUCCIÓN POTENCIA MÁXIMA NOMINAL Y MÍNIMO TÉCNICO: P ( ) p k p k = 0 SI LA CENTRAL ESTÁ DESACOPLADA ( ) P SILA CENTRAL ESTÁ ACOPLADA MODELO PLEM 0/1: Pv ( k) p( k) Pv( k) 64

65 TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE MANTENERSE ACOPLADA UNA VEZ PUESTA EN FUNCIONAMIENTO MODELO NO LINEAL: [ x( k 1) UT] [ v( k 1) v( k) ] 0 x (1) ( k) { x( k 1) [ 1 y( k) ] + 1} v( k) + { x( k 1) [ 1 z( k) ] 1} [ 1 v( k) ] = (2) UT: TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO (h) x(k): NÚMERO DE HORAS QUE LA CENTRAL LLEVA ACOPLADA/DESACOPLADA (+/-) AL FINAL DEL PERÍODO k 65

66 TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO MODELO PLEM 0/1: L k= 1 [ 1 v( k) ] = 0 k+ UT 1 i= k v () i UTy( k) (1) k = L + 1K T UT + 1 (2) T i= k [ v() i y( k) ] 0 k = T UT + 2KT (3) L = Min T, 0 [ ( UT U ) V( 0) ] T: NÚMERO DE HORAS DEL HORIZONTE TEMPORAL 0 U : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE ACOPLADA (h) V ( 0) : ESTADO INICIAL DE ACOPLAMIENTO 66

67 TIEMPO MÍNIMO DE PARADA NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE ESTAR PARADA UNA VEZ QUE SE DESACOPLA MODELO NO LINEAL: [ x( k 1) + DT] [ v( k) v( k 1) ] 0 x (1) ( k) { x( k 1) [ 1 y( k) ] + 1} v( k) + { x( k 1) [ 1 z( k) ] 1} [ 1 v( k) ] = (2) DT: TIEMPO MÍNIMO DE PARADA (h) 67

68 TIEMPO MÍNIMO DE PARADA MODELO PLEM 0/1: F k= 1 v k+ DT 1 i= k ( k) = 0 [ 1 v() i ] DTz( k) (1) k = F + 1K T DT + 1 (2) T i= k [ 1 v() i z( k) ] 0 k = T DT + 2KT (3) F = Min { T, [ DT S( 0) ][ 1 V( 0) ]} S ( 0) : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE DESACOPLADA (h) EXPRESIONES ANÁLOGAS A LAS DEL TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO 68

69 RAMPAS MÁXIMA VARIACIÓN DE PRODUCCIÓN ENTRE DOS HORAS CONSECUTIVAS RAMPA DE SUBIDA (RU) RAMPA DE BAJADA (RD) RAMPA DE ARRANQUE (SU) RAMPA DE PARADA (SD) p p p ( k) [ 1 y( k) ] p( k 1) ( k 1) [ 1 z( k) ] p( k) p RU RD ( k) SUy( k) + P[ 1 y( k) ] ( k 1) SDz( k) + P[ 1 z( k) ] 69

70 RAMPAS MODELO PLEM 0/1: ( k) P[ v( k) z( k + 1) ] + z( k 1)SD p + (1) ( k) p( k 1) + RUv( k 1) SUy( k) p + (2) ( k 1) p( k) RDv( k) SDz( k) p + (3) 70

71 RAMPAS v( k 1) v ( k) ( k 1) v + Restricciones (1)-(3) ( k) SD ( k) p( k 1) RU ( k 1) p( k) RD p p + p ( k) P ( k) p( k 1) RU ( k 1) p( k) RD p p + p ( k) SD ( k) SU p ( k) RD + SD p p ( k) P ( k) SU p( k) RD p p 71

72 RAMPAS v( k 1) v ( k) ( k 1) v + Restricciones (1)-(3) ( k) 0 ( k) p( k 1) RU ( k 1) p( k) SD p p + p ( k) 0 ( k) p( k 1) RU ( k 1) p( k) SD p p + p ( k) 0 ( k) 0 p( k) 0 p p ( k) 0 ( k) 0 p( k) 0 p p 72

73 RESERVA RODANTE POTENCIA SINCRONIZADA DISPONIBLE RÁPIDAMENTE EN CASO DE EMERGENCIA CONCEPTO ÚTIL: POTENCIA MÁXIMA DISPONIBLE ( p ( k) ): RR ( k) = p( k) p( k) DONDE: ( k) = Min{ P[ v( k) z( k + 1) ] + z( k + 1) SD,p( k 1) + RUv( k 1) y( k) SU} p + 73

74 RESERVA RODANTE v( k 1) v ( k) v ( k + 1) p ( k) Min { SD,p( k 1) + RU} { RU} P,p( k 1) Min Min { SD,SU} SU SIMPLIFICACIÓN TRADICIONAL: ( k) Pv( k) p = 74

75 RESERVA RODANTE MODELO PLEM 0/1: ( k) P[ v( k) z( k + 1) ] + z( k 1)SD p + (1) ( k) p( k 1) + RUv( k 1) SUy( k) p + (2) ( k) p( k) p (3) RR ( k) p( k) p( k) = (4) MODELO EQUIVALENTE SI SE MINIMIZA EL COSTE O SI SE MAXIMIZA EL INGRESO POR RESERVA RODANTE 75

76 COSTES DE PRODUCCIÓN FUNCIÓN NO LINEAL, NO CONVEXA Y NO DIFERENCIABLE DE LA POTENCIA DE SALIDA d(k) P Pj p(k) 76

77 COSTES DE PRODUCCIÓN SIMPLIFICACIÓN TRADICIONALMENTE USADA: APROXIMACIÓN CUADRÁTICA d(k) a P j P j p(k) [ ] 2 v( k) ( ) = a + bp( k) + c( p( k) ) d k 77

78 COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS d(k) F 2 F 3 A F 1 δ 1 (k) δ 2 (k) δ 3 (k) P j T 1 T 2 P j p(k) A: TÉRMINO QUE INCLUYE EL COSTE FIJO Y EL COSTE A MÍNIMO TÉCNICO F l: PENDIENTE DEL BLOQUE DE POTENCIA l δ l (k): POTENCIA PRODUCIDA EN LA HORA k Y EN EL BLOQUE l 78

79 COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS NL ( ) = Av( k) + F δ ( k) d k p NL l= 1 ( k) δ ( k) + Pv( k) = l= 1 ( P) t ( k) ( k) T1 1 δ1 l l (1) l (2) (3) ( ) ( T P) v( k) δ (4) 1 k 1 ( T ) t ( k) δ ( k) l = 2KNL 1 (5) Tl l 1 l l δ ( ) ( T T ) t ( k) l k l l 1 l 1 = 2KNL 1 NL ( k) 0 l (6) δ (7) NL ( ) ( P T ) t ( k) δ (8) t k NL 1 NL 1 ( k) { 0,1 } l = 1KNL 1 l (9) 79

80 COSTE DE ARRANQUE FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA b(k) CF + CC CF s(k-1) ( ) b k = CC 1 e - s α ( k-1) + CF y ( k) 80

81 COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS DISCRETIZACIÓN HORARIA COSTE DE ARRANQUE DISCRETO APROXIMACIÓN ASINTÓTICAMENTE CONVERGENTE Exponencial Lineal a tramos Coste de arranque 3 K 2 K 1 K 1 2 Tiempo parada (h) 81 3

82 COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS SE NECESITA MODELAR UN CONTADOR DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA RESTRICCIÓN CONDICIONAL: SI v ( k) = 0 s ( k) = s( k 1) + 1 SI v ( k) = 1 s ( k) = 0 82

83 COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS MODELO PLEM 0/1: ( k) s( k 1) 1 s + (1) ( k) + ( S + 1) v( k) s( k 1) 1 s + (2) s ( k) S[ 1 v( k) ] 0 (3) s( k) 0 (4) DONDE S ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE (E.G. EL NÚMERO MÁXIMO DE HORAS QUE LA CENTRAL PUEDE ESTAR DESACOPLADA) 83

84 COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS MODELO PLEM 0/1: b ~ ND i i ( k) K w ( k) = (1) i= 1 ND i= 1 w i ( k) = y( k) (2) ND 1 i i= 1 w i ( k) + m( k) = s( k 1) [ + 1] ND ( ) S w ( k) y( k) m k (4) ND ( ) ND w ( k) m k (5) ( k) { 0,1 } w i (6) (3) ND: NÚMERO DE TRAMOS DE LA DISCRETIZACIÓN 84

85 COSTE DE PARADA TÍPICAMENTE CONSTANTE: ( k) Cz( k) c = 85

86 DÓNDE NECESITAMOS ESTOS MODELOS? PROGRAMACIÓN HORARIA (UNIT COMMITMENT) MARCO CENTRALIZADO DESPACHO ECONÓMICO DINÁMICO PROCEDIMIENTOS DE CIERRE DE MERCADO (CON O SIN RED) MARCO COMPETITIVO AUTO-PLANIFICACIÓN DE PRODUCTORES (MERCADO DIARIO Y/O DE SERVICIOS COMPLEMENTARIOS, CON O SIN PODER DE MERCADO) ESTRATEGIAS DE OFERTA 86

87 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA DETERMINACIÓN, PARA CADA HORA DE UN DÍA O UNA SEMANA, DEL PLAN DE ACOPLAMIENTO Y DE LAS PRODUCCIONES DE LOS GRUPOS TÉRMICOS, DE FORMA QUE: EL COSTE DE EXPLOTACIÓN SEA MÍNIMO SE CUMPLAN LAS RESTRICCIONES TÉCNICAS DE LOS GRUPOS TÉRMICOS (LÍMITES DE PRODUCCIÓN, RAMPAS, TIEMPOS MÍNIMOS) SE SUMINISTRE LA DEMANDA DE ENERGÍA HAYA POTENCIA DE RESERVA SUFICIENTE 87

88 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. FORMULACIÓN MATEMÁTICA MINIMIZAR i I k K d ( k) + b ( k) c ( k) i i + i SUJETO A: pi Π i i I pi = i I ( k) D( k) k K i I p ( k) p ( k) D( k) RR( k) i i + k K 88

89 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL # RESTRICCIONES # VARIABLES 0/1 # VARIABLES CONTINUAS T ( NL) + 2 T NJ T ( 1+ NL + ND) NJ T ( 5 + NL) NJ NJ: NÚMERO DE CENTRALES TÉRMICAS T: NÚMERO DE INTERVALOS DEL HORIZONTE TEMPORAL NL: NÚMERO DE TRAMOS DE LA APROXIMACIÓN LINEAL DEL COSTE DE PRODUCCIÓN ND: NÚMERO DE INTERVALOS DISCRETOS DEL COSTE DE ARRANQUE 89

90 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL NJ: 60 T: 24 NL: 3 ND: 3 # RESTRICCIONES # VARIABLES 0/1 # VARIABLES CONTINUAS

91 EJEMPLO NUMÉRICO GRUPO P (MW) P (MW) RU (MW/h) RD (MW/h) SU (MW/h) SD (MW/h) A ( /h) F 1 ( /MWh) 1 F ( ) C ( ) HORAS DEMANDA (MW) RESERVA RODANTE (MW) INICIALMENTE, TODOS LOS GRUPOS DESACOPLADOS 91

92 EJEMPLO NUMÉRICO SOLUCIÓN ÓPTIMA p i ( k) (MW) ( k) p i (MW) HORAS HORAS GRUPOS GRUPOS COSTE:

93 EJEMPLO NUMÉRICO SI LAS RAMPAS DE ARRANQUE Y PARADA SE DESACTIVAN (IGUALES A P ): SOLUCIÓN ÓPTIMA: p i ( k) (MW) ( k) p i (MW) HORAS HORAS GRUPOS GRUPOS COSTE:

94 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO Centrales térmicas Centrales nucleares Sistemas hidráulicos Otros productores: eólica, solar, cogeneración, etc. Red de transporte y redes de distribución Intercambios internacionales Demanda residencial Otros consumos Demanda comercial Demanda industrial 94

95 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO MERCADO BASADO EN UN POOL O BOLSA DE ENERGÍA Productor 1 Productor i Productor n Estrategia de oferta Estrategia de oferta Estrategia de oferta Plan de generación y consumo Operador del mercado Algoritmo de cierre de mercado Precios de cierre de mercado Estrategia de oferta Consumidor 1 Estrategia de oferta Consumidor j Estrategia de oferta Consumidor m 95

96 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO LOS PRODUCTORES ENVÍAN OFERTAS DE VENTA ENERGÍA/PRECIO (EN GENERAL, MONÓTONAMENTE CRECIENTE) LOS CONSUMIDORES ENVÍAN OFERTAS DE COMPRA ENERGÍA/PRECIO (EN GENERAL, MONÓTONAMENTE DECRECIENTE) EL OPERADOR DEL MERCADO USA UN ALGORITMO DE CIERRE DE MERCADO (SUBASTA) PARA DETERMINAR: PRECIO DE CIERRE DE MERCADO OFERTAS DE VENTA ACEPTADAS OFERTAS DE COMPRA ACEPTADAS DE FORMA QUE EL BENEFICIO SOCIAL NETO SEA MÁXIMO 96

97 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL MAXIMIZAR BENEFICIO SOCIAL NETO SUJETO A: LÍMITES DE OFERTAS DE GENERACIÓN LÍMITES DE OFERTAS DE CONSUMO FACTIBILIDAD DE GENERADORES (RAMPAS, LÍMITES DE PRODUCCIÓN, TIEMPOS MÍNIMOS, ETC.) RESTRICCIONES IDÉNTICAS A LAS DE LA PROGRAMACIÓN HORARIA FACTIBILIDAD DE CONSUMIDORES BALANCE DE POTENCIA 97

98 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL Precio Ofertas aceptadas Consumers surplus Precio de cierre de mercado Producers surplus Energía SW = NQ j j J n= 1 λ D nj p D nj NL i i I m= 1 λ G mi p G mi 98

99 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL λ D nj: PRECIO DEL BLOQUE n DE LA DEMANDA j λ G mi: PRECIO DEL BLOQUE m DEL GENERADOR i p D nj : POTENCIA CONSUMIDA DEL BLOQUE n DE LA DEMANDA j p G mi : POTENCIA GENERADA DEL BLOQUE m DEL GENERADOR i NQ j: NÚMERO DE BLOQUES DE LA OFERTA DE LA DEMANDA j NL i : NÚMERO DE BLOQUES DE LA OFERTA DEL GENERADOR i 99

100 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL LÍMITES DE OFERTAS DE GENERACIÓN: p = NL i i p G mi m= 1 0 pg mi PG mi P i = P G1i i I i I, m i I M i LÍMITES DE OFERTAS DE CONSUMO: 0 pd nj PD nj j J, n N j BALANCE DE POTENCIA: p = NQ j i i I j J n= 1 p D nj 100

101 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL DEFINICIÓN DEL PRECIO DE CIERRE DE MERCADO: VARIABLE DUAL ASOCIADA AL BALANCE DE POTENCIA PRECIO DE LA OFERTA DE VENTA ACEPTADA MÁS CARA 101

102 APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 TIPOS DE ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO MULTIPERIODO VERSUS MONOPERIODO CON RED VERSUS NUDO ÚNICO MODELANDO PÉRDIDAS VERSUS SIN PÉRDIDAS 102

103 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO RESULTADOS CON RESTRICCIONES SIN RESTRICCIONES CASO (# GRUPOS) A (20) B (40) SOLUCIÓN ÓPTIMA ($) TIEMPO CPU (s) SOLUCIÓN ÓPTIMA ($) TIEMPO CPU (s) C (60) D (80) E (100)

104 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO RESULTADOS DEMAND DEMAND (MW) PRICE MARKET CLEARING PRICE ($/MWh) TIME (h) 104