Un algoritmo GRASP para resolver el problema de la programación de tareas dependientes en máquinas diferentes (task scheduling)

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1 Un algortmo GRASP para resolver el problema de la programacón de tareas dependentes en máqunas dferentes (tas schedulng) Manuel Tupa Pontfca Unversdad Católca del Perú, Departamento de Ingenería Av. Unverstara cuadra 18 S/N Lma, Perú, Lma 32 Davd Maurco UPG-FISI Unversdad Naconal Mayor de San Marcos Av. Germán Amézaga S/N. Lma, Perú, Lma 1 Abstract The ndustral plannng has experenced notable advances from hs orgns around the mddle of the century XX not only a meal n the effcency n applcaton mportance nsde all the ndustres where t s used, and sophstcaton of the algorthms that try to resolve the problems that generate all ts exstent varants. The nterest for the heurstcmethods applcaton n front of to gve answers to the problems of the area of plannng need has taen us to develop new algorthms to resolve one of the problem varants of the plannng from the Artfcal Intellgence's pont of vew: The programmng of tass or tas schedulng: once an tass set was gven to be programmed n determned machnes group, fndng an order once was made sutable of executon that mnmze the tme once was accumulated total of processng of the machnes or maespan. The present wor GRASP to resolve programmng the problem of dependent tass n dfferent machnes shows a heurstc goal. Keywords: GRASP algorthms, tas schedulng, combnatoral optmzaton, meta heurstcs, Artfcal Intellgence Resumen La planfcacón ndustral ha expermentado notables avances desde sus orígenes a medados del sglo XX tanto en mportanca de aplcacón dentro de todas las ndustras en donde es usada, como en la efcenca y sofstcacón de los algortmos que buscan resolver los problemas que generan todas sus varantes exstentes. El nterés por la aplcacón de métodos heurístcos ante la necesdad de dar respuestas a los problemas del área de planfcacón nos ha llevado a desarrollar nuevos algortmos para resolver una de las varantes del problema de la planfcacón desde el punto de vsta de la Intelgenca Artfcal: la programacón de tareas o tas schedulng: dado un conjunto de tareas dependentes de una línea de produccón a ser programadas en un determnado grupo de máqunas dferentes, encontrar un orden adecuado de ejecucón que mnmce el tempo total de trabajo de las máqunas o maespan. El presente trabajo muestra una meta heurístca GRASP para resolver dcha varante del problema del tas schedulng. Palabras claves: algortmos GRASP, programacón de tareas, optmzacón combnatora, meta heurístcas, Intelgenca Artfcal 1. INTRODUCCIÓN El problema de la programacón de tareas o tas schedulng presenta sus antecedentes en la planfcacón ndustral [1] y en la programacón de trabajos de procesadores en los ncos de la mcro electrónca [2]. Ese tpo de problema puede defnrse, desde el punto de vsta de la optmzacón combnatora [3], como sgue: Se tenen M máqunas, tambén denomnadas procesadores. Se tenen N tareas cada una de ellas con duracón undades de tempo (el tempo que demora en ser ejecutada la tarea j en la máquna ). El objetvo es programar las N tareas en las M máqunas procurando el orden de ejecucón más apropado, cumplendo determnadas condcones que satsfagan la optmaldad de la solucón requerda para el problema [4]. T j

2 El problema presenta una sere de varantes dependendo de la naturaleza y el comportamento tanto de las tareas y de las máqunas. Una de las varantes más dfícles de plantear, debdo a su alta complejdad computaconal es aquella en donde las tareas son dependentes y las máqunas dferentes. En esta varante cada tarea presenta una lsta de tareas que la preceden y para ser ejecutada deben esperar el procesamento de toda la lsta completa de predecesoras. A esta stuacón hay que agregarle la característca de heterogenedad de las máqunas: cada una de ellas se demora en ejecutar una tarea tempos dstntos entre sí. El objetvo será mnmzar el tempo acumulado de ejecucón de las máqunas, conocdo en la lteratura como maespan. Al observar el estado del arte del problema vemos que tanto su aplcacón práctca de forma drecta en la ndustra y su mportanca académca (al ser un problema NP-dfícl) se justfca el dseño de un algortmo heurístco que busque una solucón óptma al problema, dado que no exsten métodos exactos para resolver el problema. En muchas ndustras como las del ensamblado, embotellado, manufactura, etc., vemos líneas de produccón en donde los períodos de espera por trabajo de las máqunas nvolucradas y el ahorro del recurso tempo son temas muy mportantes y requeren de una convenente planfcacón. A partr de la defncón dada, podemos presentar el problema como un modelo matemátco de optmzacón combnatora en su forma más general, en la sguente fgura: Mnmzar X 0 s. a. X 0 m n = 1 T j * X j j 1.. M X 0 X j = N j = 1 Fgura 1: Modelo matemátco del tas schedulng El presente escrto propone una heurístca del tpo goloso-mope o voraz para resolver la varante antes menconada del tas schedulng. 2. ALGORITMOS META HEURÍSTICOS Los procedmentos meta heurístcos son una clase de métodos aproxmados que están dseñados para resolver problemas dfícles de optmzacón combnatora, en los que las solucones heurístcas cláscas no son efectvos. Proporconan un marco general para crear nuevos algortmos híbrdos combnando dferentes conceptos dervados de la Intelgenca Artfcal (en adelante IA), la evolucón bológca y los mecansmos estadístcos. Permten generalzar los procedmentos de búsqueda heurístca, generando esquemas que pueden ser adaptados a dversos domnos de problemas. Amplían los crteros y modos de optmzacón de funcones de las heurístcas reducendo el resgo de estancamento en óptmos locales. Se stúan conceptualmente por encma de los heurístcos en el sentdo que guían el dseño de éstos: así, al enfrentarnos a un problema de optmzacón, podemos escoger cualquera de estos métodos para dseñar un algortmo específco que lo resuelva aproxmadamente. Pasaremos a descrbr una técnca meta heurístca en partcular: las llamadas técncas GRASP 2.1 Algortmos GRASP Una técnca meta heurístca es la de los algortmos GRASP (del nglés Greedy Randomzed Adaptatve Search Procedure). Esta técnca fue desarrollada por T. Feo y M. Resende a fnales de los años 80 [10]. Mentras que el crtero goloso permtía selecconar solamente el mejor valor de la funcón objetvo c a tratar, los algortmos GRASP relajan o amplían este crtero de tal manera que, en vez de selecconar un únco elemento, forma un conjunto de elementos canddatos a ser parte del conjunto solucón y que cumplen certas condcones; es sobre este conjunto formado, que realzará una seleccón aleatora de algún elemento. Tenen esta denomnacón por lo sguente: Son procedmentos de búsqueda: dentro de un espaco de posbles solucones se realzan búsquedas sn evaluar a todos los elementos del problema. Son voraces: porque en cada evaluacón escoge a los mejores canddatos que cumplan certas condcones. Son adaptatvas: porque se adapta a la estructura de la nstanca del problema que pretende resolver.

3 Son aleatoras: porque de entre las canddatas escoge aproxmadamente al azar, aquellas que fnalmente formarán parte de la solucón Procedmento GRASP (Instanca del problema) 1. Leer (Instanca) 2. Mentras <no se cumpla condcón de parada> hacer 2.1 Fase de Construccón ( ) S 2.2 Fase de mejoría ( S ) Fn Mentras 3. Retornar (Mejor S ) Fn GRASP Sobre este algortmo podemos afrmar: Línea 1: se ngresan los datos que conforman la nstanca del problema Línea 2: el proceso GRASP segurá mentras no se cumpla una condcón de parada. La condcón de parada puede ser de varos tpos: optmaldad (el resultado obtendo presenta certo grado de aproxmacón a la solucón exacta o es lo sufcentemente óptmo); número de ejecucones realzadas (cantdad de teracones); tempo de procesamento (el algortmo será ejecutado durante un determnado período de tempo) o Líneas 2.1 y 2.2: se ejecutan las dos fases prncpales de un algortmo GRASP, a segur: etapa de construccón de la solucón golosa adaptada y aleatora; y la etapa de mejoría de la solucón construda anterormente. Línea 3: fnalmente se devuelve el resultado de la aplcacón del algortmo. 2.2 Fase de construccón GRASP Esta etapa consste en construr una solucón golosa relajada o amplada en donde exsta más de una canddata a ser solucón y a partr de la cual, se selecconará aleatoramente elementos para formar la solucón fnal. Recordemos que el crtero goloso que buscaba optmzar la funcón objetvo podía ser planteado de la sguente forma: Mejor{ c( x) : x N} en donde c es una funcón golosa. Aquí el crtero GRASP modfca al goloso amplándolo, de forma tal que se pueda construr una lsta de varos elementos canddatos a ser solucón. Prmero determna los mejores y valores de c para luego formar la lsta de canddatas como vemos en la sguente fgura: β = Mejor{ c( x) : x N} τ = Peor{ c( x) : x N} Fgura 2: Valores extremos de la funcón c El conjunto de canddatas RCL (del nglés: Restrcted Canddates Lst): se formará con todos los elementos x de N que cumplan con la condcón: RCL = { x N : β c( x) β + α ( τ β )} Al parámetro α que aparece en la defncón de RCL se le conoce como parámetro de relajacón y es el responsable de tornar la solucón que surgrá, más ampla que la solucón voraz. Del conjunto RCL se toma un elemento al azar que pasa a formar parte del conjunto S, repténdose el proceso hasta que se hayan procesado todos los elementos de N. Una estratega aleatora vene a ser partcularmente útl cuando exsten varas formas para realzar un paso dentro de un algortmo en general, y donde resulta dfícl garantzar totalmente que alguna de ellas es la mejor eleccón. Eso ocurre con el crtero goloso al no analzar más allá los efectos de la seleccón del mejor elemento de c en cada teracón. El crtero GRASP ndca que el canddato a ser parte del conjunto solucón es así, un elemento selecconado en forma aleatora desde el conjunto RCL (no pertenece a S y su valor de la funcón objetvo no necesaramente es el mejor en ese nstante).como se puede aprecar, depende del valor de α empleado.

4 Según el valor que tome α, el comportamento del crtero GRASP puede varar desde meramente aleatoro hasta volverse totalmente goloso. Veamos: α = 0 Crtero totalmente aleatoro α = 1 Crtero totalmente goloso 0 < α < 1 Crtero GRASP convenconal que requerrá de calbracón adecuada a cada problema. Fgura 3: Posbles valores de la constante de relajacón α 3. MÉTODOS EXISTENTES PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS Y SUS VARIANTES Resumremos aquí partes mportantes de trabajos que pretenden resolver el problema tanto de forma exacta como aproxmada. 3.1 Métodos Exstentes Las solucones exstentes que pretenden resolver el problema de la planfcacón ndustral en general pueden ser dvddos en dos: métodos exactos y métodos aproxmados. Los métodos exactos pretenden hallar un plan jerárquco únco analzando todos los posbles ordenamentos de las tareas o procesos nvolucrados en la línea. Sn embargo, una estratega de búsqueda y ordenamento que analce todas las combnacones posbles es computaconalmente cara y sólo funcona para algunos tpos de nstanca. Los métodos aproxmados por su parte sí buscan resolver las varantes más complejas en las que ntervene el comportamento de tareas y máqunas como se menconó en el apartado anteror. Ellos no analzan exhaustvamente todas las posbles combnacones de patrones del problema, sno que más ben elgen los que cumplan determnados crteros. Obtenen fnalmente, solucones lo sufcentemente óptmas para las nstancas que resuelven, lo que justfca su uso. Los sstemas exstentes en el mercado que pueden resolver el problema, no aplcan técncas heurístcas o meta heurístcas para su desarrollo [6]. Este hecho se puede deber a la antgüedad de los msmos y los métodos empleados (exactos) [7][8]. Al no consegurse solucones exactas para muchos de los ámbtos ndustrales aplcados se oblga al uso de técncas híbrdas o de otro tpo que se ocupen de arrojar resultados aproxmados y óptmos Job Schedulng Dentro de la teoría de colas podemos encontrar la prmera y más estudada varante del schedulng: el problema de la planfcacón de trabajos en cola o atencón en cola conocdo en la lteratura como job schedulng [9]. Este problema consste en: Dado un lote fnto de trabajos a ser procesados Dado un nfnto número de procesadores (máqunas). Cada trabajo (job) esta caracterzado por un conjunto de operacones convenentemente ordenadas; por su parte, las máqunas pueden procesar una únca tarea a la vez, sn nterrupcones. El objetvo del JSP es encontrar una programacón determnada que mnmce el tempo de procesamento. Exsten numerosos algortmos heurístcos planteados para resolver el problema del job schedulng, entre los que destacamos: Usando algortmos GRASP: Bnato, Hery y Resende [11] Usando algortmos Genétcos: trabajos de Goncalves, De Magalahes y Resende [12] y Davs [13] Usando algortmos de Ramfcacón y Acotacón: trabajo de Brucer, Jursch y Severs [14] Tas Schedulng Los algortmos para esta varante pueden ser usados para resolver complcados problemas de planfcacón o programacón de accones y operacones en células de trabajo. Se plantea un determnado número fnto de máqunas y tareas y se busca, al gual que en el JSP, una programacón adecuada donde se mnmce el tempo de procesamento de lote o maespan. Por la naturaleza de las máqunas y las tareas, puede hacerse la sguente subdvsón vsta anterormente: Máqunas déntcas y tareas ndependentes

5 Máqunas déntcas y tareas dependentes Máqunas dferentes y tareas ndependentes Máqunas dferentes y tareas dependentes: el modelo más complejo que será motvo de estudo en este trabajo. Algunos algortmos planteados son: Usando algortmos voraces: Campello, Maculan [3] para máqunas déntcas. Usando algortmos voraces: Tupa [15] para máqunas dferentes y tareas ndependentes Usando algortmos GRASP: Tupa [15] para máqunas dferentes y tareas ndependentes 4. ALGORITMO GRASP PROPUESTO Debemos partr del supuesto que se tene una nstanca de trabajo completa que ncluya lo sguente: cantdad de tareas y máqunas (N y M respectvamente); matrz de tempos de ejecucón T y lsta de predecesoras por tarea. 4.1 Estructuras de Datos Usadas por el Algortmo Consderemos que en el lote hay al menos una tarea sn predecesoras que se convertrá en la ncal, así como no exsten referencas crculares entre las predecesoras de las tareas que mpdan su correcta programacón. En la sguente fgura vemos las estructuras de datos que vamos a necestar para la presentacón del algortmo: N: número de tareas J, 1 J 2,..., J N M M,..., M M: número de máqunas, 1 2 M Matrz T: [ Tj ] MxN de tempos de procesamento, donde cada entrada representa el tempo que se demora la máquna j-ésma en ejecutar la tarea -ésma. Vector A: [ A ] de tempos de procesamento acumulado, donde cada entrada A es el tempo de trabajo acumulado de la máquna M P : Conjunto de tareas predecesoras de la tarea Vector U: [ U ] de tempos de fnalzacón de cada tarea J Vector V: [ V ] de tempos de fnalzacón de las tareas predecesoras de J, donde se cumple que V = max{ U }, J r r P S : Conjunto de tareas asgnadas a la máquna E: Conjunto de tareas programadas M C: Conjunto de tareas canddatas a ser programadas Fgura 4: Estructuras de datos usadas por el algortmo 4.2 Consderacones Generales Vamos a plantear dos crteros de seleccón durante el desarrollo del algortmo GRASP lo que nos va a llevar a generar dos constantes de relajacón en vez de una sola: Un crtero GRASP de seleccón aleatoro de la mejor tarea a programarse, empleando la constante de relajacón α. Un crtero de seleccón aleatoro de la mejor máquna que ejecutará la tarea selecconada antes, empleando un parámetro θ adconal Crtero de Seleccón de la Mejor Tarea Este crtero se basa en los msmos prncpos que el algortmo voraz presentado antes: Identfcar las tareas aptas para ser programadas: es decr, las que no han sdo programadas aún y sus predecesoras ya han sdo ejecutadas (o no presentan predecesoras). Para cada una de las tareas aptas, generar la msma lsta que en el algortmo goloso: establecer los tempos de ejecucón acumulado a partr de la fnalzacón de la últma tarea predecesora que se ejecutó. J

6 Obtener el menor elemento de cada lsta y almacenarlos en otra lsta de mínmos locales. De esta nueva lsta de mínmos locales selecconaremos: el máxmo y el mínmo valor las varables: peor y mejor respectvamente. Formaremos la lsta de tareas canddatas RCL analzando cada entrada de la lsta de mínmos locales: s la entrada correspondente cumple con estar dentro del ntervalo [mejor, mejor + α* (peor-mejor)], entonces pasa a formar parte de RCL. Se escoge una tarea al azar de las que consttuyen RCL Crtero Goloso de Seleccón de la Mejor Máquna Una vez selecconada una tarea desde RCL, procedemos a buscar la mejor máquna que la pueda ejecutar. Los pasos a segur son los sguentes: Se forma nuevamente el vector de tempos acumulados en funcón de las predecesoras de la tarea j-ésma que está sendo objeto de análss. Se encuentran los valores máxmos y mínmos de en las varables: peor y mejor respectvamente. Procedemos a formar la lsta de máqunas canddatas MCL: toda máquna que ejecute a la tarea j-ésma en un tempo que se encuentre en el ntervalo [mejor, mejor + θ* (peor-mejor)] forma parte de MCL. Igualmente selecconamos al azar una de las máqunas, que será la ejecutora de la tarea j-ésma. 4.3 Presentacón del algortmo Inco AlgortmoGRASP_Construccon (M, N, T, A, α, θ) 1. Leer N, M, α, θ, J, 1 J 2,..., J N 2. Para :1 a N, hacer Para j: 1 a M, hacer Leer Tj 3. Para :1 a M, hacer Inco A S = 0 = φ Fn Para 4. Para : 1 a N, hacer Inco U V = 0 = 0 Fn Para 5. E = φ 6. Mentras E N hacer Inco 6.1 C = φ 6.2 mejor = peor = Para l: 1 a N, hacer

7 S (P l E) (J l E) C = C { J l } 6.5 B mn = φ 6.6 Para cada J l C hacer Inco V l = max { U } J l P l B mn = B mn Mn p [ 1, M ]{ Tpl + max{ Ap, Vl }} Fn Para {Seleccón de la mejor tarea. Formacón de RCL} 6.7 mejor = Mn B } { mn 6.8 peor = Max B } { mn 6.9 RCL = φ 6.10 Para cada J l C hacer S Mn p 1, M ]{ Tpl + max{ A [ p l RCL = RCL { J l } 6.11 = ArgAleatoro {RCL} J l RCL, V }} [mejor, mejor + α* (peor-mejor)] 6.12 MCL = φ {Seleccón de la mejor máquna} 6.13 mejor = Mn p [ 1, M ]{ Tp + max{ Ap, V }} 6.14 peor = Max p [ 1, M ]{ Tp + max{ Ap, V }} 6.15 Para : 1 a M hacer S T + max{ A, V MCL = MCL {M } 6.16 = ArgAleatoro {MCL} } [mejor, mejor + θ* (peor-mejor)] M MCL 6.17 S = S J } { 6.18 E = E J } { 6.19 A = T + max{ A, V} 6.20 U = Fn Mentras A 7. maespan = max 1.. M A 8. Retornar maespan, S [ 1, M ] Fn AlgortmoGRASP_Construccón Fgura 5: Algortmo GRASP Construccón.

8 Comentaros sobre el algortmo GRASP propuesto Líneas 1-5: ngreso de las varables e ncalzacón de las estructuras de datos necesaras para la nstanca de S trabajo: N, M, T, A, U, V, E, para cada máquna, α, θ, etc. Línea 6: al gual que en el algortmo voraz, el proceso acaba cuando en el conjunto E se encuentren todas las tareas (E conjunto de las tareas programadas) o Línea 6.1: se ncalza en vacío la lsta de tareas aptas C o Línea 6.2: se ncalzan las varables mejor y peor con las que se trabajarán los ntervalos de los crteros de relajacón. o Línea 6.4: se forma la lsta de tareas aptas C o Línea 6.5: se ncalza en vacío la lsta de mínmos locales B mn o Líneas : se actualza las entradas correspondentes de la lsta V; se forma la lsta B mn agregándole cada menor elemento de la lsta de tempos acumulados de cada tarea. o Líneas : se le asgnan los valores máxmos y mínmos de B mn a las varables peor y mejor respectvamente. o Línea 6.9: se ncalza en vacío la lsta RCL o Líneas : se forma la lsta RCL cuando se cumpla la condcón Mn p [ 1, M ]{ Tpl + max{ Ap, Vl }} [mejor, mejor + α* (peor-mejor)]; luego se escoge un elemento al azar de ésta lsta () o Líneas : se escoge el mínmo y el máxmo tempo de ejecucón para la tarea escogda en Se formará MCL a partr de las máqunas que ejecuten dcha tarea cumplendo la condcón: T + max{ A, V } [mejor, mejor + θ* (peor-mejor)]. Fnalmente tambén se escoge una máquna de forma aleatora () o Líneas : se actualzan las estructuras E, A, U y donde corresponda. Línea 7: se determna el maespan como la mayor entrada de A Línea 8: se devuelven los resultados de asgnacón hallados. S 5. EXPERIENCIAS NUMÉRICAS Las nstancas de prueba con las que se probó el algortmo están conformados por la cantdad de máqunas, tareas y por una matrz de tempos de ejecucón. Los valores que se manejarán serán los sguentes: Número de tareas N: en el ntervalo tomando como puntos de referenca los valores de 100, 150, 200, 250. Número de máqunas M: un máxmo de 50 máqunas tomando como puntos de referenca los valores de 12, 25, 37, 50 Matrz de tempos de proceso: se generará de forma aleatora con valores entre 1 y 100 undades de tempo. 1 En total tenemos 16 combnacones para las combnacones máqunas-tareas. De la msma forma, para cada combnacón se generarán 10 nstancas dstntas, lo que arroja un total de 160 problemas test realzados. Ante la no exstenca en la lteratura de nstancas de prueba predetermnados para el problema en cuestón, decdmos enfrentar los resultados con los que ofrecía un algortmo goloso o voraz [5], dseñado por los msmos autores. Igualmente se procedó a crear nstancas lo sufcentemente pequeñas (manejables) para probarlas y obtener su solucón exacta planteándolas como problemas de la programacón lneal, de la mano del modelo matemátco presentado en anterormente. Así pues, creamos nstancas que ban a ser resueltas por medo del programa LINDO [16], para obtener sus solucones exactas. Luego, compararíamos esas solucones exactas con los resultados arrojados por el algortmo propuesto. Las nstancas usadas para ser resueltas de forma exacta han tendo los sguentes tamaños (recuérdese que N es el número de tareas y M el número de máqunas): 1 : Notemos que un tempo de ejecucón muy alto (+ ) puede nterpretarse como que la máquna no ejecuta una tarea determnada. Usar en este caso un tempo de ejecucón gual a 0 podría confundrse como que la máquna ejecuta tan rápdo la tarea que se puede asumr que lo hace de forma nstantánea, sn ocupar tempo.

9 N M Tabla 1: Tamaños de las nstancas de prueba exacta Máqunas\ GOLOSO GRASP C EFICIENCIA Tareas Maespan Maespan α θ % 100 \ % 100 \ % 100 \ % 100 \ % 150 \ % 150 \ % 150 \ % 150 \ % 200 \ % 200 \ % 200 \ % 200 \ % 250 \ % 250 \ % 250 \ % 250 \ % Efcenca algortmo GRASP sobre el algortmo Goloso 5.48% Tabla 2: Efcenca entre algortmo GRASP y goloso para nstancas grandes Resultado del Algortmo Algortmo % % Matrz N M LINDO voraz GRASP Exacto/Voraz Exacto/GRASP a θ 6x3_ % 0.00% x3_ % 0.00% x3_ % 9.26% x3_ % 0.00% x3_ % 15.00% x3_ % 0.00% x3_ % 0.00% x3_ % 5.93% x3_ % 1.79% x3_ % 12.96% x3_ % 6.22% x3_ % 17.47% Dferenca 3.03% 5.72% Tabla 3: Efcenca de la solucón golosa para nstancas con N gual a 3

10 Resultado del Algortmo Algortmo % % Matrz N M LINDO voraz GRASP Exacto/Voraz Exacto/GRASP a θ 10x5_ % 0.00% x5_ % 0.00% x5_ % 0.81% x5_ % 14.39% x5_ % 5.10% x5_ % 6.80% x5_ % 10.00% x5_ % 9.85% x5_ % 0.64% x5_ % 3.41% x5_ % 12.01% x5_ % 3.65% Dferenca 2.31% 5.55% Tabla 4: Efcenca de la solucón golosa para nstancas con N gual a 5 6. CONCLUSIONES Los sstemas exstentes en el mercado que pueden ser consderados como planfcadores de tareas, no han aplcado técncas meta heurístcas sno más ben métodos exactos. No buscan la optmzacón del ordenamento de las tareas a ejecutar, sno más ben dan énfass a encontrar planes factbles de ser ejecutados. Tampoco exsten sstemas que planfquen una línea de produccón completa consderando entre otras cosas: el desplazamento de los productos, la ejecucón de las operacones, la dsposcón de la maqunara (layout) y de las facldades (nstalacones), potencales reduccones de los tempos muertos, etc. Este panorama le mprme un carácter novedoso a la nvestgacón realzada ya que, s ben en la actualdad las técncas GRASP son frecuentemente empleadas para la resolucón de dstntas clases de problemas, hasta ahora no se había planteado una GRASP para resolver el problema del tas schedulng para tareas dependentes ejecutadas en máqunas dferentes. Como parte de los nuevos planteamentos presentados en los algortmos, debemos centrarnos en: Un crtero de seleccón de la mejor tarea a programar Un crtero de seleccón de la mejor máquna a ejecutar la tarea selecconada con el crtero anteror. Ambos crteros se amoldaron al tpo de algortmo presentado: los crteros eran voraces en el caso del algortmo voraz (una seleccón nmodfcable); o eran adaptatvos y aleatoros como en el caso del algortmo GRASP. En la lteratura no exsten algortmos GRASP que consderen un doble crtero de relajamento al momento de hacer las seleccones correspondentes: las GRASP convenconales, solo formaban una lsta RCL de canddatas para las tareas a ser ejecutadas. Nuestro trabajo amplía esa vsón en el caso del algortmo GRASP, al proporconarle un componente adaptatvo y aleatoro a la seleccón de la mejor máquna ejecutora; lo que al fnal afectó a la efcenca del algortmo. El algortmo GRASP mejora el 100% de los casos al resultado del algortmo voraz para las nstancas de prueba sufcentemente elevadas (proporcón 4 a 1, 5 a 1). En nstancas pequeñas como mínmo lo guala al voraz o es superado en un bajísmo porcentaje. El porcentaje de mejora del algortmo GRASP frente al algortmo goloso es de 5% en promedo. El tempo de ejecucón de la fase de construccón GRASP se basa en la cantdad de teracones a realzarse: para las nstancas mayores (250 x 50) se trataron de realzar más de 1000 teracones, pero aparentemente la confguracón del hardware de prueba no lo permtó. Esto nos lleva a nferr que, con una confguracón de equpo más potente sí se podría pasar esta barrera. El tempo de CPU empleado no pasaba de los 3 mnutos lo que da un promedo tambén bajo en la duracón de la fase de construccón.

11 La etapa de mejoría GRASP, se lmtó a no más que un ntercambo de los valores encontrados en la etapa anteror de construccón. No brndó mejoras en nnguno de los casos, lo que nos conduce a pensar que la etapa de construccón es lo sufcentemente robusta, para requerr las permutacones que busquen mejorar su resultado. Es por eso que no se utlzó la mejora. Referencas [1]: Mller G., Galanter E. Plans and the Structure of Behavor, Edtoral Holt, New Yor-USA (1960) [2]: Drozdows M. Schedulng multprocessor tass an overvew, European Journal. Operaton Research 94 (1996) [3]: Campello R., Maculan N. Algortmos e Heurístcas Desenvolvmento e avalaçao de performance, Apolo Naconal Edtores, Brasl (1992). [4]: Pnedo M. Schedulng, Theory, Algorthms and Systems, Prentce Hall (1995 y 2002) [5]: Cormen T.; Leserson Ch.; Rvest R. Introducton to Algorthms (2da edcón), MIT Press, Edtoral McGraw Hll, Inglaterra, 2001 [6]: Rauch W. Aplcacones de la ntelgenca Artfcal en la actvdad empresaral, la cenca y la ndustra - tomo II. Edtoral Díaz de Santos, Madrd España pp. 685 (1989). [7]: Kumara P. Artfcal Intellgence: Manufacturng theory and practce. Edtoral NorthCross Insttute of ndustral Engneers, USA pp. 686 (1988). [8]: Blum A., Furst M. Fast Plannng through Plan-graph Analyss. Artcle of memores from 14th Internatonal Jont Conference on Artfcal Intellgence, pp Edcones Morgan- Kaufmann - USA (1995). [9]: Suárez R., Bautsta J., Mateo M. Secuencacón de tareas de ensamblado con recursos lmtados medante algortmos de exploracón de entornos, sol.upc.es/~suarez/pub.html Insttuto de Organzacón y Control de Sstemas Industrales Unversdad Poltécnca de Cataluña (1999). [10]: Feo T., Resende M., Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure Journal of Global Optmzaton, número 6, pp (1995). [11]: Bnato S., Hery W., Loewenstern D. y Resende M. A GRASP for Job Schedulng. Techncal Report N AT&T Labs Research ( ) [12]: Gonçalves J., Magalhäes J., Resende M. A Hbrd Genetc algorth for the Jos Shop Schedulng AT&T Labs Research Techncal Report TD-5EAL6J (2002). [13]: Davs L. Job shop schedulng wth genetc algorthms. Frst Internatonal Conference on Genetc Algorthms and ther Applcatons, pp Morgan Kaufmann USA, (1985). [14]: Brucer P., Jursch B. and Severs B. A branch and bound algorthm for the job-shop schedulng problem. Journal of Dscrete Appled Mathematcs, número 49, pp (1994). [15]: Tupa, M. Un algortmo Goloso Adaptatvo y Randómco para resolver el problema de la Programacón de Tareas ndependentes en máqunas homogéneas, Tess presentada para optar por el título de Ingenero Informátco, Pontfca Unversdad Católca del Perú (2001). [16]: Scharage L Optmzaton modelng wth LINDO. Duxbury Press. USA.

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