UNA REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE EN OPTIMIZACIÓN.

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1 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. ISSN: Vol. 4, Núm. 1, Enero 007, pp. 5-3 UNA REVISIÓN DEL ESADO DEL ARE EN OPIMIZACIÓN. José A. Caballero 1 Ignaco E. Grossmann 1 Departamento de Ingenería Químca Unversdad de Alcante (España Departamento de Ingenería Químc Carnege Mellon Unverst. (EEUU Resumen: En este artículo se hace una revsón de las técncas de optmzacón más mportantes: programacón lneal no lneal con sn varables dscretas, así como de los algortmos dsponbles hasta la fecha para resolver dchos problema Además de los problemas cláscos se hace una etensón para nclur problemas planteados medante dsuncones relacones lógcas, optmzacón global determnsta estocástca, optmzacón en problemas sn estructura defnda una vsón global de los sstemas de modelado algebraco. Coprght 007 CEA-IFAC Palabras Clave: Optmzacón, LP, NLP, MINLP, MILP, Programacón dsuntva, Optmzacón global. 1. INRODUCCIÓN Ho en día, la optmzacón se ha convertdo en práctca habtual en las cencas, las ngenerías los negoco En estadístca son comunes térmnos como máma probabldad o mínmos cuadrados en el campo de los negocos es frecuente encontrar térmnos como mámo benefco, mínmo coste o aprovechamento óptmo de recursos. En físca se han enuncado dferentes prncpos óptmos en campos como la óptca o la mecánca clásca, etc. Aunque, muchos de los aspectos báscos de la optmzacón se desarrollaron en los sglos XVIII XIX con los trabaos de Lagrange o Euler el verdadero desarrollo de la Programacón Matemátca comenza con los trabaos de Kantorovch Dantzng en los años cuarent Sn embargo, no es hasta la revolucón nformátca de los años 70 cuando, apoados en el poder de cálculo de los ordenadores, la programacón matemátca comenza a ser una herramenta amplamente utlzada en muchas aplcacone De hecho ho en día esten una cantdad mportante de códgos que cada vez pueden resolver problemas mas grandes compleo Para una panorámca general de herramentas de optmzacón se recomenda que el lector consulte la pagna NEOS una vez haa leído este artículo: Se ntentará en este artículo dar una vsón general de los métodos más mportantes de optmzacón. Las prmeras seccones están dedcadas a una revsón general de los prncpales métodos para resolver problemas con varables contnua A contnuacón se revsan con algo más de detalle los métodos más mportantes para resolver problemas cuando aparecen varables dscreta Una de las grandes lmtacones de la programacón matemátca cuando aparecen ecuacones no lneales es que solamente se puede garantzar la optmaldad global cuando se cumplen certas condcones (funcón obetvo convea defnda sobre una regón factble restrcconestambén convea. Se ntroducrá por lo tanto un breve apartado dedcado a las técncas de optmzacón global. Para tratar con problemas sn una estructura especal (funcones dscontnuas, ecuacones donde no ha nformacón de las dervadas, restrccones defndas de forma mplícta a través de relacones de tpo caa negra entradasalda o problemas altamente no conveos se han desarrollado métodos de búsqueda drecta o metaheurístcos que, aunque no garantzan un óptmo global, tenden a apromarse a éste s el número de teracones es sufcentemente alto. Fnalmente se presentan los prncpales sstemas de modelado dsponbles ho en día que se han convertdo en una herramenta mprescndble para formular modelos compleo Los problemas de optmzacón se pueden, en prmer lugar, clasfcar en problemas que nvolucran solamente varables contnuas en problemas con varables contnuas dscretas (o solamente dscretas. Los prncpales problemas de optmzacón con varables contnuas ncluen la Programacón

2 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. 6 Una Revsón del Estado del Arte en Optmzacón Lneal (LP la Programacón no lneal (NLP. Una mportante subclase de la programacón lneal es el problema lneal complementaro (LCP subproblemas mportantes de programacón no lneal ncluen la programacón cuadrátca (QP. En el caso de programacón no lneal ha dos dstncones mportantes a tener en cuent La prmera es s el problema no lneal es conveo la segunda es s el problema es dferencable (Begler Grossmann, 004. S el problema nclue varables dscretas se puede nuevamente dstngur entre problemas lneales con varables enteras (MILP problemas no lneales con varables enteras (MINLP ambas sglas del ngles Med Integer (nonlnear Programmng. Cabe señalar que para el caso en el que el problema contenga ecuacones dferencales/algebracas estas se pueden dscretzar por varos métodos (por eemplo colocacón ortogonal lo que da lugar a su vez a problemas NLP o MINLP. El caso más general de problema de programacón matemátca podría pues escrbrse como: mn : z f (, h(, 0, 0 X 0,1 m n (1 Donde f representa una funcón obetvo escalar, h g son restrccones del problema en forma de gualdades desgualdades, las varables son varables contnuas las varables son varables bnaras (en general las varables podrían tomar cualquer conunto de valores dscretos, pero restrngrlas a solamente varables bnaras no quta generaldad al problema será el crtero que seguremos de aquí en adelante.. PROGRAMACIÓN LINEAL S tanto la funcón obetvo como las restrccones son lneales entonces el problema tene la estructura sguente: mn : z c A b 0 ( El método estándar para resolver un problema lneal es el método smple, desarrollado por Dantzng en los años cuarent Vèase (Dantzng, Las meoras posterores en la mplementacón práctca del método smple unto con el desarrollo de los ordenadores ha hecho que ho en día se puedan resolver de forma cotdana problemas de más de 10 5 restrccones un mllón de varable Se ha observado que el número de teracones requerdas para resolver un LP utlzando el método smple es habtualmente un múltplo pequeño del número de restrccones del problem Sn embargo, es posble plantear problemas donde sea necesaro eamnar todas las base Así en un problema con n varables m restrccones, el número de teracones en el peor caso sería de m n, por eemplo un problema con 100 varables 50 restrccones un problema que podemos consderar ho en día pequeño- en un hpotétco ordenador capaz de llevar a cabo un bllón (10 1 de teracones del smple por segundo tardaría unos años en resolver el problem Aunque este comportamento se observa en rarísmas ocasones, estía un nterés tanto teórco como práctco en desarrollar un algortmo para resolver los problemas de programacón lneal en tempo polnomal. En 1984 se presentó un algortmo de punto nteror con esta propedad (Karmarar, Con los métodos de punto nteror se pueden resolver problemas de más de 10 5 varables 10 5 restrccones utlzando entre 0 40 teracones ndependentemente del tamaño del problem Dado que los métodos de programacón lneal son amplamente conocdos, en partcular el método smple, no se hará más énfass en ellos 3. PROGRAMACIÓN NO LINEAL Un problema de programacón no lneal (NLP toma la sguente forma: mn: f ( h( 0 0 X n (3 Dentro de los algortmos para resolver NLPs aquellos que requeren un menor número de evaluacones de la funcón obetvo son los basados en la programacón cuadrátca sucesva (SQP successve quadratc programmng- (Han, 1976; Powell, 1978; Bnder et al., 001; Begler Grossmann, 004 que ha dado lugar a una sere de algortmos que se adaptan mu ben a un gran número de problemas con dferentes estructura La SQP se basa en aplcar el método de Newton a las condcones de optmaldad de Karush Khun-ucer (KK del problema (3, que venen dadas por las sguentes ecuacones: 1 Aunque en castellano para programacón lneal programacón no lneal, en ocasones se utlzan las sglas PL PNL, para los casos donde aparecen varables bnaras los problemas MILP, MINLP las sglas en ngles se han convertdo en estándar por lo que se ha decdo, para mantener una certa coherenca, utlzar las correspondentes sglas en nglés durante todo el artículo.

3 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. J. A. Caballero, I. E. Grossmann 7 f ( h ( g ( 0 S Me 0 ( s, 0 h ( s 0 ( c1 ( c 0 (4 Donde e = [1,1,1,, 1], es el vector de multplcadores de Lagrange asocado a las restrccones de gualdad el vector de multplcadores de Lagrange de las desgualdade S = dag{s}; M = dag{ }. Las condcones de complementardad ecuacones (c1 (c del problema (4- presentan una mportante dfcultad cuando se resuelve el conunto de ecuacones asocado a las condcones de KK: Cerca de la solucón las ecuacones (c1 los límtes actvos (c son dependentes por lo tanto forman un sstema de ecuacones mal condconado. Los algortmos basados en SQP soluconan este problema de dos formas dferentes: utlzando un método de conunto actvo o utlzando funcones de barrer En los métodos de conunto actvo en cada teracón se debe decdr qué subconunto de restrccones son actvas, I { g ( 0}. En la ecuacón (4.c1 se oblga a que 0 I 0 I. La determnacón del conunto actvo es un problema de carácter combnatoro. Sn embargo, una forma relatvamente senclla de determnar el conunto actvo en un punto, consste en resolver el sguente problema cuadrátco. (Un problema cuadrátco es un problema con funcón obetvo cuadrátca restrccones lneales, se puede resolver de forma mu efcente utlzando técncas de programacón lneal, a que el problema cuadrátco se puede convertr en un problema lneal complementaro: 1 mn f ( d d L( h( h( d 0 d s 0 s,, d s 0 (5 Las condcones de optmaldad de KK para el problema (5 venen dadas por: f ( h S M e 0 ( s, 0 W ( h(,, d h( d 0 d s 0 0 (6 Donde W (,, f ( h( es la matrz Hessana de la funcón de Lagrange. Es fácl comprobar que las tres prmeras ecuacones en (6 corresponden a lnealzacones de las ecuacones en (5. La solucón del problema combnatoro de elegr el conunto actvo vene dada por la solucón de problema cuadrátco (6. Detalles de este procedmento se pueden encontrar en (Fletcher, 1987; Nocedal Wrght, 1999 Para evtar el problema combnatoro de selecconar el conunto actvo, los métodos de barrera modfcan el NLP de la sguente manera: mn f ( h( 0 s 0 Ln ( s (7 s 0 Donde la solucón de este problema toma un s 0 para el parámetro 0. Las condcones de KK del problema (7 se pueden escrbr como: f ( h ( 0 h ( 0 g ( s 0 S Me e (8 Para valores de 0, s 0 0 las teracones del método de Newton generadas al resolver el problema (8 están ben condconada S además W es defnda postva en la proeccón sobre el espaco nulo de h (, el paso de Newton se puede escrbr en forma del sguente subproblema cuadrátco: 1 mn : f ( d d W (,, d ( S e s s ( S s (9 h( h( d 0 d s s 0 Las condcones de complementardad en el problema (9 han sdo reemplazadas por penalzacones en la funcón obetvo por lo tanto el carácter combnatoral del problema desaparece. Los métodos de barrera necestan más teracones para resolver el problema (7 para dferentes valores del parámetro de penalzacón (. Los métodos de conunto actvo por su parte, llevan a cabo la solucón de subproblemas cuadrátcos mas costoso Así pues, en aquellos problemas donde ha un número pequeño de desgualdades los métodos de conunto actvo suelen dar meores resultado Sn embargo, en problemas con muchas desgualdades los métodos de barrera suelen funconar meor. Esto es especalmente certo en los problemas de gran escala donde el número de límtes actvos suele ser grande. Por eemplo, una mplementacón efcente de los

4 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. 8 Una Revsón del Estado del Arte en Optmzacón métodos de barrera en el códgo IPOP ha permtdo la solucón de problemas con más de 10 6 varables 4500 grados de lbertad (Wächter, 00. Para meorar la convergenca desde puntos relatvamente aleados de la solucón se han utlzado, tanto en los métodos de conunto actvo como en los de punto nteror, dos estrategas dferentes: búsqueda undrecconal o el método de la regón de confabldad. En éste últmo caso a los problemas cuadrátcos se les añade la restrccón d. De tal 1 forma que el paso d se lleva a cabo sólo s se produce una reduccón sufcente de una funcón de mérto (suma ponderada de la funcón obetvo alguna medda de la volacón de las restrccones del problema. Dos funcones de mérto habtuales en SQP son la Lagrangana aumentada (LA la penalzacón eacta (PE (,, (,, f ( h( f ( h( h( h( ( LA ( PE (10 El tamaño de la regón de confabldad se actualza dependendo del valor de la funcón de mérto en cada teracón (Nocedal Wrght, El códgo KNIRO (Brd et al, 1997 utlza un método de regón de confabldad. Estos métodos son especalmente adecuados para NLPs mal condconado Por su parte la búsqueda undrecconal es más efcente en problemas con subproblemas cuadrátcos ben condconados puntos ncales razonable En estos casos el paso resultante de resolver el problema cuadrátco se modfca de tal manera que: 1 ' d con 0,1. El valor de se elge de tal forma que se produzca un descenso sufcente en la funcón de mérto. Recentemente ha aparecdo una alternatva basada en una mnmzacón de la funcón obetvo de la factbldad de las restrccones como obetvos en competenc Este tpo de búsqueda undrecconal se conoce como fltro tambén es aplcable a los métodos de regón de confabldad (Fletcher et al, 00; Wätcher Begler, 00 Fnalmente remarcar que para que los subproblemas cuadrátcos tengan solucón únca es necesaro que la matrz Hessana de la Lagrangana sea de rango completo defnda postva cuando se proecta en el espaco nulo de los gradentes de las restrccones actva Estas propedades podrían no cumplrse en puntos leos de la solucón en problemas que no satsfacen las condcones de optmaldad de segundo orden. En estos casos se pueden utlzar apromacones de la Hessana reducda (como la BFGS. Véase, por eemplo, (Fletcher, Además de los métodos basados en programacón cuadrátca sucesva se han desarrollado otros métodos mu robustos para problemas a gran escal Aunque en general estos métodos necestan un maor número de evaluacones de la funcón obetvo de las restrccones que los métodos basados en SQP, su robustez en un buen número de problemas el hecho de que han sdo mplementados en plataformas de modelado mu populares como GAMS o AMPL han contrbudo a su dfusón. odos estos métodos se basan tambén en la aplcacón del método de Newton a una parte de las condcones de KK (Begler Grossmann, 004. LANCELO (Conn et al., 000 utlza una Lagrangana aumentada, de forma que en cada teracón resuelve el sguente problema: mn : f ( h( ( s 1 h( s 0 s (11 El problema (11 se puede resolver de forma mu efcente para valores fos de de los multplcadores, del parámetro de penalzacón. Una vez que se resuelve el problema (11 los multplcadores el parámetro de penalzacón se actualzan en un bucle eterno. El procedmento se repte hasta que se satsfacen las condcones de KK. En MINOS (Murtagh Saunders, 1987, en contraste con el SQP, el subproblema cuadrátco se reemplaza por un NLP con restrccones lneales una Lagrangana aumentada en la funcón obetvo no lneal: 1 mn f ( h( ( s h(, s t. h( h( d 0 d s 0 s 0 (1 En cada teracón MINOS seleccona una base trabaa en el espaco reducdo de varables de decsón. Después de elmnar las varables dependentes las varables en alguno de sus límtes se aplca un método quas-newton al problema sn restrccones resultante. La descomposcón está hecha de tal manera que en el caso de que el problema sea lneal MINOS se converte en el método smple. En el punto solucón de este subproblema se vuelve a lnealzar el cclo se repte hasta que se cumplen las condcones de optmaldad. MINOS es etremadamente efcente en problemas donde la maor parte de las restrccones son lneale Fnalmente los métodos de gradente reducdo generalzado (GRG, CONOP, SOLVER consderan el msmo subproblema que MINOS, pero elmnando los térmnos debdos a la Lagrangana

5 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. J. A. Caballero, I. E. Grossmann 9 aumentada (la funcón obetvo se reduce a f(. En cada teracón, ntroducen una etapa de restauracón de la factbldad asegurando así que el problema es factble en todo momento mentras se acerca a la solucón. Aunque en general utlzan más evaluacones de funcón obetvo restrccones que MINOS suelen ser mucho más robustos en problemas con restrccones no lneale De entre todos los métodos que utlzan dervadas los métodos de gradente reducdo son los más populare En partcular el códgo SOLVER se ha ncludo dentro del paquete MS Ecel alcanzando un uso amplamente generalzado. 4. PROGRAMACIÓN LINEAL MIXA (MILP Un MILP se puede escrbr de forma general como: mn : c d a A B b 0,1 m X n (13 Los métodos para resolver MILPs (Nemhauser Wolse, 1988 están fundamentalmente basados en los métodos de ramfcacón acotamento (BB del Inglés Branch and Bound sus varantes, donde cada subproblema lneal se resuelve utlzando el método smple (Dann, Este método consste en una enumeracón en árbol en el cual el espaco de varables enteras se dvde de forma sucesva dando lugar a subproblemas lneales que se resuelven en cada nodo del árbol. En el nodo ncal las varables enteras se relaan como varables contnuas, de tal forma que se les permte tomar valores fracconaro S la solucón de este problema produce de forma natural una solucón en la cual todas las varables toman valores enteros se habría alcanzado la solucón. Sn embargo, esto sólo ocurre en un número mu reducdo de casos (por eemplo en los problemas de asgnacón lo normal es que algunas de las varables tomen valores fracconaro En cualquer caso, este nodo ncal produce una cota nferor global al óptmo del problem De entre las varables que han tomado valores fracconaros se debe selecconar una de ellas para ramfcar de acuerdo a una sere de reglas predetermnadas (coste reducdo, parte decmal más cercana a 0.5, etc. Una vez que se ha elegdo una varable para far se resuelve el nuevo problema LP con la varable seleccona f Cuando se aplca el método smple la solucón de este LP se puede actualzar de forma mu efcente a partr del resultado de su nodo antecesor. Esta propedad no la comparten los algortmos de punto nteror, por lo que en los métodos para resolver MILPs los algortmos de punto nteror práctcamente no se utlzan. El procedmento contnua ramfcando nodos abertos (nodos en los que se ha obtendo una solucón factble con alguna varable no entera. Para la eleccón del nodo a ramfcar se utlzan reglas heurístcas (búsqueda en profunddad, búsqueda en anchura, etc. Es mportante remarcar que un nodo cualquera es una cota nferor para todos los nodos posterores generados a partr de éste, es decr, a medda que descendemos por las ramas del árbol la funcón obetvo de los nodos va crecendo de forma monóton Cuando en un nodo se obtene una solucón entera, ésta es un límte superor a la solucón óptma del problema, de tal forma que todas las ramas abertas con valor superor de la funcón obetvo no necestan evaluarse (acotamento. La enumeracón contnúa hasta que la dferenca entre las cotas nferor superor están dentro de una toleranca o ben no esten ramas aberta En el peor de los casos, el algortmo básco de ramfcacón acotamento termna con la enumeracón de todos los nodos del árbol. Dos desarrollos mportantes han contrbudo a mtgar el crecmento eponencal en la solucón de MILPs: El desarrollo de técncas de pre-procesamento la ntroduccón de planos de corte. El preprocesamento se basa en la utlzacón de técncas de elmnacón automátca de varables restrccones, reduccón de límtes, reformulacón de restrccones far a pror algunas varables entera Los planos de corte son restrccones etra añaddas al problema, ben en el nodo ncal o dentro de la enumeracón, que tenen el efecto de reducr la regón factble del problema sn comprometer nnguna de las solucones enteras del msmo. Los últmos desarrollos en MILP ncluen los métodos de ramfcacón preco (Barnhart et al, 1998 ramfcacón corte (Balas et al, Una revsón recente de los métodos de optmzacón se puede encontrar en (Johnson et al., 000. Los prncpales códgos para resolver MILPs están desarrollados sobre programas orgnalmente dedcados a problemas lneale Quzás los que meores resultados ofrecen ho en día son CPLEX (ILOG, 000, XPRESS (Ashford Danel, 1995 OSL (Mng et al, Aunque es posble que debdo a la naturaleza combnatora de los problemas MILP, en algún caso el tempo de cálculo para resolver algún problema sea grande, es mportante señalar que estos códgos han epermentado meoras mpresonantes en sus capacdades en los últmos años debdo a una combnacón en el uso de planos de corte (por eemplo cortes de Gomor, meoras de preprocesado aumento en la velocdad de cálculo de los ordenadores (Bb et al, PROGRAMACIÓN NO LINEAL CON VARIABLES ENERAS Y CONINUAS (MINLP Los prncpales métodos para resolver MINLPs son: 1. Ramfcacón acotamento (Borchers Mchell, 1994; Gupta Ravndran, 1985; Lefer 001; Stubbs Mehrotra, 1999 que no son más que una etensón drecta de los métodos de ramfcacón acotamento

6 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. 10 Una Revsón del Estado del Arte en Optmzacón empleados para resolver MILPs, con la dferenca de que en cada nodo se debe resolver un NLP la resolucón del los dferentes NLPs partendo de su nmedato antecesor no es tan efcente como cuando se resuelve un problema lneal.. Métodos de descomposcón que teran entre dos subproblema El prmero es un NLP con valores fos de las varables bnaras por lo tanto es una cota superor a la solucón optma del problema un problema Maestro que suele ser un MILP- que es una cota nferor a la solucón óptma del problem Los métodos más mportantes son la descomposcón de Benders Generalzada (Geofron, 197 el método de las apromacones eterores (Duran Grossmann, 1986; Fletcher Lefer, 1994; Yuan et al, LP-NLP basado en ramfcacón acotamento (Quesada Grossmann 199, es una stuacón ntermeda entre los métodos de ramfcacón acotamento los métodos de descomposcón. En este caso en lugar de resolver el problema Maestro hasta optmaldad, tan pronto como se encuentra una solucón entera se resuelve un NLP se actualzan todos los nodos abertos del árbol de búsqued 4. Plano de corte etenddo (Westerlund Pettersson, 1995 es una varacón que no requere la solucón de NLPs Los métodos anterores tenen en común que están basados en resolver una sere de subproblemas obtendos a partr de la formulacón general del problem Se presentarán a contnuacón cada uno de estos sub-problemas verá luego como la combnacón de éstos da lugar a los dstntos métodos para resolver MINLP Un MINLP se puede formular de forma general como mn : z f (, g (, 0 X 0,1 m n J (P1 Donde se asume que f( son conveas dferencables, X esta dado por el conunto conveo L U X, A b J es un índce de desgualdade 5.1 Subproblemas NLP Ha tres sub-problemas báscos que se pueden consderar para el problema (P1: a NLP-Relaado (NLP1 mn : Z f (, LB g (, 0 X, Y R I I FL FU J (NLP1 donde Y R es la relaacón contnua del conunto Y; I FL, I FU son subconuntos de índces de las varables enteras, que están restrngdas por límtes superores e nferores,, en el paso -ésmo de un procedmento de enumeracón en ramfcacón acotamento. Se debe señalar que l m,, l, m donde l m, son los valores no enteros de una etapa preva, que, son los operadores de redondeo por defecto por eceso, respectvamente. Señalar tambén que s I FL I FU, (=0, el problema (NLP1 corresponde a la relaacón contnua del problema (P1. Ecepto para un pequeño número de casos especales, la solucón de este problema produce, en general, un vector no entero de varables dscreta El problema (NLP1 tambén corresponde al -ésmo paso en una búsqueda por ramfcacón acotamento. El valor óptmo del obetvo del problema NLP1, Z 0 LB proporcona un límte nferor absoluto al valor óptmo del obetvo del problema (P1 para cualquer m, el límte es sólo váldo s I FL I, I I. m FL FU m FU b Sub-problema NLP para un valor fo de. (NLP mn : Z U g (, 0 f (, J (NLP X Cuando el problema NLP tene una solucón factble el valor de Z U es una cota superor a la solucón óptma del problema (P1. O dcho de otra manera, s el problema NLP tene solucón factble, corresponde a una posble solucón del problema P1, es por lo tanto una cota superor al msmo. En el caso de que el problema NLP fuera no-factble deberíamos consdera el sguente sub-problema: c Problema de factbldad para un valor fo de. (NLPF mn : u g (, u J (NLPF X, u El problema NLPF se puede nterpretar como la mnmzacón de la norma nfnto correspondente a la no-factbldad del sub-problema (NLP. Para un (NLP no-factble la solucón del problema (NLPF da un valor de u estrctamente postvo. 5.. Planos de corte MILP La convedad de las funcones no lneales se puede eplotar reemplazándolas con hperplanos soporte que se obtenen generalmente, aunque no 1

7 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. J. A. Caballero, I. E. Grossmann 11 necesaramente, de la solucón de los sub-problemas NLP. En partcular, los nuevos valores o del par (, se obtenen resolvendo un problema de plano de corte (MILP que está basado en los K puntos (,, = 1 K generados en los K pasos prevos: mn Z L f (, f (, g (, g (, 0 J X, Y 1... K (M-MIP donde J J. Cuando sólo se nclue un subconunto de lnealzacones, suelen corresponder a las restrccones voladas del problema (P1. Alternatvamente, es posble nclur todas las lnealzacones en el problema (M-MIP. La solucón del (M-MIP es un límte nferor váldo Z L del problema (P1. Este límte nferor es no decrecente con el número de puntos K lnealzado Señalar que dado que las funcones f( son conveas, las lnealzacones en (M-MIP corresponden a apromacones eterores de la regón no lneal factble del problema (P1. Una nterpretacón geométrca se muestra en la Fgura 1, donde se puede observar que la funcón obetvo convea es subestmada, mentras que la regón factble convea es sobreestmada por las lnealzacone f( Funcón obetvo convea 5.3 Algortmos Los dferentes métodos se pueden clasfcar de acuerdo al uso que se hace de los sub-problemas (NLP1, (NLP (NLPF, de la especalzacón del problema MILP (M_MIP, como se ndca en la Fgura. Enumeracón en árbol NLP M-MIP M-MIP NLP1 (a Ramfcacón acotamento NLP Evaluar M-MIP b GBD, OA c ECP d LP/NLP basado en ramfcacón acotamento Fgura. Prncpales pasos en los dferentes algortmos MINLP Remarcar que en la descomposcón de Benders generalzada (GBD en el método de las apromacones eterores (OA caso b- en el método LP/NLP basado en ramfcacón acotamento caso d- se debe resolver un NLPF en lugar del correspondente NLP s este sub-problema fuere no-factble. Cada uno de los métodos se eplca a contnuacón en térmnos de los sub-problemas báscos que los forman. Ramfcacón Acotamento 1 1 Fgura 1. Interpretacón geométrca de las lnealzacones en el problema (M-MIP Aunque los prmeros trabaos en ramfcacón acotamento estaban orentados a problemas lneales, este método se puede aplcar tambén a problemas no lneale El método de ramfcacón acotamento (BB comenza resolvendo el (NLP1 con I FL I FU, (=0 -problema de relaacón contnua- s todas las varables dscretas toman valores enteros entonces la búsqueda se detene, se habrá localzado el óptmo del problem En otro caso, se comenza una búsqueda en árbol en el espaco de las varables enteras I. Estas varables se van fando sucesvamente en los correspondentes nodos del árbol dando lugar a problemas NLP relaados de la forma (NLP1 los cuales producen límtes nferores para los subproblemas de los nodos descendente La elmnacón de un nodo sus descendentes ocurre cuando el límte nferor sobrepasa al actual límte superor, cuando el sub-problema es no-factble o cuando todas las varables enteras toman valores

8 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. 1 Una Revsón del Estado del Arte en Optmzacón dscreto Esta últma stuacón produce un límte superor a la solucón del problem Los métodos de ramfcacón acotamento son sólo atractvos s los sub-problemas NLP son relatvamente fácles de resolver o cuando sólo es necesaro resolver una pequeña parte de ello Esto podría ser así o ben porque la dmensonaldad, referda al número de varables dscretas es pequeña, o ben porque la relaacón contnua produce una cota nferor mu buen (La dferenca con la solucón óptma no es grande. Método de las Apromacones Eterores (OA El método de las apromacones eterores (OA, del nglés Outer Appromaton surge cuando se resuelven de forma sucesva subproblemas (NLP problemas Maestro MILP (M-MIP en un cclo de teracones para generar puntos (,. El algortmo de las apromacones eterores tal como fue propuesto orgnalmente por Duran Grossmann consste en efectuar una sera de teracones =1, K. Se comenza resolvendo el problema NLP1 de relaacón contnua (o ben con un conunto pre-especfcado de varables dscretas 0. La solucón óptma de este problema se utlza para generar el prmer problema Maestro (RM-OA. La solucón del problema Maestro genera un nuevo conunto de varables (en la prmera teracón =1. Este nuevo conunto de varables dscretas se utlza para resolver un nuevo NLP o ben, s este no es factble, un NLPF. Las lnealzacones de la solucón de este problema se añaden al problema Maestro, contnuando así de forma teratv Los subproblemas (NLP producen un límte superor que se utlza para defnr la meor solucón UB mn Z. El obtenda en un momento dado, cclo de teracones contnúa hasta que los límtes superor e nferor del problema Maestro están dentro de una toleranca especfcad Una forma para evtar resolver los problemas de factbldad (NLPF en el algortmo de las apromacones eterores cuando el problema (P1 está planteado en funcón de varables bnaras 0-1, consste en ntroducr un corte entero cuo obetvo es hacer no-factble la eleccón de las combnacones 0-1 generadas en teracones anterores: B B K N donde B 1, N 0 U (ICU. Este corte se converte en mu débl a medda que aumenta el número de varables bnara Sn embargo, tene la propedad de asegurar que en sucesvas teracones se van a generar nuevas combnacones de varables bnaras (sn repetr nnguna de las anterores. Utlzando el corte entero anteror la fnalzacón del K K algortmo tene lugar tan pronto como Z L UB. El método de las apromacones eterores generalmente necesta un número pequeño de teracones para converger. Es tambén mportante remarcar que el problema Maestro no necesta ser resuelto hasta optmaldad. De hecho, dado un límte superor UB una toleranca, es sufcente generar el nuevo punto (,. Descomposcón de Benders Generalzada (GDB La descomposcón de Benders Generalzada (GDB, del nglés Generalzad Benders Decomposton es smlar al método de las apromacones eterore Véase (Flppo Kan, Las dferencas surgen en la defncón del problema Maestro MILP (M- MILP. En GDB sólo se consderan las desgualdades J g (, 0 el conunto actvas: X se gnor En partcular, consdere las lnealzacones del método de las apromacones eterores en un punto (,, f (, g (, f ( g (,, 0 (OA Donde para un punto fo el punto corresponde a la solucón óptma del problema NLP. Hacendo uso de las condcones de Karush-Kuhn-ucer elmnando las varables contnuas, las desgualdades en (OA se pueden reducr a: f (, f (, ( g (, g (, ( (LC que es el corte Lagrangano proectado en el espaco. Esto se puede nterpretar como una restrccón de susttucón de las ecuacones en (OA, porque se obtene como combnacón lneal de ésta Para el caso en el que no ha solucón factble al problema (NLP, entonces el punto se obtene soluconando el problema de factbldad (NLPF. El sguente corte de factbldad, proectado en el espaco se puede obtener por un procedmento smlar: g (, g (, ( 0 (FC De esta manera el problema Maestro (M-MIP se reduce a un problema proectado en el espaco.

9 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. J. A. Caballero, I. E. Grossmann 13 mn Z. f ( g (, g (, ( g (, g (, ( L X,, 1 f (, ( (RM-GDB 0 KFS KIS donde KFS es el subconunto de los problemas (NLP factbles KIS es el subconunto de los problemas no factbles cua solucón vene dada por (NLPF. Por supuesto, se debe cumplr que KFS KIS K. Dado que el problema Maestro (RM-GBD se puede obtener a partr del problema Maestro (RM-OA, en el conteto del problema (P1. La descomposcón de Benders Generalzada se puede consderar un caso partcular del algortmo de las apromacones eterore De hecho el límte nferor predcho por el problema relaado (RM-OA es maor o gual que el predcho por el problema master relaado (RM-GDB, (Duran Grossmann, 1986 Debdo al hecho de que los límtes nferores obtendos por GDB son más débles que en OA, este método suele requerr un maor número de teracone A medda que el número de varables 0-1 aumenta este efecto se hace más pronuncado, lo cual se corresponde con lo que cabría esperar dado que en cada teracón sólo se añade un nuevo corte. Habtualmente, el usuaro debe añadr restrccones con obeto de reducr los límte Por otra parte, aunque el método de las apromacones eterores, predce meores límtes nferores que GBD el coste computaconal para resolver el problema maestro (M- OA es maor dado que el número de restrccones añaddas por teracón es gual al número de restrccones no lneales más la lnealzacón de la funcón obetvo. Método del Plano del Corte Etenddo El método del plano de corte etenddo (ECP del nglés Etended Cuttng Plane es una etensón del método de plano de corte (Kelle, No resuelve problemas NLP. Confía smplemente en la solucón teratva de problemas (M-MIP añadendo lnealzacones sucesvas a aquella restrccón más volada en el punto predcho (,. La convergenca se obtene cuando la volacón máma cae dentro de una toleranca especfcad Es, por supuesto, posble añadr lnealzacones a todas las restrccones voladas, o ncluso lnealzacones a todas las restrccones no lneale En el algortmo ECP la funcón obetvo debe ser lneal, lo cual se puede consegur fáclmente ntroducendo una nueva varable para transferr las no lnealdades de la funcón obetvo a una desgualdad. Señalar que, dado que las varables contnuas dscretas se convergen smultáneamente, el algortmo ECP podría requerr un gran número de teracone LP/NLP basado en Ramfcacón Acotamento (LP/NLP-BB Desarrollado por (Quesada Grossmann, 199, el método es smlar en espírtu a los métodos de ramfcacón corte, evta la solucón completa del MILP Maestro (M-OA en cada teracón. El método comenza resolvendo un subproblema NLP ncal, el cual se lnealza como en (M-OA. La dea básca consste en efectuar una búsqueda por ramfcacón acotamento, resolvendo LPs, en cada rama del árbol. En cuanto un nodo presenta una solucón entera, se resuelve un (NLP se actualza la representacón del problema maestro en todos los nodos abertos del árbol con la adcón de las correspondentes lnealzacone Se evta así la necesdad de re-comenzar la búsqueda en árbol. Este método se puede aplcar tanto a los algortmos GBD como ECP. La búsqueda LP/NLP generalmente reduce bastante sgnfcatvamente el número de nodos a enumerar. Como contrapartda podría ncrementar el número de problemas NLP que deberían ser resuelto Aunque la eperenca con este método muestra que esto no es así el número total de NLP suele permanecer constante. Este algortmo puede consderarse en un punto ntermedo entre los métodos de descomposcón los métodos de ramfcacón acotamento. De hecho (Bonam, et al., 005 han propuesto un algortmo unfcado que permte varar desde un BB hasta OA pasando por LP/NLP-BB donde el nvel de actualzacones del problema Maestro es fáclmente modfcable a través de un parámetro. 5.4 Etensones de los métodos para MINLP En esta seccón presentamos algunos de los etensones más mportantes de los métodos presentados hasta el momento. Problema master cuadrátco. Para muchos problemas de nterés, el problema (P1 es lneal en : f, ( c ; g, h( B. Cuando este no es el caso (Fletcher Leffer, 1994 sugeren nclur una apromacón cuadrátca a (RM-OAF de la forma:

10 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. 14 Una Revsón del Estado del Arte en Optmzacón mn Z UB 1 f (, f (, 1... K,, 0 X, Y, 1 L (, (M-MIQP Señalar que en este caso el problema maestro no produce un límte nferor váldo, sn embargo dado que f( son conveas el método contnúa llevando a solucones rgurosas porque el acotamento de las apromacones eterores a través de sgue sendo váldo. Cuando la funcón obetvo es no lneal en, el problema OA orgnal necesta maor número de teracones que cuando se usa el problema maestro cuadrátco. El preco que ha que pagar, sn embargo, es que se debe resolver un MIQP en lugar de un MILP. Reduccón de la dmensonaldad del problema Maestro. El problema maestro (RM-OA puede llegar a nclur un número bastante grande de restrccones como consecuenca de la acumulacón de lnealzacone Una opcón es mantener sólo el últmo punto lnealzado, pero esto puede llevar a la noconvergenca ncluso en el caso de problemas conveos, dado que el ncremento monotónco de la secuenca de límtes nferores no se puede garantzar. Una forma rgurosa de reducr el número de restrccones sn sacrfcar demasado la caldad del límte nferor se puede consegur en casos de problemas MINLP maortaramente lneales: mn Z a w r( v c D w t( v C 0 F w Gv E b w W, v V, Y (PL donde (w, v son varables contnuas r(v t(v son funcones convea Como muestran (Quesada Grossmann, 199 las apromacones lneales de la funcón obetvo de las restrccones no lneales se pueden agregar en el sguente problema maestro: mn Z L a r( v D w t( v C G ( v v 1... K F w G v E b w W, w c v V, Y, 1 (M-MIPL Los resultados numércos muestran que la caldad de los límtes no se ve mu afectada por la agregacón del anteror MILP en comparacón con lo que sucedería s se aplcase GBD. ratamento de restrccones de gualdad. Para el caso de restrccones lneales que aparezcan como gualdad no ha nnguna dfcultad puesto que estas restrccones son nvarantes respecto a las lnealzacone Sn embargo, s las ecuacones son no lneales aparecen dos dfcultade Prmero, no es posble forzar la lnealzacón de gualdades en K puntos dferente Segundo, las ecuacones no lneales ntroducen, en general, no convedades, ecepto s se puderan relaar como desgualdade (Kocs Grossmann, 1987 propuseron una estratega de relaacón en que las gualdades son reemplazadas por desgualdades: h(, 0 donde t, ( t sgno en donde es el multplcador de Lagrange asocado a la ecuacón (, 0. Señalar que s estas ecuacones se h relaan como desgualdades h (, 0 para todo, además h(, es una funcón convea, el procedmento es rguroso. En otro caso se podrían generar hperplanos soporte no váldo Por otra parte, para el problema GBD no ha que tener nnguna precaucón especal dado que estas ecuacones smplemente se ncluen en los cortes Lagrangano Sn embargo, s dchas ecuacones no se relaan como desgualdades conveas tampoco se garantza la convergenca global de este método. ratamento de no-convedade Cuando f(,,, son funcones no conveas en (P1, o cuando las guadades h(,=0, están presentes, aparecen dos dfcultade Prmero, Los subproblemas NLP (NLP1, NLP, NLPF podrían no tener un únco mínmo local. Segundo, el problema maestro sus varantes (M-MIP, M-GBD, M-MIQP no garantzan un límte nferor váldo con el consguente pelgro de cortar el óptmo global del problem Una posble solucón consste en reformular el problema, sn embargo esta solucón está restrngda a un número pequeño de problema Por otra parte, es posble utlzar técncas de optmzacón global determnsta basándose en estructuras especales de los térmnos contnuos (por eemplo, blneales, fracconal lneal, cóncava separable, etc. La dea es desarrollar envolventes conveas o sub-estmadores para formular problemas que sean límtes nferores rguroso Más adelante se comentarán algunas de las técncas de optmzacón global determnsta que se pueden aplcar.

11 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. J. A. Caballero, I. E. Grossmann 15 Quzás la opcón más utlzada para tratar no convedades consste en aplcar una estratega heurístca que trata de reducr tanto como sea posble el efecto de las no convedade Aunque es un método no rguroso, requere mucho menos esfuerzo computaconal. A modo de comentaro señalar que los métodos de optmzacón global determnsta están restrngdos, ho por ho, a problemas de pequeño tamaño o con estructuras mu especale Descrbremos a contnuacón un método que reduce el efecto de las no convedades a nvel del problema Maestro. Contnúa sn embargo confando en que el resultado de los NLPs sea el optmo global de cada uno de ello (Vswanathan Grossmann, 1990 propuseron ntroducr varables de holgura en el problema Maestro (MILP con obeto de reducr la probabldad de cortar la regón factble. Este problema Maestro se conoce como APER del nglés Aumented Penalt /Equalt Relaaton. Y toma la forma: mn Z L, K 1 f (, f (, h(, p 1.. K (, (, g g q B 1 B N X donde p Y q w p p, w 1, q q p, q 0 (M-APER w, w son penalzacones sufcentemente grandes (p.e veces la magntud del multplcador de Lagrange. Remarcar que s las funcones son conveas entonces el MILP Maestro (M-APER predce un límte nferor rguroso al problema (P1 dado que todas las varables de holgura toman el valor cero. Por últmo, otra modfcacón posble para reducr el efecto ndeseable de las no convedades en el problema Maestro consste en aplcar un test de convedad global segudo por una valdacón de las lnealzacone Una posbldad es aplcar el test a todas las lnealzacones con respecto al actual vector solucón (, (Kravana Grossmann, Las condcones de convedad que deben ser verfcadas para las lnealzacones son las sguentes: f (, f (, h(, 1. K 1 g (, g (, donde es un vector de pequeñas tolerancas (p.e El test se omte para el últmo punto K porque todas las lnealzacones son váldas para este punto. Aquellas restrccones para las cuales no se satsfaga son smplemente elmnadas del problema Maestro. Este test confía en la suposcón de que las solucones de los sucesvos NLPs se van apromando al óptmo global, en que las sucesvas valdacones van progresvamente defnendo restrccones váldas alrededor del óptmo global. 5.5 Códgos de ordenador para MINLP El número de códgos de ordenador para resolver problemas del tpo MINLP es todavía bastante reducdo. El programa DICOP (Vswanathan Grossmann 1990 está dsponble en el sstema de modelado GAMS. El códgo está basado en el problema master (M-APER en los subproblemas (NLP. Este códgo utlza tambén la relaacón contnua (NLP1 para generar la prmera lnealzacón con lo que el usuaro no necesta especfcar un valor entero ncal. Dado que las límtes nferores rgurosos no se pueden garantzar con (M-APER la búsqueda para problemas no conveos termna cuando no se produce meora en los NLP factbles entre dos teracones consecutva Esta heurístca funcona razonablemente ben en muchos problema AIMMS (Bsschop Roelofs, 1999 ha mplementado tambén una varacón del método de apromacones eterore Algunos códgos que mplementan el método de ramfcacón acotamento usando subproblemas (NLP1 ncluen a MINLP_BB que está basado en un algortmo SQP (Leffer, 001 está dsponble en AMPL El códgo SBB que tambén está dsponble en GAMS. El códgo -ECP mplementa los métodos de plano de corte etenddo (Westerlund Pettersson, 1995, ncluendo la etensón de (Pörn Westerlund, 000. Fnalmente el códgo MINOP (Schweger et al., 1996 tambén mplementa los métodos OA GBD, los aplca a optmzacón dnámca con varable enter Es dfícl hacer comentaros generales sobre la efcenca confabldad de estos códgos dado que no se ha hecho una comparacón sstemátca entre ello Sn embargo, se podría antcpar que los métodos de ramfcacón acotamento probablemente funconarían meor s la relaacón de los MNILP fuese buen Los métodos de descomposcón basados en OA probablemente funconarían meor s los subproblemas NLP fueran relatvamente costosos de resolver, mentras que GBD puede ser efcente s la relaacón del MINLP es buena aparecen muchas varables bnara Los

12 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. 16 Una Revsón del Estado del Arte en Optmzacón métodos basados en ECP tenden a funconar meor en problemas altamente lneale Por ultmo cabe señalar el códgo Bonmn que es open source e mplementa el método de rama acotamento, apromacones eterores el método híbrdo de (Quesada Grossmann, 199 (véase 6. PROGRAMACIÓN DISYUNIVA GENERALIZADA (GDP Recentemente ha aparecdo una nueva tendenca que representa los problemas de optmzacón dscretos/contnuos con modelos que mezclan restrccones algebracas, dsuncones lógcas relacones lógcas (Balas, 1985; Beaumont, 1991; Raman Grossmann, 1993, 1994; ura Grossmann, 1996; Hooer Osoro, 1999; Hooer 000; Lee Grossmann 000. En partcular, el MINLP del problema (P1 se puede formular como un problema dsuntvo generalzado de la sguente manera (Raman Grossmann, 1994 que puede ser consderado como una etensón de la programacón dsuntva ntroducda por (Balas,1985: mn Y h ( 0 SD D c Y Verdad n 0 c f (, c m, Y Verdad, Falso m (GDP En el problema GDP Y son varables booleanas que establecen s un térmno en la dsuncón es verdadero, por lo tanto deben cumplrse las ecuacones dentro de dcho térmno. Y Verdad son relacones lógcas, en forma de lógca de proposcones, que nvolucran solamente a varables booleanas que epresan relacones entre los conuntos de dsuncone Es mportante remarcar que el problema GDP se puede sempre transformar en un MINLP de la forma del problema P1, vceversa, cualquer MINLP de la forma P1 se puede transformar en su equvalente dsuntvo. Sn embargo, a efectos de modelado es sempre convenente ventaoso comenzar con la representacón dsuntva del modelo dado que captura de forma mucho más drecta los aspectos cualtatvos cuanttatvos del msmo (Vecchett Grossmann, 1999, 000. La forma más drecta de hacer la transformacón desde GDP a MINLP consste en reemplazar las varables boolenas (Y por varables bnaras ( las dsuncones por restrccones de tpo M grande, de la forma: h D ( M (1 1 SD D, SD (M-GDP donde M es un límte superor váldo a la restrccón correspondente. Las proposcones lógcas Y Verdad se pueden convertr en desgualdades algebracas lneales que dependen sólo de las varables bnaras (Wllams, 1985; Raman Grossmann La maor lmtacón de la reformulacón de M grande es que la relaacón ncal suele ser débl. Alternatvamente es posble reformular el problema utlzando la envolvente convea (conve hull de las dsuncones (Stubbs Mehrota, 1999; Grossmann Lee, 00 mn h 0 A a 0 n D, f (, 0, D D 0 1,, 1 SD SD D SD (RDP El problema anteror se puede utlzar como base para desarrollar un método específco de ramfcacón acotamento (Cera Soares, 1999; Lee Grossmann, 000. La dea del algortmo desarrollado por Lee Grossmann consste en ramfcar drectamente sobre las restrccones correspondentes a térmnos partculares de cada dsuncón mentras se consdera el conve hull de las restantes dsuncone Alternatvamente es posble resolver el problema anteror como un MINLP smplemente cambando la últma restrccón 0,1. Sn embargo, la del problema RDP por reformulacón anteror podría presentar problemas numércos debdo a que las varables pueden tomar el valor cero. Introducr una smple toleranca sobre para evtar dcho problema, podría ncluso llevar a solucones no factbles, (Sawaa Grossmann, 006. Por lo tanto una de las reformulacones valdas es la sguente: ( ( g ( / ( g (0 ( 1 0 Consderamos fnalmente los métodos de apromacones eterores descomposcón de Benders Generalzada para resolver GDP Como se descrbe en el trabao de (ura Grossmann, 1996 para valores fos de las varables booleanas el problema resultante es el sguente NLP:

13 Document downloaded from da 5/09/017. hs cop s for personal use. An transmsson of ths document b an meda or format s strctl prohbted. J. A. Caballero, I. E. Grossmann 17 mn SD c f ( 0 h ( 0 Para Y c B 0 Para c 0 n, c R Y m ' Verdad ' D, Falso D, NLP-D SD ', SD En el problema anteror (NLP-D sólo se oblga a que se cumplan aquellas restrccones correspondentes a los térmnos con varables booleanas verdaderas, reducendo la dmensonaldad del problem Incalmente es necesaro resolver K subproblemas del tpo NLP-D, con obetvo de generar lnealzacones para cada uno de los térmnos en las dstntas dsuncone La seleccón del menor número de tales subproblemas se puede hacer resolvendo un problema de cobertura de conunto normalmente de pequeña dmensonaldad mu fácl de resolver (ura Grossmann, Se puede entonces plantear el sguente problema Maestro dsuntvo: l mn c l l l f ( f ( ( l L l l l 1... ( 0 Y l l l h ( h ( ( 0 l L SD D c Y Verdad L, l n, Y l c Verdad m Y Verdad, Falso m MILP-D Igual que en el caso de los MINLPs en el problema anteror se pueden añadr varables de holgura para mnmzar el efecto de las no convedade 7. OPIMIZACIÓN GLOBAL Una de las grandes lmtacones que aparece cuando se resuelven problemas no lneales, a sean NLPs o MINLPs es que, en la maor parte de las aplcacones práctcas los problemas resultantes no son conveo En estos casos muchos de los algortmos presentados en los apartados anterores sólo pueden garantzar un mínmo local al problema en algunos casos muchas de las mplementacones no son squera capaces de encontrar un punto factble. En algunas aplcacones una buena solucón es sufcente, pero en otras es necesaro localzar el mínmo global del problem Los métodos de optmzacón global se pueden clasfcar en estocástcos determnsta Presentaremos las líneas generales de los métodos determnstas (los métodos de enframento smulado smulated annealng-, algortmos genétcos, movmento de enambres partcle swarm optmzaton-, etc. que se comentarán brevemente más tarde pertenecen al grupo de métodos estocástcos de optmzacón global. La mportanca que ha adqurdo durante los últmos años la optmzacón global se puede valorar por el crecente número de artículos publcados en esté áre Dentro de las técncas de optmzacón global se puede destacar: (a Métodos Lpschtzan (Hansen et al, 199a, 199b; (b Métodos de ramfcacón acotamento (Al-Khaal, 199; Al Khaal Fal, 1983; Horst u, 1987; (c Métodos de plano de corte (u et al, 1985; (d método conveo nverso (u, 1987; (e Apromacones Eterores (Horst et al, 199; (f Métodos prmal-dual (Ben-al et al, 1994; Floudas Vswewaran, 1990, Shor, 1990; (g Métodos de reformulacón lnealzacón (Sheral Alameddne, 199; Sheral uncble, 199; (h Métodos de ntervalo (Hansen, Cuando en el problema aparecen estructuras especales que causan las no convedades (blnealdades, térmnos lneales fracconaros, térmnos cóncavos separables se pueden desarrollar métodos rgurosos de optmzacón global. La dea es utlzar envolventes conveas o subestmadores para formular (MINLPs que sean problemas conveos límtes nferores rgurosos a la solucón óptma del problema orgnal (awarmalan Sahnds, 00. Estos estmadores se combnan con técncas normalmente de ramfcacón acotamento espacal- Véase (Floudas 000; Grossmann, 1996; Quesada Grossmann, 1995; Roo Sahnds, 1995; Zamora Grossmann, El método de ramfcacón acotamento espacal dvde la regón factble de las varables contnuas compara los límtes nferor superor para elmnar subregones, las dferencas entre los dferentes métodos están prncpalmente en cómo se aplca la ramfcacón sobre las varables contnuas dscreta Un eemplo smple de aplcacón para resolver NLPs se puede encontrar en el trabao de (Quesada Grossmann Para MINLPs (Roo Sahnd 1995, más tarde (awarmalan Sahnds, 004, desarrollaron un método de ramfcacón acotamento que ramfca tanto en la varables bnaras como en las dscreta Dado que la caldad de los estmadores lo cerca que están de la funcón a la que susttuen- depende mucho de los límtes de las varables, el algortmo mplementa una etapa de contraccón de límtes en cada teracón. Este algortmo ha sdo mplementado en un códgo llamado BARON (Sahnds, 1996 que puede utlzarse de forma autónoma o a través de algunos programas de modelado como GAMS. En el caso de que aparezcan funcones de tpo general, contnuas dferencables (Adman Floudas, 1996 propuseron añadr un térmno cuadrátco que s se hace lo sufcentemente grande