Fonaments Físics de les Estructures. Tema 4.- Geometria de masses (I): Centre de gravetat de superfícies planes.

Transcripción

1 Fonaments Físcs de les Estructures Tema 4.- eometra de masses (I): Centre de gravetat de superfíces planes.

2 Objectus: Entendre el concepte de centre de gravetat. Dferencar el centre de gravetat màssc del centre de gravetat d una superfíce. Aprendre a calcular centres de gravetat d objectes lneals, b- trdmensonals. Aprendre a calcular centres de gravetat de superfíces complexes. Conèxer saber utltzar els teoremes de Pappos-uldn.

3 stemes de vectors paral lels ón sstemes en els quals tots els vectors tenen la matexa dreccó., F F u La resultant també té la matexa dreccó que tots els vectors. R F u R

4 stemes de vectors paral lels El moment del sstema respecte d un punt qualsevol P és perpendcular a la resultant: M PA F P Axò mplca que el segon nvarant és nul: m M u P 0

5 stemes de vectors paral lels es gra tot el sstema de vectors, es defnex una nova dreccó un nou ex central del sstema: Y Y X Els exos centrals dels sstemes obtnguts grant en totes les dreccons possbles el sstema de vectors es tallen en un punt anomenat Centre del stema. X

6 stemes de vectors paral lels Per a un sstema de vectors paral lels, exstex un punt d especal mportànca, que s anomena punt central del sstema. Es troba sobre l ex central es pot calcular mtjançant l expressó: r C F r F, on r són els vectors de poscó.

7 Centre de gravetat d un sstema de partícules El centre de gravetat (cdg) d un sstema de partícules és el centre del sstema de vectors format per les forces-pes de les partícules del sstema: Y F mg F mg r r r r c.d.m. F M g F F mg mg X r F r mg r m r F m g m uposem que ens trobem en la superfíce terrestre, on el camp gravtator produex una acceleracó g constant.

8 Centre de gravetat d un sstema de partícules La resultant de totes les forces-pes està aplcada en el cdg del sstema de partícules: F mg F mg r r r Y r c.d.m. F F mg mg X F Mg F M g

9 Centre de gravetat d un sstema de partícules Les components cartesanes del vector de poscó del cdg d un sstema de partícules venen donades per mx my mz x ; y ; z ; m m m r Y F mg F mg r r r r c.d.m. F F mg mg X F M g

10 Centre de gravetat d un cos sòld Quan h ha una gran quanttat d elements xcotets, F mg F mg M g

11 Centre de gravetat d un cos sòld Quan la dstrbucó de massa no és dscreta, snó que és contínua, com succeex en un sòld qualsevol, es consderen elements nfntesmals de massa dm. df=dm g

12 Centre de gravetat d un cos sòld Les coordenades cartesanes del vector de poscó del cdg de un cos sòld (amb denstat constant) venen donades per r x V V xdm dm 1 M V xdm y V V ydm dm 1 M V ydm z V V zdm dm 1 M V zdm

13 Centre de gravetat d una dstrbucó lneal de massa X Una dstrbucó lneal de massa és sempre la que té una de les tres dmensons, per exemple el llarg, molt més gran que les altres dues (ample, alt). Z r dl Y anomena denstat lneal de massa al quocent: dm dl és. El centre de gravetat té vector de poscó: r rdm rdl rdl V L L dm dl L V M L L ( kg / m ) (dstrbucó unforme de massa)

14 Centre de gravetat d una dstrbucó lneal de massa Y /2 dl EXEMPLE: CALCULEU EL CD D UN QUART DE CIRCUMFERÈNCIA En aquest cas el paràmetre serà l angle de la fgura. d R O x y 0 X Es verfca: dl Rd x R cos y Rsen x xdl R Rd R d Rsen R dl Rd d /2 /2 /2 cos cos L y /2 /2 /2 L 0 0 0

15 Centre de gravetat d una dstrbucó lneal de massa Habtualment la corba es pot expressar com una funcó on les varables es poden expressar d acord amb un paràmetre. Per a una corba plana en el pla OXY: Z r dl Y dy dl dx dy dx dx y 1 1 ' dx 2 X

16 Centre de gravetat d una dstrbucó superfcal de massa Quan una de les dmensons de la dstrbucó de masses és molt més petta que les altres dues, es poden consderar com una dstrbucó superfcal de massa. anomena denstat superfcal de massa al quocent: dm és. El centre de gravetat té vector de poscó: r V V rdm r d rd dm d M d 2 ( kg / m ) (dstrbucó unforme de massa)

17 Centro de gravetat d una dstrbucó superfcal de massa Les coordenades cartesanes del cdg d una dstrbucó superfcal de massa en el pla OXY són: x xd yd ; y ; EXERCICI: CALCULEU EL CD D UN TRIANLE RECTANLE (pàg del llbre)

18 Centre de gravetat d una dstrbucó volumètrca de massa En el cas general d un cos trdmensonal, es du que exstex una dstrbucó volumètrca de massa. anomena denstat de massa al quocent: és. El centre de gravetat té vector de poscó: r dm dv V V V V rdm rdv rdv dm dv M V 3 ( kg / m ) V (dstrbucó unforme de massa)

19 Centre de gravetat d una dstrbucó volumètrca de massa Les coordenades cartesanes del cdg d una dstrbucó volumètrca unforme de massa són: xdv ydv zdv V V V x ; y ; z ; V V V EXERCICI: CALCULEU EL CD D UN CON RECTE (pàg del llbre)

20 Teoremes de Pappos-uldn Prmer teorema: L'àrea lateral de la fgura de revolucó engendrada en grar una lína al voltant d un ex que no talla és gual al producte de la longtud de la crcumferènca que descru el centre de gravetat de la lína per la seua longtud. L àrea de la superfíce de revolucó és: d 2 ydl 2L y L y 2 L

21 Teoremes de Pappos-uldn Aplcacons del prmer teorema: Coneguda la UPERFÍCIE Obtndre CD de la LÍNIA Conegut el CD de la LÍNIA Obtndre la UPERFÍCIE Un quart de crcumferènca en grar respecte a l ex X genera la superfíce d una semesfera. Y y 2 semesfera 2 r 2r 2 L r crcunf crcumf /4 2 2 y X

22 Teoremes de Pappos-uldn Aplcacons del prmer teorema: Coneguda la UPERFÍCIE Obtndre el CD de la LÍNIA Conegut el CD de la LÍNIA Obtndre la UPERFÍCIE clndro clndre h 2 r long. lnea recorrdo long. lína recorregut r cono h r 2 r h r long. lnea long. lína recorrdo recorregut

23 Teoremes de Pappos-uldn egon teorema: El volum de la fgura de revolucó engendrada en grar una superfíce al voltant d un ex que no talla és gual al producte de la longtud de la crcumferènca que descru el centre de gravetat de la superfíce per l àrea d aquesta superfíce. Un element d genera un volum dv=2yd El volum de revolucó és: V dv 2 yd 2 y y V 2

24 Teoremes de Pappos-uldn Aplcacons del segon teorema: Conegut el VOLUM Obtndre el CD de la UPERFÍCIE Conegut el CD de la UPERFÍCIE Obtndre el VOLUM 1 2 rh r V r h x x 3 trángulo trangle recorregut recorrdo r 4r V r x x 3 semcírculo semcercle recorrdo recorregut

25 Teoremes de Pappos-uldn Aplcacons del segon teorema: Conegut el VOLUM Obtndre el CD de la UPERFÍCIE Conegut el CD de la UPERFÍCIE Obtndre el VOLUM V a 2 2 b 2 2 a 2 b círculo cercle recorrdo recorregut

26 Càlcul sstemàtc de centres de gravetat Per a calcular el cdg d una superfíce rregular, podem dvdr-la en N trossos amb formes regulars, de les quals podem conèxer fàclment la poscó del cdg (càlcul o utltzant les taules). El cdg del conjunt serà: x y x x x... x N N 1 2 y y y... y N N 1 2 N N

27 Càlcul sstemàtc de centres de gravetat H ha moltes formes d especejar la fgura en formes regulars. la denstat superfcal és constant, són possbles especejaments en què h haja parts amb una superfíce negatva. la superfíce es compon de materals de dferents denstats, s haurà de dvdr en trossos que tnguen la matexa denstat. En aquest cas, les coordenades del cdg són: on és la denstat superfcal de cada tros. x x y ; y ;

28 Taula de fgures regulars amb els seus cdg

29 Exemple de càlcul de cdg Obtenu la dstànca a l ex X del centre de gravetat d una seccó plana trapezoïdal en funcó de les seues dmensons. El trapez sempre es pot especejar en un rectangle (1) u o dos trangles (2 3). Axí, les àrees són: 1 bc abc 2 3 /2 les coordenades vertcals dels cdg respectves són: Axí doncs la coordenada vertcal del cdg del trapez és: ; c c y1 ; y2 y3 ; 2 3. y c b a y c a 2b 3 a b

30 Aplcacó 2n teorema de Pappos Obtenu l expressó del volum del tronc de con recte. L àrea del trapez és Per a calcular la coordenada y del cdg s especeja el trapez en un rectangle (1) un trangle (2). r1 En el rectangle és en el trangle és amb àrees y1, 2 r2 r1 r2 2 r1 y 2 r1, 3 3 r h r rh /2. Axí doncs el cdg del trapez té coordenada y : trapeco trapez r r h X y h Z r 1 r 2 y y Y

31 Aplcacó 2n teorema de Pappos ubsttunt en l expressó les dades obtngudes resulta y r1 r2 2r r 1 2 r1 h r1 h r2 r1h r1 h 2 que smplfcada és y y r rr r 3 r r y y Aplcant el 2n teorema de Pappos, el volum del tronc de con és: r r h r rr r h V r rr r r1 r2 3 área trapeco àrea trapez recorrdo recorregut X h Z r 1 r 2 Y EXERCICI: CALCULEU LA UPERFÍCIE LATERAL DEL TRONC DE CON

32 Moments respecte d un ex La dstrbucó de masses en un cos determnarà el seu comportament davant l aplcacó de forces externes. La poscó del cdg té relacó drecta amb l establtat d un cos. També, la deformacó d una bga sota l accó d un sstema de forces depén del moment d nèrca de la seccó respecto a la lína de suport.

33 Moments respecte d un ex Però el centre de gravetat és el prmer ordre, el moment d nèrca és el segon ordre d una magntud més general anomenada Moment d una superfíce respecte d un ex. En general, per a una superfíce un ex E qualsevol, es defnex el moment d ordre n de la superfíce com: n n M n d M n dd (dstrbucó dscreta) (dstrbucó contínua) on d és la dstànca de la superfíce a l ex.

34 Moments respecte d un ex El moment de prmer ordre d una superfíce respecte d un ex s anomena Moment estàtc. Y y d M U d d 1 EE ' Moment de prmer ordre respecte de l ex X: O x X M U y d 1X OX Moment de prmer ordre respecte de l ex Y: M U x d 1Y OY

35 Moments respecte d un ex La relacó entre el Moment de prmer ordre el cdg és mmedata. Y y d x xd yd ; y ; O x X U OX y d U OY x d UOY UOX Resulten, x ; y ;

36 Moments respecte d un ex DEFINICION: PROPIETAT: Una superfíce és smètrca respecte d un ex EE s, per a cada punt P de la superfíce, exstex un altre P de la matexa tal que el segment PP és perpendcular a l ex EE, la superfíce està dvdda en dues parts guals per aquest ex. Una superfíce es smètrca respecte d un punt O s per a cada element d en (x,y) exstex un altre element d en (-x,-y). El moment de prmer ordre de una superfíce respecto de qualsevol lína de smetra és gual a zero. la superfíce té algun ex de smetra, el seu centre de gravetat es troba en aquex ex. una superfíce té dos exos de smetra, el seu centro de gravetat es troba en la nterseccó dels dos. El centre de gravetat d una superfíce concdex amb el seu centre de smetra.