Programación mixta-entera

Transcripción

1 Programacón mxta-entera Prof. Cesar de Prada ISA UVA

2 Indce Problemas híbrdos Tpos de problemas mxto-enteros Algortmo Branch and Bound Ejemplos Software

3 Problemas híbrdos Muchos problemas de decsón nvolucran no solo varables que pueden representarse por valores reales, sno decsones de tpo dscreto que están representadas de forma natural por varables enteras o bnaras. Otras veces, el planteamento del problema nvolucra, junto a los modelos cuanttatvos, reglas o condcones lógcas adconales Estos problemas de optmzacón híbrdos con varables reales enteras se denomnan de programacón mxta entera S las decsones son solo de tpo entero el problema se denomna de programacón entera

4 Ejemplo: Banda de ladrones Una banda de ladrones asalta un almacén donde ha N objetos dstntos. Cada objeto j tene un peso p j un valor v j. Dsponen de una camoneta que puede transportar como máxmo un peso P. Qué objetos deben selecconar los ladrones para obtener el máxmo benefco de su accón? Defnendo una varable bnara j para ndcar s un objeto ha sdo o no selecconado: max j N 0 j j v j sujeto a j P el objeto j no ha sdo selecconado el objeto js ha sdo selecconado N j p j Problema ILP nteger lnear programmng 4

5 Ejemplo: El problema del vajante Un vajante debe partr de su cudad recorrer N cudades volvendo a la cudad de orgen sn repetr nnguna. La dstanca entre la cudad la j es c j. Cual es la ruta que debe segur para recorrer una dstanca mínma?. 5 Podemos asocar una varable bnara j a cada par de cudades, j mn N N j j j N j N c j j j j,..., N,..., N c j j 0 el vajante no va de la cudad a la j el vajante va de la cudad a la j debe llegar una vez solo una de la cudad debe partr una vez solo una de la cudad j j 0

6 Tpos de problemas mxto enteros 6 mn c' A b Z mn J ( x,) x, h(x,) 0 g(x,) 0 n x R, Z ILP Integer Lnear Programmng MINLP Mx-Integer Non-Lnear Programmng mn c'x d' x, Ax b E e 0 x R n, Z MILP Mx-Integer Lnear Programmng Pueden re-convertrse gualdades desgualdades usando varables de holgura, al gual que problemas mn en max

7 Métodos de solucón 7 La aproxmacón de tratar las varables enteras como reales luego aproxmarlas al entero mas próxmo suele dar resultados erróneos, excepto quzás cuando el número de valores posbles de una varable entera es alto. Rara vez con varables bnaras Pueden enumerarse todas las combnacones de varables enteras posbles resolver para cada una el problema, posblemente NLP, de varables reales asocado, escogendo luego el de mejor J, a que son un número fnto. Pero el número de combnacones crece exponencalmente con el número de varables enteras. Examen ntelgente de alternatvas enteras: Branch and Bound (B&B) Ajuste de cotas nferor superor: Outer Approxmaton (OA), Generalsed Benders decomposton (GBD)

8 Branch and Bound (B&B) El método proporcona una búsqueda ntelgente del óptmo combnando la comparacón de dstntas alternatvas funcón de las varables enteras, con un procedmento para elmnar combnacones que no pueden conducr al óptmo para determnar las condcones de óptmo basándose en cotas del msmo. Está basado en tres deas prncpales: 8 Relajacón, que proporcona cotas del problema Ramfcacón, que examna las dstntas alternatvas de varables enteras en un punto dado del árbol de decsón. Poda, que permte elmnar determnados grupos de combnacones de varables enteras smplfcando la búsqueda

9 Relajacón Una relajacón de un problema MILP o MINLP consste en suponer que las varables bnaras j pueden tomar valores reales en el ntervalo 0 j. (De forma smlar se trata el caso de varables enteras) Por tanto en el problema relajado todas las varables, x e, son reales resulta un problema de tpo LP o NLP. Domno del problema orgnal Domno del problema relajado 9 Lógcamente, al amplar el espaco de búsqueda, la solucón del problema relajado es una cota nferor (o superor en el caso de maxmzacón) al problema orgnal MILP o MINLP. El cálculo de esta cota es el objetvo que se busca al resolver el problema relajado.

10 Algortmo Branch and Bound (B&B) 0 Ejemplo ILP (Hmmelblau) Max J = Sujeto a ,, 0, El problema relajado es LP su resolucón proporcona una cota superor Jr* de J*: J* 9. Relajacón *=(, 0.776, ) J r *=9. LP = 0 = Ramfcacón A contnuacón se examnan las dos alternatvas posbles para, únca varable real de la solucón relajada

11 Algortmo Branch and Bound (B&B) Max J = Sujeto a ,, 0, Relajacón Nodo nº LP *=(, 0.776, ) J r *=9. = 0 Ramfcacón = Relajacón LP Mejor solucón factble hasta el momento (ncumbente): Cota nferor de J* 0 = 0 0 *=(, 0, ) J r *=6.0 4 Poda No se puede segur ramfcando en el nodo. El BB termna s la dferenca de cotas superor e nferor es menor que una toleranca Cota sup cota cota nf nf tol

12 B&B 9. J* 6.0 Canddato No ha mas ramfcacón en este nodo El valor del canddato es una cota nferor para todo el problema Relajacón LP *=(, 0.776, ) J r *=9. 9. J* - = 0 Ramfcacón = 0 0 = 0 Relajacones = 0 0 *=(, 0, ) *=(0.978,, ) J r *=6.0 J r *=8. = 0 Poda Ramfcacón = S el hueco, o dferenca de cotas superor e nferor, en el nodo es superor a la toleranca, debe segurse ramfcando. En caso contraro el BB termna el canddato actual es el óptmo. Cota superor en esta rama: 8. J* 6.0

13 B&B 9. J* 6.0 Canddato No ha mas ramfcacón en este nodo Relajacón LP *=(, 0.776, ) J r *=9. = 0 Ramfcacón = 0 0 = 0 Relajacones = 0 0 *=(, 0, ) *=(0.978,, ) J r *=6.0 J r *=8. = 0 Poda Ramfcacón = Cada solucón factble proporcona una cota nferor para cualquer rama Pueden usarse los valores de las cotas para podar ramas sn calcular sus valores 9. J* - Cota superor en esta rama: 8. J* 6.0 Cada ramfcacón proporcona cotas superores menores en esa rama

14 B&B Relajacón LP *=(, 0.776, ) J r *=9. 9. J* J* 6.0 Canddato Nueva solucón factble, pero nferor a la del canddato actual por lo que este no camba = 0 Ramfcacón = 0 0 = 0 Relajacones = 0 0 *=(, 0, ) *=(0.978,, ) J r *=6.0 J r *=8. = 0 4 =0 = 0 *=(0,, ) J r *=44.0 Poda Ramfcacón Relajacón = No se puede segur ramfcando este nodo 8. J* 6.0

15 B&B Relajacón LP *=(, 0.776, ) J r *=9. 9. J* J* 6.0 Canddato = 0 Ramfcacón = 0 0 = 0 Relajacones = 0 0 *=(, 0, ) *=(0.978,, ) J r *=6.0 J r *=8. = 0 Ramfcacón = 4 =0 = 0 *=(0,, ) J r *= Poda El valor de J* r es nferor a la cota nferor del canddato, cualquer ramfcacón daría un valor menor, puede podarse el nodo = = 0 *=(,, 0.595) J r *=.8 8. J* 6.0 Relajacón Poda

16 B&B Relajacón LP *=(, 0.776, ) J r *=9. 9. J* J* 6.0 Canddato = 0 Ramfcacón = 0 0 = 0 = 0 0 *=(, 0, ) *=(0.978,, ) J r *=6.0 J r *=8. = 0 Ramfcacón = 4 =0 = 0 *=(0,, ) J r *= Poda El canddato actual, nodo, es el óptmo al haberse podado a todas las ramas = = 0 *=(,, 0.595) J r *=.8 8. J* 6.0 Poda

17 Ejemplo: Fábrca de pnturas Una fábrca de pnturas tene tres undades de produccón de un certo tpo de pntura con capacdades que se ndcan en la tabla adjunta. Igualmente se muestran en la msma los costos de puesta en marcha de cada undad los costes por Kg de pntura producdo. S una undad se pone en funconamento, debe producr en un perodo toda su capacdad 7 Undad Costes de puesta en marcha Costes por Kg de pntura producda Capacdad, Kg

18 Fábrcas de pnturas Las undades pueden ponerse en marcha al prncpo de la mañana o al prncpo de la tarde. Lógcamente, s una undad se puso en marcha por la mañana sgue operando por la tarde solo genera costos de puesta en marcha por la mañana. Todas las undades se apagan por la noche las decsones de puesta en marcha para el día se toman por la mañana cada día de acuerdo a los peddos exstentes. S un determnado día deben servrse 500 kg de pntura por la mañana 500 kg por la tarde, Qué undades deben ponerse en funconamento cuando para ncurrr en los menores costos posbles? 8 Cómo vara la solucón s la demanda de la tarde se ncrementa en 00 Kg?

19 Fábrca de pnturas Varables: 9 número del proceso (,, ) j número del perodo de trabajo: mañana tarde j varable bnara: vale s el proceso funcona en el perodo j c costes de puesta en marcha de la undad p costes de produccón de un Kg en el proceso w capacdad de produccón de la undad por perodo D j demanda de pntura en el perodo j z varable bnara auxlar, vale s o es

20 Fábrca de pnturas mn, z z j w j j c z D j p w ( ) j,,, j, Excel La varable z vale s se ha arrancado la undad por la mañana o por la tarde 0 S por la mañana no puede haber mas de una undad funconando smultáneamente:

21 Formulacón en GAMS sets undades / u, u, u / j perodos / m, t / parameters costea() coste de arrancar una undad / u=800, u=000, u=900 / costekg() coste por kg por perodo / u=5, u=, u=8 / capacdad() capacdad /u=900, u=700, u=900/ demanda(j) demanda por perodo / m= 500, t = 500/; varables (,j) funcona o no la undad I en el perodo j z() arranca la undad ese da coste coste total de la produccon del da bnar varables, z;

22 Formulacón en GAMS equatons produccon(j) produccon en cada perodo restrccon(,j) lmtes en z costetotal calculo del coste; produccon(j).. sum(, (,j)*capacdad()) =g= demanda(j); restrccon(,j).. z() =g= (,j); costetotal.. coste =e= sum(, costea()*z()+costekg()*capacdad()*sum(j,(,j))); model pnturas planfcacon de la produccon / all /; solve pnturas mnmzng coste usng mp; dspla coste.l

23 Mezcla con lotes dscretos Undad 8000 Capacdad kg/da 0000 Cada undad trabaja con lotes de 000Kg Kg de materas prmas necesaras A B C Benefco / Kg Para hacer p Para hacer p Dsponbldad 6000 A B C p p Qué cantdad de p p deben producrse para maxmzar el benefco?

24 Mezcla con lotes dscretos Varables: x cantdad producda por día de p x cantdad producda por día de p max 0.6x 0.6x 0.x x entera 0.x 6000, 0 5 A B C p p x tene que tomar valores múltplos de 000 Kg, el tamaño del lote 4

25 Algortmo Branch and Bound (B&B) max 0.6x x 0 0.6x 0.x entera 0.x 6000, 5 Relajacón *=(.5, 5) J r *=800 LP 5 El problema relajado es LP su resolucón proporcona una cota superor Jr* de J*: J* 800 Ramfcacón A contnuacón se examnan las dos alternatvas posbles para, únca varable real de la solucón relajada

26 Algortmo Branch and Bound (B&B) max 0.6x x 0 0.6x 0.x x 6000, entera Relajacón Nodo nº LP *=(.5, 5) J r *=800 Ramfcacón Relajacón 6 LP Mejor solucón factble hasta el momento (ncumbente): Cota nferor de J* *=(,5) J r *=640 4 Poda No se puede segur ramfcando en el nodo. El BB termnaría s la dferenca de cotas superor e nferor fuera menor que la toleranca

27 B&B Relajacón LP *=(.5, 5) J r *= J* J* 640 Canddato No ha mas ramfcacón en este nodo al dar una solucón entera Ramfcacón *=(, 5) J r *=640 Relajacones Poda Poda *=(,4) J r *=560 Por tanto la solucón es: *=(, 5), x*=(4000, 0000) Y el benefco óptmo 640 Tamben da solucón entera, pero es nferor al nodo 7

28 Varables enteras bnaras Ha formas sencllas de hacer que una varable z tome valores enteros entre 0 n, usando solo varables bnaras, esto es, varables que solo toman valores 0, z = n n n = {0, } 8

29 Modelado con varables bnaras 9 Selecconar una alternatva solo una N Selecconar no mas de una alternatva N Selecconar al menos una alternatva N Selecconar la alternatva j solo s se ha selecconado la j 0

30 Actvacón de varables contnuas Para elmnar ó actvar la varable contnua x usando la varable bnara q varable contnua, p.e. flujo L lmte nferor U lmte superor L s s q 0 L U 0 q q 0 U q 0 0

31 Modelado con varables contnuas 0- Actvacón desactvacón de restrccones asocadas a una corrente o undad restrccones h( x) 0 g( x) 0 var ables de ho lg ura s, v hx ( ) sv 0 s v U ( ) U, lmte amplo gx ( ) U ( ) 0 s 0, v 0 s 0 h( x) g( x) no estan lmtadas s s 0, v 0, h( x) 0, g( x) 0

32 Modelado con varables contnuas 0- m correntes drgdas al msmo nodo m q j U j q 0 j,,..., m j 0 s 0, q 0 j qj U límte superor al flujo total

33 Modelado de expresones lógcas PP P P P P, P P o 0 P s solo s P uno entre P, P, P P P P 0 0 Usando estas equvalencas, puede convertrse cualquer expresón lógca a expresones en, s la expresón lógca se escrbe en su forma conjuntva normal

34 Forma normal conjuntva Q Q Q n Donde las Q son expresones de P escrtas como dsuncones Procedmento de obtencón: Reemplazar la mplcacón por su expresón equvalente P P P P Aplcar las lees de Morgan para desplazar dentro las negacones 4 ( P P ) P P ( P P ) P P Utlzar la propedad dstrbutva para dar la forma normal ( P P ) P ( P P ) ( P P )

35 Ejemplo () Paso ( P P ) P ( P P ) 4 5 ( P P ) P ( P P ) Paso ( P ) P P ( P4 P5) Paso ( P P) ( P4 P5) P ( P4 P5) P P P P P P P

36 Ejemplo () P P P P P P P Q Q Q P P P P Q P P P luego Q Q resulta ser ( P P ) P ( P P )

37 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) Se necesta producr acetona. La matera prma dsponble es el alcohol etílco (CH CH OH) el metano (CH 4 ). A contnuacón se muestran las posbles reaccones. Suponemos que el catalzador que se requere para todas las reaccones los compuestos norgáncos están dsponbles excepto para CrO O. Determnar la factbldad para la produccón de acetona a partr de estos productos. S es factble, especfcar un camno de reaccón. CH CH CH CO C COCH H CN CH NaOCH 5 / CH 5OH 5 CO C MgI H 5 H O EtO CH CH CH C COCH COCH CO C C H 5 H H O / HCl NMgI CH CH COCH 5 OH CO 7

38 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) 8 CH CH CH CH CH COH CH CCH CH CH CH CH CH CH 4 4 CHO CH CHOHCH C Mg / ErO I CH I Cl CH Cl CH CH OH O COOH C CHO O CH EtO / H O MgI CH CrO / H SO4 CH O / H O / H O CH I HI H Cl HCl CrO / Cu CH 5 OH CH MgI CH COOH CHO CO C COCH CHOHCH COCH CH COCH H O NaCN NaCl CH CN H CH 5 HCO COH H

39 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) Formulacón De todas las reaccones químcas posbles, se tene que verfcar dónde se puede sntetzar la acetona a partr de la matera prma catalzadores dados. Para llegar a la conclusón fnal utlzando programacón matemátca, lo prmero que debemos hacer es expresar todas las reaccones en la forma de lógca proposconal, utlzando los prncpales operadores: (OR), (and), (mplcacón), (negacón) I. A B C A M B D se puede expresar como A B C D A M B 9

40 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) II. Expresar estas proposcones lógcas en su forma conjuntva normal, utlzando los pasos sgtes:. Elmnar la mplcacón A B esto es equvalente A. Mover la negacón al nteror A B A B A B A B B A B C D Ejemplo A B C D A B C D A B C A B D. Dstrbur el OR sobre el AND de forma recursva A B C A C B C ( ) cláusula 40

41 4 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) III. Convertr cada cláusula por separado en desgualdades lneales. Para ello, se asgna a cada varable una varable entera (bnara). Cada negacón se susttue por -, donde es la varable correspondente. D B A C B A D B A C B A D B A C B A

42 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) CH CHO O CH COOH CH CH ( CH ( CH CHO O CHO O CHO O CHO CH CH CH ) CH COOH COOH COOH COOH ) ( O CH COOH ) CH O CH CHO COOH 0 0 4

43 Ejemplo de la produccón de acetona (Raman Grossmann, CACHE) mn s. a. A r u a n 0,, r,..., R u : varables bnaras asgnadas a los productos que se desean obtener Y r : varables bnaras asgnadas a la matera prma los catalzadores dsponbles 4 S u =, sgnfca que el producto se puede sntetzar que se dspone de matera prma

44 Ejemplo : Planteamento (Grossmann) Representacón de alternatvas para producr producto C a partr de los productos A B, a través de los Procesos I, II, III. El producto C puede ser producdo sólo a través del proceso I; los procesos I III, los procesos I II. Los procesos II III no pueden realzarse smultáneamente. B c A Proceso II B A Proceso I C B 44 A Proceso III B

45 Ejemplo : Datos Conversones: Proceso I: C = 0.9B Proceso II: B = ln( + A) Proceso III: B =.ln( + A) Capacdad máxma Proceso I: ton/h de C Proceso II: 5 ton/h de B Proceso III: 4 ton/h de B Precos A:.800 $/ton B: $/ton C:.000 $/ton Coste de Inversón Fjo (0 $/h) Varable (0 $/ton) Proceso I:.5 Proceso II: Proceso III: Demanda de C: ton/h máxmo

46 Ejemplo : Formulacón B A A Proceso II B B Proceso I C A Proceso III B Balances 46 max PR = C-.8A -.8A -7B -.5 -C B B s.a. PI: C-0.9(B +B +B ) = 0 PII: B -ln(+a ) = 0 PIII: B -.ln(+a ) = 0 B = B + B +B c B 5 B 4 c Límtes C, A, A, B, B, B >= 0,, = 0, +

47 GAMS Postve Varables a matera prma para el proceso a matera prma para el proceso b produccon de producto B en el proceso b produccon de producto B en el proceso bc cantdad de producto B que se puede adqurr en el mercado b cantdad de producto B que se consume en el proceso c capacdad de produccon del producto c en el proceso ; Bnar Varables exstenca del proceso exstenca del proceso exstenca del proceso ; Varable pr benefco total en mllones de $ por ano ; 47

48 GAMS las restrccones nout e nout se han convexfcado nout.. c =e= 0.9*b ; nout.. exp(b) - =e= a ; nout.. exp(b/.) - =e= a ; mbalb.. b =e= b + b + bp ; log.. c =l= * ; log.. b =l= 4* ; log.. b =l= 5* ; 48

49 GAMS 49.L =.000 exstenca del proceso.l = exstenca del proceso.l =.000 exstenca del proceso c.l =.000 capacdad de produccon del producto c en el proceso b.l =. cantdad de producto B que se consume en el proceso b.l = produccon de producto B en el proceso b.l =. produccon de producto B en el proceso bc.l = cantdad de producto B que se puede adqurr en el mercado a.l = matera prma para el proceso a.l =.54 matera prma para el proceso C Proceso I A Proceso III B

50 Representacón de Alternatvas: Superestructuras, Floudas 995 En una superestructura, se engloban todas las posbles estructuras alternatvas, que además, son canddatas a la solucón factble u óptma del proceso Undad Salda Entrada Undad Undad Salda 50

51 Ejemplo de produccón de amoníaco, Begler et all, 997. Recuperacón de Hdrógeno Purga N Compresor Reactor Separacón NH H 5

52 Ejemplo de produccón de amoníaco (árbol de alternatvas) reactor tubular condensacón por flash separacón por membrana no se recupera H destlacón absorcón separacón por membrana 5 reactor multlecho condensacón por flash destlacón absorcón no se recupera H no se recupera H separacón por membrana no se recupera H separacón por membrana

53 Ejemplo de produccón de amoníaco (superestructura) purga agua absorbedor reactor tubular NH agua N H flash 5 reactor multlecho condensacón por flash NH

54 Alternatva del reactor multlecho Alternatva : reactor multlecho / condensacón por flash / separacón por membrana purga N flash H 54 reactor multlecho condensacón por flash NH

55 Alternatva para el reactor tubular purga agua absorbedor NH N flash agua H reactor tubular condensacón por flash Alternatva : reactor tubular / condensacón por flash destlacón por absorcón / separacón por membrana 55 NH

56 Superestructuras L5 L9 B (98% C) L A (C, C, C) L L L6 U- L0 Representacón de todas las alternatvas posbles. Cuál es la mejor? C (97% C) U- L4 L7 L8 U- L D Varables 0- ndcan s una corrente o una undad exsten o no (99% C) 56

57 Asgnacón de tareas En un taller trabajan n personas capaces de realzar dversas tareas. Debdo a sus dferentes habldades experenca cada una tarda un tempo dferente en hacer cada una de las tareas, el cual es conocdo. Se deben realzar n de esas tareas para completar un determnado trabajo. Cómo debe asgnarse el personal para realzar el tempo total empleado? Varables personas j tareas t j tempo que la persona tarda en hacer la tarea j 57 j varable bnara, vale s a la persona se le asgna la tarea j

58 Asgnacón de tareas mn sujeto a n n x j j j n n j t j j j,..., n,...,n Tempo total empleado Cada persona tene que tener asgnada una tarea una sola Cada tarea debe haber sdo asgnada a una persona a una sola j bnara 58

59 Oleoducto P P P P P P P Centro C Centro C En que orden debo envar los productos para mnmzar costos, satsfacer restrccones (dos tpos determnados de productos no deben r juntos) satsfacer las demandas en tempo? 59

60 Reactor batch B A C Un reactor opera en forma batch en perodos de trabajo de una hora. Se almenta de un producto A que da lugar a dos reaccones paralelas A B A C pero solo el producto B tene valor comercal. Las velocdades de reaccón son: 6 k 0 exp(0000 / RT ) k B C 5*0 exp(0000 / RT ) 60 Encontrar el perfl de temperatura que maxmza la produccón fnal de B, sabendo que esta debe ser nferor en todo momento a 9 ºC

61 Optmzacón dnámca A x B B C tempo T 6 max T ( t ) x B () dxa ( k dt dxb k B x dt T ( t) 9 B A k C ) x x B A x A (0) 0 (0) A 0 k k B C 0 6 5*0 tempo h exp(0000 / RT ) exp(0000 / RT )

62 Parametrzacón de las varables de decsón A x B B C tempo T 6 max dxa ( k dt dxb k B x dt T 9 T x B () B A k C ) x x B A x A (0) 0 (0) A 0 k k B C 0 T, T, T,.T N 6 5*0 exp(0000 / RT ) exp(0000 / RT ) tempo h

63 Resolucón con smulacón max dxa ( k dt dxb k B x dt T 9 T x B () B A k ) x (0) 0 Optmzador C x B A x A (0) A 0 u(t) Proceso (t) T x B (), T -9 Smulacón desde 0 a para calcular J(u,x(t)) 6

64 Optmzacón dnámca secuencal mnj( x, u) u x ( t) f ( x( t), u( t)) (t) g(x(t),u(t) ( t) u u( t) u u(t) Optmzador Proceso (t) u J 64 w Smulacón desde 0 a para calcular J(u,x(t))