Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. El sistema no tiene solución. Representa tres rectas que se cortan dos a dos. FILAS (1.

Transcripción

1 Pág. 1 de 7 1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas: x + 3y y + z x 0 a x y 3 b x + z y 0 x + y x + y z 0 x + 3y a x y 3 Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones. a y 3. a : x + y x y 3 x + y 3x 8 x /3 y x ÄÄÄ8 y 1/3 Comprobamos si 1, 3 3 verifica la 1. a ecuación: 1 + 3? 3 3 El sistema no tiene solución. Representa tres rectas que se cortan dos a dos. y + z x 0 b x + z y 0 Ordenamos las incógnitas y las ecuaciones: x + y z 0 Para resolverlo, aplicamos el método de Gauss: x y + z 0 x + y z 0 x + y + z FILAS 1.ª.ª 1. a 3. a + 1. a FILAS 1.ª.ª 3. a +. a El sistema es compatible indeterminado. x y + z 0 x y z 8 8 3y 3z 0 y z Soluciones: l, l, l. x l + l l y l Comprueba que el siguiente sistema es compatible determinado y halla su solución. x + y + z 1 4y + 3z x + y 1 x + 3y +z 1 Si el sistema es compatible determinado, debe verificarse que ran M ran M' 3, según el teorema de Rouché. Como M' es una matriz cuadrada de orden 4, su determinante debe ser igual a 0. FILAS ª ª M' 0 porque la. a y 4. a filas son iguales ª + 1.ª ª + 1.ª 0 4 3

2 Pág. de 7 Podemos eliminar la última ecuación y resolverlo por la regla de Cramer: x + y + z 1 4y + 3z x +y x 3 4 ; y ; z 3 4 Solución:,, Sean las matrices: 3 1 A, B x m, C, D 1 y + m + E x my + a Si ABC D E, plantea un sistema de ecuaciones con incógnitas x e y en función de m. b Para qué valores de m tiene el sistema solución? Resuélvelo. a AB C D E 3 3x 3m A B x m 1 x m 1 1 C D x 3m 1 AB C D E 8 x m 1 3x + 3m y +m + x + m x my + 8 b El sistema tendrá solución si ran M ran M', siendo: m M M' 3 m 3 m m Buscamos los valores de m que hacen M 0: 3m m 1 Si m? 1, ran M ran M' n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado. 3 1 Si m 1, M y ran M M' 8? 0, ran M' El sistema es incompatible. 3x + y m 3x + my m 1 9 y + m + x my +

3 Pág. 3 de 7 : 3x + y m 3x + my m Restamos ambas ecuaciones: y my m + m 8 y1 m 3 8 y 3 1 m Sustituimos en la primera ecuación: 3 3 3x m 8 3x m + 8 x 1 m 1 m m 3m + 31 m 4 a Despeja la matriz X en la siguiente ecuación y halla su valor: A AX BX, siendo A y B. 3 0 b Dada la matriz A 1 0 0, calcula A 1 + A a A AX BX 8 A BX + AX 8 A B + AX 8 B + A 1 A B + A 1 B + AX 8 8 B + A 1 A I X 8 X B + A 1 A B + A Hallamos B + A 1 : 4 3 B + A 1; Adj B + A 8 [Adj B + A] t B + A 1 1/ /4 1/4 B + A 1 1/3 0 1/4 1/4 4 1/ /3 /3 X A 1/4 1/ / 1/ b A A 4 A A I A 1 A 4 A 4 A 4 I 3 I Hallamos A 1 : A 1 8 Adj A [Adj A] t A A 1 + A

4 Pág. 4 de 7 Sea M una matriz de orden tres cuyas filas son F 1, F, y de la que sabemos que det M. Cuál será el valor del determinante de la matriz cuyas filas son F 1 F, F 1, F +? Justifica tu respuesta. M F 1 F, M F 1 F F 1 F + 1 Cambiamos el signo del determinante al permutar F 1 y F. Sacamos como factor común el en F 1 y 1 en F. 3 El valor del determinante no cambia al restar F 1 a F, ni al sumar F a Dada la matriz A, obtén todas las matrices B que conmutan con A; es decir, tales que: 1 1 A B B A a b Sea B c d 0 1 a b c d c b A B 1 1 c d a c b d d a b c b a b 0 1 b a b a c d d a b B A c d 1 1 d c d b d c d Hay infinitas soluciones. Las matrices B que cumplen A B B A son de la forma: 1 F 1 3 F 1 F 1 F + F 1 F F 1 F 4 + F + F a b B con a, b é Á b a b 1 Por ejemplo, si a 1 y b : B 1 7 Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres tipos de envases, A, B y C, cuyos precios y pesos son los de esta tabla: Una farmacia compra envases con un peso total de, kg por un importe de 8,90. Cuántos envases de cada tipo ha comprado la farmacia? x n. de envases de A Llamemos: y n. de envases de B 8 z n. de envases de C Resolvemos por la regla de Cramer: 0, 0, 1 0,0 1 1,8 3,3 1 1, 0, 1 8,9 1,8 3, ,, 1 1 8,9 3,3 x + y + z 0,x + 0,y + z, x + 1,8y + 3,3z 8, , 0,, 1 1,8 8,9 x ; y ; z 1 0,0 0,0 0,0 Solución: La farmacia ha comprado envases del producto A, del B y 1 del C. A B C PESO g PRECIO ,00 1,80 3,30

5 BLOQUE I Álgebra Pág. de 7 8 La suma de las tres cifras de un número es 6. Si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcula dicho número. Sea a la cifra de las centenas; b, la de las decenas, y c, la de las unidades. El número es 100a +10b + c. Sabemos que: a + b + c 6 Si intercambiamos la 1. a y. a cifras, resulta: 100b +10a + c 100a +10b + c a b 1 Si intercambiamos la. a y la 3. a, tendremos: 100a +10c + b 100a +10b + c +9 8 c 1 + b Resolvemos, pues, el sistema siguiente: a + b + c 6 a b 1 c 1 + b a 1; b ; c 3 El número buscado es En la región determinada por x + y Ó ; x Ì y; x Ó 0 e y Ó 0, halla el punto en el que la función Fx, y 3x + 4y alcanza su valor mínimo. Puede alcanzar su máximo en esa región? La región factible es la zona sombreada, con vértices A 1, 1 y B 0,. Calculamos el valor de F en A y en B: F1, F0, Se alcanza el mínimo en el punto A1, 1. No puede alcanzar el máximo por ser una región abierta. B0, A1, 1 x y x + y Fx, y 0 10 El jefe de seguridad de un museo estudia combinar dos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para las salas más importantes y un máximo de 1 cámaras con las que quedarían cubiertas todas las salas. El número de alarmas debe ser, al menos, 6. Tiene un presupuesto de ; cada cámara cuesta 1 000, y cada alarma, 00. a Qué combinaciones se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa el conjunto de soluciones. Podría instalar 7 cámaras y 9 alarmas? b Si desea colocar el mayor número de dispositivos, entre cámaras y alarmas, cuántos ha de colocar de cada tipo y cuál será el coste? Es un problema de programación lineal. a Sean x: número de cámaras e y: número de alarmas. Las restricciones son: 6 Ì x Ì 1; y Ó 6; 1 000x + 00y Ì

6 Pág. 6 de x 6 B6, A6, 6 10 C1, 4 x 1 D1, 6 y 6 Fx, y 1 Para representar la región factible, dibujamos las rectas: x 6; x 1; y x + 00y x + y 7 El conjunto de soluciones son todos los puntos con las dos coordenadas enteras que se encuentran en la región factible. No se pueden instalar 7 cámaras y 9 alarmas porque no se cumpliría la última restricción: > b La función objetivo es Fx x + y. Su máximo se alcanza en uno de los vértices de la región factible. F6, F1, F1, F6, El máximo se alcanza instalando 6 cámaras y 60 alarmas. El coste total será: Una empresa produce dos tipos de microprocesadores, A y B. El A requiere 3 minutos de fabricación y minutos de montaje, y el B requiere minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si solo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 por cada microprocesador A y de 190 por cada microprocesador B, se pide, justificando la respuesta: a Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? b Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? a Llamamos x al número de microprocesadores del tipo A e y al número de microprocesadores del tipo B. TIPO A TIPO B TIEMPO DISPONIBLE FABRICACIÓN min 3x y 40 MONTAJE min x 4y 40 BENEFICIO 160x 190y La función objetivo que hay que maximizar es Fx, y 160x + 190y. Las restricciones son: 3x + y Ì 40 x + 4y Ì 40 x Ó 0 y Ó 0

7 BLOQUE I Álgebra Pág. 7 de 7 La región factible es la zona sombreada: C0, x + 4y 40 D60, 30 3x + y Calculamos las coordenadas del vértice D: 40 3x y 10 x y 40 3x 10 x ò 10 x ò x 60, y 30 ò D60, 30 Para obtener el máximo, hallamos los valores de Fx, y en los vértices de la región factible: F0, F60, F80, b El beneficio máximo es de euros y se obtiene produciendo 60 microprocesadores del tipo A y 30 del tipo B.