OPTIMITZACIÓ I SIMULACIÓ, curs , Q primavera Examen

Transcripción

1 TEMPS: 3 HORES. OPTIMITZACIÓ I SIMULACIÓ, curs , Q prmavera Examen L examen consta de 6 exerccs, els pesos dels quals en el conjunt de l examen són els següents: Exercc 6 Pes (en %) Les respostes s han de donar: o Exerccs 1 2: En un full d examen per al conjunt dels dos exerccs. o Exerccs 3 4: En un full d examen per al conjunt dels dos exerccs (un exercc en cada cara). o Exerccs 5 6: En el matex full en què consta l enuncat, en els espas prevstos per a cada apartat (NO ES TINDRAN EN COMPTE LES RESPOSTES QUE NO ESTIGUIN EN AQUESTS ESPAIS). Els enuncats estaran dsponbles a la ntranet docent de l assgnatura des de demà al matí. Les notes es publcaran dlluns, , a les 14:00, al tauler d anuncs del departament d Organtzacó d Empreses (planta 7) a la ntranet de l assgnatura. Es podrà demanar revsó mtjançant l mprès normaltzat dpostat a la bústa del coordnador de l assgnatura, Albert Coromnas (planta 11), fns a les 19 hores del da CAL UN IMPRÈS PER A CADA NOTA DE QUÈ DEMANEU REVISIÓ, AMB UNA BREU JUSTIFICACIÓ, BASADA EN ELS MOTIUS DE DISCREPÀNCIA ENTRE LA NOTA PUBLICADA I LA QUE CONSIDEREU ADEQUADA. Els resultats de la revsó les notes defntves es publcaran el da , a les 12:00, al tauler d anuncs del departament d Organtzacó d Empreses (planta 7) a la ntranet de l assgnatura.

2 Exercc 1 Una màquna M obté una untat de producte cada 40 s. Les untats passen per un sstema automàtc robottzat, R, de control reparacó. El control requerex 30 s el 90% de les untats el superen satsfactòrament; en cas contrar, R ntenta, segudament, corregr el defecte, la qual cosa requerex 50 s, el resultat és postu (defecte corregt) amb probabltat 0,30. S R no aconseguex corregr el defecte, ho fa una persona P en un temps gual a 120 s. a) Calculeu la proporcó de temps actu de P la de R, en règm permanent. b) Suposeu que el sstema és but en l nstant 0 en què surt de M la prmera untat de producte smuleu el funconament del sstema durant 380 s. Indqueu, per a aquesta smulacó, la proporcó de temps actu de R la de P en l nterval [0,380]. Els temps de trànst d una untat d un element del sstema a un altre són neglgbles davant de R de P h ha espa sufcent per a les untats en espera. Nombres pseudoaleators per a superar o no superar el control (feu servr els que us calgun, però en l ordre ndcat): 0,30 0,95 0,03 0,54 0,98 0,26 0,08 0,74 0,66 0,49 Nombres pseudoaleators per a corregr o no corregr el defecte, s n h ha (feu servr els que us calgun, però en l ordre ndcat): 0,87 0,22 0,13 0,45 0,89 0,67 Exercc 2 a) La probabltat que una varable aleatòra dscreta tngu el valor k (amb k 1) és gual a Qun valor de la varable correspon al nombre pseudoaleator 0,53? 1 0,3 0,7 k. b) Una varable aleatòra té una funcó de denstat de probabltat trangular. El valor mínm de la varable és 0; el valor màxm, 2 la màxma denstat de probabltat correspon al valor 1 de la varable. En un procedment de smulacó, quns valors de la varable obtndríem, respectvament, per als nombres pseudoaleators 0,3 0,6? Exercc 3 Tenm un sstema que consta de tres jacments de mneral dues plantes de trturacó mescla. El mneral conté les sals A B (en les proporcons a b, respectvament, expressades en tant per u en pes per = 1, 2, 3 ). A les plantes s han d obtenr, respectvament, Q 1 Q 2 tones de mescla. A la mescla de la planta ( = 1, 2 ) les proporcons de sal A de sal B han de pertànyer, respectvament, ' ' als ntervals [ α, α ] [ β, β ]. Els costos d extraccó dels mnerals són de k / t ( = 1, 2, 3 ) els de transport, cj / t( = 1, 2,3 ; j = 1, 2 ). Per a les demandes ndcades, la capactat d extraccó als jacments es pot consderar l lmtada. Plantegeu un programa lneal per obtenr el pla d extraccó de transport de cost mínm. Exercc 4 Tenm n conduccons ndependents per envar un flud des del punt A fns al punt B. L energa necessàra per envar una quanttat x per la conduccó en una untat de temps és gual a 1 p rx + (amb p > 0). Es destja determnar el pla de transport òptm (de menor consum d energa) per envar, en una untat de temps, una quanttat total no nferor a Q des de A fns a B. a) Plantegeu un programa matemàtc per a aquest problema. b) En el supòst que totes les quanttats x són >0, determneu-ne els valors òptms en funcó de p, de les r de Q, axí com també la quanttat total d energa necessàra. Justfqueu que la solucó obtnguda és òptma. c) Demostreu que en la solucó òptma totes les x són postves. d) Quanta energa addconal caldra, aproxmadament, per envar una quanttat Q ε + (on ε és un valor postu molt pett)?

3 OPTIMITZACIÓ I SIMULACIÓ, curs , examen Cognoms nom Exercc 5 (Les respostes d aquest exercc s han de donar en els espas prevstos en aquest matex full; no obldeu posar el vostre nom) Sea el sguente PL a ser resuelto con el símplex: [ MAX] Z = 10x1+ 6x x3 + 50x4 + 80x5 x + 2x + 6x + 3x + 6x 12 x + x + x x + x x = x, x, x, x, x 0 [ MAX] Z = 10x1+ 6x x3 + 50x4 + 80x5 Ma1 Ma2 x + 2x + 6x + 3x + 6x + m = 12 1 x + x + x m + a = x + x x + a = x, x, x, x, x 0 En el proceso de resolucón se obtene la tabla que se reproduce parcalmente: M -M Bas c b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 m 1 m 2 a 1 a 2 e x 4 7/3 2/3 4 1/3-2 m 2 4/3 5/3 3 1/3-1 x Todas las preguntas se referen a la stuacón descrta en la tabla del enuncado anteror (no son preguntas encadenadas, excepto que así se especfque). Y deben ser responddas en el espaco determnado para ello. A.1) La solucón anteror es una solucón básca? Y, s es una solucón básca, es una solucón básca factble? Y, s es una solucón básca factble, es óptma? A.2) Cuál es el valor de las varables báscas? Y cuál es el valor de la funcón objetvo? A.3) La solucón del dual en la tabla anteror es factble? Y, s lo es, es degenerada? A.4) La solucón del dual en la tabla anteror es óptma? A.5) RESPONDA Y JUSTIFIQUE BREVEMENTE, SIN REALIZAR CÁLCULOS: S el térmno ndependente de la segunda restrccón fuera 4 en lugar de 3, la solucón óptma sería: seguro que gual; mejor o gual; peor o gual; seguro que mejor; seguro que peor; no se puede saber?

4 A.6) Cuántas varables tene el dual (excludas las de holgura y las artfcales)? Y cuántas de holgura? Y cuántas artfcales? A.7) Cuál es el valor de la varable del dual correspondente a la tercera restrccón del prmal? A.8) Cuál es el valor de la varable de holgura del dual correspondente a su segunda restrccón? A.9) A partr de qué valor del coefcente de x 2 en la funcón objetvo dcha varable entra en la base? Y, s el coefcente de x 2 adopta dcho valor y x 2 entra en la base, cuál es el valor de las varables báscas y el de la nueva solucón óptma?

5 OPTIMITZACIÓ I SIMULACIÓ, curs , examen Cognoms nom Exercc 6 (Les respostes d aquest exercc s han de donar en els espas prevstos en aquest matex full; no obldeu posar el vostre nom) Una empresa ha de cobrr dverses rutes de dstrbucó dels seus productes, per a la qual cosa ha d assgnar les rutes als dferents mtjans de transport dsponbles (camons de la seva propetat, autònoms empreses logístques). Actualment h ha m possbles mtjans de transport (j = 1,...,m) per a les n rutes ( = 1,...,n) que s han d assgnar es conex c j que es el cost d assgnar la ruta al mtjà de transport j (s no és possble assgnar una ruta a un mtjà de transport j, s atrbuex a c j un valor molt gran, M). a) Plantegeu un programa matemàtc lneal (defnu clarament les varables, la funcó objectu les restrccons) per al supòst que un mtjà de transport només es pot fer servr per a una ruta. b) Con s haura de modfcar el model anteror s un mtjà de transport es pot fer servr per a totes les rutes que convngu, en aquest cas, el cost és la suma del costos de cada assgnacó realtzada? c) Con s haura de modfcar el model ncal s un mtjà de transport es pot fer servr per a totes les rutes que convngu, en aquest cas, el cost és només el de la ruta més cara assgnada al mtjà? d) Con s haura de modfcar el model de l apartat c) s un mtjà de transport es pot fer servr, com a màxm, per a dues rutes?