SISTEMES DE FORCES. La força neta actuant sobre un cos és la suma de totes les forces que hi actuen i es denomina resultant: F net =ΣF i.

Transcripción

1 SISTEMES DE FRCES Introduccó. Lles de Newton Començarem aquest tema fent una ntroduccó a la dnàmca, que es la part de la Físca que estuda les causes del moment. Ens mantndrem sempre en l àmbt de la mecànca clàssca o Newtonana. El problema central de la mecànca clàssca és el de predr el moment que adqurrà un cos de característques conegudes, amb eloctat ncal donada, sotmesa a unes nteraccons que conexem. Tots els fenòmens en el marc de la mecànca clàssca es poden descrure utltzant tres lles denomnades les lles de Newton. Aquestes lles relaconen l acceleracó d una partícula amb la sea massa les forces que actuen sobre ella. Una ersó actualtzada de les lles de Newton és: rmera lle de Newton (rncp d nèrca): Un cos contnua en repòs o en el seu estat ncal de moment unforme excepte que h actuï una força neta. La força neta actuant sobre un cos és la suma de totes les forces que h actuen es denomna resultant: F net =ΣF. Vegem que la aquesta lle no dferenca un cos en repòs d un cos en moment unforme; axò es deu a que l estat de moment d un cos depèn del sstema de referènca (SR) escollt. Tanmatex, les lles de Newton són àldes en tots els sstemes de referènca denomnats nercals (SRI), que es mouen amb eloctat unforme uns respecte dels altres. Segona lle de Newton (Lle fonamental de la dnàmca): L acceleracó d un objecte és nersament proporconal a la sea massa drectament proporconal a la força neta que actua sobre ell: a F r = net m Fnet =m a Des del punt de sta de la mecànca newtonana, la massa és la resstènca d un cos a l acceleracó. Tercera lle de Newton (rncp d accó reaccó): S un cos A exercex una força (accó) sobre un altre cos B, una força gual però oposada és exercda per B sobre A (reaccó). Es mportant destacar que l accó la reaccó s exercexen sobre cossos dferents per tan no poden equlbrar-se. 1

2 F n F n W W Classfcacó de les forces Totes les forces obserades a la natura responen a quatre tpus d nteraccons fonamentals: - grataconals, - electromagnètques, - nteraccons nuclears fortes, - nteraccons nuclears febles. A banda d axò, les forces són susceptbles de classfcar-se de moltes formes: D acord amb el tpus d nteraccó: - forces d accó a dstànca, com el pes, - forces de contacte com el fregament; Segons l efecte de la nteraccó: - forces de llgam (la tensó en una corda, la component normal del pes), - forces actes (el fregament, la component tangencal al pes). 2

3 AENDIX. Lles de la dnàmca lles de conseracó Quanttat de moment (moment lneal) mpuls Defnm la quanttat de moment d una partícula de massa m que es mou a eloctat com p=m. odem eure fàclment que dp/dt=ma=f; axí, la segona lle de Newton pot escrure s com F=dp/dt. Es desprèn d axò que la quanttat de moment d una partícula es consera quan la força (neta) que actua sobre ella és nul la: F=0 p=ctt. t el contrar, una aracó de moment lneal pot calcular-se com p(t 2 )-p(t 1 )= 2 F dt. La t1 t quanttat ectoral Ι= 2 F dt rep el nom d mpuls de la força. t Moment cnètc mpuls angular 1 Es denomna moment cnètc o moment angular respecte d un punt d una partícula de massa m que es mou amb eloctat es troba en una poscó r respecte de, al moment de la quanttat de moment respecte d : L =rx(m). odem eure que dl /dt=rxdp/dt=rxf=m, on M és el moment respecte d de la força que actua sobre la partícula. Axí, el moment cnètc d una partícula es consera sempre que el moment (total) sobre la partícula sgu nul. el contrar, una aracó temporal de moment cnètc es calculara com L (t 2 )- L (t 1 )= t 2 t1 M dt Energa treball, magntud denomnada mpuls angular. er a una partícula de massa m que es mou a eloctat, defnm l energa cnètca com lla magntud escalar E C =½m 2 =½p. Calculant de C /dt podem eure que de C /dt=m a= F. També podem calcular la aracó de l energa cnètca com de C =F dt=f dr. La ntegracó al llarg d una trajectòra en dona el treball efectuat per la r 2 força: W= F dr. er tan, l energa cnètca d una partícula es consera s no s efectua r1 treball sobre ella. el contrar, la aracó d energa cnètca entre dues poscons és gual al treball realtzat per les forces que actuen sobre la partícula en la trajectòra entre poscons. En general el teorema de conseracó de l energa ( la aracó) es generaltzen a l energa total; en l àmbt de la mecànca caldrà ncloure l energa potencal gratatòra E =mgh. 3

4 Moment d una força respecte d un punt S consderem partícules o cossos puntuals llures (axò és, sense llgams que restrngexn el seu moment), les forces que actuïn sobre elles els h mprmran úncament moments de translacó. En can, les forces que actuen sobre els sòlds donen lloc tot sont a rotacó. La descrpcó de la dnàmca de rotacó precsa la ntroduccó del concepte de moment d una força: Es defnex el moment d una força (aplcada en el punt ) respecte d un punt com: M = r F d Axí, el moment M r r F Mòdul M te: = r r F sn α α α com d= r r sn α, M =d F Dreccó perpendcular a r r F Sentt segons la regla de la rosca - El moment d una força respecte d un punt no ara s es trasllada la força sobre la sea lína suport o lína d accó: ' M = r ' F = ( r + ' ) F = r F = M Aquesta és, de fet, la condcó de ector llscant. r r F r r F - El moment d una força F és el matex respecte de tots els punts d una recta paral lela a F. - S el punt de referènca està sobre la recta d accó de F, el moment de F respecte d és nul. 4

5 - El moment depèn del punt respecte del que calculem el moment. Aquest punt de referènca és el punt d aplcacó del ector moment. S canem el punt de referènca el moment cana en la forma següent: M' = ' F = ( ' + ) F = ' F + M lo qual consttuex el Teorema del moment: M' = ' F + M F Moment d una força respecte d un ex Axí matex, es defnex el moment d una força respecte d un ex com la projeccó sobre l ex del moment de la força respecte d un punt qualseol de l ex: Me = M u e u u F F e Òbament, M e no ha de dependre del punt de referènca sobre l ex consderat: [( ' + ) F ] u = ( ' F u + M u = M u M' u = ( ' F) u = ). 5

6 Sstemes de forces Un conjunt de dues o més forces consttuex un sstema de forces. D acord amb les sees característques, alguns sstemes reben noms partculars com ara sstemes de forces concurrents, de forces coplanàres de forces paral leles. Un sstema de forces queda defnt per la força resultant R el moment resultant (o moment del sstema) respecte d un punt qualseol : M n R = F = 1 M n = =1 F Tots dos ectors es consderen aplcats a, punt que rep el nom de centre de reduccó o pol del sstema. En general, el moment resultant no és gual al moment de la força resultant, per tan R M no són perpendculars entre sí. La resultant del sstema, R, és ndependent del centre de reduccó, en aquest sentt és una magntud narant del sstema de forces. En can, el moment del sstema depèn del centre de reduccó segons: n n n M' = ' F = ( ' + ) F = M + ' F = M + ' R. = 1 = 1 = 1 M' = M + ' R Notem que el moment no dependrà del centre de reduccó quan ' R =0, és a dr, quan sgu paral lel a R, n tampoc quan R =0, cas en que el sstema es reduex a un parell de forces: Un parell de forces és un sstema de dues forces paral leles, d gual mòdul sentt contrar. En aquest cas la resultant R =0, el moment resultant és ndependent del centre de reduccó: r M = F + ' ( F ) = ( ' ) F = ' F F M = F ' snθ = Fd θ d= sn θ és el braç del d -F parell de forces 6

7 Inarant escalar del sstema Axí com la resultant és una magntud ectoral narant del sstema, el producte escalar M R, és una magntud escalar narant per a un sstema de forces (és a dr, ndependent del centre de reduccó): M' R = M R + ( ' R) R = M R er tan, la projeccó del moment resultant sobre la resultant, és a dr, també és una magntud narant del sstema. MR M R =, R M ϕ M R R M R R M ' Moment mínm Hem st que MR = M cos ϕ és una magntud narant d un sstema de forces; axí, el mòdul del moment M serà mínm quan cos ϕ sgu màxm, és a dr, quan M R sgun paral lels. er tan, el moment d un sstema de forces és mínm quan s escull un centre de reduccó (anomenem-lo Q) tal que dona lloc a un moment total m paral lel a R. Com el moment total d un sstema no depèn del punt de reduccó quan aquest es mou sobre una recta paral lela a R, el moment del sstema serà mínm respecte a qualseol punt d una determnada recta paral lela a R que passa per Q; aquesta recta rep el nom d ex central del sstema de forces. El moment mínm és una altre magntud narant (ectoral) del sstema, pot calcular-se com: R M R R m = MR = R R R on M és el moment del sstema respecte d un punt qualseol. 7

8 Sstemes de forces concurrents Quan les forces d un sstema són concurrents en un punt, el moment respecte de qualseol punt de la sea resultant és gual al moment total; axò consttuex el Teorema de Vargnon: r M = F1 + F = ( F1 + F2 +...) en general F = F F 1 F 2 F 1 F= F 1 + F 2 F 2 En aquest cas: - El moment del sstema respecte d un punt qualseol la resultant del sstema són perpendculars; - el moment mínm és nul; - l ex central contndrà els punts respecte dels quals el moment del sstema és nul, entre ells els punt de concurrènca. Sstemes de forces coplanàres - S totes les forces d un sstema estan sobre el matex pla, també ho està la resultant; - el moment total del sstema és perpendcular a la resultant; - el moment mínm és nul (sempre que R 0). - L ex central conté els punts respecte dels quals el moment total és nul. Sstemes de forces paral leles - Quan les forces del sstema són paral leles, la resultant R (s és 0) també ho és; - la resultant el moment total són perpendculars, ja que els moments de les forces ndduals són paral lels entre sí perpendculars a les forces; - el moment mínm és nul; - l ex central, format pels punts respecte dels quals el moment del sstema és nul, conté un punt característc denomnat centre de forces paral leles: una únca força de alor R aplcada en aquest punt C te un moment (respecte de qualseol punt) gual al moment del sstema de forces paral leles. 8

9 odem trobar la poscó d aquest punt de la següent manera: sgu M el moment del sstema respecte de l orgen r C el ector poscó del punt C. er ser paral leles, podem escrure les forces del sstema com F = λf (λ =1...n); aleshores: M M = r F = r f λ = rc R = r f rc f C λ = λ rc = r λ λ Sstemes equalents Drem que dos sstemes de forces són equalents s donen lloc a la matexa força total (R ) al matex moment total ( M ) respecte de tots els punts de l espa. Tanmatex, consderant que M' = M + ' R, podem dr que dos sstemes de forces són equalents s donen la matexa força total el matex moment total respecte d un punt qualseol. Reduccó de sstemes Donats ars sstemes de forces equalents, és d nterès saber qun d entre ells és el més senzll. er axò, consderem les següents possbltats de reduccó: Reduccó I: Tot sstema de forces pot redur-se a un sstema equalent consstent en una força únca aplcada en un punt arbtrar a un parell de forces. Sgu R la força resultant del sstema consderat, sgu un punt arbtrar, respecte del qual calculem el moment resultant M. Aleshores, un sstema consstent en una força de alor R aplcada en (moment nul) un parell de forces (resultant nul la) amb moment M respecte de serà equalent. D acord amb el teorema anteror, qualseol sstema de forces pot redur-se a un sstema format per una força (R, gual a la resultant) aplcada en un punt arbtrar (des del punt de sta pràctc, aquell que més ens conngu) un parell de forces ( f, f ) amb moment gual al moment total del sstema orgnal ( M ). Com una de les forces del parell pot aplcar-se en el matex punt, podrem sumar-la a la força R per a obtenr un sstema equalent format per la suma F = R f aplcada en l altra força del parell, f. Axí, enuncem una altra possbltat de reduccó: 9

10 Reduccó II: Qualseol sstema de forces pot redur-se a un sstema equalent format per dues forces. En el cas partcular que la força resultant el moment del sstema sgun perpendculars (lo qual ocorre per a sstemes de forces concurrents, coplanàres paral leles, sempre que la resultant del sstema sgu no nul la) encara és possble una major reduccó: Reduccó III: Una força no nul la un parell de forces coplanars equal a una únca força resultant. Com un parell de moment M consstex en un parell de forces ( f, f ) en que f pot escollr-se arbtràrament en un pla perpendcular a M, és possble escollr f = R, la resultant del sstema orgnal, aplcar f en el punt d aplcacó de R, de forma que F = R f = 0, quedant un sstema consstent en una únca força de alor R. er a poder escollr f = R, com f M són perpendculars, haurà de ser R perpendcular a M, per tan, f R coplanars. Equlbrant En els casos en que un sstema pugu redur-se a un sstema equalent format per una sola força F aplcada en un punt, aleshores l equalènca entre sstemes demanara que: F = F r F = F és a dr, el moment de la força resultant respecte d un punt arbtrar ha de ser gual al moment total del sstema respecte del matex punt. Una força F aplcada a es denomna equlbrant del sstema: afegnt a un sstema de forces la sea equlbrant es erfquen les condcons d equlbr (força moment nuls). 10

11 F 3 FRÇA I MMENT RESULTANTS F F 1 r 3 r r 1 r 2 F 2 R M SISTEMA RIGINAL SISTEMA EQUIVALENT f d -f R Reduccó I f d F=R-f d f=r F=R-f=0 Reduccó II Reduccó III (només R f coplanars) 11

12 M F M 12

13 M F M 13