MatemáticasI. b) 0,5 c) 0,0625. log. 4. No podemos simplificar (dividir) por x 5, ya que en este caso su valor es nulo.

Transcripción

1 UNIDAD : Álgebra II: Ecuaciones, inecuaciones sistemas ACTIVIDADES-PÁG.. Las soluciones de las ecuaciones son: a) 7 b), c),. Se cumplirá:,8 t t,8,, años.. Los resultados son: a) Las ordenadas son positivas en el intervalo (-, - ). b) Las ordenadas son negativas en,,.. No podemos simplificar (dividir) por, a que en este caso su valor es nulo. ACTIVIDADES-PÁG. 7. Veamos si el producto de cuatro números enteros consecutivos ( ) ( + ) ( + ) es un cuadrado perfecto menos una unidad. Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, ( ) ( ) ( ) ( ). Ambos cohetes tardan segundos en alcanzar Venus. Durante este tiempo láenla, en sus idas venidas ha recorrido: = 8 km.. Analizamos las terminaciones de las primeras potencias de 7: 7 = 7, termina en 7 7 =, termina en 7 =, termina en 7 =, termina en 7 = 87, termina en 7 7 = 7, termina en

2 Observamos que ha cuatro terminaciones distintas que se repiten cíclicamente; de modo que dividimos 878 entre obtenemos de cociente 8 de resto : 878 = 8 + Es decir, termina en el mismo número que 7, es decir, termina en. ACTIVIDADES-PÁG. 8. a) La resolución de la ecuación es: - + = b) La resolución de la ecuación es: ( + ) ( ) = ( ) 8 La única solución válida es = Las soluciones de las ecuaciones anteriores pueden verse en el gráfico realizado con Wiris.. Las soluciones son:,, b) [-, ] c) (-, ) a) En el gráfico pueden verse la resolución de la actividad con Wiris.

3 . Las soluciones de los sistemas de inecuaciones pueden verse en los dibujos:

4 ACTIVIDADES-PÁG. 8. Las soluciones quedan: a) ; 7 ) ( b) c) d) 8 8 e) f) ) ( g) h) 8 i) 8, 7 ) ( j), ) ( k) 8 8 ) ( l) ) (, 8. Las soluciones son: a) b) ln e e e

5 c) d) = -, e) 8 8 f),,, g) ln e h). Las soluciones de las ecuaciones son: a) ( + - ) = ( - ) ( ) 8 ( no es válida ) ( ) ( ) b) ( ) - = ( + ) 8 8 ( no es válida ) c) ( - - ) - ( - ) = ( ) ( no es válida) ( no es válida )

6 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( no es válida ) e) ( + ) + = ( ) 8 f) ( ) ( ) ( ) ( no es válida ) g) ( ) Las respuestas son: a) Al cabo de años habrá, =7, m de madera. Al cabo de años habrá, =,7 m de madera. b) Los años que han de pasar para que en el pinar haa 87 m de madera son:, 87, años,. Las soluciones de los sistemas: a) 7 7

7 b) c) 8 ( ) ( ) 8 8 d) 7 7 e) Y ( ) ( ) f) ACTIVIDADES-PÁG. 8. Las soluciones de las inecuaciones son: d) a) (, ), g),, b), e),, h),, c) (, ] (, ) f), i) (, ) 7. Las soluciones de los sistemas de inecuaciones son: a) (- 8, ] b) (, 7] 8. Las asociaciones de los sistemas con las soluciones de las inecuaciones son: a) con iii) b) con ii) c) con i). Sea la cantidad que debe vender, se cumplirá: < +, < <, < < < 8 Deberá vender una cantidad entre 8 euros. 8

8 . Sea el número de caras el número de cruces. Se cumplirá: + ( ) < 7 < < Han salido menos de caras.. Las soluciones de las inecuaciones son los conjuntos de puntos que aparecen en los dibujos. a) b) c). Las soluciones de los sistemas son los conjuntos de puntos que aparecen en los dibujos. a) b) b) c)

9 . Los sistemas de inecuaciones son: a) b) c) d) ACTIVIDADES-PÁG. 8. Las soluciones son: a) = b) Haciendo = z obtenemos la ecuación z 8z = cuas soluciones son z =, z = -,7; por tanto:,,, c) Obtenemos la ecuación + = cuas soluciones no verifican la ecuación original. Diremos, por tanto, que carece de soluciones.. Resolviendo cada una: a) Operando obtenemos la inecuación cua solución es el intervalo,. b) Operando la inecuación - + cua solución son los números reales del conjunto (, ] [, ]. c) La solución es [-, ).. El valor de la epresión es. ( ). 7. La diferencia entre la cuantía de dinero obtenido de la venta de las camisetas el dinero del coste de la producción es el beneficio. Llamando al precio de venta de cada camiseta se puede plantear la siguiente inecuación:,7 > Resolviendo, obtenemos: 7 > > >, Para obtener el beneficio deseado tendrá que vender cada camiseta a un precio superior a, euros.

10 8. El sistema de inecuaciones es: Los vértices de la región son: ) (, : A A ), ( : B B ), ( : C C Todo lo anterior puede verse en el dibujo.. Sea, con [, ], el número de kiramos de azúcar de euros/kg el número de kiramos de azúcar de euros/kg. Se cumplirá: + ( ), Operando, obtenemos. Por tanto, para conseguir la mezcla pedida en el enunciado habrá que poner o más de la azúcar de euros/kg con o menos de la azúcar de euros/kg.

11 . Sean,, z el número de herramientas de los tipos A, B C, respectivamente. Las condiciones del enunciado nos permiten plantear el sistema que sigue. En la primera ecuación se describe el número total de herramientas, en la segunda el tiempo empleado por los tres obreros en la tercera el tiempo empleado por el revisor. z z z El sistema es compatible determinado, es decir, tiene una solución única a que el determinante de la matriz de los coeficientes vale: Aplicando el método de Gauss, obtenemos:. z z z z z z z z La fábrica elabora herramientas del tipo A, herramientas del tipo B herramientas del tipo C.. Teniendo en cuenta la epresión que da el montante (M) que produce un capital inicial (C) colocado al r % durante t años, que es: M = C ( + r) t, obtenemos: 88 = ( +,8) t Operando:, t años.,8. La epresión que nos da el número total de individuos (P) en función de la población inicial (P ) del t tiempo t, en días, es: P ( t) P Al cabo de un mes habrá P ( ) 8, 8 insectos. Para que haa 8 insectos tendrán que pasar: t t t días.

12 . Sean e el número de bolígrafos cuadernos, respectivamente, que podemos comprar. Se debe cumplir:,, Las soluciones son el conjunto de puntos con coordenadas enteras dentro del recinto sombreado. Es decir: (, ), (, ), (, ), (,), (, ), (, ) (, ).. La epresión que nos da el precio final (P) en función del precio inicial (P ) del tiempo t, en años, es: t P t) P, ( a) Dentro de 8 años costará P (8),8, 8, euros. b) Hace de 8 años costaba P ( 8),8, 8, euros. c) El tiempo que tiene que pasar para que el precio se duplique es: t,8,8. t, años., ACTIVIDADES-PÁG. 8 a) La tabla completa con los polígonos inscritos circunscritos a la circunferencia de n + lados, es decir,, 8,,,, lados, nos proporciona las siguientes aproimaciones numéricas de π. Lados Ángulo Seno Tangente Semiperímetro inscrito Semiperímetro circunscrito º,7778,8877 8,º,88,7,78,7888,º,,878,,878787,º.87,8,8,77,8º,77,877,,88 8,º,8,8,77,,7º.78,78,8,77,º,88,,77,87,78º,78,77,8778, 8,87º,8,8,,77,º,7,7,,7

13 b) La tabla completa con los polígonos inscritos circunscritos a la circunferencia de n lados, es decir,,, 8,, lados, nos proporciona las siguientes aproimaciones numéricas de π. Lados Ángulo Seno Tangente Semiperímetro inscrito Semiperímetro circunscrito º,,77, º,88,7,88, 7,º,,7,8, 8,7º,,,,8,87º,78,7,,7,7º,7,,7,87 8,88º,88,88,78,77 78,º,,8,88,77,7º,,,,7 7,8º,,,,7,º,,7,7,7 c) Para construir las dos tablas anteriores con una hoja de cálculo, en este caso Ecel, seguimos las instrucciones: Abres la Hoja de Cálculo escribes:. Las cabeceras de columna (Fila ): n, Lados, Ángulo, etc.. Escribes la serie de la columna A:,,,.,. En la celda B escribes: =POTENCIA(;A+). En la celda C escribes: =8/B. En la celda D escribes: =SENO(C*PI()/8). En la celda E escribes: =TAN(C*PI()/8) 7. En la celda F escribes: =B*D 8. En la celda G escribes: =B*E. Seleccionas con el ratón el Rango B:G pulsas Control+J. Seleccionas el Rango C:G Formato/Celdas/Número/ posiciones decimales Se obtiene la tabla que sigue.

14 Para la segunda tabla procedemos de manera anáa: Abres la Hoja de Cálculo escribes:. Las cabeceras de columna (Fila ): n, Lados, Ángulo, etc.. Escribes la serie de la columna A:,,,.,. En la celda B escribes: =*POTENCIA(;A). En la celda C escribes: =8/B. En la celda D escribes: =SENO(C*PI()/8). En la celda E escribes: =TAN(C*PI()/8) 7. En la celda F escribes: =B*D 8. En la celda G escribes: =B*E. Seleccionas con el ratón el rango B:G pulsas Control+J. Seleccionas el Rango C:G Formato/Celdas/Número/ posiciones decimales