Grupos. Subgrupos. El Teorema de Lagrange. Grupo cociente. Teoremas de

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1 TEMA 8 Grupos. Subgrupos. El Teorema de Lagrange. Grupo cociente. Teoremas de Isomorfía En la primera sección introducimos los conceptos de grupo y subgrupo y, además de presentar varios ejemplos, prestamos especial atención a los grupos cíclicos. El Teorema de Lagrange ocupa la segunda sección, mientras que en la tercera aparecen las nociones fundamentales de subgrupo normal, que permite construir cocientes, y homomorfismo de grupos, para terminar con los Teoremas de Isomorfía. 1. Grupos y Subgrupos Definiciones 1.1 Un conjunto G dotado de una operación G G G, (a, b) ab se dice grupo si se cumplen las siguientes condiciones: (1) (ab)c = a(bc) para cualesquiera a, b, c G. (Propiedad asociativa). (2) Existe un elemento 1 G G, denominado elemento neutro de G, tal que a1 G =1 G a = a para cada a G. (3) Para cada a G existe un elemento a 1 G tal que aa 1 = a 1 a =1 G.Sediceque a 1 es el inverso de a. (4) Se dice que los elementos a, b G conmutan si ab = ba. Si cada par de elementos de G conmutan se dice que el grupo G es abeliano. (5) Si G es finito se llama orden de G al número de elementos de G, al que se denota ord(g). Observaciones y Ejemplos 1.2 (1) El elemento neutro de un grupo es único; en efecto, si existieran dos, digamos e 1 y e 2, necesariamente e 1 = e 1 e 2 = e 2, donde hemos utilizado, en la primera igualdad, que e 2 es neutro, y en la segunda que lo es e 1. 71

2 72 TEMA 8. GRUPOS (2) El inverso de cada elemento es también único. En efecto, sean b y c inversos de a. Entonces b = b1 G = b(ac) =(ba)c =1 G c = c. (3) Cada elemento es el inverso de su inverso, o sea, (a 1 ) 1 = a. Esto es consecuencia inmediata de las igualdades aa 1 = a 1 a =1 G y la unicidad del inverso. (4) Dados a, b G se tiene (ab) 1 = b 1 a 1,yaque (ab)(b 1 a 1 )=a(bb 1 )a 1 = aa 1 =1 G. (5) Dados a, b, c G tales que ab = ac se tiene b = c pues, multiplicando por la izquierda ambos miembros de la igualdad inicial por a 1,resulta b =(a 1 a)b = a 1 (ab) =a 1 (ac) =(a 1 a)c = c. Análogamente, si ba = ca entonces b = c. Esta propiedad se denomina cancelativa. (6) El conjunto Z de los números enteros con la operación suma es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro es 0 y en el que el inverso de cada a Z es a. Cuando en un grupo la operación es la suma decimos que empleamos notación aditiva, y al inverso de un elemento a lo llamamos opuesto de a y lo denotamos a. (7) Sea K un cuerpo. El conjunto K = K \{0} es un grupo abeliano con la operación multiplicación. Su neutro es 1 y el inverso de cada a K es 1/a. (8) Si X es un conjunto cualquiera, el conjunto Biy(X) de la biyecciones de X en sí mismo tiene estructura de grupo con la operación composición, debido a que cada aplicación biyectiva X X tiene inversa, que también es biyectiva. Dadas f,g Biy(X) sedefine fg : X X, x g(f(x)). Por supuesto, el elemento neutro de este grupo es la aplicación identidad id : X X, x x. Si X es finito, digamos con n elementos, el orden de Biy(X) eselnúmerodepermutaciones de n elementos, que por es n!, y se denota Biy(X) =S n. Definición 1.3 Un subconjunto H de un grupo G se dice subgrupo de G si, con la misma operación que G, es un grupo. Se comprueba inmediatamente que esto equivale a que 1 G H y ab 1 H para cada a, b H. Ejemplos 1.4 (1) Para cada grupo G,élmismoy{1 G } son subgrupos de G, denominados subgrupos triviales. (2) Es inmediato comprobar que si {H i : i I} es una familia de subgrupos de un grupo G, también H = i I H i es un subgrupo de G.

3 TEMA 8. GRUPOS 73 (3) Sea n un entero positivo. Se comprueba sin dificultad que el conjunto U n = {ζ k = e 2πki/n :0 k n 1} es un subgrupo con n elementos del grupo C de los números complejos no nulos. De hecho U n = {z C : z n =1}, en virtud de Se dice que U n es el grupo de las raíces n-ésimas de la unidad. Para terminar esta sección introducimos la clase de grupos más elemental, la de los grupos cíclicos, y presentamos una de sus propiedades fundamentales: todos sus subgrupos son también cíclicos. Definiciones y Observaciones 1.5 (Grupos cíclicos) (1) Dados un grupo G, un elemento a G y un entero positivo k, se define por recurrencia a k poniendo a 1 = a y a k = a k 1 a. Se comprueba directamente, por ejemplo por inducción, que a k = aa k 1. Además, definimos a 0 =1 G y a =(a 1 ) para cada entero negativo. Es inmediato comprobar ahora que a k a = a k+ para cada par de números enteros k, Z. (2) Se llama subgrupo cíclico generado por a al subgrupo a = {a k : k Z}. Por ejemplo, el grupo Z es cíclico, generado por 1. También U n es cíclico, generado por ζ = e 2πi/n. (3) Si el subgrupo a es finito se llama orden de a, y se denota o(a), al orden del grupo a. Setiene: o(a) =mín{k Z : k>0ya k =1 G }. En efecto, si denotamos r el mínimo de la derecha, los elementos 1 G,a,...,a r 1 a son distintos dos a dos, pues si a k = a con 0 k< r 1, entonces a k =1 G y 0 < k<r, contra la minimalidad de r. Estodemuestraqueo(a) r. Perodehechose da la igualdad, pues a = {1 G,a,...,a r 1 }. Para comprobar esto último, observamos que para cada k Z existe un entero m>0 tal que = k +mr > 0, y a k = a k (a r ) m = a.dividiendo entre r por defecto, existen enteros no negativos q, s tales que s<ry = qr + s. En consecuencia, a k = a = a qr+s = a s y 0 s r 1. (4) Sean G un grupo, a G y m un número entero tal que a m =1 G. Entonces m es múltiplo del orden de a. En efecto, denotamos n = o(a) y dividimos m = qn + r donde 0 r n 1. Entonces, 1 G = a m = a qn+r =(a n ) q a r = a r y por ser n mínimo entre los enteros positivos que cumplen a n =1 G deducimos que r = 0, esto es, m es múltiplo de n.

4 74 TEMA 8. GRUPOS Proposición 1.6 Todo subgrupo de un grupo cíclico es también cíclico. Demostración. Sean G un grupo cíclico, a G tal que G = a y H un subgrupo no trivial de G. Seak el menor entero positivo tal que a k H. Vamos a demostrar que H = a k, lo que prueba que H es cíclico. El contenido a k H es evidente. Recíprocamente, sea x H G. Existe por tanto un entero tal que x = a y, dividiendo entre k, deducimos que existen números enteros q, r tales que = qk + r y0 r<k. Entonces, x = a = a qk+r =(a k ) q a r, es decir, a r = x(a k ) q H, lo que contradice la elección de k, a menos que r = 0. Éste es pues el caso, y por tanto x =(a k ) q a k, como queríamos. Ejemplo 1.7 Se deduce de la proposición anterior que los subgupos del grupo Z de los números enteros son los subconjuntos de la forma nz, donde n es un entero positivo. 2. El Teorema de Lagrange El objetivo de esta sección es enunciar y demostrar el Teorema de Lagrange, que proporciona una fuerte obstrucción aritmética para que un entero positivo sea el orden de algún subgrupo de un grupo finito de orden dado. Definiciones y Observaciones 2.1 (Clases laterales) Sean G un grupo y H un subgrupo de G. (1) Se define en G la relación de equivalencia R H mediante: dados a, b G, decimos que a y b son congruentes por la derecha respecto de H, y escribimos ar H b, si y sólo si ab 1 H. Es inmediato comprobar que se trata de una relación de equivalencia. Además, la clase de un elemento a G está formada por aquellos b G congruentes por la derecha con a, esto es, los que cumplen ab 1 H o, equivalentemente, ba 1 =(ab 1 ) 1 = h H, es decir, b Ha = {ha : h H}. (2) Se define en G otra relación de equivalencia R H mediante: dados a, b G, decimos que a y b son congruentes por la izquierda respecto de H, y escribimos ar H b, si y sólo si a 1 b H. La clase de un elemento a G está formada por aquellos b G congruentes por la izquierda con a, esto es, los que cumplen a 1 b = h H, o sea, b ah = {ah : h H}. Se dice que {Ha : a G} y {ah : a G} son los conjuntos de clases laterales por derecha e izquierda, respectivamente, respecto de H.

5 TEMA 8. GRUPOS 75 (3) En general estas dos relaciones de equivalencia son distintas. En efecto, consideremos el grupo S 3 =Biy(X) de permutaciones de los tres elementos del conjunto X = {1, 2, 3}. Dos de dichas permutaciones son τ : X X, 1 2, 2 1, 3 3 y σ : X X, 1 2, 2 3, 3 1, cuyos órdenes son o(τ) =2yo(σ) = 3. Más aún, στ : X X, 1 1, 2 3, 3 2tiene orden 2, es decir, στστ = id, por lo que στσ = τ. Ahora consideramos el subgrupo H = {id,τ} de S 3. Las clases σh y Hσ son distintas pues, como στ = τσ 1 = τσ 2,setiene Hσ = {σ, τσ} mientras que σh = {σ, στ = τσ 2 }. (4) Supongamos que H es un subgrupo finito de un grupo G. Entonces todas las clases de equivalencia de G respecto de las relaciones R H y R H tienen el mismo número de elementos, que es el de H ya que, por la propiedad cancelativa, (5), las aplicaciones H Ha, h ha y H ah, h ah son biyecciones. Por ello ambos conjuntos cociente G/R H y G/R H tienen igual cardinal, que se denota [G : H] y se denomina í n d i c e de H en G. Teorema 2.2 (Teorema de Lagrange) Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G. Entonces, ord(g) = ord(h)[g : H]. En particular el orden de H es un divisor del orden de G. Demostración. El grupo G es unión disjunta de las clases de equivalencia respecto de la relación de equivalencia R H, luego su orden es la suma de los cardinales de cada clase. Así, la igualdad del enunciado se deduce de que [G : H] es el número de tales clases y cada una de ellas tiene ord(h) elementos. Del Teorema de Lagrange se deducen innumerables consecuencias. Destacamos las dos siguientes: Corolario 2.3 (1) Sean H y K subgrupos de un grupo finito G cuyos órdenes son primos entre sí. Entonces H K = {1 G }. (2) Todo grupo de orden primo es cíclico, y está generado por cualquiera de sus elementos distintos del neutro.

6 76 TEMA 8. GRUPOS Demostración. (1) Como H K es subgrupo de H ydek, su orden ha de dividir tanto al de H como al de K, esto es, ord(h K) = 1, luego H K = {1 G }. (2) Sean G un grupo de orden primo p y a G un elemento distinto del neutro. Así, el orden del subgrupo a divide a p y es distinto de 1, luego vale p y por ello G = a. 3. Grupos cociente y teoremas de isomorfía Definiciones y Observaciones 3.1 (Subgrupos normales) (1) Dados un subgrupo H de un grupo G y a G se llama conjugado de H vía a al subgrupo H a = a 1 Ha = {a 1 ha : h H}. Se dice en este caso que los subgrupos H y H a son conjugados. Para comprobar que H a es subgrupo de G basta observar que 1 G = a 1 1 G a y que dados b, c H a también bc 1 H a. Ahora bien, existen h 1,h 2 H tales que b = a 1 h 1 a y c = a 1 h 2 a, y como h 3 = h 1 h 1 2 H, resulta bc 1 =(a 1 h 1 a)(a 1 h 1 2 a)=a 1 (h 1 h 1 2 )a = a 1 h 3 a H a. Nótese que si H es finito también lo es H a y de hecho ambos tienen el mismo orden ya que la aplicación H H a,h a 1 ha es, por la propiedad cancelativa, (5), biyectiva. Es útil observar que dados a, b G se tiene (H a ) b = H ab. En efecto, (H a ) b = b 1 H a b = b 1 (a 1 Ha)b =(ab) 1 Hab = H ab. (2) Se dice que H es subgrupo normal de G si Ha = ah para cada a G. Equivalentemente, H a = a 1 Ha = H para cada a G. Por tanto, H es subgrupo normal de G si al conjugar H por cualquier elemento de G volvemos a obtener el subgrupo H. Si H es subgrupo normal de G escribiremos H G. (3) Sean H y N dos subgrupos de un grupo G tales que N G. Entonces el conjunto HN = {hn : h H, n N} es subgrupo de G. En efecto, dados x, y HN existen h 1,h 2 H y n 1,n 2 N tales que x = h 1 n 1 e y = h 2 n 2. Entonces, xy 1 = h 1 n 1 n 1 2 h 1 2 = h 1 nh 1 2, donde n = n 1n 1 2 N, y como N es subgrupo normal de G, setienenh 1 2 Nh 1 2 = h 1 2 N. Por tanto, existe n 3 N tal que nh 1 2 = h 1 2 n 3, luego xy 1 = h 1 nh 1 2 = h 1 h 1 2 n 3 HN.

7 TEMA 8. GRUPOS 77 Ejemplos 3.2 (1) Los subgrupos triviales de un grupo G son subgrupos normales de G. Un grupo cuyos únicos subgrupos normales son los triviales se denomina simple. (2) Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. (3) Sea H un subgrupo de índice 2 de un grupo G. Entonces H es subgrupo normal de G. En efecto, los conjuntos cociente G/R H y G/R H constan de dos clases, y una de ellas es H, luego la otra es G \ H, esdecirg/r H = {H, G \ H} = G/R H. Por tanto, dado a H se tiene ah = H = Ha, mientras que si a G \ H se tiene ah = G \ H = Ha. (4) La propiedad vista en (3) no es cierta en general si H y N son subgrupos no normales. Consideremos en el grupo S 3 de permutaciones de tres elementos, con las notaciones de 8.2.1, los subgrupos H = {id,τ} y N = {id,τσ}. Entonces, HN = {id,τσ,τ,σ}, que no es subgrupo de S 3, pues card(hn) = 4 no divide a 6 = ord(s 3 ). Definiciones y Observaciones 3.3 (Grupo cociente) Sea H un subgrupo normal de un grupo G. En tal caso las dos relaciones R H y R H coinciden, y al conjunto cociente (común) lo denotamos G/H. Se le dota de estructura de grupo de modo natural mediante la operación G/H G/H G/H, (Ha,Hb) HaHb = Hab. La normalidad de H es esencial para que la operación esté bien definida. En efecto, sean a, a 1,b,b 1 G tales que Ha = Ha 1 y Hb = Hb 1. Hemos de comprobar que Hab = Ha 1 b 1, o lo que es igual, ab(a 1 b 1 ) 1 H. Ahora bien, bb 1 1 = h 1 H y también aa 1 1 = h 2 H luego, como ah = Ha, ab(a 1 b 1 ) 1 = a(bb 1 1 )a 1 1 = ah 1 a 1 1 aha 1 1 = Haa 1 1 = Hh 2 = H. Una vez visto que la operación en G/H está bien definida comprobamos que G/H es un grupo. Se cumple la propiedad asociativa, ya que dados a, b, c H, (HaHb)Hc = HabHc = H(ab)c = Ha(bc) =HaHbc = Ha(HbHc). Además, H = H1 G es el elemento neutro, pues para cada a G se tiene (H1 G )Ha = H1 G a = Ha = Ha1 G = Ha(H1 G ), mientras que el inverso de Ha es Ha 1, porque (Ha)(Ha 1 )=H(aa 1 )=H1 G = H(a 1 a)=(ha 1 )(Ha). Obsérvese que si H es subgrupo normal de G el orden del cociente G/H es el índice [G : H]. Ejemplos 3.4 (1) Como Z es abeliano, su subgrupo nz es normal. Además, aunque tanto Z como nz son grupos infinitos, el cociente Z n = Z/nZ es finito, y de hecho tiene n

8 78 TEMA 8. GRUPOS elementos. En efecto, como la notación en Z es aditiva los elementos del cociente son las clases k + nz con k Z, y es inmediato comprobar que Z n = {k + nz :0 k n 1}. (2) Como C es un grupo abeliano, su subgrupo U n de raíces n-ésimas de la unidad es subgrupo normal. Puesto que C es infinito y U n es finito, también C /U n es infinito. (3) Si G es un grupo cíclico generado por a G y H es un subgrupo normal de G, el grupo cociente G/H es también cíclico, generado por la clase Ha. (4) Si H es un subgrupo (necesariamente normal) de un grupo abeliano G, elcocienteg/h es también abeliano, pues dados a, b G, setiene(ha)(hb)=hab = Hba =(Hb)(Ha). La siguiente proposición, cuya demostración omitimos pues es inmediata, describe cuáles son los subgrupos del grupo cociente G/H y cuáles de ellos son normales. Proposición 3.5 (Teorema de la correspondencia) Sean H un subgrupo normal del grupo G yseanσ H (G) y Σ(G/H) las familias formadas, respectivamente, por los subgrupos de G que contienen a H y los subgrupos del grupo cociente G/H. Entonces, la aplicación Σ H (G) Σ(G/H), K K/H es una biyección que envía los subgrupos normales de G que contienen a H sobre los subgrupos normales de G/H. Definiciones y Observaciones 3.6 (Homomorfismos de grupos) Sean G 1 y G 2 dos grupos. Una aplicación f : G 1 G 2 se denomina homomorfismo de grupos si f(ab) = f(a)f(b) para cada a, b G 1. (1) Se cumple que f(1 G1 )=1 G2. En efecto, basta simplificar en la igualdad 1 G2 f(1 G1 )=f(1 G1 )=f(1 G1 1 G1 )=f(1 G1 )f(1 G1 ). (2) Dado a G 1 se tiene f(a 1 )=f(a) 1,puesf(a)f(a 1 )=f(aa 1 )=f(1 G1 )=1 G2. (3) Sea a 1 G 1 un elemento de orden finito n. Entonces, el orden m de a 2 = f(a 1 ) también es finito y, en virtud de 8.1.5(4), m divide n, yaquea n 2 = f(a 1) n = f(a n 1 )=f(1 G 1 )=1 G2. (4) Para cada subgrupo H 1 de G 1 su imagen H 2 = f(h 1 ) es un subgrupo de G 2. En efecto, por un lado 1 G2 = f(1 G1 ) H 2. Por otro, dados a 2,b 2 H 2 existen a 1,b 1 H 1 tales que f(a 1 )=a 2 y f(b 1 )=b 2,ypuestoquea 1 b 1 1 H 1, tenemos a 2 b 1 2 = f(a 1 )f(b 1 ) 1 = f(a 1 )f(b 1 1 )=f(a 1b 1 1 ) f(h 1)=H 2. En particular, im f = f(g 1 ) es subgrupo de G 2.

9 TEMA 8. GRUPOS 79 (5) Para cada subgrupo H 2 de G 2 su preimagen H 1 = f 1 (H 2 ) es un subgrupo de G 1. En efecto, como f(1 G1 )=1 G2 H 2 deducimos que 1 G1 H 1. Además, si a 1,b 1 H 1 sus imágenes f(a 1 ),f(b 1 ) H 2,ypuestoqueH 2 es un subgrupo, f(a 1 )f(b 1 ) 1 H 2,esdecir f(a 1 b 1 1 ) H 2, o lo que es igual, a 1 b 1 1 H 1. Además, si H 2 G 2, entonces H 1 G 1. En efecto, hemos de probar que a 1 1 H 1a 1 = H 1 para cada a 1 G 1. Dado h 1 H 1, su imagen h 2 = f(h 1 ) H 2, y por ser H 2 normal, f(a 1 ) 1 h 2 f(a 1 ) H 2, o sea, f(a 1 1 h 1a 1 ) H 2, luego a 1 1 h 1a 1 H 1.Estopruebaque a 1 1 H 1a 1 H 1. Para probar el contenido recíproco aplicamos lo ya probado al elemento a 1 1 en vez de a 1, lo que nos proporciona a 1 H 1 a 1 1 H 1. Así H 1 = a 1 1 (a 1H 1 a 1 1 )a 1 está contenido en a 1 1 H 1a 1, y de este modo queda probada la igualdad a 1 1 H 1a 1 = H 1. En particular, ker f = {a G 1 : f(a) =1 G2 } = f 1 ({1 G2 }) es un subgrupo normal de G 1, llamado núcleo de f. (6) El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si ker f = {1 G1 }. En efecto, si f es inyectiva y a 1 ker f entonces f(a 1 )=f(1 G1 ), luego a 1 =1 G1. Recíprocamente, suponemos que ker f = {1 G1 }. Dados a 1,b 1 G 1 tales que f(a 1 )=f(b 1 )setiene f(a 1 b 1 1 )=f(a 1)f(b 1 1 )=f(b 1)f(b 1 1 )=f(b 1b 1 1 )=f(1 G 1 )=1 G2, por lo que a 1 b 1 1 ker f, o sea, a 1 b 1 1 =1 G1,estoes,a 1 = b 1. (7) Si el homomorfismo f es biyectivo la aplicación inversa f 1 : G 2 G 1 es también homomorfismo, y se dice que f es un isomorfismo. En tal caso decimos que los grupos G 1 y G 2 son isomorfos, lo que se denota G 1 = G2. En efecto, dados dos elementos a 2,b 2 G 2 denotamos a 1 = f 1 (a 2 )yb 1 = f 1 (b 2 ). Entonces f(a 1 )=a 2 y f(b 1 )=b 2, y como f es homomorfismo, a 2 b 2 = f(a 1 )f(b 1 )= f(a 1 b 1 ), o sea f 1 (a 2 b 2 )=a 1 b 1 = f 1 (a 2 )f 1 (b 2 ). Ejemplos 3.7 (1) Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a Z. En efecto, sea G = a un grupo cíclico infinito. Es inmediato que la aplicación f : Z G, n a n es un homomorfismo sobreyectivo. De hecho es también inyectivo, luego isomorfismo. En caso contrario existiría un entero no nulo n ker f. Entonces a n =1 G, luego o(a) = ord(g) sería finito, contra la hipótesis. (2) Dados grupos cíclicos G 1 = a y G 2 = b del mismo orden n, la aplicación f : G 1 G 2,a i b i es un isomorfismo. En efecto, está bien definida, pues si a i = a j entonces a j i =1 G1, es decir, j i es múltiplo de n. Por tanto, b j i = 1 G2, o sea, b i = b j. Además f es homomorfismo, ya que f(a i a j )=f(a i+j )=b i+j = b i b j = f(a i )f(a j ).

10 80 TEMA 8. GRUPOS Por último, para demostrar que f es biyectiva, y puesto que G 1 y G 2 tienen el mismo orden, es suficiente observar que es sobreyectiva, lo cual es evidente. Al igual que en el Álgebra Lineal, , también en la Teoría de Grupos disponemos de los llamados Teoremas de Isomorfía, con los que concluimos el tema. Proposición 3.8 (Primer Teorema de isomorfía) Para cada homomorfismo de grupos f : G 1 G 2, la aplicación f : G 1 / ker f im f, aker f f(a) es un isomorfismo de grupos. Demostración. La aplicación f está bien definida, pues si a 1 ker f = b 1 ker f entonces a 1 1 b 1 ker f, esdecir,1 G2 = f(a 1 1 b 1)=f(a 1 ) 1 f(b 1 ), o sea, f(a 1 )=f(b 1 ). Además f es homomorfismo, ya que f(a 1 ker f b 1 ker f) =f(a 1 b 1 ker f) =f(a 1 b 1 )=f(a 1 )f(b 1 )=f(a 1 ker f) f(b 1 ker f). Cada elemento a 2 im f es de la forma a 2 = f(a 1 )=f(a 1 ker f) para cierto a 1 G 1, luego f es sobreyectiva. Por último, si a 1 ker f ker f entonces 1 G2 = f(a 1 ker f) =f(a 1 ), esto es, a 1 ker f, o lo que es igual a 1 ker f =1 G1 ker f =1 G1 / ker f. Por tanto f es también inyectiva, luego isomorfismo. Proposición 3.9 (Segundo Teorema de isomorfía) Sean H y K subgrupos normales de un grupo G tales que H K. Entonces los grupos G/H K/H y G/K son isomorfos. Demostración. Basta aplicar el Primer Teorema de isomorfía al homomorfismo sobreyectivo G/H G/K, Ha Ka,cuyonúcleoesK/H. Proposición 3.10 (Tercer Teorema de isomorfía) Sean H y N subgrupos de un grupo G, de modo que N es subgrupo normal de G. Entonces los grupos H/(H N) y HN/N son isomorfos. Demostración. Sabemos por que HN es subgrupo de G, yn es subgrupo normal de HN, yaquen G. Tiene pues sentido considerar el grupo cociente HN/N yel homomorfismo φ : H HN/N, h hn cuyo núcleo es H N. Aplicando el Primer Teorema de isomorfía todo se reduce a probar la sobreyectividad de φ. Pero dado a HN existen h H y n N tales que a = hn, por lo que an = hnn = h(nn) =hn = φ(h), luego φ es sobreyectiva.