BLOQUE. Aprendizajes esperados

Transcripción

1 Las abejas almacenan miel en celdillas individuales que construyen con cera. Con ellas forman un mosaico, sin huecos ni salientes, de modo que aprovechan el espacio al máximo y ahorran material. BLOQUE 3 Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas. Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad. Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales. 122

2 Trabaja en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen. a) Qué figura representan las celdillas que hacen las abejas? Observa en la fotografía que es un polígono regular. Con qué otros polígonos regulares es posible hacer un mosaico con las mismas características? b) Araceli compró diez frascos de miel en el mercado, pero consiguió un descuento de $4.00 por cada uno. Si se representa con p el precio de cada frasco, qué expresiones indican lo que pagó Araceli? i) 10 p 4 ii) 10p 40 iii) 10(p 4) iv) p 4 10 v) 4p 10 c) Un apicultor (un criador de abejas) quiere envasar 50 galones de miel en frascos de ml. Cuántos frascos puede hacer? Cuánta miel sobrará? 123

3 Juegos y retos Cuatro cuatros Los números del 1 al 10 Puedes representar los números del 1 al 10 usando cuatro cuatros y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y raíz cuadrada? Por ejemplo: 1 = = Expresa los números del 3 al 10 de la misma forma. Recuerda usar exactamente cuatro cuatros y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y raíz cuadrada. Qué número pensó? José pensó un número, le sumó 4 y lo multiplicó por 4; obtuvo 44. Qué número pensó? Cuatro bloques Recuerdas los bloques que elaboraste en la página 82? x 2 x x x 1 x 1 1 Usa cuatro para representar la siguiente igualdad. x(x 2) x 2 2x 124

4 PISTAS Y ESTRATEGIAS Los números del 1 al 10 Analiza con tus compañeros las soluciones que encontraste. Argumenta por qué puede haber distintas soluciones para cada número. Verifiquen sus respuestas. Qué número pensó? Compara tus soluciones con las de tus compañeros. Comenten cómo las hallaron. Cuatro bloques Observa estos bloques blancos que pueden utilizarse para representar sustracciones de áreas, colocándolos encima de los de color. 1 1 x x x 2 x 2 Por ejemplo, para ilustrar la igualdad puedes emplear el siguiente esquema. x(x 1) = x 2 x x 1 x x 2 x Observa que el bloque x se coloca encima del bloque azul. El área azul que queda sin cubrir es x 2 + ( x) = x 2 x. 125

5 Lección 41 Jerarquía de las operaciones I Cuál es el resultado de ? PREGUNTA INICIAL de nuevo el reto 1 Lee le texto y observa las operaciones de Antonio. Antonio le mostró a Rita cómo representó los números del 1 al 10 con cuatro cuatros. 1 = = = = = = = = = = Rita le dijo a Antonio que la representación del 2 era incorrecta, porque = = = 8, pero que podía arreglarla escribiéndola como sigue: 2 = 4 4 (4 + 4) Contesta. a) Cómo hizo la operación Antonio? R. T. Primero hizo la multiplicación y la suma, después la división. b) Cuál es la diferencia entre la forma en que Rita y Antonio hacen la operación? R. T. Rita hace la suma al final, Antonio lo hace primero. c) Para qué sirven los paréntesis? R. T. Para indicar que la suma debe hacerse antes que la división. d) De acuerdo con lo que dice Rita, cuál es el resultado de ? 23 Por qué? R. T. Porque primero se hace la multiplicación y después se suma cinco. e) Cuál es el resultado de (5 + 3) 6? 48 Por qué? R. T. Porque el paréntesis indica que primero se debe hacer la suma. f) Rita dice que la representación de 3 está mal, porque = 16 1 = 15. Anota paréntesis en la expresión para que el resultado sea 3. ( ) 4 g) De acuerdo con lo que dice Rita, cuál es el resultado de 4 6 2? Por qué? R. T. Porque primero se hace la división y después la resta

6 Eje:. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Tema: Problemas multiplicativos h) Cuál es el resultado de (4 6) 2? 1 Por qué? Porque el paréntesis indica que primero se debe efectuar la resta y después la división. Comenta en equipo tus respuestas y discute sobre quién tiene razón: Rita o Antonio. Argumenten sus opiniones. 2 Estas operaciones están resueltas correctamente. Observa los resultados y contesta en tu cuaderno = = = = 13 a) Si en una expresión aritmética hay una sustracción y una multiplicación, qué operación se efectúa primero? La multiplicación. b) Si en una expresión aritmética hay una sustracción y una división, qué operación se efectúa primero? La división. c) Si en una expresión aritmética hay una adición y una multiplicación, qué operación se efectúa primero? La multiplicación. d) Si en una expresión aritmética hay una adición y una división, qué operación se efectúa primero? La división. Comenta en equipo tus respuestas. Discutan sobre la importancia de establecer un orden para efectuar las operaciones en una expresión aritmética. Recuerda Una expresión aritmética es la que relaciona números mediante las operaciones de adición, sustracción división multiplicación, potenciación o radicación. 3 Escribe en tu cuaderno las operaciones de Antonio que requieran paréntesis. Después, compara tus respuestas con las de tus compañeros y explica por qué es necesario el paréntesis. 4 Escribe paréntesis donde haga falta. a) 4 ( ) = 28 b) = 2 c) ( ) 5 1 = 24 d) ( ) 2 4 = 16 e) 9 ( ) = 3 f) = 21 g) ( 6 9 ) 3 = 6 h) ( ) = 7 i) 5 ( ) 2 = 38 j) = 48 7 k) = 2 l) ( ) Reúnete en equipo. Comparen sus respuestas y digan por qué son necesarios los paréntesis. 2.5 cm 5 Encierra la operación correcta. Área = cm Área = [( ) 3] 2 Área = 5 + (2.5 3) 2 Área = (3 2) 5 cm En equipo justifiquen por qué las otras expresiones son incorrectas. 6 Responde en equipo la pregunta inicial. Justifiquen su respuesta. Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios 1.3 cm 127

7 Lección 42 Jerarquía de las operaciones II Cuál es el resultado de 3 (4 5)? PREGUNTA INICIAL 1 Presiona la siguiente secuencia de teclas en una calculadora a) Investiga el resultado de tus compañeros. Todos obtuvieron lo mismo? R. P. Por qué? Coméntalo en grupo y escribe tu conclusión. R. P. b) Subraya la expresión que efectuaste en calculadora ( ) 25 c) Opera la otra expresión con calculadora. d) Dibuja las secuencias de teclas que correspondan en cada caso. La calculadora respeta el orden de las operaciones La calculadora no respeta el orden de las operaciones = = = ± = = MR = 0 = M = M ( ) MR = 8 1 = M+ 3 5 MR 8 1 = M (8 1) = = MR e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Compruébenlas usando varias calculadoras. Comenten con sus compañeros cómo hacer las operaciones correctamente en las calculadoras que no respetan el orden. Anoten sus conclusiones. R. P. 128

8 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 2 Observa las figuras y contesta en tu cuaderno. a) Qué expresión indica el área de cada figura? A B A (4 + 2) cm B b) En qué caso se efectúa primero una adición? Por qué? c) En qué caso se efectúa una adición al final? Por qué? 4 cm 4 cm 2cm 3 Resuelve las operaciones y contesta en tu cuaderno. a) = 1 b) = 3 c) En qué caso se efectúa primero la sustracción? Por qué? d) En qué caso se efectúa la sustracción al final? Por qué? 4 Resuelve las operaciones y contesta en tu cuaderno. a) 4 3 = 6 b) = 1 c) = d) Qué operación se debe hacer primero en el inciso a)? e) Qué operación se efectúa al final en el inciso b)? f) Qué operaciones se efectúan primero en el inciso c)? El orden en que se efectúan las operaciones en una expresión se llama jerarquía de las operaciones. Según la jerarquía de las operaciones, estas se deben efectuar, de izquierda a derecha, en el siguiente orden: 1. Potenciaciones y radicaciones 2. Multiplicaciones y divisiones 3. Adiciones y sustracciones 5 Contesta en tu cuaderno. a) El resultado de (4 5) + 3 es igual que el resultado de 4 (5 + 3)? b) El resultado de (8 4) 3 es igual que el resultado de 8 (4 3)? 6 Las siguientes operaciones se resolvieron correctamente. Observa los resultados y contesta en tu cuaderno a) = 2 b) = 7 c) 8 4 ( 2) = 4 d) 16 ( 4 2) = 8 e) En qué orden se efectuaron las operaciones en cada inciso? No No Reúnete con un compañero. Comparen sus respuestas y escriban en sus cuadernos en qué orden se efectúan las operaciones en una expresión algebraica donde hay dos o más con la misma jerarquía. Expongan sus conclusiones ante el grupo. 7 Resuelve la pregunta inicial y justifica tu respuesta utilizando la jerarquía de las operaciones. Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios 129

9 Lección 43 Problemas multiplicativos I Por qué 4 58 es igual que ? PREGUNTA INICIAL 1 Observa la figura y haz lo que se indica. Un trabajador pinta de azul una pared rectangular de las medidas que se muestran en la figura. a) Completa. La altura de la pared es 7 m ; su área, 35 m 2 ; 3 m el área pintada, 20 m 2 ; y la que falta por pintar, 15 m 2. b) Subraya las expresiones que permitan obtener el área de la pared. 5 (3 + 4) m c) Escribe donde corresponda las expresiones que subrayaste. 5 m Área de la pared base por altura es igual a área pintada + área que falta pintar 5 (3 + 4) es igual a d) Completa la expresión de acuerdo con la igualdad que anotaste en el inciso anterior. 5 7 = e) Observa que en el inciso c) anotaste que el producto de un número por una adición es igual que la adición de dos multiplicaciones. Qué características tienen las multiplicaciones de la segunda columna? R. T. Ambas tienen como factor al número que multiplica la adición; los otros factores son los sumandos. f) Cualquier multiplicación de un número por una adición puede expresarse como una adición de multiplicaciones? Sí. Por qué? R. P. 2 Escribe las siguientes expresiones como una adición de multiplicaciones. a) 5 (23 + 4) = b) 6 (12 + 8) = Anota el procedimiento que seguiste y compáralo con los de tus compañeros. R. P. 130

10 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 3 Haz lo que se pide. Se va a construir una casa en el terreno rectangular representado en el dibujo. El rectángulo coloreado se destinará a las habitaciones y el resto será el patio. a) Completa. El área total del terreno es 165 m 2 ; el área dedicada al patio, 11 y m 2 ; la altura del rectángulo que forma el piso de las habitaciones, (15 y) m ; y el área del piso de las habitaciones, 11 (15 y) m 2 15 m y b) Subraya las expresiones con las que se obtenga el área de la superficie destinada a las habitaciones. 11 m 11 (15 y) y y y y c) Escribe donde corresponda las expresiones que subrayaste. Área de la superficie dedicada a las habitaciones base por altura es igual a área del terreno menos área del patio 11 (15 y) es igual a y d) Observa que en el inciso c) anotaste que el producto de un número por una sustracción es igual que la sustracción de dos multiplicaciones. Qué características tienen las multiplicaciones de la segunda columna? R. T. Ambas tienen como factor al número que multiplica la sustracción; los otros factores son los términos de la resta. e) Cualquier multiplicación de un número por una sustracción puede expresarse como una sustracción de multiplicaciones? Sí. Por qué? R. P. 4 Escribe las siguientes expresiones como una sustracción de multiplicaciones. TIC En matcom2-131 encontrarás actividades interactivas. Plantea dos expresiones aritméticas y resuélvelas en tu cuaderno usando un esquema como el que se utiliza en esta página. a) 8 (15 4) = b) 6 (12 8) = Anota el procedimiento que seguiste para efectuar lo anterior y compáralo con los de tus compañeros. R. P, 5 Responde con tus compañeros la pregunta inicial. Justifiquen su respuesta aplicando lo que aprendieron en esta lección. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios 131

11 Lección 44 b Problemas multiplicativos II Cuál es el resultado a de (x + 5)(x 2)? c c PREGUNTA INICIAL d 1 Expresa el área de las figuras. I II III n 2 y y 5 p x m q x A = 5 (m + n) A = q (p + 2) A = (x + y) (x + y) 2 Trabaja con tres o cuatro compañeros. Comparen sus respuestas de la actividad anterior y contesten. a) Qué expresiones son monomios? R. P. b) Tuvieron respuestas diferentes? Cuáles? R. P. c) Expresen las áreas de las figuras como el producto de la base por la altura y como la suma de monomios. Área Figura Base por altura = Suma de monomios I (m + n) 5 = 5m + 5n II q (p + 2) = qp + 2q III (x + y) (x + y) = x 2 + xy + xy + y 2 3 Explica por qué es correcta la siguiente igualdad. Observa la figura. 5 2 (y + 2)(y + 5) = y 2 + 7y + 10 R. T. El primer miembro es el producto de la base por la altura; el segundo, la suma de las áreas de cada figura. y y Reúnete en equipo. Utilicen las explicaciones que anotaron en la actividad 3 para elaborar una explicación lo más completa posible y expónganla ante el grupo. 132

12 4 Elabora un modelo geométrico 5 en el que se muestre que la igualdad es correcta. m m + 25 = (m + 5)(m + 5) y 5 y m m Compara tu modelo geométrico con el de tus compañeros. Determinen cuáles son correctos. 5 Anota lo que se pide. c a) Área total como producto de la base por la altura a b (c + d) (a + b) b) Área como la suma de los cuatro rectángulos que forman el rectángulo mayor. ac + ad + bc + bd d 6 Escribe las expresiones como suma de dos multiplicaciones y contesta. a(c + d) = ac + ad b(c + d) = bc + bd La expresión (a + b)(c + d) puede escribirse como la suma de las expresiones que anotaste? Sí. Por qué? R. P. Un producto de la forma (x + a)(x + b) puede expresarse con un polinomio de tres términos. 7 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Corrígela si es necesario y justifícala con una figura.1 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios 133

13 Lección 45 Binomios al cuadrado Cuál es el resultado de (x + 2) 2? PREGUNTA INICIAL 1 Anota lo que se pide. En la ilustración se muestra la maqueta de un departamento. Observa que tiene forma cuadrada. x sala x cocina baño y recámara y a) La medida lateral del departamento. x + y b) Una expresión algebraica que represente el área del departamento con un producto. (x + y)(x + y) Recuerda Los términos semejantes tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo: 3x y 7x son semejantes. c) La expresión algebraica que representa el área de la sala. d) La expresión algebraica que representa el área de la recámara. xy e) La expresión algebraica que representa el área del baño. x 2 y 2 f) La expresión algebraica que representa el área de la cocina. xy g) El área del departamento como la suma de las cuatro áreas anteriores. Simplifica los términos semejantes. x 2 + 2xy + y 2 134

14 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Si obtuviste el área del departamento con dos expresiones distintas, estas expresiones son equivalentes. 2 Construye en tu cuaderno un cuadrado de 5 cm de lado y contesta. a) Si se aumentan 2 cm a cada lado del cuadrado, cuánto aumenta su área? 24 cm 2 b) Si se aumentan x cm a cada lado, cuánto aumenta su área? 10x + x 2 Recuerda (a + b)(a + b) = (a + b) 2 ab + ab = 2ab 3 Haz, con un compañero, lo que se pide. Los rectángulos azules miden x de largo y y de ancho. a) Expliquen, con base en la figura, por qué esta igualdad es correcta. (x y) 2 = (x + y) 2 4xy R. T. El área del cuadrado pequeño (x y) 2 es igual al área del cuadrado grande (x + y) 2 menos las cuatro áreas de los rectángulos azules (4xy). 4 Haz con un compañero lo que se indica. a) En la expresión (x y) 2 = (x + y) 2 4xy sustituyan (x + y) 2 por x 2 + 2xy + y 2. b) Reduzcan los términos semejantes del lado derecho de la ecuación. Escriban qué obtuvieron. Recuerda Un binomio es la suma o resta de dos términos. (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 5 Escribe el área de cada figura con un binomio al cuadrado. a) b) 28xy 16 25a 2 15ab 49x 2 y 2 28xy 15ab 9b 2 A = (7xy + 4) 2 A = (5a + 3b) 2 TIC En matcom2-135 encontrarás videos relacionados con binomios al cuadrado. Haz un comentario sobre los videos en tu cuaderno. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios 135

15 Lección 46 Producto de binomios con término común PREGUNTA INICIAL Puedes expresar el producto de como la diferencia de dos números elevados al cuadrado? 1 Observa la figura y contesta. 7 Un taller de hojalatería y pintura se divide en cuatro secciones. 3 bodega x oficinas sección de pintura hojalatería x y a) Cuál es el área de la bodega? 21 b) Y cuál es la expresión algebraica que representa el área de las oficinas? 3x c) Cuál es la que representa el área de la sección de hojalatería? d) Y la que representa el área de la sección de pintura? 7x e) El taller tiene forma rectangular. Cuál es la expresión algebraica que representa su base? x + 7 f) Y la que representa su altura? x + 3 g) Expresa el área del taller como la suma de las áreas de cada sección. Reduce los términos semejantes. x x + 21 h) Escribe el área del taller como el producto de la base y la altura. (x + 7)(x + 3) Comenta en equipo cómo obtuviste las respuestas anteriores. Corrijan sus errores, si es el caso. x 2 x Los binomios (x + a) y (x + b) son binomios con término común. El término común es x, que aparece en ambos binomios; a y b son los términos no comunes. x + a El área del rectángulo de lados (x + a) y (x + b) está dada por el producto (x + a)(x + b), pero también puede calcularse sumando las áreas de los rectángulos más pequeños: x 2, ax, bx y ab. x b x 2 bx ax ab x + b (x + a)(x + b) = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + (a + b)x + ab x a 136

16 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 2 Haz lo que se pide. Un terreno tiene una parte cultivable y otra destinada a bodega. La zona destinada a bodega es el cuadrado de lado y. x a) Anota el área de todo el terreno. x 2 b) Escribe el área de la zona de bodega. y 2 x c) Escribe el área de la región cultivable. x 2 y 2 y y Observa que, quitando la zona de bodega, la región cultivable puede transformarse en un rectángulo. x x y d) Anota, en términos de x y y, el valor de la altura del rectángulo construido. x y e) Escribe, en términos de x y y, el valor de su base. x y + 2y = x + y f) Expresa el área de la zona cultivable como el producto de la base y la altura del rectángulo construido. (x y)(x + y) Trabaja en equipo. Expliquen cómo hallaron sus respuestas e identifiquen las expresiones algebraicas equivalentes. y Observa que en los incisos c) y f) obtuviste expresiones equivalentes. En general, si a y b son dos números cualesquiera, a 2 b 2 = (a + b)(a b). 3 Responde en equipo la pregunta inicial. Justifiquen su respuesta con un esquema. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios 137

17 Lección 47 Ángulos interiores de polígonos En cuál de estos pentágonos la suma de los ángulos interiores es mayor? PREGUNTA INICIAL Recuerda Los ángulos interiores o internos de un polígono son los que forman sus lados y su abertura está dentro del polígono. 1 Analiza la siguiente situación y contesta en tu cuaderno. a) A un carpintero le encargaron una mesa con la forma que se representa. Le falta la medida de un ángulo interior. Cuál es la medida del ángulo que falta? Traza una diagonal en cada cuadrilátero y contesta en tu cuaderno. a) En cuántos triángulos se dividió cada cuadrilátero? En 2. b) Qué puedes decir de los ángulos internos de los triángulos en relación con los del cuadrilátero? R. T. Que suman lo mismo que los del cuadrilátero. c) Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un triángulo? 180 d) Y las de un cuadrilátero? 360 Comenta tus respuestas con un compañero. Son válidas para cualquier cuadrilátero? 3 Traza todas las diagonales desde un vértice de cada pentágono. Observa el ejemplo. a) En cuántos triángulos quedó dividido cada pentágono? En tres. b) Es posible determinar la suma de las medidas de los ángulos interiores de todos los triángulos? Por qué? c) Cuál es la relación entre la suma de las medidas de los ángulos interiores de todos los triángulos y la suma de las medidas de los ángulos interiores del pentágono? Por qué? R. T. Ambas sumas son iguales, pues los ángulos se corresponden. Comenta tus respuestas en equipo. Hagan una conclusión acerca de cuánto vale la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier pentágono y expónganla ante el grupo. 138

18 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 4 Traza en tu cuaderno los polígonos que se mencionan en la tabla. Después traza las diagonales desde un vértice de cada polígono, colorea los triángulos que obtengas y completa la segunda y tercera columnas de la tabla. Polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Número de lados Número de triángulos en que quedó dividido Suma de los ángulos interiores a) Reúnete en equipo. Analicen sus figuras y las respuestas de la tabla. Después discutan lo siguiente y contesten en sus cuadernos. i) Qué relación hay entre el número de lados de cada polígono y los triángulos en que quedó dividido? R. T. La cantidad de triángulos se obitene restando 2 a la de lados. ii) En cada polígono, qué relación hay entre la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos y la suma de los ángulos interiores del polígono? iii) Es posible determinar cuál es la suma de los ángulos interiores del polígono? iv) Es posible dividir cualquier polígono en triángulos con el mismo procedimiento? v) En cuántos triángulos hubiera quedado dividido un nonágono? Por qué? vi) En cuántos triángulos hubiera quedado dividido un polígono de n lados? Por qué? n 2, pues la cantidad de triángulos se obtiene restando 2 a la de lados. b) Propongan un método para llenar la última columna de la tabla. Expónganlo ante el grupo y después completen la tabla. c) Analicen la siguiente información y compárenla con el método que hallaron en el inciso anterior. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados puede calcularse con la fórmula S = 180 (n 2), donde S denota la suma de las medidas de los ángulos y n, el número de lados. 5 Completa la tabla. Polígono Número de lados Nonágono 9 Undecágono 11 Dodecágono 12 Tridecágono 13 Suma de los ángulos interiores Revisa con un compañero tu respuesta de la actividad 1. Determinen si es correcta o corríjanla si es necesario. También contesten la pregunta inicial y justifiquen su respuesta teniendo en cuenta lo que aprendieron en la lección. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono Observa Anota en tu cuaderno la suma de los ángulos interiores de los polígonos de tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho y nueve lados. Los números forman una sucesión. Cuál es la regla de esa sucesión? 139

19 Lección 48 Teselados I PREGUNTA INICIAL Con qué triángulos se puede cubrir el plano sin superponerlos ni dejar espacios vacíos? 1 Efectúa lo siguiente con un compañero. a) Reproduzcan diez veces en papel o cartulina cada uno de estos polígonos. b) Cubran una parte de la superficie de una mesa con los diez triángulos. Se trata de que no superpongan ninguno ni dejen espacios vacíos entre ellos. c) Efectúen la misma actividad con el cuadrilátero y con el pentágono. d) Con qué polígono no pudieron efectuar la actividad? R. T. Con el pentágono. Por qué fue así? R. P. Comenten sus respuestas con otras parejas del grupo. Busquen una explicación de por qué no se pudo cubrir el plano con una de las figuras. Un teselado es una colección de figuras que cubren el plano sin dejar huecos ni superponerse. 2 Traza en tu cuaderno un triángulo y un cuadrilátero. Intercámbialos con un compañero, reproduce cada uno seis veces y elabora un teselado. a) Pudiste generar un teselado con el cuadrilátero de tu compañero? Sí. b) Pudiste generar un teselado con el triángulo de tu compañero? Sí. c) Investiga qué sucedió con otras parejas del grupo. d) Crees que es posible hacer un teselado con cualquier triángulo? Sí. Por qué? R. P. e) Crees que es posible hacer un teselado con cualquier cuadrilátero? Sí. Por qué? R. T. Porque cuando se unen los cuatro vértices se forma un ángulo de 360 y se cubren todos los huecos. Comenta tus respuestas con el resto del grupo. 140

20 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 3 Trabajen en equipo para efectuar lo siguiente. Contesten en sus cuadernos. a) Elaboren teselados con los siguientes polígonos regulares. b) Anoten con cuáles polígonos sí fue posible elaborar un teselado. c) Anoten con cuáles polígonos no fue posible elaborar un teselado. d) Discutan cuáles son las características de los polígonos con los que sí pudieron hacer teselados. Anoten sus conclusiones. e) Qué características tienen los triángulos y los cuadriláteros por las que siempre es posible elaborar un teselado con ellos? Compartan sus conclusiones en grupo y determinen cuáles son correctas. 4 En equipo contesta lo siguiente en tu cuaderno. Después determinen cuáles son las respuestas correctas en grupo. a) Cómo puede determinarse cada ángulo interior de un polígono regular? 5 Completa las tablas y contesta en tu cuaderno. Figura triángulo equilátero cuadrado pentágono regular hexágono regular heptágono regular Medida del ángulo interior Figura Medida del ángulo interior 60 octágono regular nonágono regular decágono regular undecágono regular dodecágono regular 150 a) Con qué polígonos anteriores es posible hacer un teselado? Por qué? b) Los ángulos interiores de un polígono regular de trece lados son mayores o menores que los de un decágono? c) Hay otro polígono regular con el que se puedan hacer teselados? Por qué? TIC Puedes aprender más sobre este tema en com.mx/ matcom Escribe en tu cuaderno qué más aprendiste sobre teselados. 6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano 141

21 Lección 49 Teselados II Se puede hacer un teselado con octágonos y cuadrados? PREGUNTA INICIAL 1 Observa los teselados y contesta. a) i) Qué figuras forman este teselado? Pentágonos regulares y rombos. ii) Si conoces las medidas de los lados de los pentágonos, cómo se pueden determinar las medidas de los lados del rombo? R. T. Los lados de los rombos miden lo mismo que los del pentágono. iii) Cuánto miden los ángulos del rombo? 36 y 144. Cómo lo determinaste? R. T. Los ángulos de los pentágonos miden 108 y suman 360 con los del rombo. Entonces, se resta y b) i) Qué figuras forman el teselado? Octágonos regulares, cuadrados y hexágonos. 142 ii) Cuánto miden los ángulos del hexágono? 90 y 135.

22 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos c) i) Qué polígonos generan el teselado? R. T. Triángulos y hexágonos. ii) Si el triángulo es equilátero, el hexágono es regular? Sí. Cómo lo sabes? R. T. Sus lados son iguales, pues coinciden con los del triángulo; además, sus ángulos miden 120, ya que dos ángulos del hexágono opuestos por el vértice suman 360 con dos del triángulo. Los teselados generados con dos o más polígonos regulares son teselados semirregulares. 2 Traza un teselado semirregular en tu cuaderno y contesta. 3 Contesta en tu cuaderno. Después comenta tu respuesta con tus compañeros y el profesor. a) Qué características deben cumplir dos polígonos regulares para poder formar un teselado semirregular? 4 Observa el siguiente teselado con un pentágono irregular. Reúnete en equipo para contestar en tu cuaderno. a) Si el ángulo mayor del pentágono mide 144, cuánto miden los demás? Calcúlenlo sin medirlos. b) Cómo calcularon las medidas de los ángulos? Qué propiedades cumplen para que se pueda hacer un teselado con el polígono? 5 Busca en equipo una respuesta para la pregunta inicial. Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano TIC Si quieres saber más sobre la obra de Escher, entra al sitio com.mx/ matcom Investiga sobre otros trabajos de Escher y comenta qué figuras geométricas aparecen en algunas de sus obras. 143

23 Juegos y retos Teselados Observa estas obras del artista holandés Maurits Cornelis Escher ( ). Ambas creaciones son teselados. Como puedes ver, estos teselados de Escher se construyeron con una sola figura, rotándola o aplicándole simetría. En las siguientes imágenes se observan ejemplos de teselados. Los teselados también se pueden formar con dos o más figuras distintas. 144

24 Observa cómo los siguientes cuadrados se dividieron en polígonos iguales. PISTAS Y ESTRATEGIAS Los polígonos anteriores pueden servir para hacer teselados. Por ejemplo, del segundo cuadrado obtenemos este teselado. Traza cuadrados sobre una cuadrícula y divídelos en figuras iguales. Usa las figuras para formar teselados. Si obtienes figuras simples, puedes complicarlas poco a poco, como en el siguiente ejemplo. 145

25 Lección 50 Unidades de volumen PREGUNTA INICIAL Cuál es el volumen, en metros cúbicos, de un recipiente con forma de prisma rectangular que mide 10 cm 20 cm 40 cm? La unidad principal para medir el volumen es el metro cúbico. Este tiene múltiplos y submúltiplos. kilómetro cúbico Múltiplos hectómetro cúbico decámetro cúbico Unidad principal metro cúbico decímetro cúbico Submúltiplos centímetro cúbico milímetro cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1 Lee las definiciones de metro cúbico, decímetro cúbico y centímetro cúbico en la página 100 y escribe una definición de kilómetro cúbico. R. T. El kilómetro cúbico es el volumen de un cubo cuya arista mide un kilómetro. 2 Observa la figura, revisa la actividad 2 de la página 100 y contesta. 1 cm 1 dm a) Cuántos centímetros cúbicos equivalen a 1 dm 3? 1000 cm 3. b) Y a 5 dm 3? 5000 cm 3. c) Qué parte de 1 dm 3 es 1 cm 3? R. T. Una milésima parte. d) Cómo se pueden convertir decímetros cúbicos en centímetros cúbicos? R. T. Multiplicándolos por e) Y centímetros cúbicos en decímetros cúbicos? R. T. Dividiéndolos entre f) A cuántos milímetros cúbicos equivale un centímetro cúbico? A Por qué? R. T. Porque en un cubo cuya arista mide 1 cm caben 1000 mm 3, ya que = g) A cuántos milímetros cúbicos equivale un decímetro cúbico? A Por qué? R. T. Porque en un centímetro cúbico hay 1000 mm 3 y en un decímetro cúbico hay 1000 cm 3 y = h) Cómo se pueden convertir decímetros cúbicos en milímetros cúbicos? R. T. Multiplicándolos por

26 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida i) Y milímetros cúbicos en decímetros cúbicos? R. T. Dividiéndolos entre j) Si un decámetro cúbico es el volumen de un cubo de 10 m de arista, a cuántos metros cúbicos equivale? A 1000 m 3. k) Si un hectómetro cúbico es el volumen de un cubo de 100 m de arista, a cuántos decámetros cúbicos equivale? A 1000 dam 3. l) A cuántos metros cúbicos equivale un hectómetro cúbico? A m 3. Por qué? R. T. Porque 1 hm 3 equivale a 1000 dam 3 y 1 dam 3, a m 3. Entonces, 1 hm 3 = m 3 porque = m) A cuántos hectómetros cúbicos equivale un kilómetro cúbico? A Por qué? R. T. Porque en un cubo cuya arista mide un hectómetro caben 1000 cubos de un decámetro de arista, pues = n) A cuántos metros cúbicos equivale un kilómetro cúbico? A Por qué? R. T. Porque = Escribe en tu cuaderno un procedimiento para saber a cuántos metros cúbicos equivale un volumen expresado en una unidad mayor que un metro cúbico. 4 Escribe en tu cuaderno un procedimiento para saber a cuántos metros cúbicos equivale un volumen expresado en una unidad menor que un metro cúbico. Comenta tus procedimientos en grupo. Determinen cuáles son correctos. 5 Resuelve los siguientes problemas. a) En algunos países se utiliza el sistema de medidas inglés. En este sistema se utiliza la yarda cúbica como unidad de volumen. Si una yarda equivale a m, a cuántos centímetros cúbicos equivale una yarda cúbica? Equivale a cm 3. b) El peso específico del acero es kg/m 3. Es decir, un metro cúbico de acero tiene un peso de kg. i) En una máquina se usará un balín de acero cuyo volumen es de 2 cm 3. Cuál es el peso del balín? El peso es de kg. ii) Cuál es el peso de una lámina de acero de 10 m 2 y 1 mm de espesor? El peso es 78.5 kg. 6 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Expresen el resultado en metros y decímetros cúbicos y comprueben que se cumpla la equivalencia. Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera 147

27 Lección 51 Unidades de capacidad PREGUNTA INICIAL Cuántos litros caben en una cisterna con forma de prisma rectangular que mide 1 m 2 m 4 m? Los envases de la derecha tienen 1 L de capacidad. El litro es la unidad principal de capacidad. También tiene múltiplos y submúltiplos. Múltiplos Unidad principal Submúltiplos kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal L dl cl ml 1 dal equivale a 10 L; 1 hl, a 100 L; y 1 kl, a L. 1 dl es la décima parte de 1 L; 1 cl, la centésima parte; y 1 mililitro, la milésima parte. 1 Haz en equipo lo siguiente. Observa Deben identificar hasta dónde llenar el recipiente para que su contenido sea un litro. a) Construyan un decímetro cúbico de cartulina sin una de sus caras. b) Consigan un envase de 1 L. c) Consigan arena, harina, azúcar u otro material parecido. d) Llenen el recipiente de 1 L y vacíen el contenido en el cubo. 1l l 1 dm 1 dm3 1 dm 1 dm 1 dm e) Comparen sus resultados con los de los otros equipos. Un litro y un decímetro cúbico tienen la misma capacidad. 2 Completa las expresiones. 1 L = 1 dm 3. Entonces, 1 L = 1000 cm 3 148

28 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 3 Escribe los valores que faltan. L cm a) A qué submúltiplo del litro equivale un centímetro cúbico? Al mililitro. Por qué? R. T. Porque el litro equivale a un decímetro cúbico y este es equivalente a 1000 centímetros cúbicos. 4 Contesta. a) En la etiqueta de un jarabe para la tos dice que el contenido es 100 ml. i) Cuántos centímetros cúbicos de jarabe contiene el frasco? Contiene 100 cm 3. ii) Sería mejor expresar el contenido del frasco en litros? R. P. Por qué? R. P. b) En una tienda venden un tinaco con capacidad de 5 m 3. Qué ventaja tiene expresar esta capacidad en m 3 y no en litros? R. T. Se requieren menos cifras, ya que cinco metros cúbicos equivalen a 5000 litros. c) El lago de Yuriria, en el estado de Guanajuato, contiene un volumen de agua de aproximadamente km 3. Qué ventaja tiene expresar esta capacidad en km 3 y no en litros? R. T. Se requieren menos cifras, pues un kilómetro cúbico equivale a un billón de litros. d) El lago de Pátzcuaro, en Michoacán, contiene L aproximadamente. Con qué unidad expresarías esta cantidad para que tuviera el menor número de cifras? km 3 Por qué? R. T. Porque solamente son 12 km 3. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analícenlas. Corrijan sus errores si es necesario. Después establezcan cuáles son las principales equivalencia entre las unidades de volumen y capacidad y anótenlas en sus cuadernos y justifíquenlas. 5 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Lleguen a un acuerdo sobre la solución correcta. Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera 149

29 Lección 52 Problemas de capacidad y volumen Qué otras unidades de peso y capacidad conoces? PREGUNTA INICIAL 1 Resuelve los problemas. Puedes usar calculadora. a) En una casa se utilizan L de agua diariamente en promedio. Si tienen una cisterna de 4.5 m 3, para cuántos días les alcanza este líquido? Para 3 días. b) En una fábrica una tubería con fuga deja escapar cada segundo una gota de 1 ml. Cuántos litros se pierden en un día? Se pierden 86.4 L c) 1 L de agua pura pesa 1 kg a nivel del mar. Cuánto pesa 1 cm 3? Expresa tu respuesta en la unidad que consideres adecuada. Pesa 1 g 46 cm d) En una construcción se necesita hacer una viga de hormigón como la de la figura. Cuántos kilogramos de hormigón son necesarios? Ten en cuenta que 1 cm 3 de hormigón pesa 2.5g cm Se necesitan 61.5 kg de material. 4 cm 2 cm 14 cm e) Se quiere llenar de tierra la jardinera que se representa en el dibujo. Se requiere más o menos de un metro cúbico de tierra? 3 m 3 cm 47 cm Se requiere menos de 1 m 3 f) A un puerto va a llegar un barco con m 3 de petróleo. Cuántos camiones cisterna de 150 hl se requieren para transportar su carga? Se requieren camiones. g) Un barril de petróleo son L. Cuántos barriles de petróleo transporta el barco del problema de inciso f)? Transporta barriles. h) Una taza es una unidad de medida que se usa en cocina y equivale a 237 ml. Cuántas tazas pueden llenarse con 5 dm 3 de agua? Pueden llenarse 21 tazas. 150

30 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida i) Una cucharada es otra unidad que se utiliza en cocina y equivale a 15 ml. A cuántas cucharadas equivale una taza? Equivale a 15.8 cucharadas. j) El quilate de orfebrería es una unidad que se utiliza para medir la pureza de las 1 aleaciones de metales. Un quilate equivale a 24 de la masa total de la aleación. Por ejemplo, si una aleación es de oro de 18 quilates, de la misma son oro puro. k) Una barra de oro de 15 quilates tiene la forma y las medidas que se muestran en la ilustración. Si un centímetro cúbico de oro pesa 19.3 gramos, cuántos gramos de oro puro tiene la barra? 5 cm Tiene g de oro. 12 cm 4 cm l) Supón que hay millones de kilómetros cúbicos de agua en el mundo. De eso, 97.4 % es agua salada; 2.57%, agua congelada y subterránea; y solo 0.014%, agua dulce superficial. Cuántos hectómetros cúbicos son de agua dulce de la superficie? hm 3 son agua dulce de la superficie. m) Supón que el gasto diario de agua por persona en la Ciudad de México es de 300 L al día. De cuántos metros cúbicos es el gasto anual por persona? Es de m 3 al año. n) Juan compró una pecera como la que se ilustra. También compró una solución llamada anticloro para eliminar el cloro del agua y evitar que este dañe a los peces. Según el frasco de anticloro se deben agregar dos gotas por cada litro de agua. Cuántas gotas de anticloro debe agregar Juan a la pecera? 20 cm 15 cm Debe añadir 18 gotas. 30 cm 2 Revisa de nuevo el problema c) de la página 123 y resuélvelo. Ten en cuenta que un galón equivale a L. 3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera 151

31 Lección 53 Función y = kx Si a es igual a 5b, a y b son directamente proporcionales? PREGUNTA INICIAL 1 Completa la tabla. Las longitudes indican centímetros cubo 1 cubo 2 cubo 3 cubo 4 Cubo Arista (cm) Área total (cm 2 ) Volumen (cm 3 ) 1 Suma de la longitud de las aristas (cm) Contesta. a) La medida del área total y la arista son directamente proporcionales? No. Por qué? R. T. Porque al dividir las cantidades no se obtiene una constante. b) La medida del volumen y la arista son directamente proporcionales? No. Por qué? R. T. Porque al dividir las cantidades no se obtiene una constante. c) La suma de las longitudes de las aristas y la longitud de una arista son directamente proporcionales? Sí. Por qué? R. T. Porque el cociente de las cantidades es constante. d) Si la longitud de una arista es 20, cómo se calcula la suma de las longitudes de todas las aristas? R. T. Multiplicando por 12 la longitud de la arista. e) Denota con a la longitud de la arista del cubo y anota fórmulas del área total (A), del volumen (V) y de la suma de las longitudes de las aristas (S). A = 6a 2 V = a 3 S = 12a f) Compara tus expresiones con las de tus compañeros. Con ayuda del profesor, distingan las más simples. 152

32 Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 2 Completa la tabla y contesta. Un resorte de 30 cm se estira 5.4 cm por cada kilogramo de peso. Peso (kg) Longitud del resorte (cm) Estiramiento (cm) a) La longitud del resorte y el peso son directamente proporcionales? No. Por qué? R. T. Porque al dividir las cantidades, el cociente no es constante. b) El estiramiento del resorte y el peso son directamente proporcionales? Sí. Por qué? R. T. Porque los cocientes son constantes. c) Denota con p el peso y escribe fórmulas del estiramiento (E) y la longitud del resorte (L). E = 5.4p L = p 3 Contesta. a) Cuál de las expresiones que anotaste en el inciso e) de la actividad 1 corresponde a una relación directamente proporcional? R. T. La de la suma de las aristas. b) Cuál de las expresiones que anotaste en el inciso c) de la actividad 2 corresponde a una relación directamente proporcional? R. T. La del estiramiento. c) Qué características tienen en común las expresiones algebraicas que denotan una relación directamente proporcional? R. T. Son de la forma y = ax. d) Por qué la expresión y = 3x + 4 no denota una relación de proporcionalidad directa entre x y y? R. P. e) Por qué la expresión y = 3x denota una relación de proporcionalidad directa entre x y y? R. T. Porque al dividir y entre x se obtiene una constante (3). Cuál es la constante de proporcionalidad? 3 f) La expresión z = w denota una relación de proporcionalidad entre z y w. Por qué? 2 R. T. Porque al dividir z entre w se obtiene una constante Cuál es la constante de proporcionalidad? g) Si w 1 = kw, cuál es el valor de k? 2 2 Analiza en grupo tus respuestas y determinen cuáles son correctas. Dos cantidades x y y se relacionan de manera directamente proporcional si y = kx, donde k es una constante. 4 Justifica tus respuestas con base en lo aprendido en la lección. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación 153

33 Lección 54 Histogramas Qué gráfica usarías para representar las temperaturas medias de un año? PREGUNTA INICIAL 1 Observa los datos y contesta. El siguiente histograma muestra las edades de las personas a quienes vendieron zapatos en una tienda durante una semana. Observa que se han agrupado en grupos de edad. Observa En [20,30] están incluidos los compradores cuyas edades mayor o igual a 20 años y estrictamente menor que 30. Los compradores de 30 años se incluyen en la clase [30, 40]. 154 a) Cuántos compradores de entre 20 y 30 años hubo? 23 b) Cuántos compradores de entre 30 y 40 años hubo? c) Cuántos compradores de entre 30 y 50 años hubo? d) En qué grupo de edad están los compradores de 12 años? Entre 10 y 20 años e) En qué grupos de edad están Edad los compradores menores de 40 años? R. T. En los de 0 a 10, 10 a 20, 20 a 30 y 30 a 40 años. f) Cuántos compradores hubo en total durante la semana? 95 g) Es más útil para el dueño de la tienda saber cuántos niños de 3 años compraron zapatos o cuántos de 0 a 10 años lo hicieron? De 0 a 10. Por qué? R. T. Porque los de tres años podrían ser muy pocos. Núm. de personas 2 Escribe el número de compradores de cada clase en la tabla. Edad Marca de clase Frecuencia [0-10] 5 7 [10-20] [20-30] [30-40] [40-50] [50-60] 55 6 [60-70] Observa qué número se escogió como marca de clase y escribe una definición de dicho término en tu cuaderno. Compara tu definición con las de tus compañeros. Con ayuda del profesor corrijan las incorrectas. Ten en cuenta que puede haber varias definiciones distintas, aunque correctas.

34 Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos 4 Explica en tu cuaderno cómo puede obtenerse la marca de cada clase observando la gráfica de la actividad 1. Compara tus procedimientos con los de tus compañeros. Con ayuda del profesor determinen cuáles son correctos. Los histogramas son gráficas en las que se utilizan barras. La altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de los datos. Los histogramas son útiles para representar series de datos agrupados. 5 Lee los datos y efectúa lo que se pide. En una fábrica de tornillos tomaron una muestra de 35 cajas para ver cuántas piezas defectuosas tenía cada una. El número de piezas defectuosas en cada caja fue el siguiente. 24, 26, 5, 10, 10, 12, 5, 6, 6, 7, 9, 8, 8, 8, 12, 13, 15, 15, 18, 19, 20,18, 5, 5, 13, 14,15, 9, 9, 8, 9, 7, 21, 15, 16 a) Ordena los datos anteriores de menor a mayor. R. T. 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 19, 20, 21, 24, 26. b) Agrúpalos en siete clases y completa la tabla. Número de piezas defectuosas Número de cajas (frecuencia) Marca de clase [5, 8] [8, 11] [11, 14] [14, 17] [17, 20] [20, 23] [23, 26] c) Elabora un histograma en tu cuaderno con los datos de la tabla. d) Contesta. i) Entre qué números se encuentra la cantidad más frecuente de tornillos defectuosos? R. T. Entre 8 y 11. ii) Qué ventajas tiene agrupar los datos en clases? R. T. Se trabaja con menor número de datos y se tiene una idea más general de su comportamiento. 6 Investiga en la página del inegi cómo está distribuida la población de tu entidad por grupo de edad y elabora un histograma. a) Anota en tu cuaderno qué ventaja tiene trabajar con datos agrupados en este caso. 7 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan 155

35 Lección 55 Gráficas poligonales En qué casos has observado gráficas formadas con líneas? PREGUNTA INICIAL Observa El símbolo 1 Responde. Se tomó la estatura de un grupo de alumnos de segundo grado de secundaria. indica que faltan cantidades que no se utilizan y no es necesario representar. Número de alumnos Estaturas del grupo 2 A Estatura en centímetros a) Entre qué valores está la estatura del alumno más alto? Entre 170 y 175 cm b) Entre qué valores está la estatura del alumno más bajo? Entre 145 y 150 cm c) Entre qué valores están las estaturas más frecuentes en el grupo? Entre 155 y 160cm 2 Considera la información y completa la tabla. Una gráfica poligonal o polígono de frecuencias es una gráfica que se puede obtener a partir de un histograma uniendo los puntos superiores de cada barra Con el fin de que el área bajo la línea sea igual a la suma de las áreas de las barras, se une el extremo izquierdo con la clase situada a la izquierda de la primera. Análogamente con el extremo derecho Número de alumnos Número de alumnos Número de alumnos Número de alumnos Estatura en Estatura centímetros centímetros Estatura en Estatura centímetros centímetros Clases (estatura en cm) Marca de clase Frecuencia [145, 150] [150, 155] [155, 160] [160, 165] [165, 170] [170, 175]

36 Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contesta. Justifica tus respuestas. a) Es verdad que la altura mayor es 175 cm? R. T. No, está entre 170 y 175 cm. b) Es verdad que hay diez alumnos cuya estatura es 160? R. T. No, hay doce alumnos. c) Cuántos alumnos hay cuya estatura es mayor o igual a 1.65 m? R. T. Hay siete, porque es la suma de las frecuencias de las dos últimas clases. 3 Observa la gráfica donde se representa la duración de las pilas de la marca A, y completa la tabla correspondiente. Número de pilas Resultados de pruebas de duración Marca A Marca B Horas Marca A Marca B Duración Marca de Duración Marca de Frecuencia (horas) clase (horas) clase Frecuencia (25-30) (25-30) (30-35) (30-35) (35-40) (35-40) (40-45) (40-45) (45-50) (45-50) (50-55) (50-55) a) Grafica en el plano cartesiano anterior la duración de las pilas de la marca B con un polígono de frecuencias verde y contesta. Si necesitaras pilas de la mayor duración posible, cuáles comprarías? La marca B. Por qué? R. T. Porque tienen mayor frecuencia en las últimas clases. 4 Investiga los cambios de valor que ha tenido el dólar con respecto al peso mexicano desde hace diez años y elabora una gráfica poligonal con los datos. 5 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial en grupo. Lleven gráficas poligonales al salón de clases e interprétenlas con ayuda del profesor. Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan 157