Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almendras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).

Transcripción

1 ÁLGEBRA Página 68 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Problema. Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis, a un almacén de frutos secos. Ante un saco de almendras, el dueño les dijo: Coged las que queráis. Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada vez, se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9 veces, cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 8 almendras). Además, cada padre cogió, en total, 5 almendras más que su hijo. Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 5 más que Pablo. Cómo se llama el hijo de Antonio? Y el de Juan? Cuántas almendras se llevaron entre todos? -º caso: 5 ( + y) ( y) 5 + y 5 y Sumando: 8 9 Restando: y y 6 Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (8 almendras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (6 almendras). er caso: 5 ( + y) ( y) 5 + y 5 y Sumando: 6 Restando: y y Uno de los padres se llevó puñados de almendras (59 almendras) y su hijo, puñados de almendras (8 almendras). Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis puñados. Como Julio metió la mano 5 veces más que Pablo, Julio cogió puñados y Pablo 7 puñados. Unidad. Álgebra

2 Por tanto: Antonio se lleva 9 puñados y José 6. Juan coge puñados y Julio. Pablo se lleva 7 puñados y Luis. El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis. Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será: almendras Página 69 Problema. Un galgo persigue a una liebre. La liebre lleva 0 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos saltos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. Cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura? Cada saltos de galgo y de liebre se acerca u el galgo. Cada saltos de galgo y de liebre se acerca u el galgo. Cada saltos de galgo y de liebre se acerca u el galgo. Cada 90 saltos de galgo y 90 de liebre se acerca 90 u el galgo. Como la liebre lleva 0 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán: saltos el galgo saltos la liebre De esta forma el galgo recorre 80 5 u 900 u; y la liebre 70 u 80 u. Como tenía 90 de ventaja: u Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 80 saltos y la liebre 70. Página 7. Descompón factorialmente los siguientes polinomios: a) b) c) a) ( 9 + 0) ( ) ( 5) Unidad. Álgebra

3 b) ( ) ± no tiene solución ( ) ( + ) ( ) ( + +) c) no tiene solución Así, ( + ) ( + ) ( ) ( + ). a) Intenta factorizar b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por + +. a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales). b) Hacemos la división: Los polinomios + + y + + son irreducibles (las ecuaciones y no tienen solución). Por tanto: ( + + ) ( + + ) Unidad. Álgebra

4 . Intenta factorizar Hazlo ahora sabiendo que y son raíces del polinomio. El polinomio dado no tiene raíces enteras / 6( + + ) ± / no tiene solución Por tanto: ( + )( ) 6( + + ) ( + ) ( ) ( + + ) Página 7. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguientes, y súmalas: ; ; ( + ) + + m c m ( + ) Reducimos a común denominador: + 7 ( + 7) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) Las sumamos: ( + ) ( + ) ( + ) Efectúa: ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + Unidad. Álgebra

5 Página 7. Efectúa estas operaciones: a) + + b) + : a) + + ( + ) ( +) + 5 ( ) ( + 5) b) + + ( : ) ( + 5) ( ) ( + ) Calcula: + a) : ( ) b) ( ) ( + ) ( + ) ( ) a) : ( ) : ( + ) ( + ) ( ) ( ) b) + ( ) ( + ) ( ) + ( + ) 6 + ( + ) ( + ) ( ) + + Página 75. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 0 b) a) ± + 8 ± 7 ± (no vale) y b) 8 ± ± 0 9 ± (no vale) y Unidad. Álgebra 5

6 . Resuelve: a) b) 0 a) 0 ± 00 6 No tiene solución. 0 ± 8 (no vale) 9 (no vale) y b) 0 y y 0 ± + 8 ± 9 y ± y No vale y ± Hay dos soluciones: ; Página 76. Resuelve: a) + b) + 7 c) + d) e) a) + ; + 0; (no vale) No tiene solución. b) ( + 7) ; 6 ± (no vale) c) ; + ; ± ± (no vale) d) ; + ; (no vale) Unidad. Álgebra 6

7 e) (8 ) ± ,08 Así,. no vale. Para ir de A hasta C hemos navegado a km/h en línea recta hasta P, y hemos caminado a 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total, 99 minutos (99/60 horas). Cuál es la distancia,, de B a P? B km A 6 km ARENA P MAR C AP t 6 99 PC 6 ( 5 60 t) t t (6 ) ( + 9) Así, la distancia de B a P es de km. Unidad. Álgebra 7

8 Página 77. Resuelve las siguientes ecuaciones: ( + ) a) + b) + c) ( ) a) 0 ( + ) + 0 ( + ) ±,9 5,89 6,8 5,89;,8 b) ( ) + ( + ) ( ) ± 9 + ; 0 ; 5 /5 c) + ; 0 ± 8 6 / ;. Resuelve: a) + b) + c) a) ( + ) + ( ) ( ) + + b) 0 ( + ) + ( + ) ( ) ± + 8 ± 7 ; Unidad. Álgebra 8

9 c) 5 ( + ) ( + ) 5 ( + ) 6 ( ) 5 ( + + ) 5 ( + ) 6 ( ) ± 70 ( 8) 70 ± ; 6 8/ Página 79. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0,5 + b) + c) 86 d) a) ; ; 6 ; b) ; ; 6; ± 6 6 ; 6 + c) 86; 86; 86 log log 86; ( ) log log 86 log 86 +,5 log d) ; 6 9. Resuelve: a) b) c) log log( + 6) log d) log ( + ) log 65 a) (0) 0; ; b) ; Unidad. Álgebra 9

10 c) log log ; 8 ± ; (no vale) d) log ( + ) log 5 ; + 5; ; ± ; Página 8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: y 0 + a) b) y y c) 7 y + y 6 y + + y y a) y y 9 9 ; 8 0 ± + ± 6 ; y 7 ; y 5 b) y + y y 6 y 5 (5 ) 6; 5 6; ; y ; y c) y + y + y + ; y + + y + y + + y + + y + ; y y + ; y y + y + y y + ; y 8y 0 y 8 7 y 0 (no vale) 7; y 8 Unidad. Álgebra 0

11 . Resuelve: + y + y y 7 log ( + y) log ( y) a) b) c) + y log log y y + a) y ; + ( ) + ( ) ; 0 0 ± + 80 ± 9 5 y y 5 ; y 5 5; y b) 7 + y log y 0y 7 + y; 9y 7; y 0; 0y; 0 y 0; y c) log + y y y + + y 0 0y + y + y + y + + y + y 0y + 0 0y y + 5y ± ± y 8 8 ; y 7 9 ; y 9/ 7/ Página 8. Reconoce como escalonados y resuelve: 7 a) y 8 b) + y z + y 0 y y z 7 Unidad. Álgebra

12 y c) 5y 0 d) z + y z y z 7 a) 7 y 8 + y z 7 y 8 z + y + 7 y z b) +y 0 y y z 7 6 y y z 5 + y y z 0 c) 5y 0 + y z y z + y y z d) y z y z 7 y z y z 8 8 y z. Resuelve los siguientes sistemas escalonados: y 5 a) z 8 b) + y z + y 5 5y 0 5y + z 8 + y z 7 c) y z 5 d) y 8 z 9 a) y 5 z 8 y 5 z y 5 z b) +y z + y 5 5y 0 y y z + y + y z Unidad. Álgebra

13 c) 5y +z 8 y z5 z z y 5 + z 8 + 5y z y z d) + y z 7 y y 8 z + y 7 9 y z 9 Página 8. Resuelve por el método de Gauss: + y + z + y a) y + z 6 b) y + z y z 0 y z 9 a) + y + z y + z 6 y z 0 -ª -ª + -ª -ª + -ª + y + z +z 8 + y + z + z z y z y z b) +y y + z y z 9 -ª -ª -ª + -ª +y y + z y 6 -ª -ª -ª + -ª +y y + z y z + y + y z. Resuelve: 5 y + z 9 5y + z a) + y z b) 5y + z + y + z 5 z a) 5 y +z 9 + y z +y +z -ª + -ª -ª -ª -ª 5z + y z +0z -ª + -ª -ª -ª : Unidad. Álgebra

14 + y z +5z z y + z y z 0 b) 5y +z 5y +z 5 z -ª -ª -ª -ª 5y +z 5 z 5 z + z + y 5 5 y 5 z Página 8. Resuelve estas inecuaciones: a) + 0 b) 5 > a) Soluciones: / ( ], 8 b) 5 > > 6 Soluciones: { / > 6} (6, + ). Resuelve: a) b) 5 > a) 8 8/ > 6 No tiene solución b) / / No tiene solución Página 85. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) < 0 b) 0 c) + 7 < 0 d) 0 Unidad. Álgebra

15 a) Y < 0 intervalo (, ) X y b) 0 (, ] U [, + ) c) Y + 7 < 0 No tiene solución 8 y + 7 X d) 0 La parábola y queda por debajo del eje en el intervalo (, ); y corta al eje en y en. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [, ].. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 0 0 a) b) 7 > 5 > a) Y 7 > 5 > > 6 (6, + ) 0 (, ] U [, + ) Solución: (6, + ) X y b) 0 > Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [, ]. (Ver apartado d) del ejercicio anterior). Unidad. Álgebra 5

16 Las soluciones de la segunda inecuación son: > > 5 (5, + ) Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Por tanto, el sistema no tiene solución. Página 90 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Ecuaciones Resuelve: a) ( + ) 9 b) ( ) ( + ) ( 5) c) + 5 a) b) c) ; 5 Entre estas seis ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solución, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única. Identifica cada caso y resuelve las que sea posible: + + a) b) + ( + ) c) + ( ) d) 0, + 0,6 0,5( ),5 (0,5 + ) e) (5 ) 5 ( 5) 5( ) + ( + ) ( ) f ) 7 ( ) Unidad. Álgebra 6

17 a) + ; 5 0 No tiene solución. b) + ; 0 0 Infinitas soluciones. c) ; 0 0 Infinitas soluciones. d) 0, + 0,6 0,5 ( + ),5 (0,5 + + ) 0, + 0,6 0,5 0,5 + 0,5,5 0,5,5,5 e) ; 9 0 No tiene solución. f) + 7( ) 7 7( + ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + ( ) + b) 0,5( ) 0,5( + ) + 8 c) (0,5 ) (0,5 + ) ( + ) 9 d) ( ) e) + 0 f ) 0 ( ) ( + ) ( ) g) + + h) 0, ), ) 0 8 Epresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones enteras. a) + 6 ( + ) ± 6 0 /5 8 ; 5 Unidad. Álgebra 7

18 b) 0,5 ( + ) 0,5 ( + + ) 0,5 + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5, ± 8 5 ; 5 c) 0, , ± 5,5 70/5 / ; d) ( + ) ; + 0 ± 6 ; / ± 8 e) + ± 6 8 ± ± + * * + * ; * * Esta igualdad se podría probar viendo que: ( ) ± ( ± ± 9 + f) ) * + * Unidad. Álgebra 8

19 + 9 + * ; * * Esta igualdad se podría probar viendo que: ( + ) 9 + g) ( ) + ( + ) No tiene solución. h) 0 0 ± ± 5, Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fórmula general: Recuerda que: a + c 0 se resuelve despejando. a + b 0 se resuelve sacando factor común e igualando a cero cada factor. a) ( + ) ( ) ( + ) + 0 b) c) + d) + [ ] 5 e) ( a) + ( + b) 8b (a b) + a ( ) f ) a) ; ; b) ; c) ; (9 ) 0 0; 9 Unidad. Álgebra 9

20 d) ; e) + a a + + b 8b a + b + a 8b ; b ; ±b b; b f) ; ( 0) 0 0; 0 5 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas: a) b) + 0 c) d) a) 5 ± ± ; ; ; b) ± ± 5 ; (no vale) c) ± 9 8 ± No tiene solución d) 9 ± 8 9 ± 7 8 ; ; ; 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) + 7 c) d) e) f ) Unidad. Álgebra 0

21 a) ; ± ± 8 8 / ; b) 7 + ; ± + ± 5 (no vale) c) 5 ; ± ± / (no vale) d) + 5; 8 (no vale) No tiene solución. e) ; ± 8/8 /9 (no vale) f) ; ± /5 (no vale) 5 Factorización 7 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces: a) + b) 5 + c) d) e) f ) 5 6 g) 5 h) + + Unidad. Álgebra

22 a) ( + ) ( ) ( ) Raíces:,, b) ( ) ( + ) ( ) ( + ) Raíces:,,, c) ( ) ( + ) ( 0) Raíces:,, 0 d) ( ) ( ) ( 5) ( + + ) Raíces:,, 5 e) ( + ) ( ) ( ) ( ) Raíces:,,, f) ( ) ( + ) ( + ) Raíces: 0,, 5 5 g) ( + 5) ( 5) Raíces:, h) ( + ) Raíz: Página 9 8 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el M.C.D. [A(), B()] y el m.c.m. [A(), B()]: a) A() + ; B() 9 b) A() + ; B() c) A() 6 ; B() + a) A () ( ) ( + ); B() ( ) ( + ) M.C.D. ( ) m.c.m. ( ) ( + ) ( + ) b) A () ( ) ( + ) ; B() ( ) ( + ) M.C.D. ( ) ( + ) m.c.m. ( ) ( + ) c) A() ( + ) ( ) ( + ); B() ( ) ( + ) M.C.D. ( ) ( + ) m.c.m. ( + ) ( ) ( + ) 9 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente: a) b) c) d) e) f ) + 0 g) + 0 Unidad. Álgebra

23 a) ; ; b) 9 0 ; ; c) ; ; ; d) 0 9 ; ; e) ( 6) 0; ( ) ( + ) 0 0; ; f) ( + ) 0; ( ) ( ) 0 0; ; g) Unidad. Álgebra

24 Fracciones algebraicas 0 Simplifica las fracciones: 9 a) b) 7 ( ) ( + ) a) ( ) ( + ) 7 ( ) ( + ) ( + ) b) 6 8 ( ) ( + ) Opera y simplifica el resultado: a + (a + ) a) : b) + a a ( ) c) + d) ( ) ( ) : e) ( ) : ( ) + (a + ) (a + ) (a ) a) (a ) (a + ) ( + ) ( ) ( ) b) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) c) + 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( + ) ( + ) : ( + ) + ( + ) + + ( + ) + ( + ) e) + + ( + ) ( + ) + Demuestra las siguientes identidades: + a a a + a + a + a a a) ( + )( ) b) : Unidad. Álgebra

25 c) ( ) ( : ) ( ) ( + ) b) (a + ) (a ) : (a + ) (a + ) (a ) (a ) (a ) (a ) (a + ) (a ) (a + ) c) ( ) ( ( ) ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + : ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones: a) + b) c) d) ( ) ( ) Ten en cuenta que ( ) e) + + f ) + a) ; b) 8 ( 6) + ( ) ( + 6) ± 0 0; c) ( ) + ( ) ± + ± (no vale) Unidad. Álgebra 5

26 d) 6 ( 6) ( 6) 6( + 6) ± 8 ; 8 e) + + ( + ) ; f) + ; ; Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: a) Epresa 9 como potencia de base. b) + 8 Multiplica el primer miembro. c) Divide los dos miembros por 5. d) (0,5) 6 0,5 es una potencia de base. e) 7 9 f) / g) 8 h) ( ) i) 5 0, Recuerda que 5 ( 5). a) / b) + Unidad. Álgebra 6

27 c) 7 7 d) e) 7 / 7 f) / g) h) ( ) ( ) i) Página 9 5 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones: a) 7 b) e 9 c) 7 8 d) e a) 7 e ln ln e e 7 7 ln ln ln 7 0 ln 7,96 7 b) e 9 7 ln e 9 ln 7 9 ln ln 7,5 c) 6 8; log 6 log 8 log 8,5 log 6 log,70 log log d) ; ( ) ; log log + 6 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable: a) + b) c) d) e) f ) a) + z z + ; z + z z z ± 9 8 ± z + 0; z ; Unidad. Álgebra 7

28 b) + 5 ; + 5; 0 c) ( ) + () 7 6 (8 + 8) ( ) 7; ( ) d) ( ) ± ± 0; e) ( ) 6 0; ± + ± 5 (no vale) f) 7 (7 ) ; 7 50 ± 8 ; 7 /7 7 Resuelve las ecuaciones: a) log ( + ) log ( ) log b) ln ( ) + ln ( + ) ln + ln ( ) c) ln ( ) ln ln d) log ( + ) log ( 6) a) log + log + ; 5 5; 5 b) ln ( ) ln ( ) ; ( 0 no vale) Unidad. Álgebra 8

29 c) ln ( ) ln ; ± 7 8 9/ (no vale) + d) log ; Resuelve las ecuaciones: a) log ( + 9) + log b) log log c) (log ) + 7log 9 0 d) log ( 7 + 0) Haz log y. e) log ( + + 6) + log ( + ) f ) ln + ln + ln + 9 a) log ; 9 99; 99 log ( ( + 5)) b) ; ± /6 (no vale) 5 7 ± ± c) log ; 0 8/ 9/; 0 9/ d) ; ± ± 5 ; 5 e) log ; Unidad. Álgebra 9

30 7 ± 9 7 ± 5 6 ; 6 f) ln + ln + ln ln( ) ln(8 ) 8 e e e 8 e e 8 Sistemas de ecuaciones 9 Resuelve: 5 + y 5 a) y 6 b) 5 + y y c) + y 5 5y d) ( + y) ( y) 7 y 5 + 5y + 0 y 0 a) 6y + 6 5y + 6 y No tiene solución. b) 5y 5y 5; y 9 5, y ; 5, y 5 ( ) y 5 y 5 c) 0 + 0; ± 5 5 ± + y 5 5y y + 5 5y 0 y 0y Unidad. Álgebra 0

31 y 5y ± ± y, y ;, y ;, y ;, y y d) 7y y 7 y 9; y ±, y ;, y 0 Resuelve: y y + + y + a) b) + y 5 y ( + y) + + y + + c) d) y 6 y 5 a) (5 y) y y y 0y 8y ; y ; ; y b) + y + + y; + y + 6y y + y + 6y y y 5 0 ± ± 6 y, y ; 8, y 5 y + y 5 8 c) y 6 ( 6) ± 7 y 8 (no vale) 6 y 6 6; y 6 ( 7, y 8 no vale) Unidad. Álgebra

32 d) y ± 5 5 ±, y ;, y y y Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 5y 7 y a) 5y 7 6 0y y 6 + y 9 55y y 5 9 b) y ; y ± + y ( 9) + 9y ;, y ;, y ;, y ;, y b) 9 + y + 6y y + 6y + 6 7y y + 6y y + 6y 6 7y y 5y ± 9 6 y / 9/6 9 6, y 9;, y 6 Resuelve: y log log + log y + log y 5 a) b) log log y log y c) log ( y) d) y log 6 + log y log log y y 5 ln ln y e) f ) log y log ln + ln y Unidad. Álgebra

33 a) log 0; y 00 b) log + log y 5 log + log y 5 log log y 6 log log y 9 ; y 7 log c) log + log y log + log y log log y 6 log log y 6 00 y 00 5 log 0 log d) log ; 0; 0y y y 00y y ; 99y ; y y ± 9 0 ; y ( y no vale) e) 5 + y y 0, y log 0, ; y 9 9 f) ln ln y ln + ln y Sumando las dos ecuaciones, queda: ln 6 ln e Restando a la ā ecuación la ā, queda: ln y ln y y e Solución: e ; y e Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalonados: y 9 y + z 5 a) b) 7z 7 + y + z Unidad. Álgebra

34 a) y y 7 7 y 7 b) y + z 5 7z + y + z 7 y z y z + y z Página 9 Transforma los siguientes sistemas en escalonados y resuélvelos: + y 7 + z a) b) y + z 7 5y 0 y z 5 b) Sustituye la -ª ecuación por (-ª) + (-ª). a) + y 7 5y 0 -ª ª- -ª y 8 5y 0 y 8 5y 5 5 Solución:, y 8 b) + z y + z 7 y z 5 -ª -ª -ª + -ª + z y + z 7 z y + z 7 5 Resuelve por el método de Gauss: y z 0 + y + z a) + y + z b) y + z y + z 8 y + z a) y z 0 +y + z y + z 8 -ª -ª + -ª -ª + ª y z 0 + y y 8 -ª -ª -ª + -ª y z 0 + y y z y y z Unidad. Álgebra

35 b) + y + z y + z y + z -ª -ª + -ª -ª + ª + y + z +z 5 +z -ª -ª -ª -ª + y + z +z 5 5 z y z y z 6 Aplica el método de Gauss para resolver los sistemas siguientes: + y + z 8 + y + z a) z 6 b) + y + 5z y + z 0 5y + 6z 9 a) + y + z 8 z 6 y + z 0 -ª -ª -ª + ª + y + z 8 z 6 +z 6 -ª -ª -ª : + y + z 8 z 6 + z -ª -ª -ª + -ª + y + z 8 z z 6 y 8 z 6 9 y 6 z b) + y + z +y +5z 5y +6z 9 -ª -ª ª- -ª ª- + y + z y +z 7 6y +5z 7 -ª -ª -ª + 6 ª- + y + z y +z 7 z z y 7 z 7 9 y z + y z 7 Resuelve por el método de Gauss: + y z 9 y + z 0 a) y + z b) + 6y z 0 y + 6z + y z 0 a) + y z 9 y +z y +6z -ª -ª + ª -ª + ª + y z 9 +z +z 8 -ª -ª -ª -ª Unidad. Álgebra 5

36 8 Resuelve por el método de Gauss: y y z a) + 6y 5z b) y z + y z y + 5z y z b) y z y z 5 +y +5z -ª -ª ª- -ª + 5 ª- y z 5 y y z y Solución:, y, z Inecuaciones + y z 9 +z z 5 5 z z 6 y 9 + z y 5 z b) y + z 0 +6y z 0 + y z 0 -ª -ª + ª -ª + ª y + z y 0 0 y 0 z 0 a) y +6y 5z + y z 0 -ª -ª 5 ª- -ª y + y + y z 0 -ª -ª + -ª ª- y y + y z 0 y + y z + y 9 Resuelve estas inecuaciones: a) 5( + ) > 5 b) > c) + 5 < 0 d) 9 > 0 e) f) 5 0 a) > 5; 0 > 0; > (, + ) b) > ; > (, ) Unidad. Álgebra 6

37 c) ( + 5) < 0 ( 5, 0) d) ( ), ( U, + ) e) 6 ± 6 6 ± (, ] U [, + ) f) ± + 60 ± 8 [, 5] 5 0 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: < > 7 a) b) + 6 > 5 < 5 < > 0 c) d) 6 < 5 + < 0 Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemas no tiene solución. a) < > (, ) b) 5 > > (, + ) c) > 7 9 > 5 (7, + ) d) > < 5 No tiene solución Resuelve: a) b) > 0 c) ( + ) ( ) > 0 d) ( + ) < 0 7 ± 9 7 ± 5 a) [, 6] 6 b) (, ) U (6, + ) Unidad. Álgebra 7

38 c) + > 0 > 0 + < 0 < 0 > > < < (, + ) (, ) (, ) U (, + ) d) (, 0) Resuelve estas inecuaciones: + 5 a) > 0 b) 0 + c) < 0 d) < a) > 0 (, + ) 5 b) + 5 0; [ 5 ), + c) + < 0; < (, ) d) > 0 + < 0 > < Ø < 0 + > 0 < > (, ) PARA RESOLVER Un inversor, que tiene 8 000, coloca parte de su capital en un banco al 8% y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 00 más que la segunda, cuánto colocó en cada banco? al 8% 0,08 año (8 000 ) al 6% 0,06 (8 000 ) 0,08 0,06 (8 000 ) + 00; 0, , ,57 Colocó 8,57 al 8% y 57, al 6%. Dos grifos llenan un depósito de 500 litros en una hora y doce minutos. Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo. Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado? Entre los dos 500 l en, horas -º t + -º t año t + + (en hora) t,, (t + t + ),t (t + ) t (t + ),t (t + ) Unidad. Álgebra 8

39 ,t +, t + t t,t, 0, ±,6 t 0,6 Imposible! El primero tardaría horas y el segundo, horas. 5 Un granjero espera obtener 6 por la venta de huevos. En el camino al mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0,5 el precio de la docena. Cuántas docenas tenía al principio? Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de las que quedan. Tenía docenas 6 /docena Le quedan docenas ( + 0,5 ) /docena 6 ( + 0,5) ( ) 6 (6 + 0,5) ( ) ,5,8 6 0,5,8 0 0 ( 6 no vale) Tenía 0 docenas. 6 6 Un tendero invierte 5 en la compra de una partida de manzanas. Desecha 0 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,0 cada kilo sobre el precio de compra, por 7. Cuántos kilogramos compró? Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de coste de las que quedan. 5 Compró kg /kg 5 Vende ( 0) kg ( + 0,0) /kg 5 ( + 0,0 ) ( 0) 7 (5 + 0,0) ( 0) , , ( 50 no vale) Compró 5 kg. Unidad. Álgebra 9

40 7 Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 por el total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 cada uno. Cuántos amigos son? 6 Número de amigos /consumición ( ) ( 6 + 0,80 ) 6 ( ) (6 + 0,80) ,80,6 6 0,80,6 0 5 ( no vale) Son 5 amigos. Página 9 8 El cuadrilátero central es un rombo de 0 m de perímetro. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura. 0 0; 0 m b b 0 b + (b 0 ) 0 b + 9b b 00 b 0b 60b 0 b (0b 60) 0 b 0, b 6 Base: 8 m Altura: 6 m 9 El número de visitantes a cierta eposición durante el mes de febrero se incrementó en un % respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo sufrió un descenso del % respecto a febrero. Si el número de visitantes de enero superó en 6 personas al de marzo, cuántas personas vieron la eposición en enero? +% % Enero Febrero Marzo, 0,88, 0,9856 0, personas Unidad. Álgebra 0

41 0 La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m. Calcula el lado. l h + ( ) l l h l h l l l ; h l Área 50 l l l l 0,75 m Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos de baldosas: dm A dm B Eligiendo el tipo A, se necesitarían 0 baldosas menos que si se eligiera el tipo B. Cuál es la superficie de la habitación? n-º baldosas A Superficie: 0 ( + 0) n-º baldosas B baldosas dm m En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 5 unidades menor. Calcula el número inicial. D U 0 + D U 0 + El número es el 9. dm 5 dm Le pregunté a mi padre: Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? No sé, nunca me he fijado. Pero hombre, lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos hermanas, tú y yo. Cuánto has pagado? Algo más de euros. Unidad. Álgebra

42 El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos míos. Cuánto pagaste? Era poco menos de 0 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta. Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? 6 > >, ) 8 < 0 <,5 Entre, y,50. Resuelve: a) 75 0 b) c) d) + 6 e) 5 f) g) + h) + 5( + ) 0 i) ( + ) ( ) ( ) 0 j) ( 9) ( + ) 0 k) ( + ) 0 a) ( 5) 0 0; 5; 5 b) 9 ± ± ; ; 5 ; 5 5 c) ; ; d) + ; ± ± ; (no vale) e) ( 5) Unidad. Álgebra

43 ± 8 6 6; f) ( + ) + 6 ( ) 9 ( ) ; 0 ( + ) + ( + ) g) ( ) 0 ( + ) ( + ) 0 ( + ) ( + ) ± 7 ; h) ; 0 ± ± ; i) 0; ; ; j) ; / k) 0 0; ( no vale) 5 Resuelve: a) b) a) b) ± (no vale) Unidad. Álgebra

44 6 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despejar la incógnita: 5 a) + 0 b) c) 0 d) e) a) b) ; c) 0 5 d) ± 0 ± ± ; 5 5 e) ( + ) ( + ) ( ) 0 0,, 7 Resuelve: a) + y y b) y + y + + y 8 y + 5 c) ( + ) (y 5) 0 ( ) (y ) 0 a) y Unidad. Álgebra

45 8 6 ; y b) 5 y y 0 y y 5 y y 0 y 5 y 0 y 5 + y 5 y 5 6 y 5 y 5 9 ; y 7 c), y ;, y 5 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5 b) + 6 c) + d) a) 5 ; (no vale) 5 6 ; b) + 6 Imposible + 6 c) + 0 ( ) ± 9 8 ± 0; ; ; d) 0 ± + 8 ± / ; Unidad. Álgebra 5

46 Página 95 9 Resuelve por tanteo: a) b) ln a) ;,7 b) No tiene solución 50 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una solución en el intervalo indicado: a) 0 en [, ] b) + 0 en [0, ] a),5 b) 0,90 5 Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 0 euros entre tres personas de forma que la primera reciba 0 euros más que la segunda y la tercera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos. Cómo lo hacemos? Llamamos a los euros que recibe la primera; y a los que recibe la segunda, y z a los que recibe la tercera. Así, tenemos que: + y + z 0 y y z -ª -ª -ª : + y + z 0 y 0 + y 0 -ª -ª -ª + -ª + y + z 0 y y 0 00 z 0 y 0 + y + z 0 y 0 + y z 0 -ª -ª -ª + ª + y + z 0 y 0 +y 660 Solución: 0 recibe la ª-; y 00 recibe la ª-; z 0 recibe la ª- 5 La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas es una unidad mayor que la suma de las otras dos. Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades. Cuál es ese número? Llamamos a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las unidades. Así, el número es: y z y + z Tenemos que: + y + z 7 y + z + 00z + 0y y + z y + z 7 y + z 99 99z 99 + y + z 7 y + z z -ª -ª + -ª -ª + y + z 7 +z 6 z -ª -ª : -ª + y + z 7 + z z Unidad. Álgebra 6

47 -ª -ª -ª + -ª + y + z 7 + z z y 7 z 7 y z Solución: El número es el. CUESTIONES TEÓRICAS 5 Qué valores ha de tomar k para que 6 + k 0 no tenga soluciones reales? 6 k < 0; 6 < k; 9 < k; k > 9 5 Escribe un polinomio cuyas raíces sean,, y 0. ( ) ( ) ( + ) Halla el valor de m para que el polinomio 5 + m + sea divisible por +. 5 m m m 5 m 5 m 5 5 m m m 0 m 0 56 Halla el valor numérico del polinomio P() para. Es divisible P() entre +? P( ) 57. No es divisible entre Halla m para que al dividir el polinomio m entre +, el resto sea igual a. m 8 m 0 58 Escribe un polinomio de grado que sólo tenga por raíces 0 y. Por ejemplo: P () ( ); Q () ( ) 59 Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución: + y z y + z 5 + y z m m 8 La primera y la tercera ecuación son contradictorias. Unidad. Álgebra 7

48 60 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores: a) ; ; 7 y 7 b) 5; 0, y a) ( ) ( + ) ( )( + ) ( 9) ( 7) b) ( 5) ( 0,) ( + ), 9, + PARA PROFUNDIZAR 6 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es : a) ab (a + b) + 0 Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado perfecto: a + b ab (a b) b) ( a) ( + a) a 0 c) a + b + b a 0 d) (a + b) + b a 0 a + b ± (a + b) a + b ± a a) ab + b + ab ab ab ab a + b ±(a b) ab ; a b) + a a a a 0 + a + a 0 a ± 6a a ±a a a ± a b a; a b ± b b ± b c) a (b a) ab + a a a b ± (a b) a ; a b a a + a a a a a 6a a a + b + a b a ab ab b a + b a + b b ab ab a b + a b a b a b a a a b a + b a Unidad. Álgebra 8

49 b ± b b ±(a + b) d) + a (a + b) b ± b + a + ab (a + b) (a + b) (a + b) ; b + a + b a (a + b) a + b b a b (a + b) (a + b) (a + b) a a + b 6 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) < 0 b) 6 < 0 c) > 0 d) < 0 ( ) ( ) a) ( ) < 0 < 0 b) ( 6) < 0 0 ( ) ( + ) < 0 (, 0) U (0, ) (, ) U (0, ) c) > 0 (, ) d) ; (, + ) PARA PENSAR UN POCO MÁS 6 Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de a 7. En otra vasija la proporción es de a. Cuántos cazos hemos de sacar de cada vasija para obtener cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-agua sea de a 5? cazos V ( ) cazos V cazos alcohol 7 agua alcohol agua alcohol 5 agua alcohol alcohol alcohol La proporción de alcohol es: + ( ) ; + 8 5; 5 Solución: cazos de la primera y 9 de la segunda. Unidad. Álgebra 9

50 6 Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto,5 km en hora y se da cuenta de que, a ese paso, llegará hora tarde. Entonces acelera el paso y recorre el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, llegando media hora antes de que salga el tren. Qué distancia tenía que recorrer?,5 km h tren t tiempo que tarda en recorrer a,5 km/h Si va a 5 km/h tarda t,5 ( hora y media menos) Luego:,5t 5 (t,5),5t 5t 7,5; t 5 horas 7,5 km Tenía que recorrer 7,5 km ( km si contamos los,5 km del principio). Página 98 RESUELVE TÚ En unas elecciones hay votantes y se reparten 0 escaños. Concurren 5 partidos, A, B, C, D, E, que obtienen los números de votos que figuran en la primera columna. 5 A B C D E 8 5 () 7 () 8 (6) 09 (7) 687 (9) 6 0 () 0 (5) 0 (8) 5 5 () 65 (0) 50 a) Comprueba la validez de los resultados de las restantes columnas y di el reparto de escaños según el método D Hondt. b) Haz el reparto de escaños aplicando el método del mayor resto. c) Suponiendo que el número de escaños a repartir fuera 8, haz nuevamente el reparto por ambos métodos. a) Método D Hondt: Los escaños se reparten sucesivamente así: A B A C B A A B A C Por tanto, se asignan así: A 5, B, C, D 0, E 0 b) Método del mayor resto: El precio del escaño es votos/0 escaños 000 votos cada escaño. Unidad. Álgebra 50

51 Por tanto: A B C D E VOTOS ESCAÑOS DE ASIGNACIÓN DIRECTA RESTO TOTAL ESCAÑOS SEGÚN MÉTODO D HONDT Si se aplicara el método del mayor resto, el partido D le quitaría un escaño al partido A. c) Para la asignación de los 8 escaños sirve la misma tabla de arriba, obteniéndose: A B A C B A A B Es decir, A, B, C, D 0, E 0 Para aplicar el método del mayor resto tenemos en cuenta que, ahora, el precio del escaño es : votos cada escaño. A B C D E ESCAÑOS DE VOTOS RESTO TOTAL ESCAÑOS ASIGNACIÓN DIRECTA SEGÚN MÉTODO D HONDT 0 0 El partido A compra escaños y le sobran (tiene un resto de 95) votos. Ahora son los dos partidos pequeños los que les quitarían sendos escaños a los dos grandes. Unidad. Álgebra 5