Mecànica Teòrica. Manel Bosch Aguilera. La mecànica de Newton estudia el moviment (evolució dinàmica) d un sistema de partícules.

Transcripción

1 Mecànca Teòrca Manel Bosch Agulera 1 Introduccó La mecànca de Newton estuda el movment evolucó dnàmca) d un sstema de partícules. Consdera: espa trdmensonal eucld homogen sòtrop) temps absolut homogen). Sstema de referènca nercal SRI): aquell en què és vàlda la prmera Lle de Newton. Prncp de relatvtat de Galleu: Les lles de la físca són guals en qualsevol SRI. El grup de transformacons de galleu conté:. Translacons de l orgen del sstema de referènca: perquè l espa és homogen.. Rotacó dels exos: perquè l espa és sòtrop.. Translacó de l orgen de temps: perquè el temps és homogen. v. Translacó de l orgen a veloctat constant. r = Gr + Vt + p t = t + s on G és una matru de rotacó, p una translacó s una constant. Prncp de determnacó de Newton: L evolucó dnàmca d un sstema depèn úncament de les poscons veloctats de les partícules en un nstant donat. Lles de Newton: 0. La massa m del cos és constant. 1. Un cos no sotmés a forces roman en repòs o es mou a veloctat v constant. 2. F = ṗ, on F és la força aplcada p el moment lneal: p mv. 3. F j = F j Lle feble d accó-reaccó: S 3.) es verfca sense cap tpus de restrccó es conserva el moment lneal del sstema. 1

2 Lle forta d accó-reaccó: S 3.) es verfca les forces estan orentades amb el vector que unex les dues partícules es conserva el moment lneal el moment angular del sstema. Un sstema de referènca no nercal és aquell en què no se satsfà 1.). Sgu a l acceleracó produda sobre una partícula de massa m a l aplcar-l una força F sgu a 0 l acceleracó del sstema de referènca no nercal respecte de l nercal. Aleshores, l acceleracó a a què es veu sotmesa la partícula des del SRNI satsfà la relacó: a = a + a 0,, per tant, l acceleracó mesurada a ja no és proporconal a la força aplcada: F = ma = ma + a 0 ). No obstant, s ntrodum una força fctíca força d nèrca) defnda com F 0 = ma 0, aleshores F = ma F 0 F + F 0 = ma, l acceleracó torna a ser proporconal a la suma de forces que actua. Límts de la Mecànca Newtonana:. Quan v c 1 estem en el règm de la relatvtat especal el temps dexa de ser absolut.. Quan treballem amb camps gravtators molt ntensos tals que φ 1, som al c 2 règm de la relatvtat general l espa dexa de ser eucld.. Quan Et h 1 som al règm de la mecànca quàntca el concepte de partícula dexa de ser vàld. A més, quan treballem en sstemes caòtcs no satsfan el prncp de determnacó) o aparexen llgadures en general, quan no en tenm, hem de treballar amb 3N equacons) els problemes són molt complcats de resoldre. Les llgadures són lmtacons al movment d un sstema d N partícules. Són holònomes s les podem expressar com f r 1,..., r n ; t) = 0. Ens permeten expressar una coordenada en funcó de les altres: x 1 = gy 1, z 1,..., r n ; t). Les coordenades cartesanes dexen de ser ndependents quan ntrodum llgadures. En conseqüènca, necesstem un sstema de coordenades que sgun ndependents a l ntrodur llgadures. En un sstema d N partícules tenm 3N graus de llbertat coordenades). S ntrodum k llgadures holònomes, passarem a tenr 3N k graus de llbertat. Aleshores, defnrem un conjunt de 3N k coordenades, les coordenades generaltzades, {q } ndependents que descrgun el sstema esgun relaconades amb les cartesanes segons r = r q 1,..., q 3N k ; t), per a = 1,..., N. La relacó anteror ens passa d un espa eucld a un que no ho és, l espa de confguracó. En aquest es descru perfectament l evolucó de la partícula. Serà un espa de 3N k dmensons però tan sols tndrem una trajectòra. 2

3 2 Prncps varaconals Prncp de Hamlton L accó I d un sstema té untats d energa temps) és una ntegral de camí en l espa de confguracó: I = Lq, q ; t)dt El prncp de Hamlton ens du que l evolucó d un sstema en l espa de confguracó és tal que l accó I té un valor estaconar. Axò mplca que s calculem I per a un camí consderat té un valor estaconar, el valor d I no vararà al llarg de camns vens que dferexen del prmer nfntessmalment. Matemàtcament axò mplca que δi = 0 a prmer ordre, on δi = di dλ λ + 1 d 2 I 2 dλ 2 λ) Per trobar una solucó a aquest problema consderem el cas general tot que undmensonal) en què tenm una funcó f = f y, ẏ; x), amb ẏ = dy dx, sent y una coordenada x un paràmetre, de tal forma que yx) és una trajectora. Aleshores, x 2 volem trobar una trajectòra yx) tal que δ f y, ẏ; x)dx = 0. x 1 Anomenem yx) al camí orgnal que satsfà δi = 0 aleshores, s creem una famla de camns veïns yx, α), el camí orgnal serà yx, 0) els camns varats els defnm com el camí orgnal yx, 0) més el producte d una constant nfntessmal α per una funcó arbtràra ηx) que ha de satsfer:. Ser contínua fns a ηx).. Anul lar-se als extrems del camí x 1 x 2 de tal forma que en aquests punts els camns veïns concdexn amb la camí orgnal. És a dr ηx 1 ) = ηx 2 ) = 0. Per tant, la famíla de camns serà: yx, α) = yx, 0) + αηx) ) S defnm δy dy dα dα fent α = 0 recuperem el camí orgnal) com les nfntessmals varacons en el camí orgnal al varar α per a x fxat, la condcó de valor 0 estaconar serà: ) di δi = dα = d ˆx 2 [ f yx, α), ẏx, α); t) dα] dα 0 dα 0 dx = 0 x 1 S fem la dervada treballem la ntegral, arrbem a la següent expresó ˆx 2 x 1 [ f y d ) ] f δy dx = 0. dx ẏ 0 3

4 El teorema fonamental del càlcul varaconal ens du que s Mx)ηx)dx = 0 per x 1 a qualsevol ηx) que satsfac les condcons abans esmentades, aleshores Mx) = 0 per a qualssevol x 1, x 2 ). En conseqüènca, com que δy = ηx) només cal fer la dervada fer α = 0), cal que f y d f dx ẏ = 0 x x 1, x 2 ) S generaltzem el problema a N coordenades fent un raonament molt smlar a l anteror tennt en compte que les coordenades són ndependents) obtenm unes equacons anàloges a les equacons anterors anomenades equacons d Euler) però ntercanvant y per y, ja que són vàldes per a totes les coordenades ndependents. S partculartzem el problema al cas de la mecànca, f y, ẏ, x) = Lq, q, t), d aquí resulten les Equacons de Lagrange: d dt Una manera de defnr el Lagrangà és ) L L = 0 q q L = T V però no és l únca, un lagranga de l estl L = L + d dt Fq ; t), també satsfà δi = 0. Les equacons de Lagrange són nvarants sota canvs de coordenades generaltzades. x 2 Teoremes de conservacó Tant les Eq. de Newton com les de Lagrange, nvolucren sstemes amb N equacons dferencals de segon ordre en el temps que moltes vegades són complcades de resoldre. No obstant, sovnt una prmera ntegracó és possble, d aquesta en podem treure nformacó sufcent com per a conèxer el movment qualtatu del sstema. El moment conjugat o canònc es defnex com p j L q Una coordenada és cíclca o gnorable s no aparex explíctament en el Lagrangà. ) S q j és cíclca, és a dr q L j = 0, de les equacons de Lagrange tenm que d L dt q j = ṗ j = 0, per tant: p j es conserva. Defnm la força generaltzada com Q j N F r = V q =1 j q j 4

5 l últma gualtat es pot demostrar fent que F = Vr ) usant el fet que exstex una relacó entre coordenades cartesanes generaltzades. Mentre que Q j no cal que tngu untats de força, cal que Q j δq j tngu untats de treball. Una relacó útl que també es pot obtenr de la relacó entre coordenades cartesanes generaltzades: ṙ = r q j q j Conservacó del moment lneal [Espa homogen] S tenm un sstema de partícules en el qual tenm una coordenada q j la varacó dq j de la qual representa una translacó del sstema:. L energa cnètca ha de ser ndependent de l orgen de coordenades les veloctats no poden dependre d una translacó en l orgen): T q j = 0. Consderem sstemes en què V = Vq, t) Les equacons de Lagrange es reduexen a ) d T + V = 0 dt q j q j En conseqüènca, en base a les defncons fetes anterorment: p j = T q j Q j = V q j, tenm que ṗ j = Q j. De forma que, s Q j = 0 el moment p j es conserva. Ens cal demostrar que a): Q j és una força en concret, la component de la força en la dreccó ˆn en què té lloc la translacó de q j ) que b): p j és la component del moment lneal en aquesta dreccó. Com que Q j = F r q j, ens cal evaluar el segon terme del producte escalar: la dervada. r r..., q j + dq j,...) r..., q j,...) = lm, q j dq j 0 dq j El terme del numerador r q j + dq j ) r q j ) correspon, precsament, al canv de poscó d un vector sota una translacó del sstema, és a dr: dq j ˆn. Aleshores Per tant: a). Q j = N F r = q =1 j r dq j ˆn = lm q j dq j 0 dq j = ˆn N N ) F ˆn = F ˆn = F ˆn =1 n=1 5

6 b). p j = T q j = q j N 1 2 m ṙ 2 = =1 N =1 m ṙ ṙ = q j p j = P ˆn N m v r N ) = m q v ˆn =1 j =1 En conseqüènca, s q j coordenada de translacó) és cíclca, per tant Q j = 0 el moment lneal es conserva. Conservacó del moment angular [Espa sòtrop] S ara q j és una coordenada tal que dq j representa una rotacó, tennt en compte que T no pot dependre de l orentacó dels exos, per tant, no depén de q j ) s V = Vq ; t), fent un raonament smlar a l anteror obtenm que: ṗ j = Q j Ara hem de demostrar que a): Q j és la component del moment de força en la dreccó de l ex de rotacó ˆn b): que p j és el moment angular en la matexa dreccó. Hem de calcular el matex límt que en la conservacó del moment lneal. En aquest cas, al ser dq j una rotacó, tenm que r q j = r sn θ = ˆn r De nou, s fem el matex procedment que en el cas anteror, veem que: a). Q j = ˆn N b). p j = ˆn L I, per tant, veem que s q j és gnorable, Q j = 0 p j es conserva. Conservacó de l energa [Temps homogen] Dervant el lagrangà L = Lq t), q t); t) respecte el temps, arrbem a ) dl dt = d L q dt q L, en conseqüènca: d dt [ ] ) L q L = L q Defnm la funcó energa que no ha de concdr amb l energa) com: hq, q ; t) q L q L, com que dh dt = L podem veure que es conserva s L, per tant, h) no depèn del temps. 6

7 S r = r q ; t), podem escrure l energa cnètca com: T = 1 2 m ṙ 2 = 1 2 m j ) 2 r q q j + r. j I en coordenades generaltzades: T = M 0 + j M j q j + jk M jk q j q k = T 0 + T 1 + T 2 on M 0 = 1 2 m r ) 2 r M j = m r q j r M jk = m r q j q k Veem que T 0 és funcó de les coord. generaltzades úncament), que T 1 = T 1 q, q ) és lneal per a les veloctats generaltzades que T 2 = T 2 q, q ) és quadràtca per a les veloctats generaltzades. = 0 M 0 = M 1 = 0, en conse- S r = r q j ), és a dr, no depenen del temps, r qüenca T = T 2 Defncó: una funcó f x 1,..., x n ) és homogèna de grau µ s f αx 1,..., αx n ) = α µ f x 1,..., x n ). Veem, per tant, que T 2 és una funcó homogèna de grau 2 en les veloctats. Teorema d Euler: Sgu f dferencable homogèna de grau µ en les varables x, aleshores: f x = µ f x En conseqüènca, com que T 2 és homogèna de grau 2 en les q, podríem escrure T 2T = q q, però s el potencal no depèn de les veloctats generaltzades o, dt d una altra manera, el potencal és homogen d ordre zero en les veloctats generaltzades) tenm que T q = L q, per tant 2T = q L q En aquest cas quan relacó entre coordenades r = r q j ) no depèn del temps el potencal V = Vq k ; t) no depèn de les veloctats generaltzades), la funcó energa es pot escrure com h = q L q L = 2T T V) = T + V = E És a dr, la funcó energa, h, concdex amb l energa mecànca del sstema E quan se satsfan les condcons del punt anteror. I, per tant, l energa es conserva quan concdex amb h) el lagrangà no depèn del temps. 7

8 Teorema de Noether: S L = Lq, q ) és nvarant sota la transformacó q h s q ) s R tal que h s=0 q ) = q, aleshores es conserva. Iq, q ) L d q ds [hs q )] s=0 Equacons de Hamlton Es treballa amb 2N varables ndependents: les coordenades generalzades q els moments conjugats p. L estat del sstema ve descrt en un espa 2N dmensonal anomenat espa de fases. Matemàtcament, el pas de varables q, q ; t) q, p ; t), on p està relaconat amb q q per p = Lq j, q j ;t) q, ve donat per les transformacons de Legendre. Donada una funcó f = f x, y) tal que d f = f x dx + f y dy = udx + vdy, s ara volem trobar una funcó gu, y) tal que dg sgu equvalent a d f, veem que aquesta funcó és gu, y) = f x, y) ux, on x = g u. Dem que g és la transformada de Legendre d f. El Hamltonà és la menys) transformada de Legendre del Lagrangà: H = Hq, p ; t) q p Lq, q ; t) Calculant el dferencal dh = H H dq q + dp p + H dt comparant amb Veem que dh = q dp ṗ dq ) L dt H p = q, H q = ṗ aquestes dues són les Equacons de Hamlton. A més, veem que H = L 8

9 El hamltonà és la funcó energa expressada en unes altres varables) concdex amb l energa mecànca quan la funcó energa concdex amb l energa mecànca. Construccó formal del Hamltonà:. Escollr un sstema de coordenades generaltzades {q }.. Construr el Lagrangà: L = Lq, q ; t) = T V. Calcular els moments conjugats: p = L q v. H = q p L v. Invertr les relacons en.): q = q q, p ; t) substtur-ho a v.) En moltes ocasons, però, es donarà el cas en què H = h = E, el que farem serà H = T + V, com que V no dependrà de les veloctats generaltzades trobarem els moments conjugats p j fent T q j. Els teoremes de conservacó en el cas del Hamltonà són dèntcs als del Lagrangà, ja que s q j és cíclca no aparex en el Lagrangà, per la defncó que tenm de Hamltonà, tampoc aparexerà en ell. Per tant, s q j és cíclca: ṗ j = H q j = 0 p j es conserva. No obstant, per a la conservacó de l energa tenm que s tel temps no aparex al Lagrangà L = H = 0, la part esquerra de la gualtat mplca que h és constant. En canv, que H = 0 no mplca que H sgu constant, ja que les dervades no són totals. Hem de demostrar, doncs, que H = 0 dh dt = 0 Com que dh H dt = q q + H ) ṗ p + H = 0 + H És a dr, dh dt = H, per tant, quan H = 0 el Hamltonà es conserva, quan H = E, l energa es conserva. El hamltonà no és nvarant sota transformacons de coordenades. Dervacó del prncp de Hamlton mtjançant prncps varaconals En l espa de confguracó δ Lq, q ; t)dt = 0 9

10 En l espa de fases: prncp de Hamlton modfcat δi = δ [ ] p q Hq k, p k ; t) dt = 0 Ara som en un espa de dmensó 2N, per tant, tndrem una funcó f = f y, ẏ; x), on y = y 1,..., y 2N ). Per tant ˆx 2 δi = δ f y, ẏ; x)dx = 0. x 1 Sabem que la solucó a la ntegral anteror són les equacons d Euler - Lagrange: f d ) f y dx ẏ En el cas del prncp de Hamlton modfcat f = p q Hq j, p j ; t), y = q 1,..., q N, p 1,..., p N ), ẏ = q 1,..., q N, ṗ 1,..., ṗ N ) x = t. Per tant: ) d f f = 0 dt q q ) d f f = 0 dt ṗ p f = p q H f = H ṗ + = 0. q q q f = 0 ṗ H f = q p H q = 0. p p S volguéssm obtenr el resultat fent la dervada tal com fèem amb les Eqs. de Lagrange, ens podríem preguntar s, de la matexa forma que mposàvem η ) = η 1 t 2 ) = 0, caldra mposar que, per als camns varats p α, t) = p 0, t) + αζ t) cal que ζ ) = ζ t 2 ) = 0. És a dr, s cal que δp ) = δp t 2 ) = 0. El motu pel qual s mposava η,2 ) = 0 era perquè al llarg del desenvolupament ens aparexa la següent expressó: f y y α x 2 ˆx 2 x 1 x 1 ) d f y dx y α dx = 0 Aleshores, perquè fos zero cala mposar que el prmer terme fos zero, axò succea quan δq,2 ) δyx 1,2 ) = 0. Però en el cas del Hamltonà ṗ H f y = 0, per tant, sembla que no caldra mposar que les varacons als extrems fossn nul les. No obstant, s consderem que les equacons de Hamlton també es verfquen per a un Lagrangà de l estl L = L + d dt Fq, t), per tant, també hauran de verfcar-se per a un Hamltonà tal que H = H + d dt Fq, p, t). Aleshores, a l accó també ens aparexeran termes per a ṗ caldrà mposar ζ ) = ζ t 2 ) = 0. 10

11 Prncp de mínma accó És un prncp varaconal desenvolupat a l espa de confguracó. A dferènca del prncp de Hamlton on mposàvem que les varacons als extrems fossn nul les) aquí:. No exgm que t 2 sgun l estat ncal fnal de cada camí.. No exgm que la varacó als extrems sgu nul la, és a dr, no cal que δq ) = δq t 2 ) = 0. Defnm, de la matexa forma que en el prncp de Hamlton, la famíla de camns veïns: q t, α) = q t, 0) + αη t) on α és un paràmetre nfntessmal η t) una funcó arbtràra contínua fns a la segona dervada no ha d anul lar-se als extrems). Per exemplfcar què serà cada varacó agafem dos camns, un a α = 0 un altre a α. Un punt q ) del camí orgnal, correspon a un punt q + ) per al camí varat el matex per a q t 2 ) q t 2 + t 2 ). Aleshores, defnm δq t 2 ) com la dferènca entre q t 2 ) del prmer camí q t 2 ) del camí varat que no són guals!). I defnm la varacó q t 2 ) com la varacó entre q t 2 ) pel prmer camí q t 2 + t 2 ) del segon camí. És a dr, δ camns dferents però matex temps camns temps dferents rtmes, o "veloctats", dferents). Aleshores, defnm la varacó I com I = Ldt = ˆ t 2 + t 2 + Lα)dt L0)dt On Lα) sgnfca que la ntegral és evaluada al llarg del camí varat des de + fns a t 2 + t 2, que no han de concdr amb els punts ncal fnal) L0) és el matex pel camí orgnal. Desenvolupant la prmera ntegral com t 2 ˆ+ t 2 + Lα)dt = t 2 ˆ+ t 2 t 2 Lα)dt + Lα)dt + ˆ + Lα)dt I desenvolupant la prmera la tercera ntegral en sère de Taylor per a α quedantnos a prmer ordre): Per tant: t 2 ˆ+ t 2 + Lα)dt = Lt 2 ) t 2 L ) + Lα)dt I = Lα)dt L0)dt + Lt 2 ) t 2 L ) = δ 11 Ldt + Lt 2 ) t 2 L )

12 S ara desenvolupem la ntegral que és la matexa que la del prncp de Hamlton) tennt en compte que les δq als extrems no s anul len, per un procedment semblant al del Pr. Hamlton, s arrba a: δ Ldt = L d q dt ) L L δq q dt + δq q 2 1 = L δq q ja que el terme de dns del parèntes són les Eq. de Lagrange s anul la. Ens queda que I = L t + p δq ) 2 Es pot demostrar que exstex una relacó entre δ tal que q t 2 ) = q t 2 + t 2, 0) q t 2, 0) q 2) = q 2) t 2 + δq 2), on q2) és q al temps de l estat fnal. S ntrodum aquesta últma relacó a I obtenm que I = Ldt = p q H t) 2 1 El prncp de mínma accó requerex ntrodur dues restrccons:. H es coneserva per a tots els camns.. q = 0 als extrems. En conseqüènca: a) b) Com que L = p q H, evaluem Ldt = Ldt = H t 2 ) p q dt Hdt = 1 p q dt H t 2 ) Com que a) ha de ser gual a b), arrbem al prncp de mínma accó: 2 1 p q dt = 0 12

13 3 Transformacons canònques S tnguéssm un Hamltonà en el qual totes les coordenades q fossn cíclques, a més, aquest hamltonà fos una constant del movment, seríem en un cas en què: ṗ = H = 0 p q = α = const. q = H = ω α = const., per tant, la solucó de les equacons del movment sera q t) = ω t + β, amb β una constant d ntegracó. Buscarem SR en què totes les coordenades sgun cíclques. Com que aquesta tasca no és senzlla, ens nteressarà trobar un mètode per a transformar aquestes conjunt de coordenades q k, p k ) en un altre de coordenades ndependents més adequat Q, P ): Q = Q q k, p k ; t) P = p k, q k ; t) És a dr, les noves coordenades estaran defndes no només en terme de les coordenades antgues snó que també en terme dels moments antcs. Com que volem que les noves coordenades verfqun l equacó de Hamlton, caldrà que aquestes transformacons sgun canònques. Per tant, les equacons que hauran de satsfer és: on K és el nou Hamltonà. Q = K P Ṗ = K Q, Al ser q, p ) Q, P ) canònques, caldra que, respectvament: δ [ ] p q Hq, p ; t) dt = 0 δ [ ] P Q KQ, P ; t) dt = 0 Com que han de ser vàldes t, la varacó als extrems és nul la, l expressó més general de la transformacó és: λ ) p q H = P Q K + df dt, Mtjançant una transformacó d escala, sempre podrem fer λ = 1: p q H = P Q K + df dt Quan la transformacó no depengu del temps l anomenarem TC restrngda. La funcó F pot ser una funcó de q, p ; t), de Q, P ; t) o una mescla d ambdues. No obstant, només serà útl per a caractertzar de forma exacta la TC quan la metat de varables sgun velles l altra metat noves. Quan axò succeex se l anomena funcó generatru. 13

14 Consderem el cas en què F = F 1 q, Q ; t). S fem la dervada comparem amb l expressó del Hamltonà H arrbem a: p = F 1 P q = F 1 K = H + F 1 Q La prmera equacó ens dóna p com a funcó de q j, Q j t. Invertnt-la podrem trobar les Q n en funcó de les varables velles. Un cop tnguem la relacó entre Q les varables velles, amb la segona equacó podrem trobar P en funcó de les velles també. Per últm, la tercera equacó fa de pont entre K H. És possble que ens nteress més fer ús d una funcó generatru en què ntervngun altres varables. S ho fem segum el matex procedment arrbem a: FUNCIÓ GENERATRIU RELACIONS F = F 1 q, Q ; t) p = F 1 P q = F 1 K = H + F 1 Q F = F 2 q, P ; t) Q P p = F 2 Q q = F 2 K = H + F 2 P F = F 3 p, Q ; t) + q p q = F 3 P p = F 3 K = H + F 3 Q F = F 3 p, P ; t) + q p Q P q = F 4 Q p = F 4 K = H + F 4 P KQ, P ; t) = HQ, P ; t) + F Q, P ; t) Quan F no depèn de t K = H Transformacons canònques en notacó smplèctca Notacó:. Vector columna η amb 2n elements: η = q η +n = p n. Vector columna H de 2n elements: ) H = H q ) H = H +n p 14

15 . Matru quadrada de 2n 2n: J = Per tant, les equacons de Hamlton en notacó smplèctca prenen la forma: η = J H Anem a trobar condcons drectes perquè una transformacó sgu canònca restrngda = f t)): Consderem les següents transformacons junt amb les seves nverses: Dervant Q respecte del temps: Q Q = q q j + Q j p j j Q = Q q k, p k ) q = q Q k, P k ) P = P q k, p k ) p = p Q k, P k ) ṗ j ) ) Q = H Q H q j j p j p j q j De les transformacons nverses, podem consderar Hq, p ; t) com una funcó de les noves varables. Aleshores, a partr de les equacons de Hamlton tennt en compte que, al ser la transformacó restrngda, H = K): Q = K P = H P = j H q j q j P H p p P j Comparant amb les equacons de dalt, fent el matex per a Ṗ obtenm les condcons drectes per a una transformacó canònca restrngda: Q q j ) ) P q j q,p q,p ) pj = P Q,P ) pj = Q Q,P Q p j ) q,p ) P p j ) ) qj = P q,p ) qj = Q Fent ús de la notacó smplèctca, podem expressar aquestes condcons de forma molt més compacta. S η és la matru que té per components q, p ), podem defnr també una altra matru ζ que tngu per components les coordenades transformades Q q k, p k ; t) P q k, p k ; t). Per tant ζ = ζη) Q,P Q,P 15

16 De la matexa forma que η = J H/), podem dervar ζ. En components: ζ ζ = η j = j j M j η j ζ = M η j on M = M j és el jacobà de la transformacó. D aquí veem que: ζ = MJ H Aleshores, s ζ = ζη), podem nvertr-ho η = ηζ), de manera que H = H[η ζ )] H H ζ j H H = = MT ζ j j De les dues equacons anterors, veem que Com que s ha de verfcar que ζ = MJM T H ζ ζ = J K ζ restr. ζ = J H ζ la transformacó ζ = ζη) serà canònca s MJM T = J que és equvalent a les quatre condcons drectes anterorment mostrades. Parèntess de Posson Sgun u, v dues funcons de varables q, p ), defnm el parèntes de Posson forma blneal antsmètrca) com u v [u, v] u ) v q p p q El parèntes de Posson ens permet calcular la varacó temporal de la funcó gq, p ; t) com dg dt = g g + q q + g ) ṗ p = g g + H g ) H = g q p p q + [g, H] p,q Els parèntes de Posson prenen la següent forma en notacó smplèctca [u, v] η = ) u T J ) v 16

17 En el cas en què u, v són q, p ), tenm els parèntess fonamentals de Posson: [q j, q k ] q,p = 0 = [p j, p k ] q,p [q j, p k ] q,p = δ jk = [p j, q k ] q,p En notacó smplèctca, s defnm la matru quadrada [η, η] η d element η jk = [η j, η k ], podem escrure [η, η] η = J S ara prenem Q q, p ; t) P q, p ; t) com a u, v, és a dr ζη), ens queda el següent: És a dr: [ζ, ζ] η = [Q, P ] q,p = ) ζ T J ) Q T J ) P ) ζ = M T JM = J És a dr 1 els parèntes de Posson fonamentals són nvarants sota transformacons canònques: [η, η] η = [ζ, ζ] η = J = [ζ, ζ] ζ = [η, η] η que és equvalent a la condcó de transformacó canònca. Expressant ζ = ζη) η = ηζ) partnt de l equacó de [u, v] η es pot demostrar que tots els parèntes de Posson són nvarants sota transformacons canònques. [u, v] η = [u, v] ζ Equacons del movment en funcó dels parèntess de Posson Hem vst que l evolucó temporal d una funcó uq, p ; t) es pot expressar com du dt = u + [u, H] S fem axò per a les varables q p, trobarem una nova manera de formular les equacons de hamlton: q = [q, H] ṗ = [p, H] Els termes q p s anul len ja que són a un punt fx de l espa de fases, per tant, les coordenades no varen amb el temps. Podem resumr-les en notacó smplèctca com 1 Es pot demostrar que la últma gualtat és certa. η = [η, H] 17

18 En el cas partcular en què u sgu una constant del movment,és a dr, du dt = 0, ens queda que [H, u] = u a més, s u no depèn explíctament del temps: [u, H] = 0 Teorema de Posson: s u, v són constants del movment, aleshores [u, v] és una constant del movment. 3.1 Teorema de Louvlle Resultats prevs:. Invarant ntegral de Poncaré: Sgu un element de volum dη = dq 1... dq n dp 1... dp n aleshores, s consderem una transformacó canònca η ζ, l element de volum es transforma a dζ = dq 1... dq n dp 1... dp n Aquestes transformacons es relaconen mtjançant el valor absolut del determnant del jacobà de la transformacó M dζ = M dη Com que la transformacó és canònca es pot demostrar que M = ±1 M = 1, per tant dζ = dη els volums són guals. És a dr, ˆ J n = ˆ dη és nvarant sota TC.. Transformacons canònques al matex espa de fases: Habtualment passem d un espa de fases η en el qual les coordenades d un punt A són q, p) a un altre espa de fases ζ en què descrbm el matex estat mtjançant un punt A de coordenades Q, P). No obstant, l evlucó dnàmca d un sstema entre 2 estats ηt 0 ) ηt) també és pot descrure mtjançant una transformacó canònca al matex espa. Teorema de Louvlle: La denstatde sstemes entorn a un donat es manté constant. Axò es demostra mtjançant l nvarant de Poncaré tennt en compte que pel prncp de determnacó de Newton) qualsevol punt nteror al sstema consderat ma podrà sortr d ell. En conseqüènca: dd dt = D + [D, H] = 0, com que D 18 = 0 [D, H] = 0

19 Equacó de Hamlton-Jacob Buscarem una TC que ens pass de q, p ) a un conjunt de coordenades totes constants que podren ser les condcons ncals Q, P ) = q 0, p 0 ). En aquest cas Q = K = 0 P, per tant K = 0. En conseqüènca: Ṗ = K Q = 0 Hq, p ; t) + F = 0 Ens serà útl fer ús de F = F 2 q, P ; t), on p = F 2 q, axí que H q 1,..., q n + F 2,..., F ) 2 ; t + F 2 = 0 q 1 q n aquesta quacó es conex amb el nom d equacó de Hamlton - Jacob. I és una equacó dferencal per a F 2 d n + 1 varables: q t. Aquesta solucó es denota per F 2 S s anomena funcó prncpal de Hamlton. Quan soluconem l equacó dferencall anteror, ens aparexen n + 1 constants d ntegracó α 1,..., α n+1. Afegr o treure una una constant no afecta, ja que a l equacó orgnal tenm dervades d S. Per tant, ens podem quedar amb les α, tennt en compte que P és constant, podem dr que P = α, en conseqüènca: com esperàvem. Aleshores, De la transformada nversa: F 2 = F 2 q, P ; t) Sq, α ; t) p = Sq, α ; t) q = f q, α ; t) Q = Sq, α ; t) α = gq, α ; t) β = const. q = q Q, P ; t) = q β k, α k ; t) p = f [q α k, β k ; t), α k ; t] = p α k, β k ; t) Amb q p tenm la solucó completa de les equacons de movment de Hamlton. S és, per tant, el generador d una TC a coordenades moments constants. S dervem la funcó prncpal de hamlton respecte del temps: És a dr S és l accó del sstema: ds dt = S q q + S = p q H = L S = Ldt 19