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Valentín Silva Cabrera
hace 6 años
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1 FACTOR INTEGRANTE 1 FACTOR INTEGRANTE Considérese la ecuación diferencial, para cual se tiene que, es decir la ecuación diferencial no es exacta. Es posible transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación exacta mediante la multiplicación de la ecuación dada por una función, dicha función se denomina un factor integrante. Multiplicando la ecuación inicial por el factor integrante se obtiene. La cual es una ecuación exacta, con lo cual se tiene garantizado que Aplicando la regla de derivación de un producto, se llega a: ( ) Esp. Daniel S.C. Página 1

2 FACTOR INTEGRANTE 2 Ahora, se consideran los siguientes casos: 1) Si la función depende únicamente de la variable y, entonces la derivada parcial con respecto a x se hace igual a cero, con lo que se tiene: ( ) Llamando las derivadas parciales por variables se llega a: y realizando separación de Con lo que la función buscada o factor integrante es: Esp. Daniel S.C. Página 2

3 FACTOR INTEGRANTE 3 EJEMPLO. ENCUENTRE LA ECUACION DIFERENCIAL De la ecuación se tiene que: Cuyas derivadas parciales son Lo que nos indica que la ecuación diferencial dada no es exacta. Luego planteamos, Lo cual resulta una función que depende únicamente de la variable y. Integrando la expresión encontrada, se tiene que: Siendo el factor integrante Como la constante C no influye en el desarrollo de la ecuación diferencial, hacemos C = 1 quedando. Multiplicando la ecuación diferencial por y, se tiene la ecuación diferencial exacta. Aplicando el desarrollo de la ecuación por agrupamiento, se llega a: Esp. Daniel S.C. Página 3

4 FACTOR INTEGRANTE 4 Luego la solución es: 2. Si la función depende únicamente de la variable x, entonces la derivada parcial con respecto a y se hace igual a cero, con lo que se tiene: ( ) Llamando las derivadas parciales por variables se llega a: y realizando separación de Con lo que la función buscada o factor integrante es: Esp. Daniel S.C. Página 4

5 FACTOR INTEGRANTE 5 EJEMPLO. ENCUENTRE LA ECUACION DIFERENCIAL De la ecuación se tiene que: Cuyas derivadas parciales son Lo que nos indica que la ecuación diferencial dada no es exacta. Luego planteamos, Lo cual resulta una función en las variables x e y, lo que nos indica que por este lado no sirve, ya que la función u debe depender únicamente de la variable y. por lo tanto planteamos la dependencia de x. Integrando la expresión encontrada, se tiene que: Siendo el factor integrante Como la constante C no influye en el desarrollo de la ecuación diferencial, hacemos C = 1 quedando. Multiplicando la ecuación diferencial por x, se tiene la ecuación diferencial exacta. Esp. Daniel S.C. Página 5

6 FACTOR INTEGRANTE 6 Aplicando el desarrollo de la ecuación por agrupamiento, se llega a: Luego la solución es: 3) Si la función depende tanto de la variable x como de la variable y, se debe buscar una función de la forma. Para este caso se recomienda buscar el factor integrante con la función de la forma, multiplicar la ecuación dada por este factor y aplicar la condición de exactitud con el fin de determinar los valores de m y n. Al buscar el factor integrante, se supone que depende únicamente de la variable y, y se hacen los respectivos reemplazos en, si al simplificar la expresión no resulta una función de dos variables o una expresión de una variable compleja, entonces se debe intentar con la otra expresión es decir. si en ambos caos dan funciones de dos variables se aplica el criterio tercero. Esp. Daniel S.C. Página 6

7 FACTOR INTEGRANTE 7 EJAMPLO. Resolver la ecuación diferencial. De la ecuación se tiene que: Cuyas derivadas parciales son: La ecuación no es exacta. Luego planteamos: Que corresponde a una función de dos variables, entonces planteamos Que corresponde a una función de dos variables, lo cual nos indica que el factor integrante es de la forma:. Intentamos buscar el factor en la forma. Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante considerado Donde Cuyas derivadas parciales son: Esp. Daniel S.C. Página 7

8 FACTOR INTEGRANTE 8 Igualando las derivadas parciales Con lo que se tiene Resolviendo el sistema se obtiene m = 2, n = -5 lo que nos indica que el factor integrante es: Multiplicando la ecuación dada inicialmente se llega a diferencial exacta. una ecuación Agrupando términos se tiene que Hacemos Integrando Derivando con respecto a y Igualando la derivada a N(x.y) se llega a Esp. Daniel S.C. Página 8

9 FACTOR INTEGRANTE 9 Luego la solución es de la forma: ACTIVIDAD REALIZAR LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES. 1) 2) 3) 4) 5) 5) 6) Esp. Daniel S.C. Página 9

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