MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN

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1 Equaton Secton (Next) MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Begoña Vtorano Septembre 2009

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3 ÍNDICE MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA PARA GESTIÓN.... Modelos característcos de programacón matemátca para gestón..... Problema de la deta Problema de transporte Problema de transbordo Problema de asgnacón Problema de la mochla (knapsack) Problema de recubrmento (set coverng) Problema de empaquetado (set packng) Problema de partcón (set parttonng) Problema del vaante de comerco (Travelng Salesman Problem TSP) Problema de coste fo..... Modelado de algunas restrccones especales Problemas de produccón con elastcdad en los precos y/o costes Problema de transporte con descuentos por volumen Seleccón de una cartera de nversones Referencas Bbloteca de problemas Resultados de la bbloteca de problemas Codfcacón de problemas de optmzacón Lenguaes de modelado Lenguaes algebracos de modelado Modelado en GAMS Elementos de estlo de programacón Referencas TEORÍA DE LA DECISIÓN Teoría de la decsón con ncertdumbre o resgo Crteros para valorar las posbles decsones Valor esperado de la nformacón perfecta (VEIP) Procesos decsón poletápcos: Árboles de decsón /09/2009

4 2..4 Utldad: concepto y funcones de utldad Decsón multcrtero Introduccón: conceptos báscos Métodos de optmzacón multobetvo Programacón compromso Métodos satsfacentes: programacón por metas Métodos de decsón multcrtero dscretos Referencas Bbloteca de problemas Resultados de la bbloteca de problemas TÉCNICAS DE PLANIFICACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS Introduccón Red de actvdades Método del camno crítco (CPM) Método PERT Penalzacones en método PERT: el problema de establecer una fecha de fnalzacón ante resgo o ncertdumbre Stuacón de resgo Stuacón de ncertdumbre Coste en el método del camno crítco: alternatvas en el desarrollo de una actvdad Programacón de proyectos con recursos lmtados: nvelacón y asgnacón de recursos Nvelacón de recursos Asgnacón de recursos lmtados Bbloteca de problemas Resultados de la bbloteca de problemas MODELOS DE SECUENCIACIÓN EN MÁQUINAS Hpótess del ob-shop /09/2009

5 4.2 Meddas de desarrollo y obetvos Crteros basados en los nstantes de fnalzacón Crteros basados en las fechas de entrega Crteros basados en el nvel de nventaro y el coste de utlzacón Relacones entre las meddas de desarrollo Problemas con una máquna Problemas con varas máqunas Bbloteca de problemas Resultados de la bbloteca de problemas /09/2009

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7 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Modelos de programacón matemátca para gestón. Modelos característcos de programacón matemátca para gestón A contnuacón se presentan algunos problemas característcos de programacón lneal y entera. Éstos se utlzan como referenca y clasfcacón para otros problemas. En partcular, para los problemas enteros exsten numerosas referencas de nvestgacón dedcadas a la solucón de los msmos... Problema de la deta El problema por excelenca de programacón lneal es el de asgnacón óptma de recursos. Un caso partcular de éste es el denomnado problema de la deta. Consste en determnar la composcón de la deta de mínmo coste que satsface las necesdades específcas de nutrentes. Pongamos un caso partcular muy sencllo de almentacón de ganado bovno. Aprovechamos este eemplo para segur paso a paso las etapas en el desarrollo de un modelo. En prmer lugar hay que dentfcar el problema. Se ha determnado que las necesdades mínmas daras en la almentacón de una ternera son de 700 g de proteínas, 28 g de calco y 50 mg de vtamnas. Los almentos dsponbles son penso y forrae con un coste untaro de 0.30 y 0.35 /kg respectvamente. La composcón nutrtva por kg de almento se muestra en la sguente tabla. Proteínas (g) Calco (g) Vtamnas (mg) Penso Forrae 45 5 Se trata de determnar la cantdad dara óptma de cada almento para mnmzar el coste total de almentacón. A contnuacón se especfca matemátcamente y se formula el problema. 28/09/2009

8 Para ello analzamos y organzamos los datos del problema. Sean los almentos dsponbles (penso y forrae) y sean los nutrentes (proteínas, calco y vtamnas). Sea b la cantdad mínma dara requerda de cada nutrente. Sea a la cantdad de nutrente por kg de almento correspondente a los valores de la tabla dada. Sea c el coste untaro de cada almento. A contnuacón defnmos las varables. Sea x la cantdad dara en kg de cada almento. Además ndcamos la funcón obetvo y las restrccones del problema. La funcón obetvo es la mnmzacón del coste daro de la deta mn cx (.) x Las restrccones corresponden a satsfacer con la mezcla de almentos las necesdades mínmas daras de cada nutrente y, por consguente, habrá tantas restrccones de este tpo como nutrentes. ax b (.2) Además hay que añadr la restrccón natural de que la cantdad de cada almento ha de ser no negatva. x 0 (.3) Partcularzando estas ecuacones para los datos prevos se obtene. x, x2 2 mn 0.30x x 2 30x+ 45x x+ x2 28 0x+ 5x2 50 x 0 x 0 Después vene la resolucón. Vamos a resolver gráfcamente el problema. Para ello se dbuan las ecuacones en forma de gualdad en el espaco de las varables y se ndca la regón factble del problema. Es decr, el conunto de puntos que cumple todas las restrccones. Se traza la recta de la funcón obetvo para un valor cualquera y se desplaza 28/09/2009

9 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN paralela a sí msma en el sentdo de mnmzar dcho valor hasta el últmo punto de la regón factble. Dcho punto será el óptmo del problema. Las etapas de verfcacón (comprobacón de que el modelo es correcto) y valdacón (comprobacón de que la realdad se representa adecuadamente) son nmedatas en un modelo tan sencllo como éste. Segudamente se realza la nterpretacón y análss de los resultados. Los resultados ndcan que la decsón óptma es comprar kg de penso y kg de forrae cada día. Con estas decsones el coste daro de los almentos es de Al ganadero le ha llegado una oferta de otro fabrcante de pensos a un preco de 0.25 /kg pero con menor contendo en calco,.5 g de calco por kg de penso, y tene nterés en analzar s le nteresa comprar o no a dcho fabrcante. Para ello planteamos este nuevo problema de optmzacón La solucón óptma para este nuevo problema es comprar kg de penso y 5.6 kg de forrae daramente con un coste de Luego, esta oferta es atractva económcamente. La etapa de mplantacón, documentacón y mantenmento se da por satsfecha en este modelo sencllo con este apartado donde se explca el modelo...2 Problema de transporte Se trata de mnmzar el coste total de transporte de un certo producto desde los dferentes orígenes a los destnos, satsfacendo la demanda de cada destno sn superar la oferta dsponble en cada orgen (ver eemplo en.2.3. Eemplo de transporte). Se supone que todos los m orígenes están conectados con los todos los n destnos. Sea a la oferta de producto en el orgen, b la demanda de producto en el destno y c el coste untaro de transporte desde el orgen al destno. a b a b 2 a m m n b n 28/09/2009 3

10 El problema de optmzacón consste en determnar las undades de producto x 0 transportadas desde hasta,,, que mnmzan los costes de transporte sueto a las restrccones de oferta dsponble en cada orgen (m restrccones de oferta) y demanda en cada destno ( n restrccones de demanda) mn x n = m = x m = = x = a =,, m x = b =,, n 0 n cx (.4) Implíctamente en esta formulacón, se supone que la oferta del producto es gual a la demanda del msmo unversal con coste nulo. S m n m n a = b = =. S a > b = = se añade un sumdero m n a < b = = se añade una fuente unversal conectada con todos los destnos con coste muy elevado. La estructura que presenta la matrz de restrccones del problema tene el sguente aspecto. x x 2 x n x2 x22 x 2n m x m2 x x mn 2 m 2 n 28/09/2009

11 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN S tanto las ofertas a como las demandas de los productos b son números enteros, entonces el valor óptmo de x es entero por ser la matrz totalmente unmodular, por lo que no se necesta recurrr a métodos específcos de resolucón de problemas de programacón entera...3 Problema de transbordo Consste en determnar en una red con n nodos las cantdades óptmas para llevar undades de un producto desde sus orígenes a sus destnos pasando por puntos de transbordo ntermedos. Cada orgen genera b > 0 undades, cada destno consume b < 0 undades y cada transbordo n genera n consume undades b = 0. El coste untaro de transporte desde el orgen hasta el destno en dcho sentdo es c. Hay que determnar las undades de producto transportadas desde a, x 0,,, que mnmzan los costes de transporte tenendo en cuenta la restrccón de balance o conservacón del fluo en cada nudo. mn x n n = = x x = b =,, n (.5) k = k= x 0 n n cx Implíctamente en esta formulacón, se supone que la oferta es gual a la demanda del producto, es decr, n b = 0. = Esta matrz tambén es totalmente unmodular por lo que el problema tambén puede ser resuelto medante programacón lneal. Una matrz es totalmente unmodular s toda submatrz cuadrada tene determnante 0, ó. S la matrz de un problema lneal es totalmente unmodular y las cotas de las restrccones son enteras, entonces todos los puntos extremos del poledro tenen coordenadas enteras (se denomna poltopo entero). 28/09/2009 5

12 ..4 Problema de asgnacón Se trata de asgnar la realzacón de n tareas a n personas (máqunas, etc.). Este problema es un caso partcular del problema de transporte. Por consguente las varables toman valores enteros sn exgr esta condcón en la formulacón del problema. Consste en mnmzar el coste total de realzar las tareas sabendo que cada tarea debe ser hecha por una sola persona y cada persona debe realzar una únca tarea, sendo c el coste de realzar la tarea por la persona. Las varables del problema son x s se asgna la tarea a la persona =,,. 0 en cualquer otro caso mn x n = n = x n = = x = =,, n x = =,, n 0 n cx (.6)..5 Problema de la mochla (knapsack) Se trata de maxmzar el valor total de la eleccón de un conunto de n proyectos sn sobrepasar el presupuesto b dsponble, sendo v y c el valor y coste de cada proyecto respectvamente. El nombre procede de la decsón que toma un montañero que trata de maxmzar el valor de lo que ntroduce en su mochla con una restrccón de máxmo peso admsble. Las varables del problema son s se ele el proyecto x =. Ésta es una utlzacón habtual de las varables 0 en cualquer otro caso bnaras como forma de selecconar una alternatva, un proyecto en este caso. La formulacón del problema es la sguente 28/09/2009

13 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN max x n = { 0,} n cx b (.7) = x vx..6 Problema de recubrmento (set coverng) Exsten m característcas y n combnacones (subconuntos) de dchas característcas. La eleccón de una combnacón mplca realzar todas las característcas de la msma. Se trata de mnmzar el coste total de las combnacones elegdas de manera que se cubra o posea cada característca al menos una vez. Los datos son c el coste de elegr la combnacón y la matrz de pertenenca de cada característca a cada combnacón, x a s pertenece a =. Denomnamos las varables 0 s no pertenece s se elge la combnacón =. El problema se formula de la sguente manera 0 en cualquer otro caso mn x n = n = ax =,, m (.8) x cx { 0,} En la sguente fgura se representa gráfcamente el problema de recubrmento así como los de empaquetado y partcón que se explcan a contnuacón. 28/09/2009 7

14 Fgura. Representacón gráfca de un recubrmento, una partcón y un empaquetado, respectvamente. Veamos a contnuacón un eemplo de recubrmento: asgnacón de trpulacones, tomado de [Hller y Leberman, 2002]. Una compañía aérea necesta asgnar sus trpulacones para cubrr todos sus vuelos. En partcular, quere resolver el problema de asgnar tres trpulacones con base en San Francsco a los vuelos lstados en la prmera columna de la tabla. Las otras columnas muestran las 2 secuencas factbles de vuelos para una trpulacón cualesquera. Los números de cada columna ndcan el orden de los vuelos. Se necesta elegr tres secuencas (una por trpulacón) de manera que se cubran todos los vuelos. Se permte tener más de una trpulacón en un vuelo, donde la/s trpulacón/es extra vaan como pasaeros, pero por conveno laboral la trpulacón extra cobra como s estuvera trabaando. El coste de asgnacón de una trpulacón a cada secuenca de vuelos se da en mllones de euros en la últma fla. El obetvo es mnmzar el coste total de asgnacón de las tres trpulacones para cubrr todos los vuelos. Resolver el msmo problema para el caso en que no se permte el vuelo de una trpulacón fuera de servco en un vuelo. Secuencas factbles SF LA SF Denver SF Seattle 2 LA Chcago LA SF Chcago Denver Chcago Seattle Denver SF Denver Chcago Seattle SF Seattle LA /09/2009

15 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Coste (M ) Se defnen las varables del problema como { 0,} x =,,2 La funcón obetvo será x s se asgna la secuenca =, 0 en cualquer otro caso mn 2x + 3x + 4x + 6x + 7x + 5x + 7x + 8x + 9x + 9x + 8x + 9x Cobertura de cada vuelo al menos una vez x + x + x + x (SF-LA) x + x + x + x (SF-Denver) x + x + x + x (SF-Seatlle) Asgnacón de las tres trpulacones 2 = x = 3 Las solucones óptmas son x3 = x4 = x = y el resto 0 ó x = x5 = x2 = y el resto 0, ambas con coste 8 mllones de. S no se permte que una trpulacón fuera de servco vuele en un avón las restrccones de cobertura de mayor o gual pasan a ser de gualdad. Luego, se trata de un problema de partcón, cuya formulacón se verá a contnuacón...7 Problema de empaquetado (set packng) Se tenen que realzar m proyectos dvddos en n paquetes. La eleccón de un paquete mplca realzar todos los proyectos del msmo. Se trata de maxmzar el benefco total de manera que cada proyecto del conunto de todos los paquetes que lo ncluyen no pueda ser elegdo más de una vez. c es el benefco de elegr el paquete, la matrz de pertenenca de cada proyecto a cada paquete es s pertenece a a. Las varables del problema son 0 s no pertenece La formulacón del problema es la sguente s se elge el paquete x. 0 en cualquer otro caso 28/09/2009 9

16 max x n = n = ax =,, m (.9) x cx { 0,}..8 Problema de partcón (set parttonng) La formulacón es smlar al problema anteror pero en este caso exactamente una característca (proyecto) del conunto de combnacones (paquetes) que la contenen debe ser elegda. max x n = n = ax = =,, m (.0) x cx { 0,}..9 Problema del vaante de comerco (Travelng Salesman Problem TSP) El problema consste en hacer un recorrdo que pase por n cudades sn repetr nnguna y volvendo a la cudad de partda de manera que la dstanca (o tempo o coste) total sea mínma. Es un problema de asgnacón pero con la condcón de que la asgnacón sea un cclo. Es uno de los problemas más mportantes en la hstora de la programacón matemátca por todas las nvestgacones a las que ha dado lugar y por todas las aplcacones que tene, tanto drectamente o aparecendo como subproblema dentro de otros más compleos. En una notca de OR/MS Today (publcada por el Insttute of Operatons Research and the Management Scences (INFORMS)) de uno de 2004, menconaba que se había consegudo resolver un problema del vaante con cudades. Los problemas de enrutamento de vehículos (expedcón o recogda de mercancías) pueden ser formulados de esta manera. Una de las característcas más nteresantes de este problema es que exsten muchas formulacones conocdas para el msmo, ver [Wllams, 999] y [Nemhauser, 999]. Una de ellas es la sguente. Sea c la dstanca entre las cudades y. Se defnen las varables 28/09/2009

17 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN x s se va de la cudad a la cudad = 0 en otro caso T La formulacón del problema es: mn cx : nstante de llegada a cudad x, = x = (.) T T + c m( x), T c m( x) x 0,, T 0 x { } La prmera restrccón ndca que a una cudad sólo se puede llegar una vez desde cualquer cudad. La segunda dce que desde una cudad sólo se puede salr una vez a cualquer otra cudad. Sólo con estas varables no es sufcente para formular el problema, ya que se pueden formar subcclos. La forma de evtarlos es añadendo las varables contnuas...0 Problema de coste fo Los problemas de coste fo aparecen cuando el coste de una varable tene un térmno fo con valor dferente de 0 s la varable toma un valor estrctamente postvo. Es una funcón no lneal y dscontnua. f 0 x = 0 f ( x) = k + cx x > 0 Este coste se puede modelar con ayuda de una varable bnara auxlar y { 0,} defnda como y k x > 0 =, que ndca la realzacón de la actvdad x 0 x = 0. c x 28/09/2009

18 Introducendo la condcón x My,, sendo M una constante, cota superor de x, cuyo valor dependerá del problema, se dstngue entre no realzar la actvdad y realzarla al menos nfntesmalmente. El valor de la constante M debe ser el menor posble ya que esto es computaconalmente benefcoso. El problema lneal entero se formula como sgue x, y n { 0,} n ( ) mn f ( x ) = k y + c x x x y 0 = = My.. Modelado de algunas restrccones especales Supongamos que necestamos consderar en un problema la condcón de que s se produce el producto A tambén se debe producr el producto B. La condcón de produccón de un producto la representamos por la restrccón x. Entonces, la mplcacón es x A x Esta condcón no se puede ntroducr drectamente en un problema lneal porque hace que la estructura del problema (el que se consdere o no una restrccón más x ) depende de que se cumpla otra ( x ) y esto sólo se conoce una vez que se ha B A determnado la solucón óptma. Un problema de optmzacón no se puede redefnr endógenamente, es decr, en funcón de los propos valores que toman las varables del problema. En este apartado se van a modelar en un problema de optmzacón algunas condcones especales (las restrccones lógcas entre ellas) que requeren el uso de varables bnaras para detectar o forzar el cumplmento de restrccones.... Dsyuncones Las dsyuncones mplcan una parea de restrccones donde sólo una (cualquera de las dos) debe satsfacerse, mentras que la otra no es necesaro que se cumpla. Debe cumplrse una al menos pero no necesaramente las dos. f( x) 0 ó gx ( ) 0 B 28/09/2009

19 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Supongamos el eemplo de esta dsyuncón 3x+ 2x2 8 0 ó x+ 4x2 6 0 Veamos cómo estas restrccones se pueden ncorporar en un problema de optmzacón. Añadr una constante de valor elevado M a una restrccón es equvalente a elmnar (relaar) dcha restrccón (se supone que las varables son postvas en estas restrccones), dado que los coefcentes de las varables son tambén postvos. 3x + 2x x + 4x 6 M 2 ó 3x + 2x 8 M 2 x + 4x Se defne la varable bnara auxlar y que seleccona la ecuacón correspondente, se relaa la ecuacón y =. Luego las restrccones dsyuntvas se modelan en un 0 se relaa la ecuacón 2 problema de optmzacón como y = 0. 3x + 2x 8 My 2 x + 4x 6 M( y) 2 S y = se relaa la restrccón pero se oblga a cumplr la 2 y vceversa para Algunas mplcacones son un caso semeante a las restrccones dsyuntvas es equvalente a ya que P f( x ) > 0 gx ( ) 0 f( x) 0 ó gx ( ) 0 Q es equvalente a (No P ) ó Q....2 Cumplr k de N ecuacones Se tene un conunto de N ecuacones de las cuales se han de satsfacer al menos k, sendo k < N. Las dsyuncones son un caso partcular de éste para k = y N = 2. Sea el conunto de N ecuacones 28/09/2009 3

20 f( x,, xn ) 0 f2( x,, xn ) 0 f ( x,, x ) 0 N añadendo una constante M y una varable bnara y para cada ecuacón tenemos f( x,, xn ) My f ( x,, x ) My f ( x,, x ) My 2 n 2 N n N donde además se mpone la condcón de selecconar solamente k ecuacones....3 Selecconar entre N valores N = n y = N k { 0,} y =,, N Sea una funcón con múltples posbles valores y se desea elegr uno de ellos. d d f( x,, xn ) = d La manera de modelarlo es ntroducendo una varable bnara auxlar y por cada valor y la condcón de eleccón únca....4 Implcacones sencllas f ( x,, x ) = d y N = { } 2 N n = y 0, =,, N y = Retomemos el eemplo de la restrccón que aparecía en el problema de coste fo x Mδ N 28/09/2009

21 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN sendo M una cota superor postva de x (por eemplo, 0 6 ), m x M y δ la varable bnara. Por clardad en la explcacón en este apartado se utlza la letra grega δ para denomnar a la varable bnara auxlar. S δ = la restrccón no oblga a nada ya que x M se cumple por defncón. S δ = 0 entonces x 0. Luego esta restrccón permte modelar la mplcacón δ = 0 x 0 (s δ = 0 entonces se cumple que x 0 ) Por otra parte, s x > 0 entonces δ =. S x 0 la restrccón no oblga a nada. x > 0 δ = (s x > 0 entonces se cumple que δ = ) Ambas son mplcacones equvalentes puesto que P Q es equvalente a No Q No P. Luego, la restrccón lneal x Mδ nos permte representar dchas mplcacones en un problema lneal. De forma análoga veamos la restrccón x mδ sendo m una cota nferor negatva de x (por eemplo, 0 6 ), m x M y δ la varable bnara. S δ = la restrccón no oblga a nada ya que x m se cumple por defncón. S δ = 0 entonces x 0. Luego esta restrccón permte modelar la mplcacón δ = 0 x 0 (s δ = 0 entonces se cumple que x 0 ) Por otra parte, s x < 0 entonces δ =. S x 0 la restrccón no oblga a nada. x < 0 δ = (s x < 0 entonces se cumple que δ = ) Nuevamente ambas son mplcacones equvalentes puesto que P equvalente a No Q No P. Q es En resumen, hasta ahora hemos vsto la representacón en un problema lneal de las sguentes mplcacones δ = 0 x 0 x Mδ x > 0 δ = δ = 0 x 0 x mδ x < 0 δ = 28/09/2009 5

22 A contnuacón, vamos a generalzar la representacón de mplcacones para cualquer tpo de restrccón genérca....5 Implcacones de una restrccón La mplcacón δ = ax b es equvalente a ax b+ M( δ ) sendo una cota superor de la restrccón para cualquer valor de cualquer x,. Efectvamente de manera drecta se deduce que s δ = se mpone la ax b M restrccón orgnal y s δ = 0 no mplca nada (se relaa la restrccón orgnal). Análogamente al caso anteror esta restrccón tambén representa la mplcacón La mplcacón ax > b δ = 0 ax b δ = se puede transformar en δ = 0 ax > b o ben en δ = 0 ax b+ ε que es equvalente a ax b+ ε + ( m ε) δ sendo m una cota nferor de la restrccón para cualquer valor de cualquer x,. ax b m...6 Implcacones de una restrccón De manera smétrca se pueden representar las mplcacones con restrccones de tpo mayor o gual. 28/09/2009

23 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN La mplcacón ax δ = b es equvalente a ax b+ m( δ ) sendo m una cota nferor de la restrccón para cualquer valor de cualquer x,. Efectvamente de manera drecta se deduce que s δ = se mpone la ax b m restrccón orgnal y s δ = 0 no mplca nada (se relaa la restrccón orgnal). Análogamente al caso anteror esta restrccón tambén representa la mplcacón La mplcacón ax < b δ = 0 ax b δ = se puede transformar en δ = 0 ax < b o ben en δ = 0 ax b ε que es equvalente a ax b ε + ( M+ ε) δ sendo M una cota superor de la restrccón para cualquer valor de cualquer x,. ax b M...7 Implcacones de una restrccón = Para deducr las mplcacones de restrccones gualdad se transforman en ecuacones de tpo mayor o gual y menor o gual smultáneamente. La mplcacón δ = ax = b es equvalente a 28/09/2009 7

24 Luego se representa por las ecuacones δ = ax b δ = ax b ax b+ M( δ ) ax b+ m( δ ) Efectvamente para δ = se cumplen ambas restrccones y para δ = 0 ambas se relaan. La mplcacón ax = b δ = es una combnacón de los casos anterores smultáneamente que se modela con las restrccones ax b δ = ax y además δ = y δ = δ = b δ = ax b+ ε + ( m ε) δ ax b ε + ( M+ ε) δ y la restrccón adconal que ndca el cumplmento de ambas....8 Implcacones dobles δ + δ δ Para formular mplcacones dobles éstas se desdoblan en las mplcacones undrecconales correspondentes. δ = ax b δ = ax bes equvalente a ax b δ = 28/09/2009

25 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN y lo msmo para los otros tpos de restrccones...2 Problemas de produccón con elastcdad en los precos y/o costes En algunos problemas de produccón se puede suponer que hay una gananca untara fa asocada a cada producto, con lo que la funcón obetvo de benefco que se obtene es lneal. Sn embargo, en otros problemas certos factores ntroducen no lnealdades en la funcón obetvo. Por eemplo, un gran fabrcante puede encontrar precos elástcos medante los cuales la cantdad que se puede vender de un producto va en relacón nversa con el preco que se cobra. La curva preco-demanda, p( x ), que representa el preco untaro que se necesta para poder vender x undades, sería una funcón no lneal decrecente, nunca nferor al coste untaro de produccón c. Así el margen de contrbucón de la empresa (ngreso bruto menos coste de produccón, benefco neto, EBITDA) vendría determnado por Px ( ) = xpx ( ) cx S, además, la empresa tene una funcón semeante para cada uno de los n productos que puede fabrcar la funcón obetvo global sería una suma de funcones no lneales. n n f ( x) = P( x) = x p ( x ) c x = = Otra razón por la que pueden surgr no lnealdades en la funcón obetvo es a causa de los costes de produccón, ya que éstos pueden varar con el nvel de produccón. Por eemplo, el coste puede decrecer cuando aumenta el nvel de produccón gracas al efecto de una curva de aprendzae (mayor efcenca con más experenca) o aumentar por necesdad de tempos extra o nstalacones más costosas. Las restrccones tambén se pueden ver afectadas por estos tpos de no lnealdades. Una que surge nmedatamente es la restrccón de presupuesto, s exste, cuando los costes de produccón varían como se ha descrto anterormente. Tambén serán funcones no lneales las asocadas a los recursos, sempre que el uso de un determnado recurso no sea proporconal a los nveles de los respectvos productos...3 Problema de transporte con descuentos por volumen El problema de transporte que se ha consderado hasta el momento supone que el coste por undad envada de un orgen a un destno dados es fo, ndependentemente de 28/09/2009 9

26 la cantdad mandada. Sn embargo, una stuacón muy habtual es que se dsponga de descuentos por cantdad para volúmenes grandes, con lo que la funcón de coste untara sería una funcón no lneal con pendente no crecente. Una alternatva es aproxmar esta funcón no lneal por una polgonal. Así pues, el coste de embarcar x undades vene dado por una funcón polgonal, Cx, ( ) contnua, con pendente en cada tramo gual al coste untaro de transporte. En consecuenca, s cada combnacón de orgen y destno tene una funcón semeante, la funcón obetvo sería m n f ( x) C ( x ) = = = Al ser una funcón polgonal cóncava en un problema de mnmzacón se modelará ntroducendo varables bnaras de seleccón del segmento de la polgonal...4 Seleccón de una cartera de nversones Actualmente, cuando se plantea la seleccón de una cartera de nversones, los nversores se preocupan tanto por el rendmento esperado como por el resgo asocado a su nversón y para obtener un modelo que permta determnar una cartera que, con certas suposcones, combne de forma óptma estos factores se utlza la programacón no lneal. Supongamos que se están consderando n tpos de accones para nclurlas en la cartera; las varables de decsón x, =,, n representan el número de accones que se van a nclur. Sean μ y σ la meda y la varanza del rendmento sobre cada accón de tpo, en donde σ es una medda del resgo de estas accones. Sea σ la covaranza del rendmento sobre una accón de cada tpo y. Entonces, el valor esperado R( x ) y la varanza V( x ) del rendmento total de la cartera son Rx ( ) = V( x) = n = n μ x n = = σ xx con lo que la funcón obetvo del modelo resultante es f ( x) = R( x) βv( x) 28/09/2009

27 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN donde β se denomna factor de aversón al resgo, ya que cuanto mayor sea mayor mportanca (negatva) se le da en la funcón obetvo a la varabldad (la volatldad del rendmento no es más que su desvacón estándar) de la nversón fnal. Como restrccón se ncluye la restrccón del presupuesto y la no negatvdad de las varables ( P representa el coste de cada accón de tpo y B es el presupuesto): n = x 0 =,..., n Px B..5 Referencas Hller, F.S., Leberman, G.J. (2002) Investgacón de Operacones. 7ª edcón. McGraw Hll. Nemhauser, G.L. and Wolsey, L.A. (999) Integer and Combnatoral Optmzaton. John Wley and Sons. Wllams, H.P. (999) Model Buldng n Mathematcal Programmng. 4th Edton. John Wley and Sons. Wolsey, L.A. (998) Integer Programmng. John Wley and Sons...6 Bbloteca de problemas PROBLEMA: AYUDA EN EMERGENCIAS Tenen que transportarse sacos con almentos medante tres tpos de avones A, A2, A3, desde un aeropuerto y arroarse en las aldeas V, V2, V3, V4, V5, afectadas por nundacones. La cantdad de almentos (en undades adecuadas) que cada avón puede transportar a cada aldea en cada vae, se da en la sguente tabla. El número de vaes que puede hacer cada avón se da en la últma columna y el número máxmo de avones que puede recbr daramente cada aldea en la últma fla. Encontrar el número de vaes que deberá hacer cada avón a cada aldea de forma que se maxmce la cantdad de almento dstrbudo por día. V V2 V3 V4 V5 A A /09/2009 2

28 A PROBLEMA: CONSTRUCCIÓN DE ALMACENES Una compañía planea construr varos almacenes para guardar un certo producto. Estos almacenes surtrán a dos grandes clentes con las undades demandadas mensualmente apuntadas en la últma fla de la tabla. Se pueden construr hasta tres almacenes, que se tenen como canddatos, con capacdades expresadas en la últma columna. Usando el coste estmado de construccón de los almacenes, su vda útl y el valor del dnero en el tempo, los costes de construccón por mes para los tres almacenes se han estmado en 8000, 2000 y A contnuacón se dan los costes de transporte por undad desde los tres almacenes canddatos a los clentes. Clente Clente 2 Capacdad Almacén Almacén Almacén Demanda Determnar qué almacenes se deben construr y cómo se ha de satsfacer la demanda de los clentes. PROBLEMA: TRANSPORTE DE ELECTRODOMÉSTICOS Una compañía tene dos fábrcas, una en Alcante y otra en Huelva. Las dos fábrcas producen frgorífcos y lavadoras. Las capacdades de produccón de estos artículos en Alcante son de 5000 y 7000, respectvamente, y en Huelva de 8000 y La compañía entrega estos productos a tres grandes clentes en las cudades de Barcelona, A Coruña y Valenca, sendo las demandas: Demanda/Clente Barcelona A Coruña Valenca Frgorífcos Lavadoras /09/2009

29 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Los artículos se transportan por ferrocarrl. En la tabla sguente se muestran los costes untaros de transporte y las lmtacones para envar cualquera de los dos productos de cada fábrca a cada clente: Barcelona A Coruña Valenca Alcante Coste untaro Máxmo undades Huelva Coste untaro Máxmo undades Se desea mnmzar el coste total de transporte. PROBLEMA: LOGÍSTICA Una empresa tene dos factorías, F y F2, con las que abastece a tres almacenes de dstrbucón, D, D2 y D3, de dos artículos, A y A2. Los costes de transporte de una undad de cualquera de los dos artículos desde cada factoría a cada almacén se dan en la tabla zquerda, en tanto que los precos de venta untaros de cada artículo en cada almacén se dan en la tabla derecha. Coste Tr D D2 D3 Preco D D2 D3 F A F A El tempo, expresado en mnutos, que se tarda en fabrcar una undad de cada artículo en cada una de las factorías se reflea en la tabla zquerda, en tanto que los costes untaros de fabrcacón de cada artículo en cada factoría aparecen en la tabla derecha. Tempo A A2 Coste Fb A A2 F F 8 6 F2 0 5 F2 5 0 La capacdad de produccón de la factoría es de 260 horas y la de la factoría 2 de 240 horas. 28/09/

30 Las demandas mínmas de cada uno de los artículos que en cada almacén deben ser satsfechas son expresadas en la tabla sguente. D D2 D3 A A Por últmo y por cuestones de tpo técnco y de polítca de empresa, nunca se pueden producr en cualquera de las factorías más de 500 undades de un artículo que de otro. Se trata de elaborar un modelo que proporcone el meor programa de produccón y dstrbucón para maxmzar el benefco neto. Se modfca la solucón s el tempo de eecucón de A2 en F se reduce en medo mnuto? PROBLEMA: GESTIÓN DE AUTOBUSES En una cudad se ntenta dsmnur la contamnacón reducendo la crculacón nterurbana. Un prmer estudo busca determnar el mínmo número de autobuses que satsfagan las necesdades de transporte. Después de recoger la nformacón se observa que este número varía según la hora del día, pero se puede consderar constante en ntervalos sucesvos de cuatro horas: 00:00 a.m. 4:00 a.m. 4 2:00 m. 4:00 p.m. 7 4:00 a.m. 8:00 a.m. 8 4:00 p.m. 8:00 p.m. 2 8:00 a.m. 2:00 m. 0 8:00 p.m. 00:00 a.m. 4 Los turnos de autobuses funconan durante ocho horas segudas y pueden comenzar al prncpo de cualquera de los ses perodos descrtos anterormente. Además, s en el turno que comenza a las 8:00 p.m. hay estrctamente más de 4 autobuses, en el sguente ha de haber tambén estrctamente más de 4. Plantear un problema de programacón lneal entera para determnar el mínmo número de autobuses daro que satsface las necesdades anterores. PROBLEMA: ADQUISICIÓN DE CAMIONES 28/09/2009

31 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Una compañía de transportes tene 0 camones con capacdad kg y 5 camones de kg. Los camones grandes tenen un coste varable de combustble de 0.30 /km y los pequeños de 0.25 /km. En una semana la empresa debe transportar kg en un recorrdo de 800 km. La posbldad de otros compromsos recomenda que por cada dos camones pequeños mantendos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Cuál es el número óptmo de camones de ambas clases que deben movlzarse para ese transporte y tenendo en cuenta las restrccones? PROBLEMA: PLANIFICACIÓN DEL METRO En una determnada cudad se va a construr la red del metro. La empresa encargada ha de decdr qué líneas construr y para ello tene varas opcones. Exsten 0 puntos claves por los que ha de pasar la red y se ha vsto que son 8 las posbles líneas a construr. Las líneas posbles, los puntos clave por los que pasaría cada una y su coste estmado de construccón en undades apropadas, son: Puntos clave Coste L P P2 P3 P4 4 L2 P P3 P5 P7 4 L3 P2 P3 P4 P6 4 L4 P5 P7 P9 P0 4 L5 P2 P7 P8 3 L6 P P4 P5 P0 4 L7 P3 P8 P9 3 L8 P2 P6 P0 3 Además, por el punto P2 han de pasar al menos dos líneas; y, s los puntos P3 y P7 no quedan conectados por una línea drecta, entonces debe exstr un transbordo en P8 de modo que pase una línea que una este punto con el P3 y otra con el P7. Plantear como un problema de programacón lneal entera el problema de decdr qué líneas construr de la forma más económca con estas restrccones tenendo en cuenta que por cada punto clave debe pasar al menos una línea. 28/09/

32 PROBLEMA: OFICINA DE CORREOS Una ofcna de correos necesta dstnto número de empleados de ornada completa para cada día de la semana, tal como se da en la tabla adunta. Las reglas sndcales señalan que cada empleado de ornada completa tene que trabaar durante cnco días consecutvos y, a contnuacón, descansar dos días. Por eemplo, un empleado que trabae de lunes a vernes tene que descansar sábado y domngo. La ofcna de correos quere cumplr con sus requermentos daros y utlzar sólo empleados de ornada completa. Formular medante programacón matemátca un modelo que pueda utlzar la ofcna de correos para mnmzar el número de empleados de ornada completa a contratar. Empleados Lunes 7 Martes 3 Mércoles 5 Jueves 9 Vernes 4 Sábado 6 Domngo PROBLEMA: ABASTECIMIENTO Una empresa abastecedora de agua tene que llevar agua de un punto s a un punto t y para realzar la conexón entre ambos puntos ha de pasar por unos puntos ntermedos. Cada conexón entre un par de puntos tene un coste estmado de construccón y, una vez construda, un coste untaro de envío de cada ltro y una capacdad por hora que se recogen en la sguente tabla: Conexón Coste Coste envío Capacdad construccón l/mn l/mn s /09/2009

33 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN s t t t Plantear un problema de programacón matemátca s se queren envar 80 ltros por mnuto de la forma más económca posble, tenendo en cuenta que s se construye la conexón de s a 2 ha de hacerse la de 2 a t. PROBLEMA: ADQUISICIÓN DE MÁQUINAS TROQUELADORAS Una compañía tene tres tpos de máqunas troqueladoras de dferente velocdad y precsón: Velocdad (pezas/hora) Precsón (%) Coste ( /hora) Tpo Tpo Tpo Cada día (8 horas) se deben procesar por lo menos 3500 pezas y hay dsponbles 8 máqunas del tpo, 0 del tpo 2 y 20 del tpo 3. S cada peza errónea le cuesta a la compañía céntmo. Cuántas máqunas de cada tpo se deben utlzar para mnmzar los costes? PROBLEMA: SECUENCIACIÓN DE TRABAJOS EN UNA MÁQUINA Dados unos trabaos que realzar, una duracón de éstos y una fecha de entrega prevsta, plantear un problema de programacón lneal entera para encontrar la secuenca que mnmza el retraso o demora meda con que los trabaos son entregados, con los sguentes datos: 28/09/

34 Tarea T T2 T3 T4 Tempo de proceso Fecha de entrega PROBLEMA: PRODUCCIÓN II En una empresa famlar se producen dos tpos de productos, y 2, procesando matera prma. Se pueden comprar hasta 90 kg de matera prma a un coste de 0 /kg. Se puede usar kg de matera prma para producr kg de producto o para producr /2 kg del producto 2. Usar kg de matera prma para producr el producto requere 2 horas de mano de obra. Usar kg de matera prma para procesar el producto 2 requere 3 horas de mano de obra. Se dspone de 300 horas de mano de obra a 3 /hora. Se pueden vender a lo sumo 40 kg del producto 2. El producto se vende a 29 /kg y el producto 2 a 69 /kg. Además exste una lmtacón nferor y superor en caso de que se produzca alguna cantdad de cada artículo. Es decr, s se produce algo del producto ha de ser más de 5 y menos de 30 kg y s se produce algo del producto 2 ha de ser más de 0 y menos de 20 kg. Plantear el problema y obtener la solucón óptma. PROBLEMA: PRODUCCIÓN E INVENTARIO Una empresa desea planear su polítca de produccón/nventaro para los meses de agosto, septembre, octubre y novembre. La demanda estmada del producto para esos meses es de 500, 600, 800 y 000 undades, respectvamente. En la actualdad, la capacdad de produccón mensual es de 600 undades con un coste de La admnstracón ha decddo nstalar un nuevo sstema de produccón con capacdad mensual de 00 undades a un coste por undad de Sn embargo, el nuevo sstema no puede ser nstalado hasta novembre. Supóngase que el nventaro ncal es de 250 undades y que, durante cualquer mes dado, se pueden almacenar a lo sumo 400 undades. S el coste mensual por undad por mantener en nventaro es de 300, mnmzar el coste total de produccón e nventaro. Suponer que se debe satsfacer la demanda y que se requere tener 00 undades en nventaro al fnal de novembre. PROBLEMA: MISIÓN PACÍFICA 28/09/2009

35 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN En una msón pacífca de las Nacones Undas se dspone de 5 avadores para formar las trpulacones de dos avones bplaza. Estos avadores son de dstntas naconaldades: Español, Francés, Italano, Grego y Portugués. Como en toda cuestón dplomátca las relacones nternaconales son de gran peso, cada una de las dstntas composcones de las trpulacones conlleva un benefco, sendo éstos: Francés Italano Grego Portugués Español Francés Italano 5 4 Grego 3 Por otra parte, estas msmas relacones nternaconales hacen que s una trpulacón está formada por el avador español y el talano la otra ha de estar formada por el avador francés y el grego. Formular el problema de programacón lneal entera. PROBLEMA: MEZCLA DE CRUDO La empresa Sunco Ol produce dos tpos de gasolna ( y 2), cada una de ellas mezclando dos tpos de crudo ( y 2). Los precos de venta de cada barrl de gasolna son 7000 y 6000, respectvamente. Por su parte, los precos de compra de los dos tpos de crudo son de 4500 y 3500 por barrl, respectvamente. Se pueden comprar hasta 5000 barrles de cada crudo daros. Los dos tpos de gasolna dferen en su índce de octano y en su contendo en azufre. La mezcla del petróleo crudo que se utlza para obtener la gasolna ha de tener un índce de octano promedo de al menos 0 y a lo sumo un % de azufre. La mezcla que se obtene para la gasolna 2 ha de tener un índce promedo de octano de por lo menos 8 y a lo sumo un 2 % de azufre. Los índces de octano y el contendo en azufre de los dos tpos de crudo son: Crudo Octano Azufre La transformacón de un barrl de petróleo en un barrl de gasolna cuesta 400 y la refnería de Sunco puede producr daramente hasta 9000 barrles de gasolna. 28/09/

36 Los clentes de Sunco actualmente demandan 3000 barrles de la gasolna y 2000 de la gasolna 2. Sn embargo, Sunco tene la posbldad de estmular la demanda medante la publcdad, de modo que cada euro nvertdo en la publcdad de cada tpo de gasolna, aumenta la demanda dara de ese tpo de gasolna en 0. barrles (s por eemplo gasta 000 en publcdad de la gasolna aumenta la demanda de gasolna en 00 barrles). Formular un problema de programacón lneal que permta a Sunco maxmzar sus ganancas daras. PROBLEMA: PRODUCCIÓN VI Una planta de produccón dspone de m máqunas para llevar a cabo su produccón. La demanda semanal del producto es conocda para las sguentes n semanas, dem sendo cada una de las semanas, y ha de ser satsfecha. Cada una de las máqunas puede estar arrancada y producendo durante cada semana o no, pero s lo está tene un coste fo por estar arrancada de cf, sendo su produccón máxma pm. Además, el coste untaro de produccón con cada una de las máqunas es varable con las semanas, sendo cv por undad de producto, y el coste de almacenamento de una semana a otra está estmado en calm por undad de producto. Por otra parte, arrancar una máquna para acoplarla una semana s no lo estaba la anteror tene un coste de arranque carr. Se supone que todas las máqunas ncalmente están arrancadas (no hay coste de arranque para la prmera semana). a) Plantear un modelo lneal para optmzar la planfcacón de la produccón sendo el horzonte de planfcacón las n semanas. b) Sobre la formulacón anteror supóngase ahora que cuando una máquna para, ha de hacerlo al menos dos semanas consecutvas por razones técncas, cómo se modelaría esta nueva condcón? PROBLEMA: TRANSPORTE POR FERROCARRIL Una empresa de transporte opera en una línea ferrovara con un determnado materal rodante que puede transportar un volumen máxmo V y un peso máxmo P de mercancías, transportando dstntas mercancías de otras empresas. Para un determnado día dspone de dstntas solctudes de mercancías, de modo que de cada mercancía 28/09/2009

37 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN conoce la cantdad máxma a transportar mx, el volumen v y peso p untaros, el pago que el propetaro de la mercancía está dspuesto a pagar a la empresa por cada undad transportada, b, y el coste que estma la empresa por cada undad a transportar, c. La empresa de transporte desea tener un modelo que le permta elegr cada día las cantdades de las mercancías que le proporconen mayor benefco a partr de estos datos daros. A su vez, puede varar la capacdad del materal rodante, tanto en volumen o peso, de modo que desea saber en cuánto puede valorar cada undad extra de volumen y de peso de la que puede dsponer, para saber cuánto puede estar dspuesto a pagar por un aumento de éstos. Por otra parte, a los propetaros de las mercancías que no son transportadas, puede y debe nformarles de la cantdad en la que deberían aumentar su oferta para que su mercancía fuera transportada (en detrmento de otras). a) Presentar un modelo lneal para este problema, suponendo que las cantdades se pueden fracconar. Qué elementos del modelo darías como resultado para responder a las dstntas preguntas planteadas? b) Supóngase ahora que la oferta conlleva un descuento por volumen de modo que la cantdad que un propetaro paga por cada undad es de la forma a gx, donde x es la cantdad transportada. Plantear el nuevo modelo. c) Sobre el planteamento del apartado a), supóngase que lo que hay es una capacdad de volumen y peso por vagón, V y P, y que hay que decdr además de cuánto transportar, cuántos vagones hay que enganchar, exstendo un coste untaro por vagón utlzado, cvag. Plantear el nuevo modelo. PROBLEMA: EDICIÓN DE CDS Una compañía dscográfca está pensando en edtar una coleccón de grandes éxtos de uno de sus cantantes más famosos. Todas sus cancones han sdo agrupadas en doce lotes. Cada lote ocupa tene un certo tamaño expresado en MB y tene asocado un índce de marketng (relaconado con su demanda esperada). Lote Tamaño Índce marketng /09/2009 3

38 Los lotes van a ser grabados en una sere de CDs, cada uno con una capacdad máxma de 700 MB. Además, para que el CD funcone en el mercado, se estma que debe tener un índce de marketng superor a 45. Por otro lado, y dado el contendo de sus cancones, los lotes, 2 y 3 se han de grabar en CDs dstntos. El obetvo de la compañía es maxmzar el número de CDs edtados, utlzando todos los lotes de cancones y sn edtar más de una vez el msmo lote. PROBLEMA: VUELOS CHARTER Una compañía aérea tene una flota de 5 aeronaves: 5 de cada uno de tres tpos A, B y C, cuyas respectvas capacdades para el transporte de vaeros son de 80, 68 y 55 personas. Una agenca de vaes le solcta presupuesto para trasladar a 372 personas. La compañía analza sus costes, que dependen del número de avones de cada tpo que quera utlzar para transportar a esas personas, datos que se dan en la sguente tabla en mles de euros Tpo A B C /09/2009

39 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN Además la compañía aérea ncurre en un coste fo adconal de 6 k por cada tpo de avones que utlce. Proponer un modelo de programacón lneal entera cuyo obetvo sea determnar la composcón óptma de la flotlla de avones que va a realzar el transporte para mnmzar los costes de la operacón. PROBLEMA: PROVEEDORES Tres almacenes deben abastecer a cuatro mercados de certo número de undades de un producto. Los costes untaros de transporte (en ), las exstencas en los almacenes y las necesdades de los mercados se dan en la tabla sguente. M M2 M3 M4 Exstencas en almacenes A A A Demandas en mercados Cuando un almacén abastece a un mercado ha de frmar un contrato para establecerse como proveedor del mercado, de modo que ha de pagar una cantdad por el únco hecho de ser proveedor, establecda en 00. La demanda de los mercados ha de ser satsfecha.. Establecer un programa lneal entero que permta obtener el plan de abastecmento más económco. 2. Sobre el planteamento anteror, s de un almacén cualquera se envía a todos los mercados un total de menos de 00 undades, sus costes untaros de la tabla anteror se ncrementan en 2, es decr, el coste untaro de la tabla es para todas las undades envadas desde un almacén a un mercado s la cantdad total que el almacén envía es mayor o gual que 00. Establecer un programa lneal entero que permta obtener el plan de abastecmento más económco. PROBLEMA: COMPOSICIÓN DE PIENSO 28/09/

40 Un pequeño ganadero almenta sus reses con una mezcla de dos pensos compuestos, P y P2, que él msmo elabora, y en los que es posble encontrar tres nutrentes N, N2 y N3, de acuerdo con lo refleado en la tabla, donde se da el contendo, en gramos, de cada nutrente por klo de penso compuesto. N N2 N3 Adtvos P P Los costes de fabrcacón de un klo de cada penso son de 0.3 para P y de 0.36 para P2. Las necesdades daras de una res respecto a los nutrentes consderados son: N: entre 250 y 300 gramos, con una cantdad óptma de 250 gramos N2: entre 325 y 460 gramos, con una cantdad óptma de 400 gramos N3: entre 450 y 600 gramos, con un óptmo de 500 gramos. La desvacón, en más o en menos, de la cantdad de nutrentes proporconados a una res respecto al valor óptmo antes ndcado requere un tratamento compensatoro, con costes de 0.0 por gramo, en el caso de N, por gramo en el caso de N2 y de por gramo en el caso de N3.. Plantear un modelo de programacón lneal para determnar qué cantdad de cada penso hay que proporconar a cada res para que el coste de su almentacón sea mínmo 2. Además, s la cantdad utlzada de P fuera estrctamente mayor que el doble de la de P2 el coste de P se ncrementaría en 0.05 /kg. Modfcar el modelo anteror añadendo este supuesto y sn que dee de ser lneal. PROBLEMA: EXPLOTACIONES GANADERAS En dos explotacones ganaderas G y G2 se crían vacas y cerdos, con los cuales se ntenta satsfacer las demandas de tres mataderos ndustrales M, M2 y M3. Las dsponbldades y demandas actuales de vacas y cerdos en explotacones y mercados, así como los costes de transporte untaros entre ellos, en, se resumen en las sguentes tablas. Vacas Cerdos 28/09/2009

41 MODELOS OPERATIVOS DE GESTIÓN M M2 M3 Dsponbldad M M2 M3 Dsponbldad G G Demanda En cada explotacón hay 6 vehículos especalmente adaptados para el transporte de vacas y 8 para el de cerdos. Un vehículo para vacas tene una capacdad en volumen de 00 undades y uno para cerdos tene una capacdad de 80 undades de volumen. Con ndependenca de la explotacón ganadera y del matadero entre los que puedan hacer un vae, el uso de un camón para vacas tene un coste fo de 200, además del coste drectamente asocado a las vacas transportadas. Por lo que hace a los camones para cerdos, dcho coste fo es de 65. Una vaca ocupa 2 undades de volumen y un cerdo 3.. Elaborar un modelo de programacón lneal entera que satsfaga las demandas de los mataderos con un coste de transporte mínmo. 2. Supóngase ahora que tambén es posble, s convene, transportar cerdos en un camón para vacas, aunque ello supone certas adaptacones que ncrementan el coste untaro de transporte de los cerdos en 2. De la msma forma, es posble transportar vacas en los vehículos para cerdos, con un coste untaro adconal de 0. Suponendo que en un camón pueden r vacas o cerdos smultáneamente, elaborar un modelo de programacón lneal entera que satsfaga las demandas de los mataderos con un coste de transporte mínmo. PROBLEMA: CORTE DE BOBINAS La empresa EIVISSA se dedca a la fabrcacón de bobnas madre de plástco con un ancho de 6000 mm. Sus clentes son empresas de envasado cuyos peddos son bobnas ha de anchos nferores, tal como aparecen en la sguente tabla: Peddo Anchura [mm] Fecha de entrega [horas] /09/