sin paréntesis, conservando el mismo signo para cada término. Se agrupan los términos semejantes. Se reducen los términos semejantes.

Transcripción

1 lase 1 uma de polinomios P alcule las siguientes expresiones. a. (9x + 8y) + (6x y) b. ( 10x 2y) + ( 8x 7y) a. (9x + 8y) + (6x y) 9x + 8y + 6x y 9x + 6x + 8y y 15x + 7y e reescriben los polinomios sin paréntesis, conservando el mismo signo para cada término. e agrupan los términos e reducen los términos umar verticalmente (9x + 8y) + (6x y): 9x + 8y (+) 6x y 15x + 7y e colocan los polinomios uno debajo de otro, para que los términos semejantes queden en columna. e reducen los términos Respuesta: (9x + 8y) + (6x y) 15x + 7y b. ( 10x 2y) + ( 8x 7y) 10x 2y 8x 7y 10x 8x 2y 7y 18x 9y e reescriben los polinomios sin paréntesis, conservando el mismo signo para cada término. e agrupan los términos e reducen los términos umar verticalmente ( 10x 2y) + ( 8x 7y): 10x 2y (+) 8x 7y 18x 9y e colocan los polinomios uno debajo de otro, para que los términos semejantes queden en columna. e reducen los términos Respuesta: ( 10x 2y) + ( 8x 7y) 18x 9y Para sumar polinomios: Paso 1. e reescriben los polinomios sin paréntesis, conservando el mismo signo para cada uno de los términos. Paso 2. e ordenan los términos Paso 3. e reducen los términos alcule el resultado de las siguientes expresiones. a. (2a 8) + (3a + 11) b. (b + ) + (6 b) c. ( c 3) + ( 8c 7) d. (9x + 3y) + (y x) e. (7y 6x) + (5y + 2x) f. ( 9ab 11a) + ( 9a 3ab) g. (8x 10z) + (15z + 12x) h. (1a + 16b) + (7a 6b) i. (22a 9x) + (12a 15x)

2 lase 2 Resta de polinomios P alcule las siguientes expresiones. a. (1x + 7y) (x 2y) b. ( 3a + 5b) ( 6a 8b) a. (1x + 7y) (x 2y) 1x + 7y x + 2y 1x x + 7y + 2y 10x + 9y e reescriben los polinomios sin paréntesis, cambiándole de signo a cada término del segundo polinomio. e agrupan los términos e reducen los términos Restar verticalmente (1x + 7y) (x 2y) 1x + 7y (+) x + 2y 10x + 9y e colocan los polinomios uno debajo de otro, para que los términos semejantes queden en columna. e cambia de signo a los términos del segundo polinomio. e reducen los términos Respuesta: (1x + 7y) (x 2y) 10x + 9y b. ( 3a + 5b) ( 6a 8b) Restar verticalmente( 3a + 5b) ( 6a 8b) 3a + 5b + 6a + 8b 3a + 6a + 5b + 8b 3a + 13b e reescriben los polinomios sin paréntesis, cambiándole de signo a cada término del segundo polinomio. e agrupan los términos e reducen los términos 3a + 5b (+) +6a + 8b 3a + 13b e colocan los polinomios uno debajo de otro, para que los términos semejantes queden en columna. e cambia de signo a los términos del segundo polinomio. e reducen los términos Respuesta: ( 3a + 5b) ( 6a 8b) 3a + 13b Para restar polinomios: Paso 1. e reescriben los polinomios sin paréntesis, cambiándole de signo a cada término del segundo polinomio. Paso 2. e ordenan los términos Paso 3. e reducen los términos alcule el resultado de las siguientes restas de polinomios. a. (a 2) (6a + 3) b. (8b + 9) (7b 5) c. ( 10 3c) ( c 8) d. (3x + 2y) (5y + x) e. (x + y) ( x y) f. ( 3ab 8a) ( 5a 6ab) g. (10x 5z) (15z + 12x) h. (18a + 30x) (1a 20x) i. ( 12y 16z) ( 10z 1y)

3 lase 3 Multiplicación de polinomio por un número P Ana y Luis pintaron una pared de su casa con dos colores diferentes, tal como lo muestra la figura que está a la derecha. Determine el área total pintada. La pared tiene metros de ancho por (x + 1) metros de altura. Por tanto, el área total pintada se representa: A (x + 1) x + Respuesta: l área total pintada es x + (m 2 ) l área total pintada también se puede calcular de la siguiente manera: Área de la pared A x Área de la pared B 1 x Área total Área de la pared A + Área de la pared B x + Respuesta: l área total pintada es (x + ) (m 2 ) n la multiplicación de un polinomio por un número, se multiplica el número por cada término del polinomio, utilizando la propiedad distributiva. a (x + y) ax + ay alcule el resultado de las siguientes multiplicaciones. a. (2x + 7y) b. 5(x + 6y) c. 6(x y) d. 8( 5a 3b) e. 10( 9a + 2b) f. 3(8a + 7b) g. 7(10b 5b) h. 2(7a 20x) i. 9(2z + 5y)

4 lase División de polinomio por un número P alcule la siguiente expresión. (12x 9a) 3 La división de (12x 9a) 3 se puede resolver: Forma 1: (12x 9a) 3 12x 9a 3 12x 9a 3 3 x 3a e divide cada término del polinomio entre 3. Forma 2: (12x 9a) 3 (12x 9a) x 3 9a 3 x 3a e multiplica el polinomio por 1 (recíproco de 3). 3 La división de un polinomio entre un número se puede realizar: Forma 1. e divide cada término del polinomio entre el divisor: (x + y) a x+y x + y, donde a 0 a a a Forma 2. e multiplica el polinomio por el recíproco del divisor: (x + y) a (x + y) 1 a x a + y a alcule el resultado de las siguientes divisiones. a. (1x 6y) 2 b. (8x + 6y) ( ) c. (15x 20y) 5 d. (18a + 30b) ( 6) e. (1a 35b) 7 f. (16a + 2b) ( 8) g. (15a 30x) 3 h. (20y + 32z) ( ) i. (18b 81c) 9

5 lase 5 Operaciones combinadas de polinomio con división por número P alcule la siguiente expresión. 5x+9y 2 3y x Resolviendo la expresión 5x+9y 2 Forma 1: 5x + 9y 3y x 2 3y x : 2(5x + 9y) (3y x) e buscan términos equivalentes de igual denominador. Forma 2: 5x + 9y 3y x 2 2(5x + 9y) (3y x) 10x + 18y 3y + x 10x + x + 18y 3y 11x + 15y 1 2 (5x + 9y) 1 (3y x) e expresa como una sola fracción. e expresa sin paréntesis. e agrupan según términos e reducen los términos e expresa como multiplicación de polinomio por un número y se multiplica. 5x 2 + 9y 2 3y + x 5x 2 + x + 9y 2 3y 2(5x) + x 2(9y) 3y + e agrupan los términos e convierte a común denominador. 10x + x 18y 3y + 11x + 15y e reducen los términos Para resolver operaciones combinadas de polinomios divididos por un número: Forma 1: Forma 2: Paso 1. e buscan fracciones equivalentes con igual Paso 1. e expresa como multiplicación de polinomio denominador. por un número. Paso 2. e expresa como una sola fracción. Paso 2. e multiplica. Paso 3. e expresa sin paréntesis. Paso 3. e agrupan los términos Paso. e agrupan los términos Paso. e convierte a común denominador. Paso 5. e reducen los términos Paso 5. e reducen los términos alcule el resultado de las siguientes divisiones reduciendo los términos a. 5x+y 6 + 3x y 2 b. 2a 3b 8 3a b c. 6x 10y 2 + x+6y 5 d. 5a 6b 2 2a+b 3 e. b+2c + b 2c 3 f. x+5y 3 5x 6y

6 lase 6 Multiplicación de monomio por monomio P Determine el área del rectángulo que tiene 6x cm de base y 5y cm de altura. Para encontrar el área del rectángulo, divida el rectángulo en x cm de base y y cm de altura. Luego, multiplique 6x 5y, y el resultado es el área del rectángulo original. 6x 5y 6 x 5 y 6 5 x y 30xy Respuesta: el área del rectángulo es 30xy (cm 2 ) n la multiplicación de monomio por monomio, se multiplican los coeficientes y variables de ambos monomios. jemplos: ncuentre el resultado de las siguientes multiplicaciones de monomio por monomio. a. a ( x) b. (3b) 2 c. 2y 3 8z a ( 1) x 3b 3b 2 y y y 8 z ( 1) a x 3 b 3 b 2 8 y y y z ax 3 3 b b 16y 3 z 9b 2 Respuesta: Respuesta: Respuesta: a ( x) ax (3b) 2 9b 2 2y 3 8z 16y 3 z alcule el resultado de las siguientes multiplicaciones. a. 6a 2b b. ab ( 3a) c. 7a 5b d. 9x ( 10y) e. 8y 6x f. 11a ( y) g. (10y) 2 h. y 3 (z) 2 i. (2a) 3 6b

7 lase 7 División de monomio por monomio P alcule las siguientes expresiones. a. 20xz ( 5z) b. 2a 3 b ab a. Para resolver 20xz ( 5z) 20xz ( 5z) 20xz 5z e expresa como fracción. 20xz 5z x e simplifica. Respuesta: 20xz ( 5z) x b. Para resolver 2a 3 b ab 2a 3 b ab 2a3 b ab 2 a a a b a b e expresa como fracción. 2 a a a b a b 6m 2 Respuesta: 2m 3 n mn 6m 2 e simplifica. Para resolver la división de monomio entre monomio, se expresa como una fracción y se simplifica a la mínima expresión. alcule el resultado de las siguientes divisiones. a. 12a 6a b. 1ab ( 2a) c. 15ab 3b d. 18c ( 9c) e. 2a 2 x ( 8x) f. 30xy 3 6xy g. 9x 3 ( 7x) h. 50xyz 2 5x i. 6x 2 y ( 8xy)

8 lase 8 Multiplicación y división combinadas de monomios con monomios P alcule las siguientes expresiones y simplifique el resultado. a. 3a 2 b ( 2ab) b. 15x y 3 5xy 2 ( 8y) a. Resuelva 3a 2 b ( 2ab) 3a 2 b 1 2ab 3a2 b 2ab 3 a a b 2 a b 3 a a b 2 a b e expresa como fracción. (3 2 a) 6a e simplifica. Respuesta: 3a 2 b ( 2ab) 6a b. Resuelva 15x y 3 5xy 2 ( 8y) 15x y 3 1 5xy 2 ( 8y) 15x y 3 ( 8y) 5xy 2 e expresa como fracción. ( 15) ( 8) x x x x y y y y 5 x y y ( 15) ( 8) x x x x y y y y 5 x y y ( 3) ( 8) x x x y y 2x 3 y 2 e simplifica. Respuesta: 15x y 3 5xy 2 ( 8y) 2x 3 y 2 Para operar multiplicaciones y divisiones combinadas de monomios: Paso 1. e expresa la división como una multiplicación utilizando recíproco. Paso 2. e expresa la operación como una fracción. Paso 3. e determina el signo de la fracción mediante la regla de los signos. Paso. e simplifica a la forma más simple. alcule el resultado de las siguientes operaciones combinadas con polinomios y simplifique. a. 3a 2 6ab 9ab b. 16xy 2 z ( y) 2z c. 5b 2 c ( 8c) ( 10b 2 ) d. 12x y 3 ( x) xy e. 6a 3 c 3c 2 ( 6ac 2 ) f. ( 2yz) 2 ( 2y) ( y 2 )

9 lase 9 ustitución y valor numérico de polinomios P ncuentre el valor numérico del polinomio 7x 8y, si x 3 y y 2. Para encontrar el valor numérico del polinomio, se sustituyen las variables x por 3 y y por 2 7x 8y Respuesta: el valor numérico del polinomio es 5. l valor numérico de un polinomio se obtiene al sustituir las variables de la expresión por números y se realizan las operaciones. jemplo: ncuentre el valor numérico de los siguientes polinomios. a. 5a 2 + 6a 10, si a b. 2c + 3c 2 5, si c 6 5a 2 + 6a c + 3c ( 6) + 3 ( 6) ( 6) + 3 (36) l valor numérico del polinomio es 9. l valor numérico del polinomio es 91. ncuentre el valor numérico de los siguientes polinomios. a. 8x + y, si x, y 2 b. 6a 2b, si a 2 y b 5 c. x 2 + 5x 6, si x 2 d. 2y + 3y 2 7, si y 3 e. 3a b 12, si a 6, b 3 f. x + 8y 10, si x 6, y 1 g. 3a 5b + 8, si a 5, b 2 h. 5a 2 + 6a 7, si a 2 i. 7c 6c , si c 3

10 lase 10 Producto de monomio por binomio P alcule las siguientes expresiones. a. x(x + ) b. x(x + 3) a. onsidere el área del rectángulo que está a la derecha, cuya base es x y altura es x +. x(x + ) x x + x e multiplica el monomio por cada término del binomio. x 2 + x Respuesta: x(x + ) x 2 + x b. x(x + 3) ( x) x + ( x) 3 e multiplica el monomio por cada término del binomio. x 2 3x Respuesta: x(x + 3) x 2 3x Para obtener el producto de un monomio por un binomio, se multiplica el monomio por cada término del binomio, aplicando la propiedad distributiva a(b + c) a b + a c ab + ac alcule el resultado de los siguientes productos. a. a(a + 6) b. x(x + 7) c. b(b 5) d. a(a 8) e. c(c + 5) f. z(z 6) g. y(y 3) h. x(x + 9) i. 2a(a + 9) j. 3a(a 2) k. 5y(2y + 3) l. x(x 5) m. 6x(x + 3) n. 3b (7b + 9) o. 7z (6z + 8) p. 8a (8a + )

11 lase 11 Producto de binomio por binomio P alcule la siguiente expresión. (x + 2) (y + 5) Forma 1: e sustituye (y + 5) por W, y se desarrolla como producto de binomio por monomio. (x + 2)(y + 5) (x + 2) W x W + 2 W x(y + 5) + 2(y + 5) xy + 5x + 2y + 10 Por tanto, (x + 2)(y + 5) xy + 5x + 2y + 10 e sustituye nuevamente W por (y + 5). Forma 2: onsidere el área del rectángulo que está a la derecha, cuya base es x + 2 y altura es y + 5. Por lo que A (x + 2)(y + 5). e puede obtener el área total sumando cada una de las áreas que forman el rectángulo. (x + 2)(y + 5) A 1 + A 2 + A 3 + A A 1 (x)(y) xy A 2 (5)(x) 5x A 3 (2)(y) 2y A (2)(5) 10 Por tanto, (x + 2)(y + 5) xy + 5x + 2y + 10 Para obtener el producto de un binomio por un binomio, se multiplica cada término del primer binomio, por cada término del segundo binomio (a + b)(c + d) a c + a d + b c + b d ac + ad + bc + bd 3 jemplo: alcule el resultado del siguiente producto. (3x + 6) (y + 2) Para desarrollar el producto, se multiplica cada uno de los términos del primer binomio por cada término del segundo binomio. (3x + 6)(y + 2) 3x y + 3x y xy + 6x + 6y + 12 Respuesta: (3x + 6)(y + 2) 3xy + 6x + 6y + 12 alcule el resultado de los siguientes productos. a. (x + 3)(y + 6) b. (x + )(y + 2) c. (a + 8)(b + 10) d. (a + 7)(b + 3) e. (2x + 1)(y + ) f. (3x + )(y + 6) g. (5a + 3)(b + 1) h. (6a + 2)(b + 5)

12 lase 12 Producto de binomio por binomio P alcule la siguiente expresión. (2x 1)(y + ) Forma 1: ustituya (y + ) por W, y desarrolle como producto de binomio por monomio. (2x 1)(y + ) (2x 1) W 2x W 1 W 2x (y + ) 1 (y + ) 2xy + 8x y e sustituye nuevamente W por (y + ). Respuesta: (2x 1)(y + ) 2xy + 8x y Forma 2: scriba el primer binomio (2x 1) como una suma, de la siguiente manera 2x + ( 1). Desarrolle el producto de los binomios, como lo aprendido en la clase anterior. (2x 1)(y + ) [2x + ( 1)] (y + ) La resta de a b, puede escribirse como: 2x (y) + 2x () + ( 1) (y) + ( 1) () 2xy + 8x + ( y) + ( ) 2xy + 8x y Respuesta: (2x 1)(y + ) 2xy + 8x y a b a + ( b) Para obtener el producto de un binomio por un binomio, se multiplica cada término del primer binomio, por cada término del segundo binomio. (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd (a + b)(c d) ac ad + bc bd (a b)(c + d) ac + ad bc bd (a b)(c d) ac ad bc + bd jemplo: alcule el resultado del siguiente producto. ( 5a b)(2c 3) ( 5a b)(2c 3) ( 5a) 2c + ( 5a) ( 3) + ( b) 2c + ( b) ( 3) 10ac + 15a 8bc + 12b Respuesta: ( 5a b)(2c 3) 10ac + 15a 8bc + 12b alcule el resultado de los siguientes productos. a. (x 3)(y + ) b. ( 6a 5)(8b ) c. (2x 3y)(6a 1) d. (7y + )(2z 5) e. ( 5a 3)( b + 2) f. (8 + 2x)(3a y) g. (2 + 9a)( 6b 2) h. ( a 3x)(8y 5)