Clases laterales, subgrupos normales y grupo cociente

Transcripción

1 Capítulo 4 Clases laterales, subgrupos normales y grupo cociente 4.1. Clases laterales 1. Fraleigh, página 113, problemas: 11.6, 11.7, 11.8, 11.10, 11.11, 11.15, En cada caso pruebe que la relación s denida en el conjunto dado es una relación de equivalencia y determine en cada caso las clases de equivalencia. 2.1 En N N : (a; b) s (c; d) si y sólo si ad = bc. 2.2 En Z : a s b si y sólo si a y b son ambos pares o ambos impares (es decir, a y b tienen la misma pariedad). 2.3 En R : a s b si y sólo si jaj = jbj. 2.4 En R : a s b si y sólo si a b 2 Q. 3. Sean H; K subgrupos de un grupo G y x; y 2 G. Probar que: a. xy 2 xk si y sólo si y 2 K. b. H K si y sólo si Hx Kx si y sólo si xh xk. c. (xy) H = x (yh). d. x (Hy) = (xh) y. e. xh = H si y sólo si x 2 H. 4. Determine todas las clases laterales a izquierda y todas las clases laterales a derecha de todos los subgrupos H de: 14

2 a. S 3 b. D 3 c. Q 8 d. U 18 e. El grupo de Klein K 5. En cada caso, determine todas las clases laterales a izquierda y todas las clases laterales a derecha del subgrupo.h de G. 5.1 (Q; +) (R; +) 5.2 (Z; +) (Q; +) 5.3 (Z; +) (R; +) 5.4 (f1g ; :) (R ; :) 5.5 H = 4 Z H = nz Z, donde n 2 Z Determine el índice de los subgrupos de nidos en las partes (e) y (f) del problema anterior. 7. Determine el índice de cada uno de los subgrupos H de S 3, D 3, Q 8, U 18, el grupo de Klein K. 8. Pruebe que todos los grupos de orden 2; 3; 5 son ciclicos. 9. Pruebe que S 7 no contiene subgrupos de orden Pruebe que D 4 no contiene subgrupos de orden Si n es entero primo,pruebe que Z n no tiene subgrupos propios. 12. Si G es ciclico y nito de orden primo entonces G no tiene subgrupos propios. 13. Si G 6= feg es nito y todos sus subgrupos son impropios,entonces G tiene orden primo. 14. Sea H un subgrupo de G que tiene exactamente dos clases laterales. Pruebe que para cada a 2 G : a 2 2 G: 15. Sea G un grupo nito con subgrupos H; K de ordenes p,q respectivamente, si mcd(p; q) = 1, probar que H \ K = feg. 15

3 16. Sea G un grupo nito, H; K G tales que jgj = jhj jkj, probar que G = HK si y sólo si H \ K = feg. 17. Veri que el teorema de Lagrange para cada uno de los subgrupos de S 3, D 3, Q 8, U 18, el grupo de Klein K. 18. Demostrar que toda clase lateral izquierda de subgrupo Z del grupo aditivo de los números reales contiene exactamente un representante x tal que 0 x Demostrar que la función seno asigna el mismo valor a cada representante de una clase lateral izquierda ja del subgrupo h2i del grupo aditivo de los numeros reales Subgrupos normales y grupo cociente 20. En cada caso determine todos los subgrupos normales del grupo G dado a continuación: a. G = Z 18 b. G = D 3 c. G = S 3 d. G = Q Dé un ejemplo de un grupo no abeliano donde todos sus subgrupos propios sean normales. 22. Pruebe que S n no es simple. 23. Pruebe que todo grupo de orden primo es simple. 24. Pruebe que Sl (n; R) / Gl (n; R). En los problemas siguientes, G siempre denotará un grupo: 25. Probar que Z(G) / G. 26. Si N Z(G), probar que N / G. 27. Si H / G y K / G son tales que H \ K = feg entonces 8h 2 H; k 2 K : hk = kh. 28. Si N G con jnj = n y G no contiene más subgrupos de orden n entonces N / G. 29. Si N G es tal que 8a; b 2 G : an = bn =) Na = Nb: Probar que N / G. 16

4 30. Si H G y N = T a 1 Ha, probar que N / G. a2g 31. Si N / G; donde G es nito y m = [G : N] entonces 8a 2 G : a m 2 N. Sugerencia: el grupo G=N tiene orden m. 32. Sea G un grupo nito y N G con [G : N] = 2: Probar que: a. Toda clase lateral derecha de N en G es tambien una clase lateral izquierda de N en G. b. N / G. c. G no es simple. d. G=N es ciclico. 33. Sea N G,, entonces N C G si y sólo si para cada x; y 2 G : xy 2 N implica yx 2 N. 34. Si G es un grupo no abeliano,probar que G=Z(G) no puede ser ciclico. 35. Si G es un grupo no abeliano y G=Z(G) es nito entonces G=Z(G) no puede ser de orden primo. 36. Sea H G, de namos N(H) = a 2 G : a 1 Ha = H. probar que: a. N(H) G. b. H N(H). c. H / N(H). d. N(H) es el mayor subgrupo de G para el cual H es normal,es decir, K G y H / K entonces K N(H). 37. Sea N G con jnj = m y = fk : K G y jkj = mg. Probar que \ K / G: K2 Decimos que un subgrupo normal N de G es máximal, si H es un un subgrupo normal propio de G y no existen subgrupos normales estrictamente entre H y G. 38. H es un subgrupo normal máximal de G si y sólo si G=H no tiene subgrupos normales propios. 39. Si N C G, entonces G=N es simple si y sólo si N es un subgrupo normal máximal de G. 40. Si G es abeliano, entonces G es simple si y sólo si G es nito y de orden primo. 17

5 Capítulo 5 Homomor smos de grupos 1. Hallar todos los homomor smos de: a. Z 2 en Z 2 b. Z 2 en Z 3 c. Z 2 en Z 4 2. Probar que: a. S n = Sm () n = m b. Z 30 =Z 6 = Z5 c. Z mn =Z n = Zm d. S n =A n = Z2 e. hc; +i = R 2 ; + h. K = Z 2 Z 2 (donde K es el grupo de Klein) 3. Sea hg; i el grupo G = R f 1g con la operación a b = a + b + ab: a. Probar que hg; i = hr f0g ; i, donde denota la multiplicación usual en R f0g : Pruebe que N = f 2 G : f 1 2 = 0 G y concluya que G=N = R + ; : 18

6 4. Probar que la función ' : Gl(R; n)! hr f0g ; i A! Det (A) es un homomor smo. Hallar su kernel e imagen y concluya que Gl(R; n)=sl(r; n) = hr f0g ; i 5. Sea K = f1; ig el subgrupo del grupo multiplicativo hc f0g ; i. Probar que K = Z Sea G el grupo aditivo de los números complejos, de namos : G! G z! z Probar que es isomor smo. 7. Para n 2 N, utilice el homomor smo para probar que Z=nZ = Z n. ' : Z! Z n x! x 8. Utilice el homomor smo ' : hr f0g ; i! hr + ; i x! jxj donde jxj denota el valor absoluto de x; para probar que hr f0g ; i = f1g = R + ; : 9. Sea G el grupo aditivo de los números reales y T = fz 2 C : jzj = 1g. a. Pruebe que T con la operación multiplicación es un grupo. Para un número real y jo de namos : G! T x! (x) = e iyx Probar que es un homor smo. b. Calcule ker ( ) c. Pruebe que G=Z = T 19

7 10. Sea G un grupo,para cada a 2 G de nimos f a : G! G x! f a (x) = axa 1 Probar que: a. Para cada a 2 G; f a es un automor smo en G. (Cada f a es llamada un automor smo interno en G). b. Aut (G) = ff : G! G : f es un automor smog con la operación composición entre funciones forman un grupo. c. Int (G) = ff a =a 2 Gg / Aut (G) : d. La función ' : G! Aut (G) a! ' (a) = f a es un homomor smo con Ker' = Z (G) : e. Aut(G) = G=Z(G). 11. Sea hg; i un grupo, considérese la operación binaria de nida por 8a; b 2 G : a b = b a; probar que hg; i es un grupo y hg; i = hg; i : 12. Si G 1 ; G 2 son grupos con subgrupos normales N 1 ; N 2 respectivamente y : G 1 7! G 2 es un homomor smo tal que (N 1 ) N 2 entonces existe un homomor smo ' : G 1 =N 1 7! G 2 =N 2 : 13. Si G es un grupo abeliano y nito con jgj = n y m 2 Z + tal que mcd(m; n) = 1 entonces la función ' : G 7! G de nida por '(x) = x m es un isomor smo. 14. Sea : G! G 1 un homor smo con N = Ker () : Pruebe que existe un homor smo : G! G 1 tal que = '; donde ' es el homor smo canonico. 15. Si N C G y : G! G 1 un homor smo tal que Ker () N, entonces induce a un homor smo : G=N! G 1 digamos (Na) = (a). 20

8 16. Sea : G! G 1 un homor smo y H G entonces 1 (H) = fg 2 G : (g) 2 Hg es un subgrupo de G que contiene a Ker (). 17. Un subgrupo H de G se llama invariante si para cada ' 2 Aut(G) : ' (H) H. a. Si H es un subgrupo invariante de G, entonces H C G. b. N C G y M un subgrupo invariante de N entonces M C G. 21