Solucionari del llibre de l alumne Unitat 8

Transcripción

1 Matemàtiques 1r ESO Solucionari del llibre de l alumne Unitat 8

2 Presentació pàgina 182 A la fotografia s observen triangles, romboides, trapezis i trapezoides a la façana de vidre. També es poden observar d altres, com algun pentàgon. Totes aquestes figures que s observen són polígons. Així doncs, es pot fer una breu introducció de la classificació d aquests segons diversos criteris, com són el nombre de costats, o bé el tipus (regulars o irregulars). Aquestes figures tenen en comú que són figures planes delimitades per costats rectes. Aquest tipus de figures s anomenn polígons. Seria convenient fer un breu estudi de la façana de l escola per identificar-hi polígons. A continuación, els alumnes haurien de cercar i citar altres edificis famosos, a través de les TIC. Seria interessant que es suggerissin exemples d edificis on no només s utilitzin polígons, sinó també línies corbes, com ara la Pedrera o la Sagrada Família. En aquest sentit, espot aprofitar aquest exemple o d altres similars que hi puguin surgir d arquitectura del territori per tractar de manera transversal i interdisciplinària l art de Catalunya, la riquesa arquitectònica i la relació directa entre art i arquitectura amb les matemàtiques. Què en saps? pàgina L alumnat ha d identificar la barana com línia poligonal, perquè està formada per segments rectilinis. Es poden buscar exemples dins l aula de línies poligonals i d altres que no ho siguin. 2. Comprovar si l alumnat recorda la classificació dels triangles segons l amplitud dels angles (acutangle, rectangle i obtusangle) i segons la igualtat dels mateixos (equilàter, isòsceles i escalè). Es pot proposar que busquin exemples de la realitat on apareguin cada tipus de triangle. 3. Primer, els alumnes han de recordar que els quadrilàters són polígons de quatre costats iguals o diferents entre ells. Després, en relació a la fotografia 3, cal que l alumnat hi identifiqui diferents quadrilàters i observi les seves diferències. Hi ha rectangles que en perspectiva s observen com a paral lelograms i trapezis. 4. Comprovar, a partir de la identificació que la reixa de la fotografia està formada per hexàgons, que els alumnes coneixen què és un polígon i comprovar quins tipus en recorden. Alguns exemples serien triangles, quadrilàters, paral lelograms, pentàgons, hexàgons, etc. 5. Comprovar que coneixen que hi ha molts tipus de figures geomètriques, de formes i volums diferents. D acord amb això, caldrà recordar que hi ha figures geomètriques d una dimensió (rectes i corbes) o dues dimensions, per tant, planes (polígons com ara els triangles o els quadrilàters; o la circumferència); i figures en tres dimensions que tenen volum, com la pilota de futbol de la fotografia. 6. L alumnat ha d identificar les papallones com a figueres simètriques, entenent que una cosa simètrica és aquella que si la pleguem per una línia horitzontal, vertical o obliqua divideix la figura en dues parts iguals que es poden superposar. 1 Matemàtiques 1 ESO

3 1. Els polígons Raona pàgina La figura del reixat és un hexàgon regular. El reixat es pot construir amb moltes altres figures, per exemple triangles, quadrats, rectangles, hexàgons... Però no es podria fer un reixat amb pentàgons regulars, tal com es veu: Els únics polígons que poden recobrir el pla són aquells amb un angle divisor de 360º. També es pot construir el reixat amb figures de costats no rectilinis, per exemple: 2. Una línia poligonal és un conjunt de diversos segments units en sèrie de manera que resulta una línia que conté diversos vèrtexs. Els segments no es poden tallar i en un vèrtex només hi poden concórrer un o dos segments. Les línies poligonals poden ser obertes si els vèrtexs inicial i final són diferents, com passa a la línia de l esquerra. En canvi, les línies poligonals que no tinguin un vèrtex final i inicial, com a la línia de la dreta, ocasionaran un polígon tancat. 3. Costat: Cada segment que forma la línia poligonal tancada. 2 Matemàtiques 1 ESO

4 Vèrtex: Punt on es troben dos costats. Angle: Regió compresa entre dos costats del polígon que tenen un vèrtex comú. Diagonal: Segment que uneix dos vèrtexs no consecutius. 4. En un polígon cada vèrtex uneix dos costats i cada costat uneix dos vèrtexs, per tant el nombre de costats és sempre igual al nombre de vèrtexs. Per tant, no és possible un polígon amb més costats que vèrtexs. 5. L únic polígon que no té diagonals és el triangle. Si recordem, la diagonal era un segment que unia dos vèrtex no consecutius, però el triangle, com que només té tres vèrtexs, tots ells són consecutius entre sí. 6. Si dibuixem un polígon amb algun angle major de 180º (polígon còncau), els punts dels dos costats que determinen aquest angle no es poden unir amb un segment interior al polígon. Per tant, perquè qualsevol parell de punts interiors d un polígon es puguin unir amb un segment sense sortir del polígon, cal que sigui un polígon convex. 3 Matemàtiques 1 ESO

5 pàgina Partint d una figura qualsevol, per exemple un rectangle, la podem tallar en parts i composar-ne una altra, que tindrà la mateixa àrea però diferent perímetre. Un exemple d igual àrea i diferent perímetre serien dos rectangles 4 3 i 6 2 quadradets. Per fer figures d igual perímetre es pot agafar un cordill de longitud fixa i lligar-lo pels extrems. Amb dos dits de cada ma es poden anar fent rectangles diferents amb el mateix perímetre, perquè la longitud del cordill és fixa. Exemples d igual perímetre i diferent àrea serien dos rectangles de 4 3 i 6 2 quadradets. 8. Exemple resolt. Practica 9. Es trien 7 punts diferents per cada apartat. Per exemple: a) b) c) d) Amb els mateixos 7 punts no es pot traçar un polígon convex i un còncau: amb els punts escollits per a l apartat c) no es pot dibuixar cap polígon convex, i amb els escollits per a l apartat d) no es pot dibuixar cap polígon còncau. 4 Matemàtiques 1 ESO

6 10. Són polígons les figures a), c) i d) perquè són figures tancades delimitades per segments rectilinis. Les figures b) i e) no són polígons, ja que contenen segments no rectilinis. De les figures que representen polígons, a) i d) són còncaus perquè tenen algun angle major de 180º i la figura c és un polígon convex, ja que no conté cap angle major de 180º. 11. a) b) c) octàgon convex quadrilàter regular hexàgon còncau La figura a) és un octàgon convex ja que no conté cap angle superior als 180º. La figura b) és un quadrilàter regular, ja que és un polígon de quatre costats i té els angles i els costats de longituds iguals. La figura c) és un hexàgon còncau ja que és un polígon de sis costats amb dos angles superiors als 180º. 12. a) Els quadrilàters de perímetre 20 que podem dibuixar són: el d 1 9 cm, que té una àrea de 9 cm 2 ; el de 2 8 cm, que té una àrea de 16 cm 2 ; el quadrilàter de 3 7 cm amb una àrea de 21 cm 2 ; el de 4 6 cm amb una àrea de 24 cm 2 ; i el de 5 5 cm, amb una àrea de 25 cm 2. Així doncs, el quadrilàter que té l àrea més gran és el quadrat de 5 cm de costat. 5 Matemàtiques 1 ESO

7 b) Hi ha moltes possibilitats, per exemple: Aplica 13. La casa de l esquerra, casa Amatller, segueix el traçat d una línia poligonal, ja que és una línia formada només per segments rectilinis. En canvi, la casa de la dreta, casa Batlló, té un perfil amb una línia no poligonal perquè aquesta línia conté segments curvilinis. 14. En el mosaic s observen: hexàgons regulars (en marró, amb les flors petites a dins) que són convexos (ja que tenen 6 costats i cap d ells conté un angle major de 180 ); hexàgons irregulars còncaus (ja que tenen 6 costats i tenen un angle major de 180 ), de colors taronja i gris; i dodecàgons irregulars còncaus (ja que tenen 12 costats i més d un angle major de 180 ), les estrelles de 6 puntes. 2. Els triangles Raona pàgina a) Per ser polígon regular cal que tingui els tres costats iguals i els tres angles iguals, per tant el triangle equilàter és un polígon regular. b) Un triangle no podrá ser mai un polígon còncau, ja que perquè ho sigui un dels seus angles ha de fer més de 180º. En el cas dels triangles, això és impossible ja que la suma de tots els angles suma precisament 180º. c) Tres punts no sempre determinen un triangle. Per determinar-lo calen tres punts i tres segments que els uneixin, a més aquests punts no poden estar alineats. 16. És incompatible que un triangle equilàter (3 costats iguals i 3 angles iguals) tingui un angle de 90º (triangle rectangle) i els altres 2 també de 90º, com es pot veure en la figura a). També és impossible que un triangle equilàter tingui un angle més gran de 90º (triangle obtús) i els altres dos iguals, com es pot veure a la figura b). En aquests casos no es pot formar cap triangle. a) b) 6 Matemàtiques 1 ESO

8 Tenint en compte això, la taula quedaria completada amb: página Primer hem doblegat la meitat superior del triangle, seguint una línia paral lela a la base del triangle, fent coincidir el vèrtex vermell amb el costat oposat, tal com s indica en la segona figura. Després hem doblegat els angles verd i groc, seguint línies perpendiculars a la base del triangle, tal com indica la tercera figura, per fer coincidir els tres angles del triangle original en el mateix punt. En doblegar els tres angles fent-los coincidir en el mateix punt, es pot veure que aquests formen una semicircumferència de 180 i per tant es pot observar la teoria que els tres angles d un triangle sumen 180 : A+B+C = 180. Practica l A, 30 el B, 90 el C i, efectivament, = = 30. Apliquem l operació tenint en compte que els angles d'un triangle sumen 180. Per tant, si els dos angles iguals d un triangle isósceles mesuren 75º, el tercer angle mesura 30º. 20. Un triangle rectangle isòsceles té un angle de 90 i els altres dos angles són iguals. Donat que la suma dels tres angles d un triangle és 180, tenim: 90 + A + A = A = 180 2A = 90 A = 45 7 Matemàtiques 1 ESO

9 21. a) No tenen perquè ser iguals. Per exemple, un pot ser el doble de gran que l altre. b) Sí, són iguals, satisfan la segona condició d igualtat que diu que dos triangles són iguals si tenen dos costats iguals i l angle comprès entre ells. c) No han de perquè ser iguals. Per exemple, un pot ser més gran que l altre, com succeeix a l apartat a). 22. Si el perímetre és de 117 cm, el tercer costat mesura = 59 cm, i el triangle no es pot construir perquè aquest costat és major a la suma dels altres dos costats = 58 < 59 En canvi, si el perímetre és 109 cm, l altre costat mesura = 51 cm i el triangle sí es pot construir perquè cada costat és menor que la suma dels altres dos = 58 < = 80 < a) No sabem si són iguals, només sabem que tenen igual un costat i un angle. b) Sí que són iguals perquè tenen iguals dos costats i l angle comprès entre ells. c) No sabem si són iguals, només sabem que tenen dos costats de la mateixa longitud. Aplica 24. a) Considerem el triangle que forma la part de la teulada de la façana. És un triangle isòsceles perquè els dos costat superiors i els dos angles inferiors són iguals, i obtusangle perquè l angle superior és obtús. b) Considerem la part blanca de la senyal, ja que la part vermella acaba en forma arrodonida on haurien d haver estat els vèrtexs. Aquesta part blanca és un triangle equilàter perquè els tres costats i angles són iguals, i acutangle perquè conté angles aguts. c) Triangle escalè perquè té els tres costats de diferents longituds, i rectangle perquè té un angle recte. 25. Els dos triangles són isòsceles, però el de la casa grega és obtusangle i el de la casa dels Alps és acutangle. La major inclinació de la teulada de la casa de la dreta és per fer lliscar millor la neu en els mesos d hivern. 8 Matemàtiques 1 ESO

10 3. Els quadrilàters Raona página a) Els quadrats, els rectangles i els trapezis isòsceles. b) Als paral lelograms (quadrat, rectangle, rombe i romboide) les dues diagonals es tallen al centre de la figura. c) No, en un quadrilàter còncau les diagonals no es tallen. 27. El quadrat sí és un cas especial del rectangle. A més de complir que els seus quatre angles són iguals (rectes), també té els quatre costats iguals. El quadrat també és un cas especial de rombe, ja que els seus quatre costats són iguals, com en el rombe. 9 Matemàtiques 1 ESO

11 28. a) Sí, perquè si dos costats oposats no són iguals, els altres dos és impossible que puguin ser paral lels, i per tant no formarien el paral lelogram. Cal recordar que els paral lelograms són els quadrilàters amb els costats oposats paral lels. b) Sí, perquè si els dos angles oposats fossin diferents aleshores els costats no serien paral lels i, per tant, no formaria el paral lelogram. c) Sí, perquè els angles oposats siguin iguals dos a dos, els contigus han de ser els suplementaris. Només amb aquesta disposició els dos angles contigus sumen 180. Per exemple: dibuixats dos paral lelograms qualsevols, si es mesuren els seus angles contigus aquests sumen 180º, ja que 135º+45º=180º i 90º+90º=180º, i per tant, són suplementaris. Per tant, podem concloure que els angles contigus d un paral lelogram són suplementaris. 10 Matemàtiques 1 ESO

12 página És un trapezoide perquè cap dels quatre costats és paral lel a cap altre. 30. a) No, perquè els angles contigus d un romboide han de sumar 180. Es pot comprovar tractant de dibuixar un romboide de 50º i 100º d angles contigus; la figura resultant no és un romboide. b) No, per exemple l estel té dos angles iguals. c) Sí, perquè estan formats per una recta que talla a dues rectes paral leles. Es pot comprovar dibuixant dos trapezoides rectangles i mesurant els angles no rectes. En el primer cas, mesuren 135º i 45º, per tant, 135º +4 5º = 180º; i en l altre cas mesuren 120º i 60º i, per tant, 120º + 60º = 180º. Es comprova que els angles no rectes d un trapezi rectangle són suplementaris. d) No. Un trapezi isòsceles no pot tenir un angle recte com el trapezi rectangle perquè sinó els costats no paral lels no serien iguals, un seria perpendicular a la base i l altre seria en diagonal com en el trapezi rectangle. Practica 31. Com és un paral lelogram i ha de tenir dos costats paral lels dos a dos, tindrem dos angles de 75. Per tant, els altres han de ser els seus suplementaris: Així doncs els altres dos són de 105 cadascun. Angle desconegut = 180º 75º = 105º Per tant, els angles del paral lelogram són: 75º, 75º, 105º i 105º. 32. Un rectangle té els costats iguals dos a dos. Per tant, hi haurà dos costats que mesurin 10 cm i els altres dos haurem de calcular-los: = 20 cm. Per tant mesuren 10 cm cadascun dels altres dos costats. Si el perímetre és de 36 cm i tenim que dos costats sumen 20 cm podem saber la suma dels dos costats curts: = 12 cm Si dividim aquests 12 cm entre dos sabrem el que mesuren cada un dels costats curts del rectangle: 12 : 2 = 6 cm 11 Matemàtiques 1 ESO

13 El rectangle tindrà dos costats de 10 cm i dos costats de 6 cm. 33. Mesures dels angles: 75, 90, 135 i 60. Suma dels angles del quadrilàter: = 360º 34. a) A, B, C i D tenen dos parells de costats paral lels cada un, E té un parell de costats paral lels i F no té cap parell de costats paral lels. b) A, B i E. c) En dos triangles. d) 360, perquè tot quadrilàter es divideix en dos triangles, tal i com s ha vist a l apartat c). A més, com tot triangle té tres angles que sumen 180º, es pot calcular que els angles dels quadrilàters sumen 360º: 180º + 180º = 360º. Aplica 35. Quadrilàters: rectangles (a la finestra, la porta i la part superior de la façana), trapezis (part inferior de la façana) i trapezoides (part inferior de la façana). Triangles: isòsceles rectangle (finestra), isòsceles obtusangle (finestres superiors) i escalè (finestres superiors i rere la porta). 36. a) Amb aquestes mesures no ho pot saber, faltaria mesurar les paral leles, els angles o bé les diagonals. b) Sí, en aquest cas es comprova que les diagonals són iguals. Ara sí que el rectangle és perfecte, ja que el rombe i el romboide no tenen les diagonals iguals. 12 Matemàtiques 1 ESO

14 4. Dibuix de triangles i paral lelograms Raona pàgina Primer tracem el segment a. Anomenen B i C als seus extrems, que seran vèrtexs del triangle. Després, amb centre a B tracem un arc de radi c, i amb centre a C tracem un arc de radi b que talli l anterior. Finalment, anomenem A el punt d intersecció dels arcs. Tracem els dos segments que van de A a B i de A a C i obtenim el triangle. 38. La suma de dos costats ha de ser més gran que el costat donat. De la figura anterior, podem veure que si no fos així, no trobaríem el punt d intersecció A. 39. Primer, dibuixem una línea recta qualsevol que anomenarem segment a i marquem el vèrtex C. A continuació, copiem l angle Ĉ amb el transportador d angles per poder traçar la recta b. Amb centre a C tracem un arc de radi b i on talli aquest arc amb el segment b l anomenarem punt A. Amb centre a C dibuixem un arc de radi a, i on talli aquest arc amb el segment b l anomenarem punt B. Unim el punt A i B per obtenir el costat c. 40. Dibuixem el segment a, i anomenen B i C els extrems, que seran vèrtexs del triangle. Després, amb vèrtex al punt B copiem l angle ˆB, i amb vèrtex al punt C copiem l angle Ĉ. I finalment, el punt d intersecció de les dues rectes obtingudes, és el tercer vèrtex del triangle A. Unim els tres vèrtexs i ja tenim el triangle. 41. La suma dels dos angles ha de ser inferior a 180. (Si no fos així, no es podria complir que la suma dels tres angles d un triangle fos 180 ). Per exemple, si s intenta dibuixar un triangle on dos angles contigus sumin més de 180º es comprova que és impossible: 13 Matemàtiques 1 ESO

15 pàgina Primer, es dibuixa el punt O. A continuació, es copia l angle Ô amb el transportador d angles i sobre els seus costats es dibuixen els segments a i b. Els vèrtexs que obtenim els anomenem P i Q. Després, amb centre al vèrtex P tracem un arc de radi b i amb centre al vèrtex Q tracem un altre arc de radi a. Finalment, el punt d intersecció dels dos arcs és el quart vèrtex R del romboide. Unim tots els vèrtexs i tenim el romboide. 43. Per a construir un rectangle, substituirem l'angle donat per un de recte, de 90, ja que els rectangles tenen tots els angles de 90º. Com que la definició de rectangle diu que ha de tenir tots els angles iguals i sabem que en un quadril later la suma de tots els seus angles suma 360º, aquests només poden ser de 90º. Si intentem dibuixar un rectangle amb un angle major o menor a 90º no obtindrem mai un rectangle, perquè els seus angles seran diferents. 44. En primer lloc caldria decidir un punt inicial, per exemple A. En tracem una recta qualsevol i des de A es transporta una de les mides d un costat del paral lelogram (per exemple la b), i es troba el vèrtex B. Ara des del punt A es fa un arc amb l altre mida de l altre costat (per exemple la a), i des de B es fa un arc amb la mida de la diagonal d. Així doncs, on talli aquests dos arcs serà el vèrtex C del paral lelogram. Per últim caldria transportar la mida del primer costat (en aquest cas de b) des de el punt C i així trobaríem el punt D. Unint el punt B i D obtindrem el quadrilàter. 14 Matemàtiques 1 ESO

16 Practica Matemàtiques 1 ESO

17 a) Els únics quadrilàters amb els quatre angles iguals són el quadrat i el rectangle. Com que té dos costats diferents, és un rectangle. b) Les diagonals dels rectangles són iguals, en aquest exemple es verifica. Les diagonals mesuren 8,1 cm. 16 Matemàtiques 1 ESO

18 Les diagonals mesuren 8 i 14 cm. 17 Matemàtiques 1 ESO

19 Aplica 52. a) S observa a la fotografia que els angles aguts del rombe són de 45, ja que dos d ells formen un angle recte. Com sabem que la suma dels angles del rombe ha de ser 360, sabem que els angles obtusos mesuren 135 cadascun d ells: 360 ( ) = 270 o = 135o Per tant, el rombe té tots els costats de 0,5 dm, i dos angles de 45 i dos de 135, tenint en compte, com es veu a la fotografia que els costats del rombe fan la meitat del quadrat gran. En quant al rectangle gran, es pot observar que els costats de dos rombes formen el costat del rectangle, per tant es dedueix que el costat horitzontal és de 1 dm. D altra banda, el costat vertical coincideix amb el costat d un rombe, per tant aquest mesura 0,5 dm. En quant als angles tots són rectes (per tant, de 90 ). El costat dels quadrats petits mesura 0,5 dm (ja que coincideixen també amb el costat dels rombes de 0,5 dm). Els angles són també rectes. b) i c) Resposta oberta. 5. La circumferència Raona pàgina Una circumferència és una línia corba tancada i plana els punts de la qual es troben tots a una mateixa distància d un punt interior anomenat centre. 54. Centre: Punt que es troba a una mateixa distància de tots els punts de la circumferència. Radi: Segment que uneix un punt qualsevol de la circumferència amb el centre d aquesta. Diàmetre: Segment que uneix dos punts de la circumferència passant pel centre. Equival al doble del radi. Corda: Segment que uneix dos punts qualssevol de la circumferència. Arc: Porció de circumferència compresa entre els dos punts de la corda. 55. El radi és la meitat del diàmetre. 56. La corda més gran correspon a un diàmetre i l arc que li correspon és mitja circumferència. 57. Resposta oberta. Per exemple: Objecte Perímetre Diàmetre P/d Pot de llapissos 26 cm 8,28 cm 3,14 Sabent el perímetre podem saber el radi: r = L 2 = 26 = 4,14 cm 2 3,14 18 Matemàtiques 1 ESO

20 Un cop sabem el radi, podem saber el diàmetre: d = 2r = 2 4,14 = 8,28 cm Un cop sabem el diàmetre, ja podem saber el quocient P/d: 26 / 8,28 = 3,14 cm Com a conseqüència d aquestes operacions, i de la mesura dels objectes plantejats (els de la cinta adhesiva, pot de pintura o cubell dels que els alumnes disposin) es conclou que els quocients P/d per als diferents objectes coincideixen en que tenen una relació constant i única, el número 3,14, és a dir, el número π. 58. Els matemàtics fan servir una lletra per referir-se a π perquè si fan servir nombres, com que π en té infinits, mai podrien ser precisos i donar un resultat amb exactitud. 59. Exemple resolt. pàgina Exemple resolt. Practica 61. L circumf. = 2 r = 2 3,14 21= 131,88 cm El perímetre de la circumferència és de 131,88 cm 62. Radi Diàmetre Longitud Circumf cm 30 cm 94,2 cm Circumf. 2 12,5 mm 25 mm 78,5 mm Circumf m 20 m 62,8 m Els cálculs són: L circumf. 1 = 2πr = 2 3,14 15 = 94,2 cm R circumf. 2 = Diàmetre = = 12,5 mm L circumf. 2 = 2πr = 2 3,14 12,5 = 78,5 mm r circumf. 3 2πr = 62,8 r circumf. 3 = 62,8 2 3,14 r circumf.3 = 10 m D circumf. 3 = 2r = 2 10 = 20 m 19 Matemàtiques 1 ESO

21 63. Primer hem de saber quin radi fa la roda; com que en coneixem el diàmetre calculem: r = d 2 = 14 2 = 7 m Un cop sabem que el radi fa 7 m, ja podem conèixer la longitud de la roda: L = 2πr = 2 3,14 7 = 43,96 m Com que la distància que recorre cada cistella en fer una volta és igual a la longitud total de la roda, aquesta té una longitud de 43,96 m i, per tant, recorre uns 43,96 m per cada volta que fa. 64. La longitud de l equador és de ,84 km segons l equació següent: L = 2πr = 2 3, = ,84km 65. Primer hem de saber quin radi tenen: r = d 2 = 63,7 = 31,85 cm 2 Un cop sabem que el radi de la roda és de 31,85 cm, esbrinem la longitud: L = 2πr = 2 3,14 31,85 = 200,018 cm La longitud de la roda és de 200,018 cm. Com que sabem que 1 km són cm, podem calcular quants quilòmetres són 200, 018 si operem: 200, 018 : = 0,002 km Com que sabem que 0,002 km són una volta de roda, 45 km són voltes de roda. 45 :0,002 = voltes 66. a) Com es pot observar hi ha quatre rectes i quatre arcs. Per tant, per calcular les rectes hem de restar el radi de les dues circumferències que completen la mesura de 12 dm i obtenim que les rectes mesuren 6 dm: 12 (3 2) = 6 dm Per calcular la longitud dels quarts de circumferències hem de saber primer la longitud de la circumferència i després dividir-ho entre 4: L = 2πr = 2 3,14 3 = 18,84 dm 18,84 : 4 = 4,71 dm Un cop sabem que les rectes fan 6 dm i els quarts de circumferències fan 4,71 dm, hem de sumar-ho tot: (4,71 4) + (6 4) = 42,84 dm La figura té un perímetre de 42,84 dm b) El diàmetre de la circumferència gran és de = 12 cm, per tant, el seu radi és de r = 12 / 2 = 6 cm. Per tant, la seva longitud es calcula així: L = 2 r = 2 3,14 6 = 37,68 cm Per tant, la mitja circumferència grossa mesura 37,68 : 2 = 18,84 cm. Seguint el mateix procediment, les mitges circumferències petites tenen respectivament una longitud de: 3,14 cm, 6,28 cm, i 9,42 cm. Si sumem les longituds, ens surt que la figura té un perímetre de 37,68 cm: 18,84 + 3,14 + 6,28 + 9,42 = 37,68 cm 20 Matemàtiques 1 ESO

22 Aplica 67. a) La circumferència vermella ens mostra el perímetre del senyal i la línia vermella diagonal de la figura ens mostra el diàmetre d aquesta. b) El pneumàtic de la roda ens mostra el perímetre d aquesta. Els radis metàl lics de la roda ens mostren els radis de la roda (per això es diuen així). El punt d interserció dels radis de la roda ens mostra el centre de la roda. c) La part recta de la figura ens mostra la corda d una circumferència hipotètica, i la part corba de sobre ens mostra l arc de la circumferència. d) La línia blanca del comptaquilòmetres és un arc d una circumferència i l agulla vermella és el seu radi. 68. Si hem de tenir 12 comensals, el perímetre de la taula ha de ser de 960 cm: = 960 cm Un cop sabem el perímetre de la circumferència calculem el radi: r = L 2π = 960 = 152,87 cm 2 3,14 El radi de la taula haurà de ser de 152,87 cm. 6. Simetria i figures planes Raona página El cristall es pot tallar de 6 maneres diferents, que corresponen als eixos de simetria: 21 Matemàtiques 1 ESO

23 70. La imatge reflectida la veiem a una distància aparent igual a la que ens separa a nosaltres del mirall. 71. La lletra H té dos eixos de simetria, el que la talla horitzontalment per la meitat i el que talla verticalment per la meitat. 72. En el cas de polígons regulars cal distingir entre un nombre de costats parell i un senar. Cas parell: les rectes que uneixen dos vèrtexs oposats són eixos de simetria. Donat que hi ha n vèrtexs, tindrem 2 n eixos de simetria. A més, si unim els punts mitjans dels costats oposats també divideixen el polígon en dues parts iguals, per tant 2 n eixos de simetria més. Així doncs, en total hi ha n eixos de simetria. Els primers corresponen als radis del polígon i els segons corresponen a les apotemes. 22 Matemàtiques 1 ESO

24 Cas senar: les rectes que uneixen cada vèrtex amb el punt mig del costat oposat divideixen el polígon en dues parts iguals. Per tant, té n eixos de simetria. En aquest cas, la meitat de l eix correspon a un radi i l altre meitat a una apotema. 73. Una circumferència té infinits eixos de simetria, un per cada diàmetre que hi puguem traçar. L eix de simetria correspon a un diàmetre. 74. a) La lletra A té un únic eix de simetria (vertical) i la lletra H en té dos (vertical i horitzontal). b) Només la lletra H té aquesta propietat, fent-la girar 180 des de qualsevol punt. 23 Matemàtiques 1 ESO

25 pàgina El cristall té sis puntes iguals separades per una amplitud de 60. Així, si el girem 60 o un múltiple de 60 quedarà en una posició indistingible de la inicial. 76. El primer triangle té 1 eix de simetria vertical. El rectangle té 2 eixos de simetria, 1 vertical i 1 horitzontal. El triangle equilàter té 3 eixos de simetria, 1 vertical i 2 en diagonal. El quadrat té 4 eixos de simetria, 1 horitzontal, 1 vertical i 2 diagonals. Totes tenen eix de simetria excepte el triangle isòsceles. Si una figura plana té més d un eix de simetria, el centre de simetria és el punt on es tallen els eixos. 77. Sí, per exemple les lletres S i Z no tenen cap eix de simetria i sí tenen centre de simetria perquè si les fem girar 180 tornen a quedar en una posició igual que la inicial. Practica Matemàtiques 1 ESO

26 80. Si tallem els símbols per l eix de simetria vertical que tenen observem que les meitats de la dreta corresponen als nombres 1, 2, 3, 4 i 5. Per tant els tres termes següents serien el 6, 7 i Aplica 82. a) Mercedes: 3 eixos de simetria (1 vertical, 2 diagonals) Mitsubishi: 3 eixos de simetria (1 vertical, 2 diagonals) 25 Matemàtiques 1 ESO

27 Nissan: 2 eixos de simetria sense tenir en compte les lletres (1 vertical, 1 horitzontal) Citroën: 1 eix de simetria (vertical) Toyota: 1 eix de simetria (vertical) Suzuki: no té eixos de simetria Renault: Si no es tinguessin en compte les línies interiors podria semblar que té 2 eixos de simetria (1 vertical, 1 horitzontal) 26 Matemàtiques 1 ESO

28 Ford: 2 eixos de simetria sense tenir en compte les lletres (1 horitzontal, 1 vertical) Audi: 2 eixos de simetria (1horitzontal, 1 vertical) BMW: si no es tinguessin en comtpe les línies interiors i les lletres tindria 2 eixos de simetria (horitzontal i vertical). Seat: no té eixos de simetria. Volkswagen: 1 eix de simetria (vertical) b) Tenen centre de simetria: Mercedes, Mitsubishi, Nissan, Suzuki, Renault, Ford, Audi, BMW, Seat. 27 Matemàtiques 1 ESO

29 ACTIVITATS FINALS Càlcul mental página a) P = 12 4 = 48 mm b) Com que sabem que els tres costats d un triangle són iguals, podem saber quan mesura un dels seus costats sabent el perímetre: 39 : 3 = 13 cm c) Si sabem el perímetre total i un costat, només hem de restar-ho per conèixer la suma dels altres dos. Cada costat igual del triangle fa 40 cm. d) Com que sabem que la suma de tots els costats d un triangle fa 180 i sabem que un mesura 95 i l altre 65, llavors sabem que el tercer fa 20 si calculem: 180 ( ) = 20 o 84. a) L = 2πr = 2 3,14 5 = 31,4 cm b) r = 2 / d = 2 / 20 = 10 dm = r c) 85. a) 360 o / 2 = 180 o b) 360 o / 5 = 72 o Raona i practica 1. Els polígons L = 2πr = 2 3,14 10 = 62,8 dm r = L 2π = 6,28 2 3,14 = 1 m 86. a) Lleó Menor, Linx, Camelopardalis, Cassiopea i Defeu perquè les altres constel lacions contenen línies poligonals tancades. b) Lleó menor, Camelopardalis, Cefeu. c) Ossa Major, Ossa Menor, Dragó, Cigne, Balança, Hèrcules, perquè les línies poligonals no poden ser mig obertes o mig tancades. 87. a) b) c) 28 Matemàtiques 1 ESO

30 d) e) Octàgon irregular còncau 2. Pentàgon regular convex 3. Hexàgon irregular còncau 4. Heptàgon irregular còncau 5. Octàgon regular convex 6. Quadrilàter irregular convex 7. Triangle regular convex 8. Hexàgon irregular còncau 90. P = 5 8 = 40 cm 91. Té cinc diagonals, una per cada vèrtex. 29 Matemàtiques 1 ESO

31 92. 9 costats: enneàgon 10 costats: decàgon 12 costats: dodecàgon 13 costats: triskaidecàgon 15 costats: pentadecàgon 20 costats: icosàgon 93. Un polígon còncau ha de tenir almenys un angle major de 180. En aquest cas, per poder tancar la línia poligonal caldrà que tingui angles menors de 180. És a dir, tindrà angles diferents i, per tant, no pot ser un polígon regular ja que aquests han de tenir tots els angles iguals. Si intentem dibuixar un polígon regular que tingui tots els angles iguals i que aquests siguin majors de 180º veiem que no podrem tancar mai el polígon: 94. Sí, un exemple de polígon irregular amb tots els costats iguals és el rombe. En el dibuix es pot observar que encara que té tots els costats iguals, els seus angles són diferents: Sí, un exemple de polígon irregular amb tots els angles iguals és el rectangle, ja que té tot els costats i angles iguals. 30 Matemàtiques 1 ESO

32 2. Els triangles 95. a) Triangle obtusangle isòsceles ja que té dos costats iguals i un angle obtús. b) Triangle rectangle escalè, ja que té un angle recte i els tres costats diferents. c) Triangle acutangle isòsceles, ja que té dos costats iguals i tots els angles aguts. d) Triangle acutangle escalè, ja que té tots els costats diferents i els angles aguts. e) Triangle obtusangle escalè, ja que té un angle obtús i tots els costats diferents. f) Triangle rectangle isòsceles, ja que té un angle rectangle i dos costats iguals. 96. a) Un triangle equilàter té els tres costats iguals, per tant: 120 : 3 = 40 cm b) 56 = x x = 56 (18 2) = 20cm c) Com que als triangles la suma dels angles fa 180 i ja sabem dos angles (un fa 25 i l altre fa 90 perquè és un triangle rectangle, calculem: 180 ( ) = 65 o El tercer angle farà 65. página Un triangle isòsceles té dos angles iguals i un de diferent, que com diu l enunciat és de 100. Per tant, podem calcular: = :2 = 40 o Cadascun dels dos angles aguts d aquest triangle isòsceles farà Per poder construir un triangle cal que la suma de dos costats qualsevol sigui més gran (ni menor ni igual) que l altre costat. Saben això, resolem els apartats. a) No es pot construir perquè si operem la suma de costats: = 16 < 18 Ho podem comprovar, a més, al dibuix: 31 Matemàtiques 1 ESO

33 b) No es pot construir perquè si calculem la suma de costats: 3+ 6 = 9 c) Sí es pot construir, perquè la suma dels dos costats, siguin quins siguin, sempre es sempre un valor superior al del costat que manca: = 37 > Si tenim un triangle isòsceles i intentem dibuixar-ne un altre que tingui la mateixa base i el mateix angle oposat veiem que se ns dibuixa exactament el mateix triangle. Donat que són triangles isòsceles, al tenir l angle oposat a la base igual, aleshores també tenen iguals els angles contigus a la base. Per tant, els triangles són iguals ja que tenen un costat i els tres angles iguals. 32 Matemàtiques 1 ESO

34 100. No són iguals, ja que els angles contigus a la hipotenusa no tenen perquè ser iguals. Només cal trobar dos parells d angles diferents que sumin 90. Per exemple: i Si el costat desigual fos igual als altres dos, aleshores el perímetre seria de 57 cm. Si fos així, els costats mesurarien: 57 : 3 = 19 cm Així, els costats iguals mesuren 19 cm i el desigual mesura 2 cm menys, per tant, mesura 17 cm No pot tenir dos angles iguals, ja que hauria de ser un triangle isòsceles i hauria de tenir dos costats iguals i no pas tots diferents com el triangle que planteja l enunciat a) Queda dividit en 8 triangles. b) Els triangles són isòsceles i tots iguals perquè en ser l octàgon regular, tots ells tenen la mateixa base (el costat de l octàgon) i els altres dos costats (que coincideixen amb els radis de l octàgon). c) Sabem que l angle del vèrtex del centre de l octàgon mesura 45. Sabent que el triangle és isòsceles, sabem que els altres dos angles són iguals i el conjunt dels tres ha de sumar 180, com correspon a tots els triangles: = 135 o 135 :2 = 67,5 o Si operem veiem que els dos angles mesuren 67,5 cadascun. d) L angle interior de l octàgon és el doble de 67,5, és a dir 135, com es veu a: 33 Matemàtiques 1 ESO

35 104. a) quadrilàter: 1, pentàgon: 2, hexàgon: 3, heptàgon: 4 i octàgon: 5 b) En un polígon de n costats des d un vèrtex podem traçar n 3 diagonals. c) Cada polígon ha quedat dividit en n 2 triangles. d) Donat que un polígon de n costats es descompon en n 2 triangles i la suma dels angles d un triangle és 180, tenim: Suma angles polígon = (n 2) 180 e) Cal recordar que els polígons regulars tenen els angles iguals. Així doncs, per obtenir l angle de cadascun dels polígons s ha de dividir la suma total entre el nombre d angles del mateix: triangle, suma total d angles: 180 o (n 2) = 180 (3 2) = 180 o Dividim la suma total entre el nombre d angles I obtenim que els angles del triangle equilàter fan 60 cadascun: 180 o : 3 = 60 o Per tant, seguint el mateix procediment, es poden calcular els angles dels polígons següents: Quadrilàter: 90 Pentàgon: 108 Hexàgon: 120 Octàgon: Matemàtiques 1 ESO

36 3. Els quadrilàters 105. En primer lloc cal recordar que el paral lelogram té els costats oposats paral lels i els angles oposats iguals dos a dos o tots iguals. Com aquest paral lelogram té els costats de diferents longituds dos a dos, els angles també seran iguals dos a dos. Ja sabem la longitud de dos costats paral lels (65 mm = 0,65 cm); falta saber la longitud dels altres dos costats. Com que sabem el perímetre, operem: costats = 20 (0,65 2) = 18,7cm 18,7 :2 = 9,35 cm Els dos costats que no sabíem mesuren 9,35 cm cadascun. Per altra banda, ja coneixem dos angles que mesuren 102 cadascun, i com sabem que la suma de tots els angles d un quadrilàter ha de sumar 360 podem saber que els altres dos angles mesuren respectivament: angles= 360 (102 2) = 156 o 156 / 2 = 78 o Per tant, és un romboide de costats 9,35 cm i 18,7 cm i d angles 102º i 78º a) Només hi ha un paral lelogram, el format si unim els punts ABED. Hi ha quatre trapezis: DEHG, ABHG, BCFE i ACFD. b)trapezoide: EFIH Romboide: ABED Trapezi rectangle: BCFE Trapezi no rectangle: DEHG 107. a) El rombe. b) El trapezi isòsceles. c) El trapezoide. d) El rectangle. e) El rombe. f) El romboide a) Com que el rombe té els angles iguals dos a dos, ja sabem que dos angles mesuren 63, i com que també sabem que la suma dels quatre angles ha de fer 360, podem calcular el que mesuren els altres dos angles: 360 (63 2) = 234 o 234 :2 = 117 o Per tant, hi ha dos angles de 63 i dos angles de Matemàtiques 1 ESO

37 b) Un quadrilàter no pot tenir dos angles còncaus ja que entre els dos sumarien ja 360 i contradiria que els quatre angles d un quadrilàter sempre sumen 360 (en sumarien més). Per tant, com a màxim pot tenir un. Quan intentem dibuixar un quadrilàter amb dos angles còncaus veiem que no podem unir els costats a) Sí, és el cas del rectangle i el quadrat. b) No poden ser tots aguts, ja que no arribarien a la suma de 360. Quan intentem dibuixar-ho veiem que no podem ajuntar els costats a menys que tingui un o més angles obtusos. c) No poden ser tots obtusos, ja que es passarien de la suma de 360. Quan intentem dibuixar-ho veiem que no podem ajuntar els costats a menys que tingui un o més angles aguts. 36 Matemàtiques 1 ESO

38 110. a) Cert, per exemple un trapezi rectangle té dos angles rectes però no és un paral lelogram. b) L afirmació no és certa. El quadrilàter còncau següent té les diagonals iguals i no és un paral lelogram. c) És certa. Si té un angle recte, tots els angles també ho seran ja que vol dir que tenim dos costats paral lels i dos perpendiculars al primer. d) És fals, podem dibuixar un trapezoide amb un únic angle recte. e) No és certa. Si té tres angles rectes, l altre també ho és (perquè sumen 360 ) i per tant és un rectangle. f) Cert, és el mateix cas que la pregunta b). 37 Matemàtiques 1 ESO

39 4. Dibuix de triangles i palal lelograms página a) El perímetre del triangle és: P = 3 7 = 21 cm b) Els altres dos costats mesuren 6,5 cm i 8,8 cm, com es pot observar: 38 Matemàtiques 1 ESO

40 c) L altre costat mesura 8,7 cm, com es pot observar si es dibuixa: 112. a) b) c) d) 39 Matemàtiques 1 ESO

41 La circumferència Radi Diàmetre Perímetre 22 cm 44 cm 138,16 cm 52 mm 104 mm 326,56 mm 72,134 m 144,268 m 453 m d = 2r = 2 22 = 44 cm L = 2πr = 2 3,14 22 = 138,16 cm r = d 2 = 104 = 52 mm 2 L = 2πr = 2π 52 = 326,56 mm r = L 2π = ,14 = 72,134m d = 2r = 2 72,134 = 144,268 m 40 Matemàtiques 1 ESO

42 116. a) La corba està formada per 3 semicircumferències de 4 cm de radi. Per tant, podem calcular la longitud de cada circumferència operant: L = 2πr = 2 3,14 4 = 25,12 cm Per tant la longitud de cada mitja circumferència és de: 25,12 = 12,56 cm 2 La longitud de les tres mitges circumferències que formen la corba es calcula: 12,56 3 = 37,68 cm La corba té doncs una longitud de 37,68 cm. b) La longitud de la corba és igual a la suma de les longituds d una circumferència de 3 cm de diàmetre, la d una circumferència de 4 cm de diàmetre i la d una semicircumferència de 6 cm de diàmetre. Calculem en primer lloc la longitud de la circumferència de 4 cm de diàmetre, sabent que té un radi de 2 cm: i per tant té una longitud de 12,56 cm: L = 2πr = 2 3,14 2 = 12,56 cm Per tant, la circumferència de 4 cm de diàmetre té una longitud de 12,56 cm. Calculem ara la longitud de la circumferència de 3 cm de diàmetre, sabent que té un radi de 1,5 cm: L = 2πr = 2 3,14 1,5 = 9,42 cm Per tant, la longitud de la circumferència de 3 cm de diàmetre és de 9,42 cm. Calculem a continuació la longitud de la semicircumferència de 6 cm de diàmetre amb un un radi de 13 cm: L = 2πr = 2 3,14 3 = 18,84 cm 18,84 = 9,42 cm 2 Per tant, té una longitud de 9,42 cm: Per últim, sumem les tres longituds obtingudes: 12,56 + 9,42 + 9,42 = 31,4cm Per tant, la longitud total de la corba és de 31,4 cm a) Si fem un gràfic, veiem que la distància que recorre la Lluna al voltant de la Terra, és el perímetre de la circumferència de km de radi. 41 Matemàtiques 1 ESO

43 Per tant: L = 2πr = 2 3, = ,56 km La Lluna recorre ,56 km en donar una volta a la Terra. b) Si la Lluna triga 27,32 dies en donar una volta i sabem que un dia són 24 hores, podem calcular les hores que tarda la Lluna en donar una volta: 27,32 24 = 655,68 h La lluna tarda 655,68 hores en donar una volta sencera. A l apartat anterior s ha calculat la distància que recorre. I sabent que la velocitat es calcula com l espai recorregut dividida entre el temps que triga, operem: ,56 / 655,68 = 3.681,74km/ h La velocitat de la Lluna és de 3.681,74 km/h. c) Com ja s ha calculat la velocitat de la Lluna, i aquesta es considera constant, es pot fer el càlcul de la distància recorreguda en un dia ,74 24 = ,81 km La Lluna recorre ,81 km en un dia a) Dividim la figura en d altres per poder operar. En primer lloc, identifiquem una circumferència de 3 dm de radi (a la part central, una semicircumferència amunt i l altre a sota), de la que podem calcular-ne la longitud: L = 2πr = 2 3,14 3 = 18,84 dm El perímetre d aquesta primera figura és de 18,84 dm. També podem identificar una semicircumferència de 2 dm de radi (un quart de circumferència a la esquerra amunt i esquerra a sota); en calculem la longitud: L = 2πr = 2 3,14 2 = 12,56 dm 12,56 = 6,28 dm 2 Aquesta segona figura té 6,28 dm de longitud: Es pot identificar també una semicircumferència de 4 dm de radi; en calculem la longitud: L = 2πr = 2 3,14 4 = 25,12 dm 25,12 = 12,56 dm 2 Aquesta nova figura té 12,56 dm de longitud. Per últim, també es pot observar un segment de 4 dm. Si ho sumem totes aquests elements parcials podem trobar el perímetre total: 18,84 + 6,28 +12, = 41,68 dm El perímetre total és de 41,68 m b) Dividim la figura en d altres parcials. Se n observa una circumferència de 3 dm de radi (una semicircumferència a l esquerra a sota i l altre just a la dreta). En calculem la longitud: L = 2πr = 2 3,14 3 = 18,84 dm La longitud d aquesta primera figura parcial és de 18,84 dm. 42 Matemàtiques 1 ESO

44 També es pot veure una semicircumferència de 6 dm de radi. En calculem la longitud: L = 2πr = 2 3,14 6 = 37,68 dm 37,68 = 18,84 dm 2 Aquesta segona figura parcial té una longitud de 18,84 dm. Si es sumen els perímetres parcials s obté el perímetre total: 18,84 2 = 37,68 dm En total, la figura té un perímetre de 37,68 dm Si les rodes fan 475 voltes en m, es pot calcular el perímetre d una volta, és a dir, de la roda: : 475 = 2,11 m Per tant, el perímetre d una roda és de 2,11 m. Coneixent aquest dada, en podem calcular el diàmetre: r = 2,11 2π = 0,34 m d = 2r = 2 0,34 = 0,67 m Per tant, el diàmetre és de 0,67 m 120. a) Tenint en compte les dades podem operar, primer per conèixer el radi i, a partir d aquest esbrinar la distància de cada roda: r = d 2 = 72 2 = 36 cm L = 2πr = 2 3,14 36 = 226,08 cm= 2,26 m Per cada volta, la roda fa 2,26 m Coneixent la distància que recorre la Carla per cada volta, es pot calcular les voltes que donarà la volta en una distància determinada, en aquest cas 350 m: 350 :2,26 = 154,87 voltes Les rodes de la bicicleta de la Carla han fet 154,87 voltes en 350 m. b) Si per cada volta de pedal fa 2,5 voltes de roda, podem calcular: 154,87 :2,5 = 61,948 voltes En total, la Carla a fet 61,948 voltes de pedal A partir de les dades operem: L = 2πr = 2 3,14 30 = 188,4 cm Per una volta de torn es recorren 188,4 cm. Si s han donat 42 voltes al torn, podem calcular: 188,4 42 = 7.912,8 cm En total, el torn ha recorregut 7.912,8 cm Si passem els centímetres a metres dividint per 100 (perquè 1 m = 100 cm), obtenim: 7.912,8 : 100 = 79,128 El cable fa 79,128 m 43 Matemàtiques 1 ESO

45 6. Simetria de figures planes página Matemàtiques 1 ESO

46 Amplia 125. El tercer costat ha de ser menor que la suma i major que la diferència. És a dir, el tercer costat ha de ser: 10 5 = 5 cm = 15 cm El tercer costat és major que 5 cm i menor que 15 cm En primer lloc, com que el rombe té els 4 costats iguals podem calcular quant farà cada costat a partir del perímetre: 24 : 4 = 6 cm Un cop sabem quant mesura cada costat fem el rombe i hi identifiquem els angles, els medim amb el transportador i comprovem que els angles obtusos fan 120 i els aguts 60, per tant, es corresponen amb el que indica l enunciat Aquest resultat cal dividir-lo entre 2, perquè cada diagonal l hem comptat dues vegades, tal i com es mostra a la imatge: 45 Matemàtiques 1 ESO

47 128. a) Les dues diagonals del quadrilàter són diàmetres de circumferències concèntriques i, per tant, es tallen en el seu punt mig. Si les diagonals d un quadrilàter es tallen en el seu punt mig, aquest és un paral lelogram. A més, es poden observar els paral lelismes dos a dos. b) No pot ser un quadrat ni un rectangle, ja que en aquests supòsits haurien de tenir les dues diagonals iguals i, com que les circumferències són de radis diferents, les diagonals també ho són. Per tant, és un romboide. El cas especial de triar les diagonals perpendiculars correspon al rombe, com es mostra a la imatge: 129. a) b) 46 Matemàtiques 1 ESO

48 c) d) Intentem dibuixar el polígon estrellat 10/4 i observem que es tanca en dos polígons 5/2, per tant serà una estrella 10/4. L estrella 9/3, dibuixada a la dreta, està formada per tres triangles Resolució de problemes 131. Activitat resolta. 47 Matemàtiques 1 ESO

49 página Per a la primera figura, que és un pentàgon, hem de mesurar, com a mínim el que fa el costat més curt: 1,41 dm. Amb aquesta dada, en calculem el perímetre: 1,41 11 = 15,51 dm La primera figura té un perímetre de 15,51 dm. Per a la segona figura calculem la longitud de l arc, que és un quart de circumferència: r = 1,41 dm L = 2πr = 2 3,14 1,41 = 8,85 dm 8,85 : 4 = 2,21 dm Així, el perímetre de la segona figura és: (1,41 10) + 2,21 = 16,31 dm La segona figura té un perímetre de 16,31 dm Atenent a les lesa dades, podem calcular el perímetre del quadrat de 30 m de costat: 30 4 = 120 m Un cop sabem el perímetre del tancat quadrat que e vol fer a la plaça (120 m) i el que fa cada tanca podem calcular quantes se n necessiten: = 60tanques En total es necessitaran 60 tanques a) Cal remarcar que la xarxa també es compta com a línia divisòria, i que alguns es poden integrar en d altres, donant diverses possibilitats. S identifiquen a la pista els dos idèntics i llargueruts als laterlas (R 1 ); els de la zona del dos fons de pista (R 2 ); els 2 del centre dividits per una línia vertical en el sentit de la sacada (R 3 ); un rectangle més gran, sense comptar la línia divisòria anterior (R 4 ); 2 més que incloen la zona jugable individual, per a cada jugador (R 5 ); i, per últim, tota la pista és un rectangle de joc (R 6 ). Si els comptem, oberservem 6 tipus de rectangles, alguns coincidents, com R 4 i R Matemàtiques 1 ESO

50 b) Per a calcular el perímetre, considerem només 3 dels tipus de rectangles identificats en l apartat a). R 1 R 3 R 2 Rectangle R 1 : primer calculem el costat del que no tenim la dada de la longitud: 10,97 8,23 = 2,74 Ara coneixem quant mesuren els 2 costats curts dels requadres de lateral de pista; ho dividim entre 2 per obtenir la dada per a cadascun dels costats curts de R 1 : 2,74 2 = 1,37 m A continació, es pot calcular el perímetre sumant el costat llarg (23,77 m) i el curt (1,37 m); cal tenir en compte multiplicar-ho per 2 perquè es vol calcular el perímetre dels 2 requadres R 1 : (23,77 2) + (1,37 2) = 50,28 m Els 2 requadres R 1 que hi ha a la pista fan un perímetre de 50,28 m. Rectangle R 2 : primer calculem el costat que no coneixem, a partir de les dades que ens aporta l enunciat: 23,77 12,80 = 10,97 m 10,97 = 5,49 m 2 Ara que ja coneixem quant mesuren tots els costats de R 2 calculem el perímetre sumant-los i multiplicant-ho per 2 per tenir en compte que són 2 requadres d aquest tipus en tota la pista: (8,23 2) + (5,49 2) = 27,44 m Els 2 requadres R 2 que hi ha a la pista fan un perímetre de 27,44 m. Rectangle R 3 : per calcular el costat que desconeixem calculem: 8,23 2 = 4,115 m Sumem tots els costats de R 3 : (12,89 2) + (4,115 2) = 34,01 m El perímetre dels rectangles R 3 és de 34,01 m. 49 Matemàtiques 1 ESO

51 135. Identifiquem un rectangle, amb l afegit d una semicircumferència en un dels costats curts. En primer lloc, volem saber el perímetre de la semicircumferència. En calculem el radi: r = diàmetre = 1,5 = 0, 75 m 2 2 El radi fa 0,75 m. Després cal conèixer la longitud de la circumferència; operem: L = 2πr = 2 3,14 0,75 = 4,71 m Ara que coneixem la longitud de la circumferència (4,71 m) dividim entre dos per saber la longitud de la semicircumferència: 4,71/ 2 = 2,36 m La semicircumferència fa un perímetre de 2,36 m. Per conèixer la resta del perímetre, també cal mesurar la distància des de l extrem de la circumferència al vèrtex de la piscina. Com coneixem la dada de l amplada (3,5 m) calculem: 3,5 1,5 = 2 m Així doncs, ja tenim totes les dades per calcular el perímetre: els costats llargs del rectangle (9 m cadascun), un dels costats curts (3,5 m), el costat en forma de semicircumferència (2,36 m) i l altre costat curt, llevat de la circumferència (2 m). Ho sumem: ,5 + 2, = 25,86 m La piscina té un perímetre de 25,86 m En primer lloc calculem quants pals hi ha en el costat curt del camp rectangular: 45 5 = 9 pals Fem el mateix pel costat llarg: 70 = 14 pals 5 Per tant, podem calcular els pals que formaran el tancat: (14 2) + (9 2) = 46 pals Per saber els metres de filferro calculem el perímetre sumant les longituds dels costats que ens aporta l enunciat: (45 2) + (70 2) = 230 m Com que necessitem el doble de filferro que de perímetre: = 460 m Així doncs, necessitem 460 m de filferro i 46 pals per a fer el tancat elèctric En primer lloc passem a metres el 12 cm multiplicant per 100 (12 cm = 0,12 m). A continuació calculem el diàmetre total de la taula rodona: 1,5 + 0,12 + 0,12 = 1,74m Després calculem el radi: 1,74 2 = 0,87 m Així doncs, el perímetre és: L = 2πr = 2 3,14 0,87 = 5,46 m Per tant, es necessitaran 5,46 m de rivet. 50 Matemàtiques 1 ESO

52 138. En primer lloc cal calcular el perímetre de la roda, per poder saber la distància que fa en cada volta: r = d 2 = 63,7 = 31,85 cm 2 L = 2πr = 2 3,14 31,85 = 200,02 cm Cada volta de roda fa una distància de 200,02 cm = 0,002 km. Si per cada volta es recorren 0,002 km, podem calcular les que s hauran fet en km: ,002 = Les rodes hauran fet de voltes abans de canviar-les Resposta oberta En primer lloc cal saber el total de voltes circulars: 55 + (2 2) = 59 voltes La molla està formada per 59 voltes. A continuació es calcula el perímetre de cadascuna de les voltes: r = d 2 = 1 = 0,5 cm 2 L = 2πr = 2 3,14 0,5 = 3,14 cm Cadascuna de les voltes fa 3,14 cm de perímetre. Així doncs, ja tenim les dades necessàries per a calcular el perímetre total i, per tant, la longitud total de filferro: 3,14 59 = 185,26 cm En total cal una longitud de 185,26 cm de filferro per a fer la molla Cal tenir en compte que si es descompten els nusos la corda fa 200 cm de llarg. a) Calculem cada costat del quadrat, tenin en compte que són 4 costats iguals: 200 : 4 = 50 cm Cada costat del quadrat farà 50 cm. b) Calculem el radi del cercle de 200 com operant: r = L 2π = 200 = 31,85 cm 2 3,14 El radi del cercle fa 31,85 cm c) Com que el rectangle té els costats iguals dos a dos calculem: 200 (20 2) = = 80 cm 2 La longitud de cada costat llarg seria de 80 cm. 51 Matemàtiques 1 ESO

53 página En primer lloc cal conèixer el perímetre: L = 2πr = 2 3,14 30 = 188,4 cm En cada volta de roda de la bicicleta es recorren 188,4 cm. Després hem de conèixer quantes voltes de roda es donaran en total, tenint en compte que 1 km = cm: :188, 4 = 530,79 Les rodes donaran 530,79 voltes Com que per cada volta de pedal es fan 1,5 voltes de roda, calculem quantes pedalades es fan per les 530,79 voltes de roda: 530,79 :1,5 = 353,86 Per recórrer un quilòmetre caldrà donar 353,86 pedalades a) El perímetre de la font el podem calcular primer trobant el seu radi: r = diàmetre = = 2 m Un cop sabem que la font té radi un de 2 m, podem trobar el seu perímetre: L = 2πr = 2 3,14 2 = 12,56 m Després, per calcular el perímetre de la zona amb flors, primer hem de calcular el seu radi. Per fer-ho, trobarem el diàmetre sumant el diàmetre de la font i la longitud en metres (50 cm = 0,5 m) a banda i banda de la zona de flors: 4 + 0,5 + 0,5 = 5 m I amb el diàmetre (5 m) podem trobar el radi: r = diàmetre = = 2,5 m Un cop tenim el radi (2,5 m), calculem el perímetre de la zona exterior amb flors: L = 2πr = 2 3,14 2,5 = 15,7 m Per tant, tenim que el perímetre de l estany és de 12,56 m i el de la zona de flors és de 15,7 m. b) Si al diàmetre de 5 m li afegim 1,5 m per ambdós costats obtenim el diàmetre total: 5 +1,5 +1,5 = 8 m Amb el diàmetre (8 m) podem calcular el radi: r = diàmetre = = 4 m I amb la dada del radi (4 m) podem calcular la longitud: L = 2πr = 2 3,14 4 = 25,12 m La longitud de la tanca serà de 25,12 m a) El nombre de fanals ha de ser un divisor de 24 i de 18. Si se n vol el mínim possible, caldrà buscar el màxim comú divisor (m.c.d.): 24 = = m.c.d. = 3 2 = 6 Per tant el m.c.d. és Matemàtiques 1 ESO

54 Ara que sabem que els fanals estaran separats 6 m, calculam quants fanals hi haurà en el costat de 24 m: 24 :6 = 4 En el costat de 24 m del triangle hi hauà 4 fanals Si s estudia cada costat per separat, cal afegir un fanal més per l altre extrem. Per tant, al costat de 24 m hi hauran 5 fanals; calculem els fanals per a cadascun dels altres dos costats del triangle, els de 18 m. 18 :6 = 3 Els costats de 18 m tindran 3 fanals cadascun. b) Tenint en compte els resultats anteriors (sense sumar els fanals dels vèrtexs) es pot calcular: = 10 En total, hi haurà 10 fanals en el triangle. c) 145. a) Passem la latitud al valor decimal; dividint entre 60 (1 minut = 60 segons): 24 :60 = 0,4 o Per tant, tenim que 41 o 24 ' = 41,4 o Així doncs, la distància a l equador serà el càlcul de l arc de la circumferència: d = 2 3, ,4 : 360 = La distància entre Barcelona i l equador és de km. b) En primer lloc caldria recordar que la latitud del Pol Nord és de 90. Passem la latitud al valor decimal, com a a): 52 o 30' = 52,5 o Restem els angles del Pol Nord i de Berlín, per trobar l angle comprès entre ambdós: 90º - 52,5º = 37,5º Per tant, ja podem calcular l arc de la circumferència: d = 2 3, ,5 : 360 = km La distància enter Berlin i el Pol Nord és de km. 53 Matemàtiques 1 ESO

55 146. a) D esquerre a dreta: Habitació1: A partir de les dades que sabem calculem: 4,25 0,85 = 3,4 m Coneixent aquesta dada, sumem totes les parets: 3,4 + 4, = 13,65 m L habitació 1 ha de tenir un sòcol de 13,65 m. Habitació 2: Calculem la mesura de la paret de la porta: 3,75 0,85 = 2,9 m Després sumem totes les parets: 3, 4 + 3, 4 + 3,75 + 2,9 = 13,45 m L habitació 2 ha de tenir un sòcol de 13,45 m. Habitació 3: Hem de restar la porta de la paret: 4,25 0,85 = 3,4 m Ara, per calcular la longitud de la paret en diagonal cal aplicar Pitàgores: c = 3,5 1,5 = 2m b = 4,25 2,25 = 2 m Si el teorema diu que a 2 = b 2 + c 2, podem trobar el costat a: a 2 = a 2 = 8 a = 8 a = 2,83m Per tant, el costat a mesura 2,83 m. Ara ja podem sumar tots els costats: 1,5 + 3,4 + 3,5 + 2,25 + 2,83 = 13,48m L habitació 3 ha de tenir un sòcol de 13,48 m b) No, si tenim en compte les dades obtingudes a l apartat anterior i les comparem amb les dades de les àrees aportades al plànol veiem que no hi habitacions amb diferent àrea que necessitin igual quantitat de sòcol. D altra banda, tot i que les habitacions 1 i 2 tenen la mateixa àrea necessiten diferent quantitat de sòcol (13, 65 m i 13,45 m, respectivament). c) Si mesurem amb el regle sobre el llibre obtenim els següents valors, enunciant en primer lloc la distància real i en segon lloc la distància representada: 3 m = 1,7 cm 3,75 m = 2,1 cm 1,5 m = 1,1 cm Convertim aquests valors de centímetres a metres (1 m = 100 cm), dividint per ,7 cm = 0,017 m 2,1 cm = 0,021 m 1,1 cm = 0,011 m Per a calcular l escala del plànol dividim la distància real entre la representada; en triem per exemple, el primer valor, però ens serviria qualsevol perquè suposem que tots els elements del plànol estan representat en la mateixa escala: 3 : 0,017 m = 176,47 És a dir, l escala del plànol és de 3:176,47 o, arrodonint 3:176,5. Una altra forma equivalent d expressar-la, si dividim entre 3 és: 1:58,83 54 Matemàtiques 1 ESO

56 147. a) En primer lloc, sumem la suma de tots els angles del polígon: 180 (24 2) = o Els angles del polígon fan en total Amb aquesta dada podem operar per a obtenir la mesura de cada angle: :24 = 165 o El polígon de l atracció, de 24 costats, té 24 angles de 165 cadascun. b) Les cadiretes que giren a 9 m de l eix dibuixen una circumferència de 9 m de radi, per tant, calculem: L = 2πr = 2 3,14 9 = 56,52 m La longitud d una volta de les cadiretes de 9 m és de m. Les cadiretes interiors que giren a 6 m de l eix dibuixen una circumferència de 6 m de radi, per tant, fem servir el mateix procediment que abans i calculem: L = 2πr = 2 3,14 6 = 37,68 m La longitud d una volta de les cadiretes de 9 m és de 37,68 m c) Cadiretes de 9 m de distància: Primer calculem quants metres recorren en 4 minuts: 56,52 4 = 226,08 m Ara que sabem que les cadiretes recorren 226,08 m per cada minut i coneixem l equivalència 1 minut = 60 segons, calculem: 60 :226,08 = 0,27m/ s Les cadiretes van a una velocitat de 0,27 m/s. Cadiretes que giren a 6 m de distància: Seguint el mateix procediment i en resulta que giren a una velocitat de 0,40 m/s Jocs i enigmes Matemàtiques 1 ESO

57 149. a) b) MÓN MATEMÀTIC 1. Tangrams página a) Triangles grans: 12cm 8,5 cm i 8,5 cm. Perímetre= ,5 + 8,5 = 29 cm Triangle mitjà: 5 cm, 6 cm i 6 cm. Perímetre: 17 cm. Triangles petits: 6 cm, 4,25 cm i 4,25 cm. Perímetre: 25,5 cm Quadrat: 4,25 cm. Perímetre: 4,25+4,25+4,25+4,25 = 17 cm Romboide: 6 cm I 4,25 cm. Perímetre: 6+6+4,25+4,25 = 20,5 cm b) Tots els triangles (grans, mitjà i petits) són isòsceles, per tant tenen un únic eix de simetria que passa pel vèrtex corresponent a l angle recte i és perpendicular a la hipotenusa. El quadrat té quatre eixos de simetria: les dues diagonals i les dues rectes perpendiculars a dos costats que passin pel seu punt mig. El romboide no té eixos de simetria. c) El quadrat té un centre de simetria d ordre 4 en el seu centre, perquè té quatre eixos de simetria. El romboide, malgrat no tenir eixos de simetria, té un centre de simetria d ordre 2 en el punt on es tallen les seves diagonals. 56 Matemàtiques 1 ESO

58 2. a) El tangram triangular el formen dos triangles equilàters de mides diferents, dos rombes de mides diferents, tres trapezis de mides diferents i un hexàgon regular. b) Triangle equilàter petit: 2 cm Triangle equilàter gran: 4 cm Rombe petit: 2 cm Rombe gran: 4 cm Hexàgon: 2 cm Trapezi petit: 4 cm 2 cm 2 cm 2 cm Trapezi mitjà: 6 cm 4 cm 2 cm 2 cm Trapezi gran: 8 cm 6 cm 2 cm 2 cm c) Resposta oberta. d) e) 57 Matemàtiques 1 ESO

59 3. a) El cardiotangram està format per un triangle rectangle isòsceles, un quadrat, un romboide, un trapezi rectangle, dos sectors circulars de 45 i tres sectors circulars de 90. b) Quadrat central: sabent que el quadrat té tots els costats iguals de 5 cm, i sabent que el perímetre és la suma de tots els costats, calculem: P = 5 4 = 20 cm El perímetre del quadrat central és de 20 cm. Triangle lila: la base del triangle isòsceles és idèntica a la diagonal del quadrat central (7,1 cm), i els dos costats iguals del triangle mesuren el mateix que els costats del quadrat (5 cm). Com que coneixem la mida de tots els costats el triangle, podem calcular-ne el perímetre: P = ,1 = 17,1 cm El perímetre del triangle lila és de 17,1 cm. Romboide: els dos costats curts del romboide mesuren igual que els costats del quadrat (5 cm) mentre que els dos costats llargs del romboide mesuren igual que les diagonals del quadrat central (7,1 cm). Com que coneixem tots els costats, calculem: P = ,1+ 7,1 = 24,2 cm El perímetre del romboide és de 24,2 cm. Trapezi rectangle: el costat diagonal del trapezi mesura igual que la diagonal del quadrat central (7,1 cm), els dos costats curts del trapezi mesuren igual que els costats del quadrat (5 cm), i el costat llarg del trapezi mesura el doble d un costat del quadrat central (10 cm). Un cop coneixem tots els costats, calculem: P = 7, = 27,1 cm El perímetre del trapezi rectangle és de 27,1 cm. Sectors circulars grossos groc i verd: Els costats rectes dels sectors mesuren igual que els costats del quadrat central (5 cm). Per trobar el costat corbat hem de trobar primer la longitud de tota la circumferència: busquem el radi, que és igual a un dels costats del quadrat (5 cm) i un cop el tenim, operem: L = 2πr = 2 3,14 5 = 31,4 cm Un cop sabem que la circumferència total mesura 31,4 cm busquem el que mesura el sector, que és un quart d aquesta circumferència, i per saber-ho dividim per tant entre 4: 31,4 : 4 = 7,85 cm Un cop sabem el que mesuren tots els costats del sector, calculem el perímetre: P = ,85 = 17,85 cm El perímetre del sectors circulars grossos és de 17,85 cm. Sectors circulars petits vermell i verd: veiem que els costats rectes del sector també mesuren 5 cm, com els costats del quadrat. També coneixem la longitud de la circumferència, que mesura el mateix que en el cas anterior (31,4 cm), així que ja podem saber el costat corbat del sector. Dividim la longitud total entre 8 perquè el que volem saber és un vuitè de la circumferència: 31,4 / 8 = 3,93cm Un cop sabem les mesures de tots els costats calculem: P = ,93 = 13,93 cm El perímetre dels sectors circulars petits és de 13,93 cm. 58 Matemàtiques 1 ESO

60 2. Els mosaics página a) És un hexàgon regular, i per tant tots els angles són iguals. Si agafem les rajoles i mesurem un angle amb el transportador d angles veiem que aquests angles mesuren 120. b) Observem que a cada vèrtex de cada rajola en conflueixen tres angles de 120. Per tant, calculem: = 360 o La suma del conjunt d angles al voltant d un vèrtex fa a) Primer trobem la suma dels angles d un pentàgon: dividim un pentàgon regular en 5 triangles isòsceles iguals, i en sumem els angles: (n 2) 180 = (5 2) 180 = 540 o on n és el nombre de costats del pentàgon. Després trobem la mesura de cada angle dividint pel nombre d angles del polígon: 540 :5 = 108 o Els angles s un pentàgon mesuren Matemàtiques 1 ESO

61 Un cop coneixem els angles d un pentagon, en calculem dels 3 amb un vèrtex en comú operant: 108 o 3 = 324 o Seguint el mateix procediment, cualculem els angles de 4 pentàgons amb un vèrtex en comú: 108 o 4 = 432 o b) Per poder enrajolar una superfície plana utilitzant només un polígon regular cal que el seu angle interior sigui un divisor de 360. Hem observat en l apartat anterior que 3 pentàgons determinen un angle menor a 360º i 4 un angle major, per tant, no és possible enrajolar una superfície plana utilitzant només pentàgons regulars. c) La suma dels angles de les rajoles que es troben al voltant d un vèrtex han de sumar 360. d) Els angles d un triangle equilàter mesuren 60 i els d un quadrat 90. Ambdós són divisors de 360 i sí és possible enrajolar el pla. En canvi, els angles d un octàgon regular són de 135, que no és un divisor de 360 i, per tant, no es pot enrajolar el pla amb aquesta figura. 3. Els únics polígons regulars que permeten enrajolar el pla són els triangles equilàters, els quadrats i els hexàgons, ja que els seus angles són múltiples de Matemàtiques 1 ESO

62 4. a) Els dos mosaics són semiregulars, perquè estan formats per polígons regulars diferents (quadrats, hexàgons i dodecàgons). b) En cada vèrtex de mosaic de l esquerra hi ha un quadrat, un hexàgon i un dodecàgon. El quadrat sabem que té els angles de 90º i l hexàgon angles de 120º, tal i com hem vist a l exercici 1 d aquest mateix apartat. Com que sabem que la suma dels tres angles han de sumar 360º, restem per conèixer l angle del dodecàgon: 360º 90º 120º = 150º Per tant, tenim que els angles dels polígons són 90º el quadrat, 120º l hexàgon i 150º el dodecàgon. En cada vèrtex del mosaic de la dreta hi ha un quadrat (que sabem que té els angles de 90 ) i dos octàgons. Per saber les mesures dels octàgons raomen que, com que sabem que els angles han de sumar 360º i ja que el del quadrat mesura 90º, la resta l haurem de dividir entre 2 poligons iguals. Coneixerem així quant mesuren els angles dels octàgons: 360º 90º = 135º 2 Per tant, els angles dels polígons són 90 º el quadrat i 135 º els dos octagons, respectivament. 61 Matemàtiques 1 ESO

63 5. A. Sí és possible. B. No és possible, però sí en un disseny amb el triangle amb una mida més petita. C. No és possible, però sí en un disseny amb el triangle amb una mida més petita. D. No és possible (sobrepassa la volta). E. No és possible, però sí en un disseny amb el triangle amb una mida més petita. F. No és possible. 62 Matemàtiques 1 ESO