Cátedra Investigación Operativa

Transcripción

1 Cátedra Investgacón Operatva Prof. Ttular Prof. Adunto JTP JTP Dr. Ing. Jorge E. Núñez Mc Leod Ing. Horaco Day Ing. Roberto Martín (lcenca) Ing. Romna Calvo Olvares Clases: Aula: Vernes 9:-: hs. Teórco-práctcos Mércoles 9:3-:3 hs. Práctca y Proyecto Anfteatro Este Horaros de consulta: Prof. Tt. Martes 8: hs. Edfco DETI II Ofcna E3

2 Cátedra Investgacón Operatva UNIDAD 4: Programacón No Lneal y Metaheurístca 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para optmzacón restrngda. Método del gradente reducdo generalzado (GRG), algortmos secuencales no restrngdos y algortmos de apromacón secuencal. 4.B. Metaheurístca Fundamentos y termnología. Búsqueda Tabú. Recocdo Smulado. Algortmos Genétcos. Estrategas Evolutvas. Programacón Genétca.

3 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs

4 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs

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8 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Introduccón El problema de Optmzacón No-Lneal consste en encontrar: para sueta a y =(,,..., n ) Mamzar f() g ()<=b, para =,,...,m >=, donde f() y las g () son funcones dadas de n varables de decsón No este un algortmo que resuelva todos los problemas específcos que cumplen con esta formulacón. Nos enfocaremos en problemas que no tenen solucón analítca y por ello requeren solucones numércas.

9 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Tpos de problemas de programacón no lneal:. Optmzacón no restrngda. Optmzacón lnealmente restrngda 3. Programacón cuadrátca 4. Programacón convea 5. Programacón separable 6. Programacón no convea 7. Programacón geométrca 8. Programacón fracconal 9. Problema de complementaredad

10 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Optmzacón no restrngda con una varable de decsón Se tene f(), donde es la varable de decsón y f dferencable y cóncava. df ( ) d Condcón necesara y sufcente para el óptmo: Procedmento de búsqueda Paso ncal: -,4 -,,,4,6,8,,4 - Se seleccona, se encuentran a y b (dervadas (+) y (-)). Se elge una solucón de prueba ncal: =( a + b )/. Paso teratvo:. Se evalúa df/d en.. S df/d>=, se hace a =. 3. S df/d<=, se hace b =. 4. Se elge una nueva. Regla de detencón s b - a <=* el proceso termna. -4

11 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Tomar apuntes en clase Optmzacón no restrngda con dos varables de decsón Se tene f(, ), donde y son las dos varables de decsón Condcón necesara de óptmo: En un mámo o mínmo local ambas dervadas parcales deben ser guales a cero, o sea: f (, ) y f (, ) Sn embargo no todos los puntos estaconaros son mámos o mínmos. Entonces usamos la condcón sufcente de segundo orden de optmzacón D [ f (, )][ f (, )] [ f (, )] Sendo * = ( *, * ) un punto estaconaro Caso : S f ( *, * ) > y D>, entonces * es un mínmo local. Caso : S f ( *, * ) < y D>, entonces * es un mámo local. Caso 3: S D<, entonces * se llama punto slla. Caso 4: S D=, se requere mayor análss.

12 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Optmzacón no restrngda con n varables de decsón Se tene f(), donde =(,,... n ) son las varables de decsón y f es cóncava. Paso ncal: Elegr y cualquer solucón prueba ncal. Ir a la regla de detencón. Paso teratvo:. Epresar f( +tf( )) como una funcón de t establecendo f t y después susttur estas epresones en f() para =,,..., n. Utlzar el procedmento de búsqueda en una dmensón para encontrar t=t * que mamza f( + t f( )) para t>=. 3. Establecer = + t * f( ). Ir a la regla de detencón. Regla de detencón: evaluar f( ). Verfcar que: f para toda =,,..., n. S es así el proceso se detene con la actual como la apromacón a *. De otra manera se realza otra teracón.

13 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Dónde encontrar un mínmo o un mámo? Local? Global?

14 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Modelos con restrccones de gualdad Mamzar (o mnmzar) f(,,..., n ) sueto a: g (,,..., n ) = b =,..., m (m<n) Eemplo: un fabrcante puede elaborar un producto en cualquera de dos máqunas. Sea la cantdad fabrcada en la máquna y la de la máquna. Sea a. + b. = c a. + b. = c Determnar los valores de y que mnmcen el costo total, sueto al requsto de que la produccón total es un valor específco, R. La formulacón del problema sería: Mn a. + b. + a. + b. X s.a. + = R

15 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Multplcadores de Lagrange Problema Mamzar f(, ) s.a. g(, ) = b Paso : Formar el Langranano L(,, ) = f(, ) + [b - g(, )] Paso : Obtener dervadas parcales g b L g f L g f L Paso 3: Encontrar todas las solucones Paso 4: Comprobar las condcones sufcentes * L g g L g L g D Eercco N Mamzar - s.a. - + =

16 4.A. Programacón No Lneal Introduccón gráfca de los problemas de programacón no lneal. Tpos de problemas de programacón no lneal: optmzacón no restrngda, optmzacón lnealmente restrngda, programacón cuadrátca, programacón convea, programacón separable, programacón no convea, programacón geométrca, programacón fraccón y problema de complementaredad. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Implementacón de la técnca Lagrangana Problema Mamzar - s.a. - + = Paso : Formar el Langranano L(,, ) = f(, ) + [b - g(, )] = - + ( + - ) Paso : Obtener dervadas parcales L = + = () L = - - = () L = + - = (3) Paso 3: Encontrar todas las solucones de () * = - (4) (4) en () * = / (5) (5) en (3) * = 5 / 4 Paso 4: Comprobar las condcones sufcentes D * = - ( * ) - 4 ( * ) () + (- * ) () () D * = Al ser D * >, la solucón es un mámo restrngdo

17 4.A. Programacón No Lneal Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para optmzacón restrngda. Método del gradente reducdo generalzado (GRG), algortmos secuencales no restrngdos y algortmos de apromacón secuencal. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (necesaras) Supongamos que f(), g (),..., g n () son funcones dferencables y contnuas. Entonces: * = ( *,..., n* ) puede ser una solucón óptma para el problema de programacón no lneal. Sólo s esten m números u que satsfagan las condcones de Karush-Kuhn-Tucker sguentes: ),..., ( ),..., ( * * * * * * n n m m u b g u b g g u f g u f En = *, para =,..., n para =,..., m para =,..., m para =,..., n Sufcentes s f() es cóncava y g () conveas

18 4.A. Programacón No Lneal Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para optmzacón restrngda. Método del gradente reducdo generalzado (GRG), algortmos secuencales no restrngdos y algortmos de apromacón secuencal. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs ),..., ( ),..., ( * * * * * * n n m m u b g u b g g u f g u f Eercco N, y (convea) 3 sueta a (cóncava), ) ln( ) ( Ma f. 6.., 5.. 3) ( ) ( ). (. ). (. ). (. ). ( u u u u u u

19 4.A. Programacón No Lneal Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para optmzacón restrngda. Método del gradente reducdo generalzado (GRG), algortmos secuencales no restrngdos y algortmos de apromacón secuencal. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs ( ). ( ). ( ). ( ) u u. u. ( u). 3. u ( 3). u,..., 3 y u En consecuenca (, u u u 3. 3 satsfacen todas las condcones. 3) es una solucón óptma.

20 4.A. Programacón No Lneal Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para optmzacón restrngda. Método del gradente reducdo generalzado (GRG), algortmos secuencales no restrngdos y algortmos de apromacón secuencal. Ver Investgacón de Operacones, Hller-Leberman, 7ma Edcón, Capítulo 3, págs Determnar los valores de u y u que en el punto (=,58; =,5) cumplen las condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) tales que: Mn. s.a <= + 5 <=

21 4.A. Programacón No Lneal Condcones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para optmzacón restrngda. Método del gradente reducdo generalzado (GRG), algortmos secuencales no restrngdos y algortmos de apromacón secuencal. Tomar apuntes

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23 Cátedra Investgacón Operatva Tema 4.B. METAHEURÍSTICA METAHEURÍSTICOS: UNA ALTERNATIVA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMBINATORIOS EN ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES M.C. Vélez & J.A. Montoya

24 Introduccón a los Métodos Heurístcos Los métodos heurístcos son algortmos de resolucón apromada de problemas. Los métodos heurístcos proporconan solucones cuas-óptmas. Solucones cuas-óptmas pueden ser adecuadas.

25 Smulatng Annealng Conocdo tambén como: Monte Carlo Annealng, statstcal coolng, probablstc hll-clmbng, stochastc relaaton and probablstc echange algorthm. Fue propuesto en 983 por Krkpatrck et al. para la resolucón de un problema de localzacón en VLSI (Very Large Scale Integraton). El método se nspra en la termodnámca Los desplazametos en el espaco de búsqueda son basados en la dstrbucón de Boltzmann. Parámetros: temperatura, confguracón ncal, número de teracones a cada temperatura y número mnmo de confguracones aceptadas. Condcones de fnalzacón: cuando se alcanza un valor de temperatura bao, cuando la energa no vara a temperaturas sucesvas o cuando se aceptan menos confguracones que un mnmo dado.

26 Smulatng Annealng Incalzar T Generar una confguracón aleatora X old Mentras T>Tmn Reptr U= hasta Nc Generar nueva confguracon X new Calcular la nueva energía E new Calcular ΔE= E new - E old S ΔE < o random < prob=e^(δe/t) entonces X old := X new E old := E new Fn SI Fn Repetr Reducr T (T=.9*T) Fn Mentras

27 Tabu Search Es un procedmento teratvo para resolver problemas dscretos de optmzacón combnatora. La dea básca del método es la de eplorar el espaco de búsqueda de todas las solucones factbles por una secuenca de movmentos. Para escapar de un optmo local y para prevenr los cclos, algunos movmentos, en una teracón en partcular, son clasfcados como prohbdos o tabu.

28 Algortmos Genétcos Los Algortmos Genétcos están basados en los conceptos de la evolucón de Charles Darwn. La dea básca del método es la de eplorar el espaco de búsqueda medante ndvduos que pueden reproducrse o ser mutados. Los meores ndvduos sobrevven. El método puede escapar de óptmos locales.

29 Algortmos Genétcos Un AG genérco podría ser defndo como: Donde AE ( I,,,, s,,, ) () I = B l donde l es la longtud en genes de los ndvduos. : I es una funcón de evaluacón que asgna valores reales a cada ndvduo. : p m : I I, p z I I c, () son los operadores genétcos de mutacón y cruce respectvamente. La funcón de transcón de generacón : I I representa el proceso completo para generar a partr de una poblacón dada otra. s : I I es el operador de seleccón de progentores ι : I {verdadero, falso} es un crtero de termnacón y, y son los tamaños de las poblacones progentora y descendente respectvamente.

30 Algortmos Genétcos Seleccón Progentores Poblacón Núcleo prncpal (ncluye eval. de los ndvduos, muestreo, adaptacón de parámetros, presón selectva, etc.) Reproduccón Reemplazo Algortmo Evolutvo Descendenca

31 Algortmos Genétcos Operacón cruce Progentores Indvduo Punto de cruce Indvduo Descendentes Indvduo Indvduo

32 Algortmos Genétcos Operacón mutacón Antes de la mutacón Indvduo Punto de mutacón Después de la mutacón Indvduo Punto de mutacón

33 Defncones prncpales a) Crtero de codfcacón: como se codfca una posble solucón. b) Crtero de tratamento de los ndvduos no factbles: Qué se hace con los ndvduos no factbles creados durante los procesos de cruce y mutacón. c) Crtero de ncalzacón: Cómo se ncalza la poblacón ncal? d) Crtero de parada: Cuál es el crtero para detener la eecucón del algortmo? e) Funcones de evaluacón de apttud: Cuál es la funcón obetvo? f) Operadores genétcos: Cuáles son los operadores genétcos a utlzar? (e.g. Cruce, mutacón, eltsmo, etc). g) Crteros de seleccón: Cómo se selecconan los ndvduos tanto para el cruce como para la mutacón? h) Crteros de reemplazo: Los hos reemplazan a los padres o se suman a la poblacón estente? ) Parámetros de funconamento: El algortmo trabaa fándosele a pror las sguentes varables: cantdad de genes por cromosoma, tamaño de la poblacón ncal, probabldad de cruce, probabldad de mutacón y el número de generacones a desarrollar.

34 Estrategas Evolutvas Las estrategas evolutvas son un desarrollo smlar a los Algortmos Genétcos Fueron desarrollados en forma ndependente. Ponen enfass en la eploracón del espaco de búsqueda. La mutacón es el operador prncpal.