PROCEDIMIENTOS PARA LA LOCALIZACIÓN DE ÁREAS DE APORTACIÓN DE RESIDUOS URBANOS

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1 27 Congreso Naconal de Estadístca e Investgacón Operatva Lleda, 8-11 de abrl de 2003 PROCEDIMIENTOS PARA LA LOCALIZACIÓN DE ÁREAS DE APORTACIÓN DE RESIDUOS URBANOS J. Bautsta 1, J. Perera 2 1 Departamento de Organzacón de Empresas Unverstat Poltècnca de Catalunya E-mal: joaqun.bautsta@upc.es 2 Departamento de Organzacón de Empresas Unverstat Poltècnca de Catalunya E-mal: jorge.perera@upc.es RESUMEN La localzacón de un conjunto mínmo de áreas de aportacón de resduos urbanos puede verse, en algunos casos, como un problema de cubrmento, Set Coverng Problem, con funcón uncoste. El presente trabajo descrbe el dseño e mplementacón de dos metaheurístcas y un procedmento exacto para resolver el problema. Se analzan los resultados ofrecdos por los procedmentos dseñados medante una experenca computaconal consttuda por ejemplares reales. Palabras y frases clave: Localzacón, Set Coverng Problem, Algortmos Genétcos, GRASP. Clasfcacón AMS: 68R10, 90C27, 90C59, 90B85 1. Introduccón El dseño de un sstema para la recogda selectva de resduos urbanos plantea una sere de problemas para el planfcador de carácter estratégco, como qué tpo de sstema mplementar, ya sea recogda subterránea, medante el clásco camón-contenedor u otros; táctco, como dónde localzar las áreas de aportacón o ben las bocas de recogda pnuemátca; y operatvo, como el dseño de tneraros para la recogda. Cada uno de estos problemas pueden tomar dferentes formulacones dependendo del objetvo del planfcador, ya sea el reparto equtatvo de aquellos recursos lmtados dsponbles, o ben el dseño de un sstema que cumpla unas condcones de servco prevamente mpuestas, sendo estas consderacones prncpalmente de carácter estratégco. 2613

2 Este trabajo se centra en la localzacón de las áreas de aportacón, áreas a los que los usuaros deberán r a depostar los resduos en contenedores para las dferentes fraccones resduo, en que el objetvo es la localzacón de un número mínmo de áreas de aportacón dada una caldad de servco, representada como una dstanca máxma que el usuaro más perjudcado deba recorrer. En el apartado dos del presente trabajo, se muestra que, una vez dscretzado, el problema equvale al estudado problema de cubrmento de conjuntos, Set Coverng Problem. Posterormente, se analza la lteratura del problema y se detalla la mplementacón de un algortmo genétco y un algortmo basado en la metaheurístca GRASP para su resolucón, comparando los resultados obtendos con la cota ofrecda por el programa lneal relajado del problema en una pequeña experenca computaconal. 2. Dscretzacón del problema de localzacón de áreas de aportacón Consderese una representacón de de la cudad, o área de la cudad en que se pretende localzar, formada por un grafo G=(V,A). Este grafo representa las calles medante un conjunto de vértces, cruces de las calles, y un conjunto de arcos correspondentes a los tramos de calles exstentes entre estos vértces. Cada uno de los arcos tene una dstanca asocada gual a la longtud de la calle, una etqueta dentfcando la posbldad, o no, de localzar en este tramo, ya sea porque el vehículo que realza la recogda no puede crcular por este tramo, ya sea porque la calle no reúne las condcones necesaras para establecer un área de aportacón, y una poblacón asocada a este tramo, poblacón resdente en el tramo, que se supondrá, sn falta de generaldad, dstrbuda unformemente a través de él. Dada una longtud de cobertura L, longtud máxma que el usuaro más perjudcado del sstema deba recorrer para llegar a una localzacón, el objetvo consste en encontrar un conjunto mínmo de puntos en el grafo, ya sea en los vértces o puntos nterores de arcos, accesbles a la posteror recogda, tal que la dstanca máxma entre cualquer punto del grafo con poblacón asocada y el punto más lejano de la red sea gual o nferor a la longtud de cobertura. Este problema se conoce en la lteratura de localzacón en redes como el Problema de Cubrmento Contnuo Absoluto, aunque este caso presenta adconalmente restrccones adconales, arcos que no deben cubrrse o no es factble localzar en ellos. Para la resolucón del problema pueden utlzarse procedmentos basados en propedades geométrcas, procedmentos heurístcos constructvos, o ben recurrr a la dscretzacón del problema para su resolucón medante los más estudados modelos dscretos. En Tamr (1985) se muestra que, en caso que los arcos tengan una longtud entera, el problema es transformable en un problema de cubrmento de conjuntos dscreto medante la defncón de un conjunto fnto domnante donde sólo deben consderarse como posbles localzacones los vértces de la red y aquellos puntos nterores de los arcos stuados a una dstanca entera respecto a los vértces de su arco, sn pérdda de las propedades de optmaldad de las solucones. En caso que los arcos 2614

3 tengan una dstanca no entera, se puede redondear la dstanca de cada arco al entero por exceso sendo una solucón factble de este problema tambén una solucón para el problema orgnal, aunque no se pueda asegurar que el óptmo del problema dscreto tambén lo sea del orgnal. Esta últma aseveracón puede extenderse a una dscretzacón del problema en que no se consderen todas las posbles localzacones, por ejemplo sólo tener en cuenta aquellas localzacones a dstanca par del vértce nco del arco, medante el redondeo de la dstanca de los arcos, en el ejemplo anteror al prmer número par por exceso. El procedmento de dscretzacón debe obtener el número de localzacones que conforma el conjunto fnto domnante, n, el conjunto dscretzado de usuaros, m, así como los coefcentes, a j, que ndcan el cubrmento por parte de una un conjunto dscretzado de usuaros por parte de un una localzacón a través del Algortmo 1, propuesto por Tamr (1985). El procedmento consste en la asgnacón de una localzacón a cada vértce así como a cada punto nteror del arco a dstanca entera de los vértces, mentras que el conjunto dscretzado de usuaros a cubrr se stúa en los valores a dstanca entera más 0,5 meddas de dstanca de los vértces de los arcos. El cálculo de los coefcentes a j, se apoya en el cálculo del camno mínmo entre la posble localzacón y el conjunto dscretzado de usuaros a través de la red, sendo gual a 1 s esta dstanca es nferor a la dstanca de cobertura L, y 0 en caso contraro. El algortmo para la obtencón de estos valores se formalza a contnuacón: 1. Calcular n y m según expresones 2 y 3 2. Para todo, 1 m a. Para todo j, 1 j n. S la dstanca entre y j es nferor a L a j =1, s no a j =0 b. Fn Para 3. Fn Para Algortmo 1. Construccón de la matrz de coefcentes para la dscretzacón del problema de cubrmentos. En general, la cardnaldad del conjunto localzacones posbles para un arco, puede determnarse medante la sguente expresón: l n = -1 malla (1) dónde n representa el conjunto de posbles localzacones del tramo, l es la longtud del tramo y la malla representa el nvel de precsón que se desea de la solucón obtenda, aunque para el mantenmento de las propedades de optmaldad de la solucón este valor debe ser gual a 1, propuesta orgnal de Tamr. Aún así, este valor de malla resulta nteresante en los procedmentos heurístcos al poder relaconarse con 2615

4 el tamaño real del objeto a localzar al no tener sentdo localzar con una precsón superor al tamaño real del elemento localzado cuando el algortmo no asegura la optmaldad de las solucones. Cabe destacar que la resta de la fórmula anteror se debe a que no se consderan los dos vértces dentro del arco, sno como posbles emplazamentos de por sí. En caso de no añadr la elmnacón del últmo valor, el número de localzacones asocadas al arco contaría tambén con la localzacón del vértce fnal del arco. Para obtener el número de posbles emplazamentos, del problema bastará sumar el número de emplazamentos de cada arco más el conjunto de vértces del grafo: n = A j= 1 l j 1 + V (2) malla Dónde A representa el conjunto de arcos y V el conjunto de vértces del grafo asocado a la cudad. La determnacón del número de tramos dscretzados a cubrr, depende úncamente de cada uno de los arcos y su longtud tal como muestra la expresón 3: m = A l = 1 (3) Una vez dscretzado, el problema a resolver tene una formulacón matemátca equvalente al estudado Problema de Cubrmento de Conjuntos con una funcón de objetvo uncoste, ya que todas las posbles localzacones tenen el msmo coste asocado. Las expresones 4 muestran la formulacón matemátca de dcho modelo. MIN sujeto a : x n j= 1 n j= 1 j x a j j x j 1 = 1,..., m { 0,1} j = 1,..., n (4) dónde n es la cardnaldad del conjunto de posbles localzacones, m es la cardnaldad del conjunto dscreto de usuaros a cubrr, x j (j=1,...,n) es el conjunto de posbles localzacones y los coefcentes de la matrz A (formada por a j, con =1,..,m, j=1,...,n) ndcan s la localzacón x j cubre al conjunto dscreto de usuaros. Este programa matemátco, mostrado en las expresones 4, puede ser resuelto medante programacón lneal bnara. En la experenca computaconal se muestra el resultado obtendo por la relajacón ofrecda por el paquete CPLEX. 2616

5 Para asegurar el mantenmento de las restrccones adconales de localzacón, no localzar en aquellos tramos en que no hay posbldad de recoger los contenedores de la área de aportacón y no cubrr aquellos tramos sn usuaros, y no presentes en el procedmento orgnal, basta con aplcar un postproceso al algortmo 1 que elmne, las flas asocadas, al cubrmento de arcos sn usuaros, y columnas, que elmne aquellas localzacones dónde no es posble la localzacón, no sendo tampoco necesaras las varables asocadas. 3. Resolucón del problema de cubrmento de conjuntos El problema de cubrmento de conjuntos forma parte de la categoría de problemas NP- Completos, véase Garey y Johnson (1979), para el que se han propuesto dversos procedmentos exactos y heurístcos de resolucón. Entre los procedmentos exactos cabe destacar los propuestos por Fsher y Keda (1990) basado en una heurístca dual y capaz de resolver nstancas de hasta 200 flas y 2000 columnas y Beasley (1992), donde se combna una heurístca Lagrangana, cortes de Gomory y una estratega de ramfcacón mejorada sobre un trabajo anteror, Beasley (1990), para resolver problemas de hasta 200 flas y 4000 columnas tambén de forma exacta. Entre los procedmentos heurístcos, las heurístcas propuestas por Beasley (1990a) basada en la relajacón Lagrangana del modelo matemátco, el recocdo smulado de Jacobs y Brusco (1993) y el algortmo genétco de Beasley y Chu (1996) para el problema con funcón no-uncoste, conforman el estado del arte del procedmentos de resolucón del problema, sendo el algortmo genétco de Beasley y Chu el consderado como mejor algortmo de resolucón del problema en la actualdad. Entre aquellos trabajos dedcados úncamente al problema con funcón objetvo uncoste puede verse en Grossman y Wool (1997) donde se comparan los resultados ofrecdos por una red neuronal y las heurístcas aparecdas entre 1974 y 1993 para el problema, tanto uncoste como no uncoste de Johnson (1974), Garey y Johnson (1979), Hochbaum (1982) y Peleg, Schechtman y Wool (1993). Los algortmos propuestos en el presente trabajo para la resolucón del problema son una mplementacón de un algortmo GRASP, acrónmo de Greedy Randomzed Search Procedure, así como un algortmo genétco, GA, comparando la solucón ofrecda por estos procedmentos con la solucón relajada de los programas lneales A contnuacón se muestra una descrpcón de las bases fundaconales de ambos procedmentos metaheurístcos. Un algortmo genétco puede entenderse como un procedmento de búsqueda probablístca aplcable a problemas de optmzacón combnatora. Esta dea, orgnalmente desarrollada por Holland (1975), se basa en el paradgma bológco de la evolucón, entenddo como la mejora de la poblacón de acuerdo con la seleccón natural y la supervvenca del más fuerte. En este enfoque, aquellos ndvduos que 2617

6 están mejor adaptados al entorno tenen mayor probabldad de sobrevvr y reproducrse, mentras que aquellos ndvduos peor adaptados tenderán a desaparecer. Esta dea se generalza en las característcas de los ndvduos de la poblacón, genes, bajo el supuesto que los genes más adecuados se esparcrán por un número cada vez mayor de ndvduos de la poblacón en cada generacón, y que la combnacón de las característcas postvas de los ancestros más adaptados producrán descendentes aún mejor adaptados mejorando, en su conjunto, la espece ante el entorno. Un algortmo genétco smula estos procesos medante una poblacón ncal de solucones para el problema, la poblacón de ndvduos, y aplcando, de forma teratva, operadores genétcos en cada generacón. Utlzando los térmnos propos de optmzacón combnatora, cada solucón, ndvduo, de la poblacón codfca la nformacón de la solucón en un cromosoma, una rstra, que representa una solucón al problema. La adaptacón al entorno se mde medante el valor de la funcón objetvo de la solucón al problema, sendo aquellas solucones con mejores solucones, mejor adaptadas, las que más posbldades tenen de reproducrse y generar nuevas solucones ntercambando parte de su nformacón medante un procedmento de cruce con otras solucones de la poblacón. Este procedmento de genera nuevas solucones hjo que comparten certas característcas de ambos padres. Posterormente, se aplca un operador de mutacón a los hjos para alterar parte de la nformacón de los genes, añadr dversdad a la poblacón y evtar el estancamento prematuro de ésta durante el proceso. Los descendentes generados susttuyen toda, o una parte, de la poblacón, reptendo este cclo de evaluacón-seleccón-reproduccón hasta que se encuentra una solucón satsfactora. Para una explcacón más exhaustva de los algortmos genétcos véase Goldberg (1989). Los detalles de la mplementacón realzada de dcha metaheurístca se muestra en el apartado cuatro. Por otra parte, los algortmos GRASP, véase Resende y Rbero (1995), son procedmentos constructvos mult-nco que permten la generacón de múltples solucones para un problema. En cada teracón del algortmo se procede a una fase constructva en que se construye una solucón medante un procedmento comlón con una componente aleatora, y una fase de mejora local en que, partendo de la solucón dada por la fase anteror, se aplca un procedmento de mejora teratva hasta que se alcanza una solucón óptma local. Este procedmento ya ha sdo utlzado para la resolucón de problemas de satsfaccón máxma de restrccones (MAX-SAT), véase Resende, Ptsouls y Pardalos (2000), súper conjunto de problemas del que forma parte el problema de cubrmento de conjuntos. Los detalles de la mplementacón realzada se muestra en el apartado cnco. A lo largo del presente trabajo se realza un uso ndstnto del concepto de fla, restrccón y conjunto dscretzado de usuaros, y el de columna, varable y localzacón. Esta relacón es unívoca y se debe al modelo matemátco del problema, en que cada restrccón del modelo corresponde a un conjunto dscretzado de usuaros y a su vez se representa por una fla en el programa lneal bnaro, mentras que cada una de las varables del problema a resolver representa una columna del programa lneal bnaro 2618

7 orgnal. A su vez el térmno rstra y solucón son equvalentes, ya que una rstra bnara de longtud gual al número de varables de la nstanca representa una solucón factble (ó nfactble) para ésta. Durante el algortmo genétco se hace tambén uso ndstnto del térmno valor de la funcón objetvo y ftness, térmno heredado para tal concepto de la lteratura de algortmos genétcos. 4. Un Algortmo Genétco para el problema de cubrmento de conjuntos con funcón uncoste A contnuacón se muestra el esquema de un algortmo genétco básco para posterormente mostrar las modfcacones realzadas con el objetvo de dotar al algortmo de un certo conocmento sobre las característcas específcas del problema a resolver. 1. Generar una poblacón ncal 2. Evaluar la funcón objetvo de cada ndvduo de la poblacón 3. Repetr a. Selecconar parejas de padres de la poblacón b. Recombnar los padres para producr hjos c. Mutar los hjos generados d. Evaluar la funcón objetvo de los hjos e. Reemplazar toda o parte de la poblacón por los hjos 4. Hasta condcón de fnal Algortmo 2. Esquema de un algortmo genétco. Cada una de las partes del esquema mostrado en el algortmo 2 debe ser adaptado al problema a resolver, esto es qué método será utlzado para representar la poblacón, las técncas de seleccón de los padres para la reproduccón, los operadores de cruce, la mutacón empleada y, fnalmente, el modelo para la nsercón de los hjos en la poblacón. A contnuacón se descrben las propuestas realzadas para cada uno de estos elementos. 4.1 Representacón y funcón objetvo El prmer paso para defnr un algortmo genétco para un problema partcular consste en dervar una representacón válda para las solucones y una funcón de evaluacón ndcatva de la caldad de éstas. La representacón bnara es la eleccón más natural para el problema en tratamento, dado que las varables del problema son bnaras. Un valor de 1 en el -ésmo bt ndcará que la columna se encuentra en la solucón, equvalente a decr que se localzará un área de aportacón en el punto asocado al - ésmo bt, en caso contraro, un valor de 0, ndcaría que esta columna no se encuentra en la solucón. Con esta representacón el valor de la funcón objetvo puede calcularse como ndca la expresón

8 f = n = 1 x + m j= 1 restrccones _ voladas (5) ya que cada restrccón volada puede solventarse medante la nstalacón de una localzacón en alguna de las varables que cubren tal fla en caso que el problema tenga solucón. 4.2 Generacón de las solucones ncales La generacón de la poblacón ncal de solucones se realza, normalmente, medante un procedmento aleatoro que debe asegurar la sufcente dversdad entre las opcones de la solucón para que se explore todo el espaco de posbles solucones. Se han desarrollado dos de ellos. En el prmero se van selecconando, de forma aleatora, varables que cubren alguna fla no cuberta, mentras que en el segundo se asgna a cada varable x una probabldad que su valor sea gual a 1 e gual a 0 en caso contraro, tal como se descrbe en la expresón 6. p L = 2 X (6) Esta expresón ha sdo obtenda empírcamente tras dversas pruebas y la observacón del porcentaje de localzacones selecconadas respecto al tamaño del problema, obtenendo poblacones ncales que, en promedo, tenen más localzacones que la solucón óptma, permtendo una dstrbucón ncal de valores adecuada para el algortmo. Cabe notar que s ben el prmer método genera una solucón válda al problema, el segundo método no tene por qué crear solucones factbles, aunque el algortmo se encargará tambén durante el procedmento en convertr estas solucones en váldas medante los operadores del algortmo. 4.3 Técncas de seleccón de los padres La seleccón de los padres es la tarea encargada de asgnar probabldades de reproduccón a cada uno de los ndvduos de la poblacón. Exsten dversos métodos de seleccón usuales en la lteratura; entre ellos la seleccón proporconal, el escalado de la funcón objetvo y la seleccón por torneo. A contnuacón se explca las versones mplementadas de cada uno de ellos, así como la propuesta de Beasley y Chu (1996). La seleccón proporconal calcula las probabldades de que un ndvduo sea selecconado de forma proporconal a su valor de funcón objetvo. La probabldad que el ndvduo sea selecconado es: 2620

9 p = N 1 / f 1 1/ f (7) dónde f es el valor del -ésmo ndvduo de la poblacón y N es el tamaño de la poblacón. Como el objetvo del problema es mnmzar el valor de la funcón, la probabldad es nversamente proporconal al valor de la funcón objetvo. El escalado de la funcón objetvo usa la msma técnca excepto que mapea los valores de la funcón a una escala fja medante la asgnacón de un valor escalado. El objetvo del escalado es mantener la dferencacón de caldad entre los dferentes valores de funcón objetvo una vez el algortmo ha convergdo. Cuando esto sucede los valores de ftness asocados a las solucones son muy cercanos, y la posbldad que todos los elementos tengan probabldades cercanas para su eleccón es muy alta, concepto contraro a los prncpos de la metaheurístca. Con el fn de asegurar una seleccón que tenda a aquellas solucones de mayor caldad en la poblacón, se calcula un ftness escalado medante: s Vmax Vmn f = Vmax ( f fmn ) f f (8) max mn Dónde f y f s denotan el valor de la funcón objetvo y el valor de la funcón objetvo escalado, V max y V mn son constantes que ndcan el rango de dferencacón que se quere tener para los valores y f mn, f max el valor mínmo y máxmo de funcón objetvo entre los elementos de la poblacón. Posterormente se pasa a la seleccón medante un método proporconal según la sguente fórmula: p f s = N s f 1 (9) Fnalmente, la seleccón por torneo, Beasley y Chu (1996), se basa en la creacón de dos grupos de ndvduos, cada uno de ellos consstente en T ndvduos, obtendos al azar de la poblacón. El ndvduo de cada grupo con mejor valor de funcón objetvo es el escogdo para la reproduccón, permtendo determnar la presón selectva medante el parámetro T. Usando un valor mayor de T se ncrementa la presón selectva, ya aquellos elementos con peores valores de funcón objetvo tenderán a tener menos probabldades de ser el mejor de su grupo, mentras que valores pequeños de T permtrán una mayor dversdad de la poblacón. 4.4 Operador de cruce En un algortmo genétco tradconal, los operadores de cruce utlzados son el cruce por un punto y el cruce por dos puntos. Estos operadores se basan en la generacón de uno o 2621

10 más puntos de cruce e ntercambando la nformacón de los dos padres según estos puntos de cruce para la generacón de dos hjos. Formalmente el operador de cruce por un punto puede defnrse como: 0. Sea P 1, P 2 dos solucones padres formadas por P 1 [1],...,P 1 [n] y P 2 [1],...,P 2 [n], respectvamente. 1. Generar un punto de cruce k, 1 k n. 2. Las dos solucones hjo C 1 y C 2 serán: a. C 1 :=P 1 [1],,P 1 [k],p 2 [k+1],...,p 2 [n] b. C 2 :=P 2 [1],,P 2 [k],p 1 [k+1],...,p 1 [n] Algortmo 3 Operador de cruce por un punto El operador de cruce dos puntos es smlar al un punto excepto que genera dos puntos de corte en vez de uno. Formalmente el operador de cruce por dos puntos puede descrbrse medante el sguente algortmo: 0. Sea P 1, P 2 dos solucones padre formadas por P 1 [1],...,P 1 [n] y P 2 [1],...,P 2 [n], respectvamente. 1. Generar dos puntos de cruce k 1, k 2, 1 k 1 n, 1 k 2 n y k 1 <k Las dos solucones hjo C 1 y C 2 serán: a. C 1 :=P 1 [1],...,P 1 [k 1 ],P 2 [k 1 +1],...,P 2 [k 2 ],P 1 [k 2 +1],...,P 1 [n] b. C 2 :=P 2 [1],...,P 2 [k 1 ],P 1 [k 1 +1],...,P 1 [k 2 ],P 2 [k 2 +1],...,P 2 [n] Algortmo 4 Operador de cruce por dos puntos Además de estos operadores báscos utlzables en cualquer algortmo genétco cuya codfcacón sea bnara, Beasley y Chu (1996) presentan un procedmento de cruce modfcado en su mplementacón para resolver el problema que denomnan cruce generalzado basado en la funcón objetvo, generalsed ftness-based crossover operator, que tene en cuenta tanto la estructura de la solucón como el valor relatvo de la solucón en la funcón padre. El operador de cruce genera un únco hjo, al contraro que los operadores de cruce un punto y dos puntos, tal como se muestra en el algortmo Sea f p1 y f p2 el valor de la funcón objetvo del padre P 1 y el padre P 2 respectvamente. 1. Para todo =1,...,n: a. S P 1 []=P 2 [], entonces C[]:=P 1 []=P 2 [] b. S P1[] P2[], entonces. C[]:=P 1 [] con probabldad p=f p2 /(f p1 +f p2 ). C[]:=P 2 [] con probabldad 1-p. Algortmo 5. Operador de cruce generalzado basado en el objetvo 2622

11 Otra propuesta es un operador de cruce comlón, greedy. La propuesta del actual trabajo para el problema tratado es la generacón de dos hjos dferentes escogendo alternatvamente de cada padre aquellas columnas, localzacones, que más flas, tramos con poblacón asgnada, cubren respecto a la parte de la solucón ya construda. 0. Incalzacón: Sea PC 1 :=P 1 y PC 2 :=P 2 1. Mentras aún queden flas no cubertas a. Sea k 1 la columna de PC 1 que cubre más flas no cubertas de C 1 y k 2 la columna de PC 2 que cubre más flas no cubertas de C 2 b. C 1 [k 1 ]:=1; C 2 [k 2 ]:=1 c. PC 1 :=PC 2 y PC 2 :=PC 1 2. Fn Algortmo 6. Operador de cruce comlón para el problema de cubrmento de conjuntos con funcón uncoste. 4.5 Procedmentos de mutacón, operadores de factbldad y mejora local La tarea prncpal del operador de mutacón es permtr una certa cantdad de búsqueda aleatora por el espaco de solucones que, a su vez, permta mantener una certa proteccón contra la pérdda de nformacón genétca debda a la convergenca prematura medante la rentroduccón de ésta. Otro efecto deseado proporconado por la mutacón es la amplacón del espaco de búsqueda medante una doss de azar. Generalmente, la mutacón se aplca a cada hjo después del cruce medante la nversón de alguno de los bts de la solucón con una certa probabldad, denomnada tasa. Esta tasa de mutacón puede estar asocada a los hjos o a los bts que conforman una solucón y puede ser varable, generalmente aumentando la tasa según el algortmo converge hasta que llega a un nvel máxmo de mutacón, o ben fja durante todo el algortmo. Se han mplementado dos propuestas. La prmera, basada en una tasa de mutacón constante asocada a los hjos, decde con una probabldad fja, parámetro del algortmo, s uno de los bts escogdos al azar debe mutar o no. La segunda propuesta, utlzada por Beasley y Chu (1996), asgna un número de bts a mutar en cada hjo, nueva solucón, que se ncrementa durante la convergenca del algortmo. El número de bts a mutar en cada solucón se puede determnar medante: Bts = 1+ exp m ( 4m ( t m )/ m ) g f c f (10) dónde t es el número de solucones hjo que se han generado durante el algortmo, m f especfca la tasa de mutacón estable fnal, m c especfca el número de solucones con 2623

12 que se pretende llegar a la tasa de mutacón meda m f /2 se alcance y m g especfca el gradente cuando t=m c. Adconalmente a los operadores de mutacón, se pueden aplcar operadores adconales de mejora local de las solucones. S ben todas las solucones generadas por los operadores de cruce y mutacón no tenen por qué ser factbles, cada fla no cuberta en la solucón puede ser cuberta medante una columna de la solucón, sempre y cuando el problema sea factble, por tanto no es necesaro un operador de factbldad como en el algortmo de Beasley y Chu. Aún así, esta estmacón del valor de la funcón objetvo es pesmsta, sendo probable que se pueda mejorar la solucón generada por el procedmento medante un operador de factbldad semejante al propuesto por Beasley y Chu. Otro procedmento posble es un operador de mejora local tradconal que partendo de las solucones generadas lleve a la solucón hasta un óptmo local. El operador de factbldad heurístco pretende, por una parte, elmnar aquellas columnas de la solucón no necesaras, todas las flas que cubre esta columna ya se hayan cubertas por otras columnas, y añadr aquellas columnas necesaras para que todas las flas queden cubertas por al menos una columna. Este procedmento se realza en dos fases; durante la prmera se analzan aquellas columnas que deberían ser nsertadas en la solucón para que todas las flas estén cubertas y, en una segunda fase, se pasa a analzar todas aquellas columnas que forman parte de la solucón examnando s su elmnacón dejara alguna fla no fuera cuberta. Ambos procedmentos se detallan en el algortmo 7 y 8: 1. Para cada columna que no forma parte de la solucón a. S alguna de las flas que cubre la columna no está cuberta, nclur la columna en la solucón 2. Fn Para Algortmo 7. Procedmento de nsercón 1. Para cada columna que forma parte de la solucón a. S todas las flas que cubre la columna están cubertas por más de una columna, elmnar la columna de la solucón 2. Fn Para Algortmo 8. Procedmento de elmnacón: Como el procedmento depende en gran medda del orden en que las columnas son examnadas por el procedmento, se ha decddo que este orden no es sempre el msmo, sno que se realza de dos formas dferentes con un componente de azar. La prmera forma, que se realza en las llamadas mpares a este procedmento, escoge un punto al azar k, 1 k n, y comprueba las varables desde k+1 hasta n y de 1 hasta k. La segunda forma, que se realza en las llamadas pares a este procedmento, escoge 2624

13 tambén un punto al azar k como el anteror, pero comprueba las varables desde k hasta 1 y de n hasta k+1. El procedmento de mejora local propuesto realza un barrdo de todas las varables tratando de susttur dos columnas actualmente en la solucón por otra que no se halle actualmente en la solucón mantenendo la factbldad, todas las flas cubertas, de la solucón. El procedmento se descrbe formalmente a contnuacón. 1. Cambo:=1 2. Mentras Cambo=1 a. Cambo:=0 b. Para toda columna pertenecente a la solucón. Para toda columna j dferente de y pertenecente a la solucón 1. Para toda columna k no pertenecente a la solucón a. Elmnar,j de la solucón y añadr por k b. S la solucón es factble, mantener esta solucón; Cambo:=1, volver a 2.b c. Añadr,j en la solucón y elmnar k. 2. Fn Para. Fn Para c. Fn Para 3. Fn mentras Algortmo 3.9. Procedmento de mejora local: 4.6 Modelos de reemplazo de la poblacón Una vez se han construdo una o más solucones hjo, el hjo, o hjos, reemplazan uno o varos membros de la poblacón actva. Dos de los métodos de reemplazo más comunes son el reemplazo generaconal y el reemplazo rápdo, steady-state. En el prmer modelo de reemplazo, se genera un número de solucones gual al tamaño de la poblacón ncal y se susttuye completamente la poblacón por la poblacón de nuevos hjos. En el segundo modelo de reemplazo, se genera un número de solucones gual a un parámetro y se susttuyen estos hjos probablístcamente, o ben reemplazando a aquellos elementos de la poblacón orgnal más malos, procedmento eltsta. En este últmo procedmento en caso que el número de solucones generadas sea gual al tamaño de la poblacón, el procedmento equvaldría al reemplazo generaconal. En caso de realzar una susttucón probablístca en reemplazo rápdo, la probabldad que una solucón sea susttuda por uno de los hjos, depende del valor de la funcón objetvo escalado según la sguente expresón: f s = V mn V + f max max V f mn mn ( f f ) max (11) 2625

14 Dónde f y f s denotan el valor de la funcón objetvo y el valor de la funcón objetvo escalado, V max y V mn son constantes que ndcan el rango de dferencacón que se quere tener para los valores y f mn, f max el valor mínmo y máxmo de funcón objetvo entre los elementos de la poblacón. Posterormente se pasa a la seleccón del elemento a elmnar medante la eleccón de la solucón a elmnar con una probabldad según la sguente fórmula: p f s = N s f 1 (12) 4.7 Esquema general del algortmo Resumendo, el algortmo genétco mplementado se descrbe en el algortmo Generar una poblacón ncal de tamaño N medante uno de los dos procedmentos mostrados en la generacón de solucones ncales. 2. Selecconar un conjunto de parejas de padres NC de la poblacón medante una de las tres técncas de seleccón de padres 3. Combnar cada pareja de padres para generar nuevas solucones hjo usando uno de los cuatro procedmentos de cruce. 4. Aplcar uno de los dos operadores de mutacón a cada una de las nuevas solucones hjo generadas 5. Aplcar, o no, los operadores de factbldad de la solucón y de mejora local a cada solucón generada 6. Reemplazar cada solucón hjo por una solucón orgnal medante el operador de reemplazo 7. Repetr los pasos 2-6 hasta condcón de fnal, ya sea que se ha generado un número de solucones M o ben el algortmo haya convergdo completamente (toda la poblacón tene el msmo valor de funcón objetvo). Algortmo 10. Implementacón fnal del algortmo genétco 5. Una mplementacón de la metaheurístca GRASP para el problema de cubrmento de conjuntos con funcón uncoste La metaheurístca GRASP, greedy randomzed adaptve search procedure, es un procedmento para la resolucón de problemas de optmzacón combnatora. En general, un algortmo GRASP se compone por dos fases, en una prmera fase constructva, se genera una solucón medante una heurístca greedy aleatorezada, mentras que en una segunda fase se realza una mejora local teratva partendo de la 2626

15 solucón generada en la prmera fase, hasta que se encuentra una solucón localmente óptma. A contnuacón se descrbe la mplementacón realzada de ambas fases. 5.1 Fase constructva Un algortmo constructvo comlón construye una solucón elemento por elemento. En cada paso de la construccón, un conjunto C de elementos canddatos es dentfcado y se le asgna un valor de donedad que se utlza para selecconar uno de ellos para su ntroduccón en la solucón, sendo este valor de donedad el número de restrccones que la varable cubrría tenendo en cuenta la parte de la solucón construda. Una vez se ha realzado esto, se actualza el conjunto de canddatos y se recalcula el valor de donedad para volver a selecconar otro elemento hasta que la solucón construda sea una solucón válda para el problema. El procedmento constructvo se aleatorza no escogendo sempre aquel elemento cuyo valor de donedad sea el más alto sno que se escoge entre un subconjunto reducdo de elementos de élte. Las dos propuestas habtuales para construr este conjunto reducdo de canddatos son la nclusón en el conjunto reducdo de aquellos elementos a un porcentaje de desvacón del mejor valor de donedad o ben, la construccón del conjunto reducdo como un número fjo de los mejores valores de la funcón de donedad. El procedmento constructvo para el presente problema, corresponde al algortmo Hasta que todas las flas estén cubertas a. Determnar el conjunto C de elementos canddatos b. Asgnar un valor de donedad a cada elemento canddato c. Escoger un subconjunto de los elementos canddatos para contrur el conjunto restrngdo de elementos canddatos RC d. Escoger al azar un elemento del conjunto RC e nclurlo en la solucón e. Actualzar la lsta de flas cubertas 2. Fn 5.2 Fase de mejora local Algortmo 11: Descrpcón del procedmento constructvo Tanto el operador de factbldad como la mejora local mostradas para el algortmo genétco, algortmos 7 y 8, así como el algortmo 9, pueden ser utlzados como fase de mejora local del algortmo GRASP. 2627

16 6. Eleccón de las varantes y parámetros de los algortmos propuestos Debdo al gran número de combnacones dferentes de procedmentos dsponbles para los algortmos genétcos, así como de parámetros, se ha realzado una pequeña experenca computaconal para selecconar aquellos parámetros y combnacones de procedmentos, en prncpo, más prometedoras. En total se han escogdo 24 combnacones para los algortmos genétcos resultantes de utlzar como procedmento de generacón aleatoro o ben medante heurístcas, tres tpos de operadores de cruce, cruce por dos puntos, el cruce propuesto por Beasley y Chu (1996) o ben el procedmento de cruce constructvo, dos tpos de procedmentos de susttucón, eltsta o probablístca y dos valores para el número de cruces por teracón, un cruce o cnco. En todos los algortmos se ha aplcado el procedmento de mejora local resultante de la aplcacón de los algortmos 7 y 8 y la mutacón propuesta por Beasley y Chu (1996), con los valores de m f =10, m c =200 y m g =2, propuestos por los autores. Se ha utlzado como procedmento de seleccón para el cruce, el procedmento de seleccón con escalado de los valores de la funcón objetvo con valores V mn =1000 y V max = El tamaño de la poblacón se ha fjado en 150 solucones. Para el algortmo GRASP se han probado dos procedmentos para la creacón de la lsta de canddatos, uno basado en número y otro basado en porcentaje, y para cada uno de ellos dos parámetros de corte, gual a 10 y 25 en el caso de lmtar el número de canddatos, y 90% y 95% sobre el mejor valor de donedad en el caso de seleccón por porcentaje. 7. Experenca computaconal Para valdar los algortmos presentados y sus parámetros, se ha realzado una experencas computaconales con un juego de pruebas compuesto por dez nstancas del problema que se pretende resolver obtendas del sstema geográfco de nformacón del ayuntamento de Sant Bo del Llobregat. Estos problemas constan de un conjunto de arcos comprenddos entre 37 y 62 que se han resuelto con valor de malla 1 y dos dstancas de cobertura máxma (60 y 100 metros). Las nstancas se han dscretzado utlzando el algortmo 1. Cabe destacar que, a dferenca de las nstancas habtuales para los problemas de cubrmentos de conjuntos como las presentes en la OR-Lbrary, las nstancas de los problemas de localzacón de áreas de aportacón cuentan con un número de restrccones y de varables semejante, mentras que habtualmente el número de varables es superor al de restrccones. 2628

17 A contnuacón se muestra el número de flas, columnas, porcentaje de esparsdad del grafo, así como el valor de la cota ofrecda por el programa lneal para cada nstanca redondeada al entero por exceso y la mejor solucón obtenda por las dferentes confguracones de algortmos genétcos, y de los algortmos GRASP. Inst. Restr. Var. %esparsdad GA GRASP %esparsdad GA GRASP Cota (c=60) Cota (c=100) Tabla 1: Mejores solucones y característcas de las nstancas de la coleccón de problemas La dferenca máxma entre la solucón reportada y la peor solucón obtenda por una de las confguracones de los algortmos genétcos es de dos undades, aunque el número de teracones y tempo de ejecucón varía, sendo más rápdos aquellos con solucones ncales generadas de forma heurístca, procedmentos de cruce constructvo y un mayor número de solucones generadas por teracón del algortmo los que convergen en solucones de alta caldad de forma más rápda. Entre los algortmos GRASP, las solucones más favorables provenen de las confguracones con mayor número de canddatos, aunque no hay dferencas sgnfcatvas entre ambos procedmentos para defnr la lsta de canddatas. Referencas J.E. Beasley (1990a) A Lagrangean heurstc for set-coverng problems. Naval Research Logstcs Quaterly, 37: J.E. Beasley (1990b) OR-Lbrary: dstrbutng test problems by electronc mal. Journal of the Operatonal Research Socety, 41: J.E. Beasley y K.Jornsten.(1992) Enhancng an algorthm for set coverng problems. European Journal of Operatonal Research, 58: J.E. Beasley y P.C.Chu (1996). A genetc algorthm for the set coverng problem. European Journal of Operatonal Research, 94: D.E. Goldberg (1989) Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng. Addson-Wesley Pub. Co. 2629

18 T. Grossman y A. Wool (1997). Computatonal experence wth approxmaton algorthms for the set coverng problem. European Journal of Operatonal Research, 101(1): M.L. Fsher y P.Keda (1990). Optmal solutons of set coverng/parttonng problems usng dual heurstcs. Management Scence, 36: M.R.Garey y D.S.Johnson (1979) Computers and Intractablty: A Gude to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman and Co., San Francsco. J.H. Holland (1975) Adaptaton n Natural and Artfcal Systems. MIT press. D.S.Johnson (1974) Approxmaton algorthms for combnatoral problems. Journal of Computer System Scence, 9: L.W.Jacobs y M.J.Brusco (1993) A smulated annealng-based heurstc for the setcoverng problem. Workng paper, Operatons Management and Informaton Systems Department, Northern Illons Unversty, Dekalb, IL 60115, USA. D.Peleg, G.Schechtman y A.Wool (1993). Approxmatng bounded 0-1 nteger lnear programs. En Proceedng of the 2 nd Israel Symposum n Theory of Computng Systems , Netanya, Israel. M.G.C. Resende, L.S. Ptsouls y P.M. Pardalos (2000) Fortran subroutnes for computng aproxímate solutons of MAX-SAT problems usng GRASP. Dscrete Appled Mathematcs, 100: M.G.C.Resende y C.C.Rbero (1995). Greedy Randomzed Adaptve Search Procedures Journal of Global Optmzaton 6: Tamr A. (1985) A fnte algorthm for the contnuous p-center locaton problem on a graph, Mathematcal Programmng 31, pp