Un algoritmo exacto para la secuenciación de piezas en una máquina con tiempos de preparación dependientes de la secuencia

Transcripción

1 X Congreso de Ingenería de Organzacón Valenca, 7 y 8 de septembre de 2006 Un algortmo exacto para la secuencacón de pezas en una máquna con tempos de preparacón dependentes de la secuenca Imma Rbas Vla 1, Ramon Companys Pascual 1, Manel Mateo Doll 1 1 Dpto. de Organzacón de Empresas. Unversdad Poltécnca de Cataluña. Avda. Dagonal, 647, Barcelona. Imma.rbas@upc.edu, ramon.companys@upc.edu, manel.mateo@upc.edu Resumen Se consdera el problema de secuencar trabajos en una únca máquna con tempos de preparacón dependentes de la secuenca. Las pezas se agrupan en famlas y los tempos de preparacón están asocados a las famlas. El objetvo es mnmzar el retraso total. Se propone un algortmo exacto del tpo Bounded Dynamc Programmng (BDP) para su resolucón que, en general, requere la exploracón de un número menor de vértces que un procedmento del tpo branch and bound (o de programacón dnámca no acotada). Se defne un procedmento de acotacón análogo al utlzado para el problema equvalente sn tempos de preparacón. El procedmento mplementado se ha probado sobre un conjunto de ejemplares con dferente número de trabajos y famlas. Los resultados obtendos muestran que el algortmo es muy compettvo. Palabras clave: Secuencacón, Retraso total, Bounded Dynamc Programmng. 1. Introduccón Se propone un algortmo exacto del tpo Bounded Dynamc Programmng (BDP) para el problema de programacón de la produccón en un entorno productvo con una únca máquna y tempos de preparacón que dependen del tpo de trabajo (o famla), tanto de la que se desea fabrcar como la de la anteror. El objetvo buscado es la mnmzacón del retraso medo, o, en forma equvalente, la mnmzacón de la suma de los retrasos de las pezas. Este problema se conoce en la lteratura, sguendo la nomenclatura propuesta por Lawler et al (1993) como 1, T. S se adopta la clasfcacón propuesta por Allahverd et al (1999) para los s j k problemas con tempos de preparacón, esta comuncacón consdera el problema de secuencacón en una máquna con sequence-dependent batch setup tmes. 2. Defncón e hpótess del problema tratado En el nstante ncal, la únca máquna así como los n trabajos que deben ser procesados están dsponbles. Los trabajos o pezas pueden clasfcarse en q tpos o famlas dferentes, sendo q n. Cada trabajo debe recbr una operacón sn nterrupcón y la máquna sólo puede procesar un trabajo a la vez. Cada trabajo (=1,..,n) requere de un tempo de proceso p, tene una fecha de vencmento g ( ) 1,2,..., q. Denomnamos φ a la famla del últmo trabajo procesado por la máquna antes del nstante ncal (ncalmente la máquna está preparada para la famla φ). d, y pertenece a una famla g(), tal que { }

2 Sea sh, g ( ) el tempo de preparacón necesaro cuando se debe procesar en la máquna un trabajo de la famla g() después de uno de la famla h. La consderacón de tempos de preparacón por famlas no mplca una pérdda de generaldad ya que s fuera necesaro cada trabajo podría defnr su propa famla. Dada una secuenca de trabajos, para un trabajo se puede calcular el nstante en que termna su proceso c y su retraso T = max { 0, c d }. El objetvo es encontrar una secuenca que mnmce el retraso total (1). n T = 1 [ MIN ] Z = (1) 3. Acotacón Se ha desarrollado un procedmento de acotacón, dervado del procedmento utlzado en el problema 1 ΣT. La cota resulta de la relajacón de algunas de las condcones que se dan en la realdad, en partcular de los valores concretos, p, d y g(), de una peza. El cálculo de la cota desagrega la asocacón real y consdera unas pezas fctcas, globalmente con los msmos valores de p, d y g() pero asocados en ellas de la forma más favorable para evtar retrasos. En una prmera cota la agregacón fctca es totalmente lbre, y conduce a suponer que se realzan prmero pezas de una famla, lo que no exge tempo de preparacón y que, adconalmente, es la que contene más pezas. Se supone, además, que las pezas tenen los valores de p y d stuados en orden crecente. Los tempos de preparacón se tenen en cuenta en la forma tambén más favorable, sn consderar los necesaramente nulos. A esta cota se la llamará Cota Genérca b (1). Una cota más ajustada puede obtenerse, en general, analzando para cada famla la cota consderando que a dcha famla pertenece la prmera peza realzada, y adoptando como cota global la menor. Se calcula la cota para cada una de las q famlas. Para cada cota se consdera que se empeza programando un número de pezas fctcas gual al de la famla, preceddo del tempo de preparacón correspondente s la famla es dstnta del estado ncal de la máquna. Para el resto de pezas se sgue el msmo procedmento que en la Cota Genérca. Se obtene así q valores, b h, y se elegrá la menor entre ellas. b (2) = mn { b } h= 1,..., q Retenendo como cota defntva (3) h (2) b = max{b (1),b (2) } (3) 4. Grafo asocado al problema s ΣΤ 1, j La decsón de secuencar pezas en la máquna se puede representar medante un grafo G multcapa. Un vértce, v, en el grafo G queda defndo por la pareja (J, h), donde J es un subconjunto de n trabajos y h es la famla del últmo trabajo en J. Los vértces representan

3 todas las posbles combnacones (secuencas) que se pueden construr con los trabajos en J de forma que el últmo trabajo de la secuenca pertenezca a la famla h. Un arco desde el vértce u = (I, b) al vértce v = (J, h) exste s J = I {} con N I, sendo h la famla del trabajo, tal y como se muestra en la Fgura 1. Layer Λ Layer 2 Layer 1 (I, a), h=g( ) (J, h) (I, b), h=g() j, k=g(j) (J U{j}, k) Fgura 1. Detalle del grafo mult-capa G asocado al problema. Los vértces en el grafo se pueden organzar en n+1 nveles. Un vértce v = (J, h) pertenece al nvel J que corresponde con el número de elementos en J. En el nvel 0, hay un únco vértce α={, ϕ}; en el nvel n, hay, potencalmente, q vértces ω 1,, ω h,, ω q, donde ω h = (N, h). Un arco va desde un vértce del nvel j a un vértce del nvel j+1. Un camno desde α a ω h equvale a una secuenca de n trabajos, donde el últmo trabajo de la secuenca pertenece a la famla h. El objetvo es encontrar un camno desde α al vértce ω h en el nvel n, tal que el retraso total de la secuenca asocada sea mínmo. Asocado a cada vértce v, hay una o más de una evaluacón bdmensonal EV [ v] = { f ( v), τ ( v) }, sendo f(v) el retraso total de la secuenca de trabajos y τ(v) el nstante de fnalzacón del últmo trabajo de la secuenca. Cada camno desde α a v puede llevar a evaluacones dferentes EV[v]. Llamaremos capa a cada una de las evaluacones retendas en un vértce y Λ al número de capas de un vértce. Por lo tanto, las capas de un vértce v son v (1), v (2),, v (Λ). Sea v = (J, h) el vértce sguente nmedato del vértce u = (I, k). Las evaluacones de las capas en u son u (λ) = {f (λ) (u), τ (λ) (u)} para λ = 1, 2,, Λ, y cada capa λ del vértce u genera una capa en el vértce v (Fgura 1): τ (µ) (v) = τ (λ) (u) + s k,h + p con g()=h (4) f (µ) (v) = f (λ) (u) + max{τ (µ) (v) d, 0} (5) Algunas capas del vértce v pueden ser domnadas y, en consecuenca, elmnadas. Dadas dos capas dferentes de v, por ejemplo {f(v), τ(v)} y {f (v), τ (v)}, que se corresponden con dos camnos dferentes, la prmera domna a la segunda s f(v) f (v) y τ(v) τ (v). Las capas domnadas no se consderan y úncamente las capas Pareto-efcentes permanecen en el vértce (Fgura 2).

4 f x x x Evaluacón nefcente x Evaluacón efcente (Capa) τ Fgura 2. Evaluacón bdmensonal del vértce v Cada capa v (λ) tene, además de los dos térmnos utlzados en la evaluacón, los sguentes atrbutos: la cota del retraso de la prolongacón b(v (λ) ); la capa P(v (λ) ), desde la que es generada (padre); y la cota del retraso total del camno completo que va desde α hasta dcha capa f(v (λ) ) + b(v (λ) ). En este caso, la determnacón del camno mínmo se puede calcular a través de un algortmo smlar al de Held and Karp (1962) para el caso en que no hay tempos de preparacón. Puede consderarse que este algortmo utlza la ecuacón recurrente prototpo de la programacón dnámca (6): donde τ(v) = J f(j) = mn { max{τ(v) d, 0} + f(j {}) J} (6) p (ya que a v y J están unívocamente asocados). Las dferencas prncpales respecto a la stuacón afrontada por Held and Karp (1962) son dos: 1. Un vértce queda defndo por la pareja (J, h) y no úncamente por J. 2. La evaluacón no es undmensonal, f ( v) = f ( J), sno bdmensonal { f ( u), τ ( u) }, ya que τ queda defndo de forma ambgua dado J, y es necesaro evaluar los vértces sguentes nmedatos. Para el objetvo tendo en cuenta, nteresa el vértce que tenga la mejor evaluacón EV(v), por ejemplo el que tenga el mínmo retraso generado por los trabajos programados f(v) y el nstante de dsponbldad menor para ncar el resto de trabajos τ(v). Desafortunadamente, es posble que un vértce con el mínmo valor de f(v) no concda con el mínmo valor de τ(v), y, en consecuenca, se deben consderar el conjunto de evaluacones Pareto-efcentes denomnadas capa (Fgura 2). Los algortmos para encontrar el camno óptmo no requeren la construccón del grafo completo. Los vértces y sus capas asocadas se construyen nvel a nvel. Las domnancas se pueden aplcar en dos sentdos: para reducr el número de capas de un vértce o para reducr el

5 número de capas entre dferentes vértces. Para este últmo caso se puede tener en cuenta el Teorema 1. Teorema 1: Una capa v (λ) = {f (λ) (v), τ (λ) (v)} asocada a un vértce v = (J, h) domna una capa w (µ) = {f (µ) (w), τ (µ) (w)} asocada a un vértce w = (J, k) con h k s f (λ) (v) f (µ) (w) y τ (λ) (v) + s h,k τ (µ) (w). Una capa domnada, según este teorema, se puede elmnar. La demostracón es obva y smlar a la de Emmons (1969). No se puede alcanzar una solucón mejor que la obtenda desde v (λ) desde una capa domnada w (µ). Corolaro: Un vértce con todas las capas elmnadas se puede elmnar. S un vértce es elmnado no se consdera para extender camnos en el grafo G. Desafortunadamente, el número de vértces y capas actvas puede ser demasado grande para construr efcentemente el camno óptmo. Se puede formular un concepto más fuerte de domnancas utlzando las cotas, que es en lo que se basa el procedmento de la BDP. 5. Algortmo BDP progresvo Incalmente se fjan las tres característcas que requere el algortmo BDP: Solucón Incal, Cota Inferor y Ancho de Ventana. Las dos prmeras característcas pueden evtar la nspeccón de un número consderable de vértces que no llevan a buenas solucones. En cambo el Ancho de Ventana lmta el número de capas actvas a explorar. S se consderan todas las capas actvas a lo largo de la exploracón, un algortmo BDP lleva a la solucón óptma, pero un algortmo de este tpo tene una complejdad exponencal. Dado que el número de capas de un nvel puede ser mpractcable para el procedmento general de la BDP el algortmo mplementado permte explorar un número máxmo de capas por nvel. A esta lmtacón se la llama Ancho de ventana. S este tamaño de ventana no permte explorar todas las capas actvas, el procedmento actúa de forma heurístca. El procedmento de acotacón explcado en el apartado 4 permte construr una cota nferor b(v (λ) ) del retraso de las prolongacones desde la capa v (λ). Una prolongacón es la subsecuenca de los n J trabajos del subconjunto N J tomando τ (λ) (v) como nstante ncal. Prevamente se puede establecer que s z 0 es el retraso total de la solucón obtenda medante una heurístca, una capa tal que f (λ) (v) + b(v (λ) ) z 0 puede se elmnada Solucón ncal para la BDP Dado que la efcenca del algortmo está estrechamente relaconada con el número de vértces, una buena solucón ncal puede evtar nspecconar un número consderable de vértces. Un procedmento heurístco bueno y rápdo puede construr un camno desde α hasta ω, sendo z 0 su retraso. El procedmento heurístco utlzado en nuestra aplcacón ha sdo del tpo GRASP Cota nferor de una capa

6 Para calcular la cota nferor de una capa se calculan las cotas por famla consderando úncamente el conjunto de trabajos no programados J = N J y G el subgrafo de G cuyos vértces corresponden a las famlas de los trabajos en J. La famla del últmo trabajo en la secuenca de trabajos de la capa v (λ) del vértce v = (J,h) es h. Los valores P t y P' t se calculan cogendo τ (λ) (v) como nstante ncal Tamaño de ventana por nvel Sea W el tamaño de ventana. S el número de capas excede el valor W, sólo se guardan los mejores W canddatos. Este procedmento es usado de forma dnámca. Exste una lsta con W poscones que guardan las capas actvas. Una capa canddata úncamente entrará en la lsta, s ésta está llena, s puede susttur a la mejor capa guardada; peor y mejor se refere, normalmente, a la cota nferor global de la capa, pero esto no es oblgatoro. Guardar la mejor cota nferor global de las capas descartadas permte conocer la optmaldad de la solucón, a pesar de la smplfcacón. En caso contraro, permte conocer una cota nferor de la solucón óptma Estructura General de la BDP A contnuacón se descrbe el procedmento de la BDP progresva para el problema en estudo. Algortmo BDP Paso 0. Generar relacón de precedencas entre trabajos sguendo las reglas de domnanca. Calcular una solucón heurístca z 0 y calcular la cota b. nvel=0 Crea un vértce aberto α={, ϕ} Create una capa α (1) = { f = 0, τ = 0, b, P = _}. Contador_capas=1 Paso 1. Coger un vértce aberto. S no hay nnguno r al Paso 9. Paso 2. Coger un capa nexplorada. S no hay nnguna, r al Paso 8. Paso 3. Mentras J N, generar un nuevo canddato (a vértce y/o a capa) añadendo J N al subconjunto de trabajos J basándose en las reglas de domnanca. S no es posble, r al Paso 7. Paso 4. S no exste un vértce v con ( { }, g( ) ) J +, crear el vértce aberto v. Paso 5. Crear un canddato a capa (µ ) (µ ) v y calcular τ, (µ ) ( ) f, b µ ( v). s (λ ) v tal que f ( v) f ( v) ( ) = y τ λ > τ, o f ( v) > f ( v),

7 o Contador _ capas > W v nvel entonces µ replaza λ. max{ f ( v) } f ( v) >, S todas las capas de un vértce han sdo elmnadas, cerrar el vértce; Sno crear la capa Ir al Paso 3. ( ) ( ) Paso 6. S f µ ( v) + b µ z, o 0 (µ ) v ; Contador_capas= Contador_capas+1 (λ ) v tal que f ( v) f ( v) < y τ ( v) < τ ( v), o Contador _ capas > W v nvel max{ f ( v) } < f ( v), o (µ ) v es domnada por entonces descartar (ρ ) w según el Teorema 1, (µ ) v e r al Paso 3. Paso 7. S exste otra capa nexplorada, r al Paso 2. Paso 8. S exste otro vértce aberto, r al Paso 1. Paso 9. nvel=nvel +1. Contador_capas=0 Paso 10. S nvel < n, r al Paso 1. Paso 11. S nvel = n y no hay nngún vértce aberto, Solucon = z 0; ( ) sno Solucon = mn{ f λ ( v) } λ, v nvel. 6. Experenca Computaconal Se ha construdo una coleccón de ejemplares dvdda en 9 grupos de 20 ejemplares cada uno. Cada grupo es una combnacón de 15, 20 y 25 trabajos que pertenecen a 4, 5 y 6 famlas dferentes. El generador de ejemplares se basa en tres parámetros λ1, λ2, λ3 usados para calcular S max, d max y d mn, respectvamente. El tempo de proceso de los trabajos sgue una dstrbucón unforme entre [1,P max ], con P max =25; el tempo de preparacón está unformemente dstrbudo entre [1,S max ], donde S = λ P ; las fechas de vencmento sguen una max 1 dstrbucón unforme entre [d mn, d max ], con = λ fv, = λ fv y n n n = 1 j= 1 s j max d max 2 d mn 3 fv = p + para cada ejemplar. Una vez fjados n y q, se elge al azar, entre 1 y q, = 1 q la famla para la que está preparada la máquna y lo msmo se hace para fjar la famla de las dferentes trabajos. En este conjunto de ejemplares se han fjado los sguentes valores: λ 1 = 0,5, λ 2 = 1 y λ = 0, Una vez creado un ejemplar se aplca una heurístca senclla que permta descartarlo s su retraso es cero. Todos los test realzados se han hecho en un Pentum IV con 512 MB RAM y un procesador de 2.8 GHz. Las Tablas 1, 2 y 3 comparan, sobre un conjunto de ejemplares formados por 15, 20 y 25 trabajos respectvamente, la mejora conseguda por el algortmo BDP con una ventana de 100 capas () y con una ventana de 50 capas () por nvel. Las columnas

8 de estas tablas ndcan: en la columna No se encuentra el número de ejemplar; Mn ndca el retraso mínmo encontrado ndcando con un * que la solucón es óptma; GRASP, y, ndcan el porcentaje de desvacón respecto a la mejor solucón obtenda, calculada Alg Mn como x = * 100, donde Alg es la solucón conseguda por los algortmos y Mn es Mn el mínmo retraso obtendo. Los resultados ndcan que la BDP con obtene, en general, mejores resultados, pero cabe remarcar que en algunos ejemplares el mejor valor es obtendo por. Esto se puede deber a que al lmtar el número de capas por nvel se puede descartar camnos que llevan a buenas solucones. Tabla 1. Resultados para los ejemplares con n=15. Famlas=4 Famlas=5 Famlas=6 No Mn GRASP Mn GRASP Mn GRASP ,0 0,0 0,0 46 8,7 0,0 0, ,3 0,0 0, ,0 0,0 0,0 60 6,7 0,0 6,7 90 0,00 0,0 0, ,0 0,0 0, ,8 0,0 5, ,0 0,0 125, ,0 0,0 0, ,4 0,0 0, ,50 0,0 1, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 77 0,00 0,0 0, ,0 0,0 0,0 55 0,0 0,0 0, ,4 0,0 15, ,1 0,0 0, ,3 0,0 27, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 28 0,0 0,0 0,0 64 0,0 0,0 0, ,1 0,0 0, ,3 0,0 27, ,1 0,0 10, ,1 0,0 0, ,0 0,0 0,0 83 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 32 0,0 0,0 0,0 51 3,9 3,9 0, ,0 0,0 0,0 29 0,0 0,0 0,0 58 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,6 0,0 0, ,0 0,0 0,0 64 0,0 0,0 0,0 61 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 12 0,0 0,0 0,0 28 0,0 0,0 0, ,1 0,0 0,0 9 0,0 0,0 0,0 19 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 *12 0,0 0,0 0,0 20 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 35 2,9 0,0 2,9 53 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,4 0,0 1,5 36 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 45 0,0 0,0 0,0 5 20,0 0,0 0,0 Tabla 2. Resultados para los ejemplares con n=20. Famlas=4 Famlas=5 Famlas=6 No Mn GRASP Mn GRASP Mn GRASP ,1 0,0 8, ,4 0,0 29, ,9 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 26 0,0 0,0 0, ,0 0,0 300, ,0 0,0 0,0 89 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 50, ,0 0,0 0,0 26 0,0 0,0 0,0 77 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,9 0,0 0, ,1 0,0 1, ,0 0,0 0, ,8 0,0 1,1 21 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 82 0,0 0,0 0,0 75 1,3 1,3 0, ,0 0,0 0,0 50 0,0 0,0 0,0 76 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,7 0,0 4, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,1 0,0 19, ,6 1,1 0,0 24 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,2 0,0 22, ,9 0,0 38,9 80 0,0 0,0 0, ,0 0,0 4, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,2 0,0 4,7

9 ,0 0,0 0,0 77 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,4 0,0 7, ,0 0,0 100, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 55 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 42 2,9 0,0 0, ,0 0,0 0,0 Tabla 3. Resultados para los ejemplares con n=25. Famlas=4 Famlas=5 Famlas=6 No Mn GRASP Mn GRASP Mn GRASP ,0 0,0 0,0 61 0,0 0,0 0,0 62 8,1 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,7 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,5 0, ,0 0,0 0, ,3 0,0 26,3 18 0,0 0,0 0,0 85 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,1 0,0 4, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 40 0,0 0,0 0, ,7 0,0 0, ,3 0,0 3,8 40 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,5 0,0 7,6 73 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,5 7,8 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,5 0,0 6, ,9 0,0 0, ,8 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,3 0,0 30,3 72 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,2 0,0 79, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 21 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 25, ,0 0,0 0,0 81 0,0 0,0 0,0 81 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 82 0,0 0,0 0,0 Analzando separadamente los resultados para cada conjunto de ejemplares, se puede aprecar que la mejora que se consgue con crece a medda que crece el número de famlas. La Tabla 4 muestra el porcentaje medo de desvacón relatva para cada grupo de ejemplares. Cabe señalar que en el grupo con 25 trabajos, los ejemplares con 6 famlas rompen la tendenca, probablemente debdo al azar. Tabla 4. Porcentaje de Mejora meda respecto al retraso mínmo. Famlas =4 Famlas =5 Famlas =6 Trabajos GRASP GRASP GRASP Referencas Allahverd, A.; Gupta, J.N.D.; Aldowasan, T. (1999).A revew of schedulng research nvolvng setup consderatons. Omega, Internatonal Journal of Management Scence, Vol. 27, pp Bautsta, J.; Companys, R.; Coromnas, A. (1996). Heurstc and exact algorthms for solvng the Monden problem. European Journal of Operatonal Research. Vol. 88, pp Emmons H. (1969). One-machne sequencng to mnmze certan functons of job tardness. Operatons Research. Vol. 17, pp Held M., Karp RM. (1962). A dynamc programmng approach to sequencng problems. Journal of the Socety for Industral and Appled Mathematcs, Vol. 10, pp

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