Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de incidencia.

Transcripción

1 2.5 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de incidencia. Si A es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos distintos pertenecientes al espacio. 1. Supongamos: A pertenece al espacio. Hipótesis auxiliar. 2. Por A pasa al menos una recta. De 1 por Axioma I.1(2) 3. En la recta hay al menos otro De 2 por Axioma I.2 punto B, siendo B A. 4. Existe al menos un puntoc De 2 por Axioma I.3 en el espacio y Cε 5. A B C y no colineales De 3 y Existe π A,B,C De 5 por Axioma I.4 7. Existe al menos un punto D De 6 por Axioma I.8 en el espacio, Dεπ A,B,C 8. A B C D De 5, 6 y 7 9. Si A es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos distintos pertenecientes al espacio. Por qué? Ilustración N 2 Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de orden. Si A yb son puntos distintos, entonces, entrea y B existen infinitos puntos. 1. Supongamos: Ay B son puntos distintos. Hipótesis auxiliar.

2 2. Existe al menos un punto k De 1 por Axioma II.2 k AB AyB., tal que k está entre 3. Existe al menos un punto X 1, De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1 X 1 AB Ayk. tal quex 1 está entre 4. X 1 está entre A y B. De 2 y 3 por Axioma II.5 5. Existe al menos un puntox 2, De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1 X 2 AB tal que X 2 está entre k y B. 6. X 2 está entre Ay B. De 2 y 5 por Axioma II.5 7. X 1, X 2 y k son puntos distintos De 2, 4 y 6. 3 y 5. que están entre Ay B. 8. Continuando un proceso análogo al utilizado para probar que se tienen al inductivo. dcto. menos3 puntos distintos, entre Ay B; se puede probar encajando puntos entre Ay B, que existen infinitos puntos mediante un procedimiento 9. Si A y B son puntos distintos, entonces, entre Ay B existen infinitos puntos. Método Ilustración N 3 Demuestre la siguiente proposición. Si AB es no nulo, entonces, tiene AB infinitos puntos. La demostración es inmediata aplicando la proposición demostrada en la ilustración 2. Ilustración N 4 Demuestre utilizando los axiomas de orden y los axiomas de incidencia necesarios, la siguiente proposición. Si designa una recta, entonces, tiene infinitos puntos. 1. Supongamos: es una recta. Hipótesis auxiliar. 2. Existen al menos dos puntos De 1 por Axioma I.2 distintos A y B;A yb 3. Determinamos AB. Definición de segmento.

3 4. AB 5. AB tiene infinitos puntos Proposición de la Ilustración Existe al menos un punto W 1 tal que De 2 por Axioma II.3 B está entre A y W Determinamos BW 1 8. BW tiene 1 infinitos puntos 9. AW tiene infinitos puntos Definición de segmentos. 10. Existe al menos un punto Z 1 tal que De 2 por Axioma II.3 A está entre Z 1 y B 11. Determinamos Z 1 A 12. Z 1 A tiene infinitos puntos 13. Z 1 W 1 tiene infinitos puntos 14. En forma análoga se amplia la existencia de puntos laterales en ambos sentidos de la recta y mediante un proceso inductivo se establece la infinitud de la recta. 15. Si designa una recta, entonces, Método directo. Ilustración N 5 tiene infinitos puntos. Si Testá entre S y W cuántas semirrectas determinan?. Identifíquelas. Indiquemos una situación gráfica que describe las condiciones dadas. Es obvio que S, T, W son distintos y colineales. Con origen en T se tienen TW y su opuestats. Con origen en S se tienen ST y su opuesta que podemos definir como{x/ S está entre X y T}. Con origen en W se tienen WT y su opuesta que podemos definir como {X/ W está entre X y T}. Tenemos en consecuencia seis semirrectas distintas puesto que cada punto perteneciente a la recta la particiona en dos semirrectas opuestas.

4 Ilustración N 6 Si A y Bson puntos distintos, determinar y dar una interpretación gráfica de los siguientes conjuntos: 1. AB BA 2. AB AB Para AB AB Elaborando una representación gráfica de ambos conjuntos en la AB, y poniendo toda la atención en las características de la operación de intersección se tiene: AB BA = Int(AB ) Para 2. En forma análoga al caso anterior pero para la operación diferencia, se tiene: AB AB = {X B está entre X y A} Para 3. = Semirrecta opuesta a BA AB AB = {A}

5 Ilustración N 7 Sean A, Bpuntos distintos; una recta. Demostrar: = AB si y solo si{a, B} Probemos la implicación de izquierda a derecha, inicialmente. 1. Supongamos:A y Bpuntos distintos; una recta. Hipótesis general. 2. Supongamos: = AB 3. Existe AB única con A AB y B AB Hipótesis auxiliar. De 1, Axioma de determinación de la recta. 4. A y B De 2 y 3 por sustitución en la igualdad. 5. {A, B } De 4 definición relación de inclusión en conjuntos. 6. Si = AB, entonces, {A, B } Método directo. Se deja al estudiante la prueba de la implicación recíproca.