Capítulo 4. Análisis Dimensional y semejanza hidráulica

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1 Capítulo 4 Análisis Dimensional y semejanza hidráulica La experimentación es la práctica que confirma o rechaza una hipótesis, que es la explicación tentativa o supuesta de la causa de un fenómeno que se realiza. Muchos factores intervienen en el desarrollo del fenómeno y es necesario conocer que tanto influyen y cómo están relacionados entre sí estos parámetros, de tal manera que se pueda crear las condiciones necesarias para que el fenómeno de estudio se repita bajo cierto control, ya sea en el laboratorio trabajando con modelos o en el diseño y operación de prototipos construidos a semejanza del modelo. La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas de ingeniería. En la actualidad numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen solo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional como un método matemático y las consideraciones de semejanzas hidráulicas permiten al ingeniero organizar y utilizar los resultados obtenidos para proyectar hacia el diseño de los prototipos. El primer objetivo de este tema es determinar las expresiones matemáticas que muestran la correlación que existe entre los parámetros que intervienen en el experimento. Para esto debe aprenderse el método matemático llamado análisis dimensional. PARAMETROS (Magnitudes) METODO MATEMATICO (Análisis Dimensional) EXPRESIONES (fórmulas) MODELOS Y PROTOTIPOS (Problemas numéricos) Fig. 4. El segundo objetivo es la aplicación de estas expresiones, junto con las leyes de Cap. 4 5 J.C.Toledo

2 El segundo objetivo es la aplicación de estas expresiones, junto con las leyes de semejanzas, en el estudio de modelos y prototipos. La Fig. 4.. muestra esquemáticamente las diferentes etapas de estudio del análisis. 4. Análisis Dimensional El análisis dimensional trata de las relaciones que guardan entre sí las magnitudes físicas que intervienen en el desarrollo de un fenómeno experimental; y constituye una herramienta muy útil en el estudio de la mecánica de los fluidos, principalmente en lo relativo a modelos y prototipos. Qué es el Análisis Dimensional? Es un método matemático que conduce a encontrar una o varias expresiones corelacionales (ε) que agrupan -máximo de cuatro en cuatro- las magnitudes físicas que intervienen en el desarrollo de un fenómeno físico experimental. Enseguida se presentan algunos ejemplos de expresiones correlacionales, obtenidas de un experimento físico que consiste en hacer fluir un líquido a través de un orificio hecho en el cuerpo de un recipiente abierto a la atmósfera. Ver Fig. 4. ε: v g φ k Número de Froud ε: µ ρ φ v k Número de Reynolds g Donde: g,φ,v, µ, ρ son los parámetros (magnitudes físicas) que intervienen en el fenómeno. (ε), (ε) son las expresiones obtenidas y que sirven para calcular la velocidad de flujo (v) del líquido de densidad (ρ) y viscosidad (µ) que sale a través del orificio de diámetro (φ) de un recipiente, bajo el efecto de la aceleración gravitacional (g). Ver Fig.4.. Fig. 4. De (ε) despeje (v): v g φ k <-Valor experimental El valor de (k) se determina en el laboratorio, las expresiones las determina el analisis dimensional. Cuántas expresiones se obtienen? Cap. 4 6 J.C.Toledo

3 La cantidad de expresiones correlacionales (ε) depende de la cantidad de parámetros (P) que intervienen en el experimento: ε P En el ejemplo mencionado intervinieron 5 parámetros: g, φ, v, µ, ρ. Por lo tanto se obtuvieron dos expresiones: ε y ε. Para qué sirven estas expresiones correlacionales? a) Estas expresiones son verdaderas fórmulas matemáticas y como tales lo que representan es la relación que hay entre las magnitudes que intervienen en el desarrollo del fenómeno físico experimental. b) Ofrecen una primera aproximación de cómo los parámetros son dependientes entre sí. Con lo cual se reducen los intentos de error y ensayo que se realizan en el laboratorio; lo que conduce a un ahorro sustancial de tiempo y dinero. c) Permiten el diseño de Prototipos a partir de la información disponibles sobre modelos, aprovechando las semejanzas geométricas, cinemáticas, dinámicas y fluídicas que deben existir entre el modelo y el prototipo. 4. Fundamentos del análisis dimensional.- Se conocen dos sistemas de dimensiones: a) el Sistema MLTθ, y b) el Sistema FLTθ, conocidos por sus aplicaciones como Sistema internacional (S.I.) y Sistema inglés (S.i) de unidades, respectivamente. Sus dimensiones primarias son: Sistema MLTθ Sistema FLTθ M L T θ masa longitud tiempo temperatura F L T θ Fuerza longitud tiempo temperatura.-todas las magnitudes físicas tienen sus correspondientes expresiones dimensionales: Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). Ejemplos de magnitudes con sus correspondientes dimensiones: g L T Aceleración de la gravedad φ L Diámetro Cap. 4 7 J.C.Toledo

4 v L T ρ M L µ M L T Velocidad Densidad Viscosidad absoluta.-las magnitudes físicas se agrupan según su naturaleza dimensional, en: geométricas, fluídicas, cinemáticas, térmicas, dinámicas. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). Ejemplos de algunas magnitudes: Geométricas: Volumen, área, longitud, etc. Fluídicas: Masa, densidad, viscosidad, etc. Cinemáticas: Velocidad, aceleración, caudal, etc. Dinámicas: Fuerza, potencia, momento, presión, etc. Térmicas: Temperatura, calor específico, conductividad, etc. 4.- Las expresiones correlacionales obtenidas con el análisis dimensional son adimensionales y se igualan a una constante experimental (k), que en algunos casos es la unidad. Sustituyendo y simplificando: ε: g φ v k ( L T ) ( L) L T ( ) 5.- Estas expresiones solo muestran las correlaciones entre los parámetros, pero no el valor de la constante (k) que solo se obtiene de manera experimental y que algunas veces su valor es la unidad. 6.- Limitación.- El análisis dimensional es aplicable cuando se tiene un mínimo de tres parámetros de distintas naturalezas. El método no es adecuado para obtener una relación que tiene solo dos parámetros, como en la expresión siguiente que correlaciona área (A) y Radio (R); y donde además ambos parámetros son de la misma naturaleza, es decir geométricos; porque π es un valor constante: A π R 4. Antecedentes del análisis dimensional Actualmente se conocen tres métodos que son:.-método π de Buckingham.-Serie de potencia de Raleigh.- Método de Hunsaker-Rihgtmire Cap. 4 8 J.C.Toledo

5 .- Método de Hunsaker-Rihgtmire Cuyos estudios se puede realizar en cualquier libro de mecánica de los fluidos y que pueden servir como punto de comparación con el método que se presenta como innovador y que conduce a los mismos resultados pero de una manera más rápida y fácil y que se llama: Método J.C. Toledo. Método Alternativo. Con este método se resuelven los ejemplos planteados en este libro. 4.4 Análisis Dimensional. Método J.C.Toledo Este método matemático de análisis dimensional plantea la necesidad de aplicar cinco pasos secuenciales necesarios para lograr la obtención de las expresiones correlacionales. Para ello se recurrirá a: a) La tabla de expresiones dimensionales (Apéndice IV) b) El criterio de selección de parámetros c) Los fundamentos del análisis dimensional d) La solución simultánea de ecuaciones Seleccionar los parámetros que más influyen en el desarrollo del fenómeno es lo más difícil de lograr ya que requiere de la experiencia que el investigador logra obtener después de un tesonero trabajo de observación y experimentación. Para cubrir esta deficiencia natural en los inexpertos se propone en este método un criterio de selección. Una vez analizado el enunciado del problema y seleccionado el sistema a aplicar (MLTθ o FLTθ) se siguen los siguientes pasos: Los cinco Pasos.- Se enlistarán todos los parámetros que se mencionan en el enunciado del problema a resolver,-- los que afectan en el experimento -- igualando su símbolo con su expresión dimensional, indicando su naturaleza física y su valor ponderal. Usar la Tabla de expresiones dimensionales (Apéndice IV)..- Se aplicará el criterio de selección para escoger tres parámetros primarios. Criterio de selección: "Escoja una propiedad geométrica, una física, una cinemática, en este orden; solo en ausencia de cualquiera de los tres primeros se escoge uno dinámico. Si hay parámetro térmico es el primero en seleccionarse, o sea se adelanta al parámetro geométrico". "Si están presentes propiedades de la misma naturaleza, se preferirá el de menor valor ponderal"..- Como estas expresiones dimensionales de los parámetros seleccionados, son tres ecuaciones y como M,L,T son tres incógnitas, se puede obtener sus expresiones de manera simultáneas, despejando M,L,T en este orden o el más adecuado. Si hay parámetro térmico las ecuaciones serán cuatro y las incógnitas Cap. 4 9 J.C.Toledo

6 adecuado. Si hay parámetro térmico las ecuaciones serán cuatro y las incógnitas también cuatro: M,L,T, θ. 4.-Se sustituirán estos resultados de M, L y T en la expresión dimensional de cada uno de los demás parámetros que no fueron seleccionados y se obtendrán sus expresiones correlacionales deseadas. 5.- Presentar las expresiones obtenidas, igualándolas a una constante (k). 4.5 Modelos y Prototipos El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencias que existe una estrecha relación confiable en sus comportamientos como lo atestigua el correcto funcionamiento de muchas estructuras diseñadas a partir de ensayos sobre modelos. Los modelos hidráulicos deben cumplir, como condición, con todas las características del prototipo reproducido a escala (o sea tener semejanza geométrica) y satisfacer todas las restricciones de diseño (o sea semejanza cinemática y dinámica). Las expresiones correlacionales que por el método de análisis dimensional se logran obtener, tienen su aplicación en la observancia de la similitud funcional de un Prototipo con respecto a su Modelo. Es decir, los resultados de las pruebas logradas en modelos se utilizan para simular las condiciones de semejanza en las que funcionaría el prototipo a escala real. Ejemplo: Si la expresión lograda con el análisis dimensional es la siguiente: ε: µ ρ φ v k Número de Reynolds La expresión para el modelo (m) y su prototipo (p) debe escribirse así: µ m v ρ φ µ v p ρ φ Es la misma expresión tanto en el numerador como en el denominador. Y es la expresión relativa entre el modelo y el prototipo con lo cual se anula la constante experimental (k). Esta expresión de igualdad es la que hace que la funcionalidad del prototipo sea semejante a la del modelo. Para que esta semejanza de funcionalidad se logre es necesario que existan semejanzas entre el modelo y su prototipo, de tipo: geométrica, cinemática, térmica, dinámica y fluídica. Semejanza Geométrica.- Significa que si el modelo tiene la forma de un cubo, el Cap. 4 0 J.C.Toledo

7 prototipo debe ser también un cubo y sus lados deben guardar cierta relación a escala entre sí. Por ejemplo, a 5, significa que es el tamaño del modelo y el prototipo es 5 veces mayor que el modelo. Semejanza Cinemática.- Se refiere a la rapidez de movimiento, pero además exige que la trayectoria sea también semejante y no solamente la magnitud de la velocidad; además de la indispensable semejanza geométrica. Semejanza Dinámica.-Las mismas fuerzas o efectos de fuerza que afectan de la misma forma sobre el modelo deben ser consideradas también presentes en el prototipo; además de la indispensable semejanza geométrica. Semejanza Fluídica.-Las pruebas o ensayos pueden realizarse con el mismo fluido en el modelo y en el prototipo o con diferentes fluidos pero de propiedades físicas preferentemente similares en cuanto a densidad, viscosidad, etc. 4.6 Magnitudes físicas relativas Las magnitudes físicas pueden expresarse en términos relativos entre el modelo (m) y el prototipo (p), obteniéndose las mismas mismas fórmulas pero con el subíndice relativo (r,o R). Así que cualquier fórmula de magnitudes físicas se puede expresar en términos relativos. Las siguientes expresiones se pueden aplicar a problemas sobre modelos y prototipos aunque no hayan sido necesariamente obtenidos por el análisis dimensional. Lados relativos: Lr Lm Lp Área relativa Ar Am Ap ( Lrm) Lr ( Lrp) Volumen relativo Vr Vm Vp ( Lrm) Lr ( Lrp) Densidad relativa ρr ρm ρp mm Vm mp Vp mr Vr Viscosidad relativa µr µm µp Cap. 4 J.C.Toledo

8 Lm Velocidad relativa vr vm vp tm Lp Lr tr tp Lm Aceleración relativa ar am ap ( tm) Lp ( tp) Lr ( tr) Vm Caudal relativo Qr Qm Qp tm Vp Vr tr tp ( ) ar Fuerza relativa Fr mr( ar) ρr Vr ρr Lr 4.7 Leyes de Semejanzas Hidráulicas Las leyes de semejanzas hidráulicas son expresiones correlacionales que determinan la similitud de comportamiento que puede haber entre dos equipos mecánicos o máquinas hidráulicas geométricamente semejantes y de funcionalidad similar (entre el modelo y su prototipo). Estas expresiones sirven para predecir el comportamiento de una máquina hidráulica, geométricamente semejante a otra cuyos parámetros (ejemplos: caudal, potencia, carga, velocidad de rotación, etc.) ya se conocen sus correlaciones. Las cinco expresiones que definen las leyes de semejanzas hidráulicas, enlistadas enseguida se obtuvieron con el método alternativo J.C. Toledo de análisis dimensional en el Ejemplo resuelto Ej404. Observe que en todas estas expresiones aparecen, como mínimo, tres parámetros de diferentes naturalezas. a. Consideración.- El caso más general, es cuando ambos modelo y prototipo son de diferentes tamaños además de geométricamemente iguales, y se espera que operen de manera semejante aun con diferentes fluidos, además de que son cinemática y dinámicamente semejantes. Agrupando términos iguales se obtienen las siguientes leyes:.- Ley de Relación de columnas hidrostáticas (alturas de descargahd). Se anularon las g, (gravitacionales) por ser valores constantes: Cap. 4 J.C.Toledo

9 Hd m Hd p pm p p Po m Po p N m N m N p N p.- Ley de Relación de Presiones (p). N m N p 5 D m ρm ---- ε D p ρp 4.- Ley de Relación de caudales (Q)..- Ley de Relación de potencias (Po). D m D m D p D p ----ε ρm ---- ε ρp Donde: g.- Aceleración de la gravedad Hd.- Altura de descarga D.- Diámetro del rotor N.- Velocidad angular p.- Presión ρ.- Densidad del fluido µ.- Viscosidad del fluido Q.- Caudal Po.- Potencia 5.- Ley de Relación de velocidades rotacionales (N). Recuerde que son expresiones correlacionales lo que significa que todas en conjunto son mutuamente dependientes y aplicables en un problema numérico de modelos y prototipos. a. Consideración.-Es el caso cuando ambos modelo y prototipo son de diferentes tamaños además de geométricamemente iguales y se espera que operen de manera semejante pero con un mismo fluido (o sea semejanza fluídica 00%), entonces las propiedades fluídicas (ρ, µ) en las expresiones anteriores se anulan entre sí por ser iguales; y por lo tanto se reducen y se obtienen finalmente los siguientes resultados..- Ley de Relación de columnas hidrostáticas (alturas de descargahd). La ε, queda igual: Hd m N m Hd p N p.- Ley de Relación de Presiones (p). De ε, se anulan las densidades (ρ): p m p p Q m Q p N m N p N m N p D p D m N m N p ρp µm ρm µp D m D p D m D p D m D p ---- ε ε5 Cap. 4 J.C.Toledo

10 .- Ley de Relación de potencias (Po). De ε, se anulan las densidades (ρ): Po m N m Po p N p D m D p Ley de Relación de caudales (Q). La ε4, queda igual. Q m Q p N m N p D m D p 5.- Ley de Relación de velocidades rotacionales (N). De ε5, se anulan (ρ y µ) y se reduce a solo dos variables (N, D), insuficientes. Por lo tanto esta expresión es inútil (se requieren mínimo tres variables y de diferentes naturalezas). N m N p D p D m 6.- Velocidad específica absoluta de rotación: Si se relacionan la ley de relaciones de columnas ε y la ley de relaciones de potencia ε, despejando y sutituyendo, se eliminan los (D) y se obtiene una expresión correlacional para modelo y prototipo conocido con el nombre de velocidad específica: (Wm)espec (Wp)espec Nm Pom 5 4 Hdm Np Pop 5 4 Hdp Velocidad específica absoluta o velocidad angular específica (Ns), corresponde al número de revoluciones por minuto (N) que daría un equipo rotatorio (una turbina, una bomba hidraulica, etc.) instalado en un salto o altura hidrostática (Hd) y que proporcionaría o aprovecharía una potencia (Po). Ns N Po H 4 H a. Consideración.- Diferentes fluidos en un mismo equipo (semejanza geométrica 00%: modeloprototipo, DmDp). En este caso, todas las expresiones correlacionales se inutilizan por reducirse a solo tener dos variables (se requieren mínimo tres y de diferentes naturalezas). Las únicas expresiónes útiles son: la ley de Relación de Presiones (p) y la ley de Relación de potencias (Po): Cap. 4 4 J.C.Toledo

11 ps m ps p Po m Po p N m N p N m N p ρm ρp ρm ρp ---- ε ---- ε Ejemplos resueltos Ejemplo 4. Deduzca las expresiones correlacionales existentes entre los parámetros que intervienen en un estudio experimental, donde una fuerza que se aplica sobre una masa hace que el cuerpo se desplace una distancia a una cierta aceleración. Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. f M L T d L m M a L T Dinámica Geométrica Propiedad física Cinemática Vea latabla de expresiones dimensionales (Apéndice IV).. Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y datos de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (distancia); una propiedad física (masa); uno cinemático (aceleración)".. Teniendo ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. d m L M EC EC. Cap. 4 5 J.C.Toledo

12 a L T De la Ec., despejar L: EC. L d De la Ec., despejar M: M m De la Ec., despejar T y sustituir L: T a L T a d.4 Sustituir sobre la ecuación del parámetro, que no había sido seleccionado para obtener la expresión correlacionada: f M L T f ( m) ( d) a d f m a Observe que el método eliminó el parámetro distancia (d) lo cual indica que no es un parámetro determinante en el experimento..5 Resultado: Expresión correlacional obtenida: ε: k es una constante que se obtiene experimentalmente y solo cuando su valor es igual a la unidad la expresión se puede escribir así: f.6 Expresión para Modelo y Prototipo: En la expresión para modelo (m) y prototipo (p), observe que la k experimental queda anulada: m a f m a f m a m k (Segunda ley de Newton) f m a p Ejemplo 4. La presión, la fuerza y el área, están correlacionadas. Determine la fórmula que los correlaciona, por el método del análisis dimensional. Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones Cap. 4 6 J.C.Toledo

13 . Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea Tabla de dimensiones (Apéndice IV). f M L T P M L T A L Dinámico Dinámico Geométrico. Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y datos de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (área); una propiedad física (no hay); uno cinemático (no hay), uno dinámico (cualquiera: fuerza o presión)". Falta el cuarto parámetro y de naturaleza diferente, por lo que se precisa adicionar una propiedad física (densidad).. Teniendo ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. A L ρ M L Ec Ec. f M L T Ec. De la Ec., despejar De la Ec., despejar L A M ρ L M ρ A De la Ec., despejar f M L f ρ A T f ρ A T A.4 Sustituir sobre el parámetro, que no había sido seleccionado, para obtener la expresion correlacionada: P M L T P ρ A A f ρ A ( ) P f A Observe que el método eliminó el parámetro densidad (ρ) (que se había adicionado para completar a tres ecuaciones de naturalezas distintas), lo Cap. 4 7 J.C.Toledo

14 adicionado para completar a tres ecuaciones de naturalezas distintas), lo cual indica que no es un parámetro determinante en el experimento..5 Resultado: Expresión correlacional obtenida: f ε: k P A f P A k es una constante que se obtiene experimentalmente y solo cuando su valor es la unidad la expresión se puede escribir así: Fórmula de presión Cómo se escribiría esta expresión para su utilización en modelos y prototipos? Ejemplo 4. Suponga que en un experimento de flujo de fluidos intervienen de manera determinante los siguientes parámetros: φ diámetro v velocidad g aceleración de la gravedad µ viscosidad absoluta ρ densidad σ tensión superficial ψmódulo de elasticidad Obtenga las expresiones correlacionales aplicando el método de Análisis Dimensional J.C.Toledo. Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea tabla de dimensiones (Apéndice IV). v L T g L T Cinemático () Cinemático (5) Ec. φ L Geométrico () Ec. µ M L T ρ M L Propiedad física () Propiedad física () Ec. Cap. 4 8 J.C.Toledo

15 σ M T Propiedad física (4) ψ M L T Propiedad física (5). Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro); una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad); uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad)".. Teniendo tres ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. De la Ec., despejar L: L φ De la Ec., despejar M y sustituir M ρ L M ρ φ L: De la Ec., despejar T y sustituir L: T v T v L φ.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no habían sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas: g L T g ( ) φ v φ g v φ µ M L T ( ) φ µ ρ φ ( ) v φ µ ρ φ v σ M T ( ) v σ ρ φ φ σ ρ φ v ψ M L T ( ) φ ψ ρ φ ( ) v φ ψ ρ v.5 Resultados. Se obtuvieron las siguientes expresiones, que representan a cuatro números adimensionales importantes en mecánica de los fluidos. ε: g φ v k Número de Froud.-Aparece cuando hay predominio de la fuerza de inercia ocasionada por la aceleración de la gravedad (g). Cap. 4 9 J.C.Toledo

16 ε: µ ρ φ v k Número de Reynolds.- Aparece cuando hay predominio de la fuerza de fricción ocasionada por la viscosidad (µ). ε: σ ρ φ v k Número de Weber.- Aparece cuando hay predomino de la fuerza de tensión ocasionada por la tensión superficial (σ). ε4: ψ ρ v k Número de Match.- Aparece cuando hay predominio del módulo de elasticidad (ψ)..5 Expresión obtenida: Se puede presentar correlacionada. ( ) ε f ε, ε, ε4 Ejemplo 4.4 Suponga que en un experimento de bombeo hidráulico intervienen los siguientes parámetros: (pd, ps, D, N, Po, µ, ρ, Q) que son: la presión de descarga, la presión de succión neta positiva (PNSH ), el diámetro del rotor, la velocidad rotacional, la potencia de la bomba, la viscosidad y la densidad del fluido y el caudal de descarga. Obtenga las expresiones correlacionales aplicando el método de Análisis Dimensional J.C.Toledo. Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). pd M L T ps M L T Dinámico (5 ) Dinámico (5 ) D L Geométrico () Ec. N T Po M L T µ M L T ρ M L Cinemático () Cinemático (9) Propiedad física () Propiedad física () Ec Ec. Cap J.C.Toledo

17 Q L T Cinemático (). Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro), una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad), uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad angular)".. Teniendo tres ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. De la Ec., despejar L: L D De la Ec., despejar M y sustituir L: M ρ L M ρ D De la Ec., despejar T: T ( ) D N.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no habían sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas: ( ) D pd M L T pd ρ D ( ) ( N) Pd ρ D N ( ) D ps M L T ps ρ D ( ) ( N) ps ρ D N ( ) D Po M L T po ρ D ( ) ( N) po ρ D 5 N µ M L T µ ρ D ( ) ( N) µ ρ D N Q L T Q ( D) ( N) Q D N.5 Resultados: Expresiones obtenidas: ε: pd ρ D N k ε: ps ρ D N k ε: Po ρ D 5 N k ε4: µ ρ D N k ε5: Q D N k Como la presión de descarga (pd) se puede expresar en términos de altura hidrostática (h) y del peso específco (ρ*g) del fluido, la expresión ε también se puede escribir así: > ε: ρ g hd ρ D N k Cap. 4 4 J.C.Toledo

18 De estas cinco expresiones se derivan las leyes de semejanza hidráulica..6 Expresión correlacionada: ( ) ε f ε, ε, ε4, ε5 Ejemplo 4.5 Obtenga la expresión que determina el caudal por ancho (Q/a) que fluye de una abertura rectangular de ancho (a) y largo (h). Los otros factores que pueden influir son: la densidad (ρ) y viscosidad (µ) del fluido y la aceleración de la gravedad (g). Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). Q a ( ) L T L Incógnita a L Geométrico () h L ρ M L µ M L T g L T Geométrico () Propiedad física () Propiedad física () Cinemático (5) Ec Ec Ec.. Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo. "Criterio: Escoja un parámetro geométrico: largo; una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad); uno cinemático: aceleración de la gravedad".. Teniendo tres ecuaciones seleccionadas y tres incógnitas, se despeja de las ecuaciones M,L,T de manera simultánea. De la Ec., despejar L h Cap. 4 4 J.C.Toledo

19 De la Ec., despejar De la Ec., despejar M ρ L ρ h ( ) T L g h g ( ).4 Sustituir sobre los parámetros, que no habían sido seleccionados, para obtener la expresión correlacionada: Q a h h g h ( ) Q a h g a h µ ρ h ( h) h g ( ) g µ ρ h.5 Resultados: Expresiones obtenidas: ε: h Q a g k ε: µ ρ h g k ε: a h k.6 Expresión correlacionada: Q a h g f( ε, ε) Ejemplo 4.6 El calor necesario para elevar la temperatura de cierta cantidad de masa depende del tiempo de calentamiento y del calor específico del fluido. Determine la expresión que correlaciona el calor y los demás parámetros. Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL Cap. 4 4 J.C.Toledo

20 . Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). q M L T Dinámico (5) T θ Térmico (0) Ec. m M P. física (0) Ec. t T Cp L T θ Cinemático () Térmico (5) Ec Ec. 4. Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores poderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo. Observe que es un problema Termodinámico, con transferencia de calor. "Criterio: Escoja una propiedad térmica (la de menor valor ponderal: T ), una geométrica (no hay), una propiedad física (masa), una cinemática (tiempo), otra térmica (Cp)". La dinámica (q) no se puede seleccionar porque es la incógnita.. Teniendo cuatro ecuaciones seleccionadas y cuatro incógnitas, se despeja de las ecuaciones M,L,T, θ de manera simultánea. M m T t θ T L ( Cp T θ) Cp T θ Cp.4 Sustituir sobre el parámetro, que no había sido seleccionado, para obtener la expresión correlacionada: q M L T m Cp t T t m Cp T.5 Resultado: Expresión obtenida: T t ε: q ( ) m Cp T k Si k q m Cp T Cap J.C.Toledo

21 Ejemplo 4.7 El campo de flujo de un flujo forzado externo a través de un tubo cilíndrico largo depende de la velocidad de flujo, del diámetro de la tubería, de la densidad y viscosidad dinámica del fluido. Además, el flujo de calor por unidad de área de la pared depende de estos parámetros y de la diferencia de temperatura, del calor específico del fluido y de la conductividad térmica del material de la tubería. Encuentre la expresión de flujo de calor por unidad de área y unidad de temperatura. Solución Q qs A. ANÁLISIS DIMENSIONAL ( ) qs f v, φ, µ, ρ, T, Cp, K. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). v L T Cinemático () Ec.4 φ L Geométrico () Ec. µ M L T Propiedad física () ρ M L Propiedad física () Q A ( ) M L T M T L Cinemático (8) T θ Termico () Ec Ec. Cp L T θ k M L T θ Termico (8) Térmico (). Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo. Observe que es un problema con transferencia de calor. "Criterio: Escoja un parámetro térmico (el de menor valor ponderal ( T), uno geométrico (diámetro), una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad), uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad) ".. Teniendo cuatro ecuaciones seleccionadas y cuatro incógnitas, se Cap J.C.Toledo

22 . Teniendo cuatro ecuaciones seleccionadas y cuatro incógnitas, se despeja de las ecuaciones M,L,T,θ de manera simultánea. De la Ec., despejar L φ De la Ec., despejar θ T De la Ec., despejar M ρ L ρ φ De la Ec. 4, despejar T L v φ v.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no habían sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas: ( ) φ ( ) µ M L T µ ρ φ φ v µ ρ φ v Ec.5 ( ) ( φ v ) qs M T qs ρ φ qs ρ v Ec.6 k M L T θ ( ) φ ( ) ( ) k ρ φ φ v T k ρ φ v T Ec.7 ( ) Cp L T θ Cp φ φ v T Cp v T Ec.8.5 Resultados: Expresiones obtenidas: ε: ρ φ µ v ρ φ v NRe Número de Reynolds µ Sustituyendo Ec. 6 en Ec. 7 k φ qs T ε: φ qs k T φ qs NNu Número de Nussel k T Sustituyendo Ec. 5 en Ec.7: k µ v T Ec. 9 Sustituyendo Ec. 8 en Ec.9: k µ Cp ε: µ Cp k µ Cp NPr Número de Prandl k ( ).6 Expresión correlacionada: ε f ε, ε Calor convectiva transferida. Del NNu despejar: qs NNu k f( NPr, NRe) T φ Cap J.C.Toledo

23 Ejemplo 4.8 La relación a escala entre un modelo y su prototipo es de :0. En el prototipo debe circular petróleo a 0 oc (de densidad relativa 0.86 y viscosidad cinemática de: m seg En el modelo debe circular agua a 5 oc (viscosidad cinemática de:. 0 6 m seg a) Determine la relación de velocidades b) Determine la relación de tiempos c) Determine la relación de fuerzas dinámicas Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea Tabla de dimensiones (Apéndice IV). φ L Geométrico () Ec. ν L T ρ M L v L T Cinemática () Propiedad física () Cinemático () Ec Ec.. Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro); una propiedad física (densidad), una cinemática (viscosidad)".. Teniendo tres ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. L φ M ρ L ρ φ ν L ν φ T Cap J.C.Toledo

24 .4 Sustituir sobre el parámetro que no había sido seleccionado, para obtener la expresión correlacionada: ( ) v L T v φ ν φ ν φ.5 Resultado: Expresión obtenida: ε: φ v ν.6 Expresión para modelo (m) y prototipo (p): φ v NRe Número de Reynolds ν φm vm νm. INFORMACION. Datos: Modelo (agua): φp vp νp φm vm. νm x 0 6 ρm Prototipo (petróleo): φp 0 vp. νp.9x 0 6 ρp Requerimiento: a) Relación de velocidad, b) Relación de tiempo, c) Relación de Fuerzas dinámicas.. FORMULARIO.. Velocidad relativa.- De la ecuación para modelo y prototipo se despeja: vr vm vr vp φp νm φm νp.. Tiempo relativo. vr Lr Tr Tr Lr vr φr vr φm φp vr φp.. Diámetro relativo. φr Lr φm.4. Fuerza dinámica relativa. Cap J.C.Toledo

25 Fr Fm Fp ( mm am) ( mp ap) ( ) ( ) ( ) vm Tm ρm Vm ( ρp Vp) vp Tp ρr Vr vr Tr Como: Vr ( Lr) Fr ρr ( Lr) vr Tr 4. CALCULOS 4.. Velocidad relativa vr 0.0x 0 6.9x Tiempo relativo. Tr Fuerza dinámica relativa. Fr (.45) ( 0.09) Ejemplo 4.9 El accionar de un ventilador se cree que depende de la densidad del fluido, el flujo volumétrico, el diámetro del impulsor, y de la velocidad angular. Si un ventilador con impulsor de 0 cm entrega un caudal de0.5 metros cúbicos por minuto de aire a una velocidad angular de 400 rpm. Que flujo volumétrico podría esperarse para un ventilador geométricamente similar con 40 cm de diámetro de impulsor y se mueve a 850 rpm? Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV). Q L T ρ M L D L N T Ec.) Ec.) Ec.) Cap J.C.Toledo

26 . Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro), una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad), uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad angular)".. Teniendo tres ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. De la Ec., despejar L: L D De la Ec., despejar M y sustituir L: M ρ L M ρ D De la Ec., despejar T: T N.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no han sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas: Q L T Q ( D) ( N).5 Resultado: ε: Q D N.6 Expresión para modelo y prototipo: Qm Dm Nm Qp Dp Np. INFORMACION. Datos: Modelo: Qm 0.5 m Nm 400 rpm Dm 0 cm min Prototipo: Qp?? ( Np 860) rpm Dp 40 cm. Requerimiento: Caudal del prototipo. FORMULARIO De la ecuación para modelo y prototipo se despeja (Qp): Qp Qm Dp Dm Np Nm Cap J.C.Toledo

27 4. CALCULOS ( ) Qp Qp 7. m min Ejemplo 4.0 La gasolina fluye a (v) 4 m/seg por una tubería de 0 cm de diámetro (φ). Qué diámetro debe tener una tubería que transporta agua a una velocidad de m/seg para que los números de Reynolds sean iguales. Considere 498 Kgm/seg.m la viscosidad absoluta (µ) y 79 kg/m la densidad (ρ) de la gasolina. Considere 4 Kg/seg.m la viscosidad absoluta y 000 kg/m la densidad del agua. Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Número de Reynolds. Aplicando el método, se llega a obtener la expresión del Número de Reynold: ε: NRe µ ρ φ v. Expresión para Modelo y prototipo. Para que el flujo se comporte de manera semejante, el número de Reynold debe ser igual para ambos: Gasolina (m); Agua (p): µm ρm φm vm µw ρw φw vw. INFORMACION. Datos: Modelo (gasolina): ρm ρr ρw 0.79( 000) 79 φm 0. vm 4 ρm 79 µm 498 Prototipo (Agua): φp. vp ρp 000 µp.4 0. Requerimiento: Diámetro de la tubería que transporta agua. Cap. 4 5 J.C.Toledo

28 . FORMULARIO De la expresión para modelo y prototipo se despeja el diámetro del prototipo. φp µp ρm vm µm ρp vp φm 4. CALCULO φp ( 0.) φp 0.4 m φp.4 cm Diámetro de la tubería que transporta agua. Ejemplo 4 Una bomba hidráulica capaz de enviar 5 litros/seg de agua (Q) hasta m de altura (Hd), giran sus álabes a una velocidad rotacional de 000 rev./min (N). Calcule la altura que alcanzará a elevar una bomba similar pero dos veces más grande y que descarga 45 litros/seg. Además calcule la potencia de la flecha de la segunda bomba. Considere que su eficiencia de ambas es de 00%. Solución El problema enunciado es del tipo modelo y prototipo, en este caso ambos operan con el mismo fluido agua. Por lo tanto su solución requiere considerar las leyes de semejanza hidráulica en lo concerniente a los parámetros involucrados.. ANÁLISIS DIMENSIONAL Los parámetros que se mencionan en el enunciado son: Q, Hd, D, N, Po, µ, ρ. Aplicando el método, se llega a obtener las expresiones llamadas Leyes de semejanza hidrostática. Observe que se anularon los parámetros fluídicos (µ, ρ), porque el fluido es el mismo en ambos equipos: Ley-Relación de alturas de descarga (Hd). Cap. 4 5 J.C.Toledo

29 Hd m Hd p N m N p D m D p Ec.) Ley-Relación de caudales (Q) Q m Q p N m N p D m D p Ec.) Ley-Relación de potencias (Po). Po m Po p N m N p D m D p Ec.). INFORMACION. Datos: γw 000 kgf m %f.0 Modelo (Bomba chica): Hdm m Qm litros 5 seg Nm 000 rpm Dm Prototipo (Bomba grande): Hdp?? Qp litros 45 seg Np?? Dp. Requerimiento: Altura que alcanza a elevar la bomba grande y su potencia. Hdm Nm Dm Qm Pom Hdp Np Dp Qp Pop Calcular Ec. 000??? Hdp Ec ? 45 Np Tabla de datos Ec. 000??????? Pom/Pop. FORMULARIO. Velocidad rotacional: De Ec. se despeja: Np Nm Dm Dp Qp Qm Cap. 4 5 J.C.Toledo

30 . Altura que alcanza a elevar la bomba grande. De Ec. se despeja: Hdp Hdm Np Dp Nm Dm. Potencia relativa. De Ec. se despeja:.4 Potencia de la bomba pequeña (modelo):.5 Potencia de la bomba grande (prototipo): Por Pom Nm Np Pom Por Pop Dm Dp ( ) γ Qm Hdm 76 %f 5 Despejando: Compruebe resultado con esta fórmula: 4. CALCULOS Pop Pop Pom Por ( ) γ Qp Hdp 76 %f 4. Velocidad rotacional: ( ) 75 rpm 5 Np Altura que alcanza a elevar la bomba grande. 75 Hdp ( ) m 4. Potencia relativa: Por Potencia de la bomba pequeña (modelo): Pom kgf 000 m 0.05 m seg ( kgf m) seg 76.0 HP ( m) ( ) %f Pom.68 HP 4.5 Potencia de la bomba grande (prototipo): Ejemplo 4. Qm litros m 5 seg 000 litros 0.05 m seg Cap J.C.Toledo

31 .68 Pop Pop.99 Hp γ : 000 Una bomba centrífuga 0.59 de 0 HP de potencia mueve 40 litros/seg de agua y una carga total de 0 m está funcionando a 750 rpm. Cómo funcionaría si se reduce 4,6 Comprobando su velocidad a con 450 la fórmula rpm. Calcular para cálculo altura de descarga, potencia: caudal y la potencia que requiere? Solución Qp : Hdp : 6.75 %f :.0 El problema enunciado es del tipo Modelo y prototipo, aunque en este caso es la misma bomba (mismo kgf 000 tamaño) operando bajo dos condiciones distintas ( γ Qp Hdp con ) el mismo fluido agua. mpor m ( 6.75 m) seg lo tanto su solución requiere considerar Pop : Pop las leyes de 76 %f semejanza hidráulica en ( kgf lo concerniente m) a los parámetros involucrados. seg 76 (.0) Pop.997 Hp. ANÁLISIS DIMENSIONAL HP Los parámetros Los resultados que son se mencionan iguales en el enunciado son: Q, Hd, D, N, Po, µ, ρ. Aplicando el método, se llega a obtener las expresiones llamadas, leyes de semejanza hidrostática y que son: Ley- Relación de columnas hidrostáticas (alturas de descarga): Hd m N m D m Ec.) Hd p N p D p Ley-Relación de caudales: Q m Q p N m D m Ec.) N p D p Ley- Relación de potencias. 5 Po m N m D m Ec.) Po p N p D p. INFORMACION. Datos: Modelo (Mayor velocidad de rotación): Hdm 0 m Qm litros 40 Nm 750 rpm Pom 0 hp Dm seg Prototipo (Menor velocidad de rotación): Hdp?? Qp?? Np 450 rpm Pop?? Dp Cap J.C.Toledo

32 . Requerimiento: Altura que alcanza a elevar, el caudal y la potencia de la bomba de menor velocidad de rotación.. FORMULARIO De las expresiones Ec., Ec., Ec., para modelo y prototipo:. Altura que alcanza a elevar la bomba grande: De Ec. se despeja :. El caudal: De Ec. se despeja:. La potencia: De Ec. se despeja: Hdp Hdm Np Dp Nm Dm Qp Qm N p D p Nm Dm Pop Pom N p Nm D p Dm 5 4. CALCULOS 4.. Altura de descarga: 450 Hdp ( 0) m 4.. Caudal: 4.. Potencia: 450 ( ) rev sec Qp Pop ( 0) HP 5 Ejemplo 4. En el ensayo con una turbina Francis, en el banco de pruebas y en el punto de óptimo rendimiento se obtuvieron los siguientes datos: Salto (Hd5m), Caudal (Q.5 m /seg), Velocidad de rotación (N00 rpm), Potencia (Po55 kw), Diámetro rotor (D750 mm). Considere como parámetro la densidad del fluido agua. Calcular: a) El rendimiento mecánico y la velocidad específica b) Si la turbina se instala a un salto de 5 m, calcular N, Q, Po, funcionando en el punto de óptimo rendimiento. Cap J.C.Toledo

33 Solución. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea Tabla de dimensiones (Apéndice IV). D L Ec.) ρ M L Ec.) N T Ec.) pd M L T Po M L T Q L T. Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y datos de la Tabla de dimensiones, según Método J.C.Toledo: "Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro), una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad), uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad angular)".. Teniendo tres ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea. De la Ec., despejar L: L D De la Ec., despejar M y sustituir L: De la Ec., despejar T: T M ρ L M ρ D N.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no han sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas: ( ) D pd M L T pd ρ D ( ) ( N) Pd ρ D N ( ) D Po M L T po ρ D ( ) ( N) po ρ D 5 N Q L T Q ( D) ( N) Q D N.5 Expresiones obtenidas: Cap J.C.Toledo

34 ε: pd ρ D N ε: Po ρ D 5 N ε: Q D N Como la presión de descarga (pd) se puede expresar en términos de altura hidrostática (h) y del peso específico (γ) del fluido, la expresión (ε) también se puede escribir así: γ hd ρ D N.6 Expresiones para modelo (m) y prototipo (p). Previa eliminación de las propiedades físicas, que se anulan por tratarse de un mismo fluido en el modelo y en el prototipo: hdm Dm Nm Pom Dm 5 Nm Qm Dm Nm hpd Dp Np Pop Dp 5 Np Qp Dp Np Ec.4) Ec. 5) Ec.6) Si se relacionan la Ec. 4 con la Ec. 5 se eliminan los (D) (porque es el mismo diámetro para modelo que prototipo) y se obtiene la igualdad en velocidad específica, Ec. 7: (Nm)espec (Np)espec Nm Pom 5 4 Hdm Np Pop 5 4 Hdp Ec. 7). INFORMACION. Datos: g 9.8 m seg ρm 000 kg m Modelo (Menor velocidad de rotación): PoReal 55 kwatt ( 000 watt) kwatt Cap J.C.Toledo

35 Qm.5 m seg Hdm 5 m Dm 750mm Nm 00 rpm Prototipo (Mayor velocidad de rotación): Pop?? Qp?? Hdp?? Dp 750mm Np 450 rpm. Requerimientos: Varios. FORMULARIO. Eficiencia mecánica: η PoReal 00 PoTeorica. Potencia Teórica: PoTeorica Qm ρm g Hdm. Velocidad específica (ec. 7) Ns Nm Pom Hdm Velocidad de rotación. De la ec. 4) despejar Np: Np Nm hdp Dm Nm Dm hdm Dp Dp hdp hdm.5 Potencia. De la ec. 5) despejar (Pop): Pop Pom Dp5 Np Dm 5 Nm.6 Caudal. De la ec. 6) despejar Qp: Qp Qm Dp Dm Np Nm 4. CALCULOS a) Rendimiento mecánico y velocidad específica de la turbina: 4.. Potencia teórica: Cap J.C.Toledo

36 PoTeorica (.5) ( 000) 4.. Eficiencia mecánica: ( 9.8) ( 5) watts η η 74.76% 4.. Velocidad específica: ( 00) ( 74.75) Ns.7 rpm ( 5) 5 4 b) Varios requerimientos usando el Salto del prototipo con valor de 5 m. 4.4 Velocidad de rotación 750 ( ) rpm Np Potencia 750 Pop ( 55) Kw Caudal Qp 750 (.5) m seg 4.8 Problemas propuestos Problema 4.p Determine la expresión que sirve para calcular la velocidad de flujo (v) de un líquido que sale a través del orificio (φ) en la pared de un recipiente, ocasionado por la aceleración gravitacional (g). Solución: v g h... Cap J.C.Toledo

37 Problema 4.p La presión en un punto de un fluido en reposo es la expresión de (P), siendo r densidad, g gravedad y h profundidad. Hallar los exponentes a, b. c, aplicando el análisis dimensional. P ρ a g b h c Solución: a, b, c... Problema 4.p Relacionando los siguientes parámetros: diámetro de tubería (φ), viscosidad (µ) y la densidad (ρ) de un líquido, velocidad de flujo (v) y la caída de presión ( p): Cuales son las expresiones relacionales que se obtienen usando el análisis dimensional?. Solución:... Problema 4.4p Obtenga la dimensión en el sistema FLT correspondiente a la potencia sabiendo que (γ) es el peso específico, (Q) es el caudal y (H) es la columna o altura hidrostática: Pot γ ( Q) H 75 Solución: F L T... Problema 4.5p Obtenga la expresión que dé el coeficiente de fricción (f) si se sabe que depende del diámetro (φ) y del espesor de la rugosidad (ε) de la tubería. También de la veloidad de flujo (v), de la viscosidad absoluta (µ) y de la densidad (ρ ) del fluido. Considere el diámetro como parámetro mas influyente que el espesor de la rugosidad. Solución: f f NRe, ε φ... Problema 4.6p Cap. 4 6 J.C.Toledo

38 Un cuerpo se desliza a una velocidad sobre una película de aceite debido a una fuerza tangencial que se le aplica. Encuentre una expresión que relacione la velocidad de deslizamiento (v), el espesor de la película (e), la densidad (ρ) y viscosidad (µ) del aceite, la fuerza tangencial (F) y el área de contacto (A). Solución: F/A µ(v/y)... Problema 4.7p Al estudiar experimentalmente las magnitudes de que depende el período (T) de un péndulo parece deducirse que puedan influir sobre él la longitud del hilo (l), la masa del péndulo (m) y el valor de la aceleración de la gravedad (g) en el lugar de la experiencia. Obtener mediante el análisis dimensional la fórmula del período del péndulo. T k l a Solución: m b g c a /, b 0, c -/.... Problema 4.8p En un tramo de tubería horizontal, de.54 cm de diámetro, fluye aceite (de viscosidad veces mayor y densidad veces mayor que el agua), a una velocidad promedio de m/seg y produce una caída de presión de 450 Pascal en un tramo de 50 m. Si fluyera agua en esta misma tubería, calcule la velocidad de flujo y la caída de presión correspondientes, usando el análisis dimensional y la semejanza en modelos y prototipos. Solución: v m seg p 00 Pascal... Problema 4.9p Se requiere una bomba centrífuga para entregar 0.7 m de agua y una carga de 45 m. El diámetro del rotor es de 0 cm y se va a accionar a 500 rpm. El prototipo va a ser modelado sobre un pequeño aparato de prueba que tiene un suministro de potencia de HP a 000 rpm. Para un funcionamiento similar entre prototipo y modelo calcular la carga, el flujo volumétrico y el diámetro del rotor del modelo. Solución:... Cap. 4 6 J.C.Toledo

39 Problema 4.0p Se pretende predecir el comportamiento de un instrumento a partir de datos de pruebas efectuadas dentro de un túnel de viento. El instrumento es esférico. El instrumento prototipo tiene 0 cm de diámetro y se va a arrastrar a 5 nudos (millas náuticas por hora) en agua de mar a 5 oc. El instrumento modelo tiene 5 cm de diámetro. Calcule la velocidad de prueba requerida del aire. Si la fuerza de arrastre del modelo en las condiciones de prueba es de 5 Nw, estime la fuerza de arrastre en el prototipo. Considere las siguientes propiedades: del agua (densidad00 kg/m y viscosidad cinemática.4 m/seg); del aire (densidad.9 kg/m y viscosidad cinemática0.4 m /seg). Solución: fp 7.4 Nw Cap. 4 6 J.C.Toledo