Captura de objetos móviles sobre una recta *

Transcripción

1 Morfsmos, Vol. 18, No. 1, 2014, pp Captura de objetos móvles sobre una recta * Lus E. Urbán Rvero Rafael López Bracho Francsco J. Zaragoza Martínez Resumen En el problema del agente vajero eucldano se tene un conjunto de n puntos en el plano y se desea que un agente los vste todos recorrendo la mínma dstanca eucldana posble. Presentamos una varante de este problema en la que los puntos son móvles y exsten durante un tempo fnto sobre una recta fja. Usando técncas de programacón lneal encontramos algortmos de tempo polnomal, que verfcan s un orden de captura dado es factble y, en ese caso, mnmzan el tempo de captura y la dstanca total recorrda Mathematcs Subject Classfcaton: 90C08, 90C90. Keywords and phrases: Problema del agente vajero, objetos móvles. 1. Introduccón En el problema del agente vajero (Travelng Salesman Problem, TSP) se tene un conjunto de n cudades y se pretende encontrar un recorrdo de costo mínmo para vstar todas las cudades y regresar al lugar donde empezó el recorrdo. S pensamos en la versón eucldana de este problema en dos dmensones (Eucldean TSP), cada lugar a vstar es un punto en el plano eucldano y el costo de moverse de un punto a otro es la dstanca eucldana. Se sabe que TSP es NP completo [5] y que Eucldean TSP es NP duro [3]. * Este trabajo es parte de la tess de maestría del prmer autor que será presentada en el Posgrado de Optmzacón de la UAM Azcapotzalco bajo la supervsón del Dr. Rafael López Bracho y el Dr. Francsco Javer Zaragoza Martínez, ambos del Departamento de Sstemas de la UAM Azcapotzalco. 45

2 46 Urbán Rvero, et. al. Partendo de lo anteror, podemos magnar que cada lugar a vstar es un punto móvl en el plano que se desplaza con su propa velocdad constante, como se muestra en la Fgura 1. Ésta es una generalzacón de Eucldean TSP, puesto que en él todos los puntos tenen una velocdad de 0. Se ha demostrado que s la cantdad de objetos que se mueven es a lo más O(log n/ log log n), se tene una garantía aproxmacón de 1 + α, donde α es la garantía para un algortmo de aproxmacón de Eucldean TSP. A este problema se le conoce como agente vajero con objetvos móvles (Movng Target TSP, MTTSP) [1]. Por lo anteror, podemos decr que MTTSP es al menos tan complejo como Eucldean TSP. s 3 C 1 C 2 C 3 B 2 B 1 s 2 O A 1 s 1 Fgura 1: Ejemplo de MTTSP donde exsten tres objetos móvles s 1, s 2 y s 3. Tambén se muestran las poscones de captura (A 1, B 2, C 3 ) de cada uno de ellos, dado su vector movmento. 2. Problemas de captura sobre una recta En [1] se propone una varante de MTTSP donde los puntos móvles a capturar están sobre una msma línea recta, se comenza en el orgen y no se tene que regresar a ese msmo punto. Para esa varante se muestra un algortmo de orden cuadrátco que lo resuelve. Es a partr de esta varante como llegamos a los problemas que plantea este artículo, en donde la dferenca prncpal radca en que los objetos tenen un ntervalo

3 Captura de objetos móvles sobre una recta 47 de exstenca sobre la recta y una poscón de aparcón, como se muestra en la Fgura 2. El prmer problema, que llamaremos captura de todos los objetos móvles sobre una recta (CTOMSR), se defne como sgue: Dado un agente con rapdez varable (acotada superormente por una constante U) y n objetos móvles, cada uno con un momento de aparcón (a ), un momento de desaparcón (d ), una poscón de aparcón (p ) y una velocdad (v ), se quere decdr s el agente es capaz de capturar todos los objetos en el orden 1, 2,..., n. En caso de que sí se pueda, se pueden formular otros dos problemas: por un lado se desea mnmzar el tempo de captura (CTOMSR rápdo) y por otro lado se desea mnmzar la dstanca total recorrda (CTOMSR perezoso). En estos problemas dar un orden predefndo de captura tene sentdo, porque en prncpo se tene que determnar s es posble capturar a todos los objetos, stuacón que marca una dferenca respecto al Eucldean TSP donde ello resulta ser trval. Se sabe que el problema de determnar s es posble capturar a todos los objetos sn un orden predefndo de captura es NP Completo [4]. Por otro lado, s además no se tuveran ntervalos de tempo se sabe que el problema se puede resolver en tempo polnomal [1]. Esta stuacón ntermeda determna la mportanca de los tres problemas a tratar. obj 1 A obj 1 A A obj1 obj A obj A obj Fgura 2: Ejemplo del problema propuesto que muestra cómo se mueve el agente con rapdez entre 0 y 1 en la recta, a la zquerda con rapdez 0.75 y a la derecha con rapdez 1 (en dstntos perodos de tempo), así como la aparcón y desaparcón de objetos móvles.

4 48 Urbán Rvero, et. al Modelos lneales Ahora podemos ubcar la poscón y el tempo en un plano, con lo cual los puntos móvles sobre la recta se convertrán en segmentos de recta en el plano poscón vs tempo (x vs t). S x y t son la poscón y el momento de captura del objeto, es necesaro que se capture en el ntervalo de exstenca del objeto, es decr: a t d. Tambén se necesta que dcho punto esté sobre la recta que descrbe el segmento que queremos ntersectar, es decr: x p = v (t a ). Además, el agente debe poder capturar al objeto o, dcho de otro modo, el objeto debe estar en el rango de ntercepcón del agente, es decr: U(t t 1 ) x x 1 U(t t 1 ). Adconalmente se necesta la relacón de orden de captura, es decr: t 1 t. El modelo descrto se puede vsualzar en la Fgura 3. Aunque la poscón ncal del agente pudera ubcarse en cualquer punto de la recta, sn pérdda de generaldad supondremos que el agente partrá del orgen, es decr t 0 = 0 y x 0 = 0. Por últmo, sólo nos queda decr que el tempo es no negatvo t 0 y la poscón x es lbre porque se puede capturar cualquer objeto en cualquer parte de la recta donde el objeto exsta. El modelo lneal completo del problema de capturar todos los objetos móvles sobre una recta (CTOMSR) queda como sgue: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) t a = 1,..., n t d = 1,..., n x p = v (t a ) = 1,..., n x x 1 U(t t 1 ) = 1,..., n x x 1 U(t t 1 ) = 1,..., n t 1 t = 1,..., n t 0 = 0 x 0 = 0 t 0 = 1,..., n x lbre = 1,..., n

5 Captura de objetos móvles sobre una recta 49 x 1 p 1 = v 1 (t 1 a 1 ) t d 1 (x 1, t 1 ) a 1 (p 1 + v 1 (d 1 a 1 ), d 1 ) (p 1, a 1 ) U(t 1 t 0 ) x 1 x 0 x 1 x 0 U(t 1 t 0 ) p x Fgura 3: Dagrama x vs t con todas las restrccones del objeto 1. Observe que la restrccón (6) se puede qutar del modelo puesto que queda mplícta en la restrccones (4) y (5). Para el caso del CTOMSR rápdo, es posble despejar la varable x en la gualdad (3) del modelo anteror, el nuevo modelo quedaría en térmnos de t : (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) mín z = t n t a = 1,..., n t d = 1,..., n (U v )t (U + v 1 )t 1 α = 1,..., n (U + v )t (U v 1 )t 1 α = 1,..., n t 0 = 0 t 0 = 1,..., n donde las α = a v a 1 v 1 p + p 1 son constantes. Para el caso del CTOMSR perezoso, el modelo ahora requere del despeje de las t y queda en térmnos de x (suponendo sn pérdda de generaldad que nnguna v = 0).

6 50 Urbán Rvero, et. al. (18) (19) (20) (21) mín z = n =1 x v p v r = 1,..., n x v a d p v x + x 1 + r 0 = 1,..., n (22) x x 1 + r 0 = 1,..., n (U ) ( ) U (23) + 1 x + 1 x 1 δ = 1,..., n v v 1 ( ) ( ) U U (24) 1 x 1 x 1 δ = 1,..., n v v 1 (25) (26) (27) x 0 = 0 r 0 = 1,..., n x lbre = 1,..., n = 1,..., n en donde las r son varables auxlares para elmnar un valor absoluto de la funcón objetvo que era orgnalmente n =1 x x 1 y convertrla en (18) y con ( δ = U a 1 p 1 a + p ) v 1 v constante. Note que s alguna v = 0, entonces x = p y el modelo se smplfcaría. 3. Algortmos Con los modelos anterores y los sguentes resultados podemos decr que tanto el problema de la factbldad como el de mnmzacón de tempo y dstanca total recorrda se pueden resolver en tempo polnomal partendo del algortmo de Karmarkar [2]. Teorema 3.1 (Karmarkar). La complejdad del algortmo de Karmarkar para un programa lneal de la forma mín cx sujeto a Ax b con p

7 Captura de objetos móvles sobre una recta 51 varables y q restrccones es de O(p 3.5 ( A + b + c ) 2 ), donde A, b y c son la cantdad de bts necesaros para codfcar la matrz A, b y c respectvamente. Corolaro 3.2. Para el problema CTOMSR rápdo exste un algortmo basado en el algortmo de Karmarkar y se ejecuta en tempo O(l 2 n 5.5 ) donde l es la máxma cantdad de bts que se requeren para almacenar U y cualquer a, d, p o v. Demostracón. Con el modelo de mnmzacón del tempo de captura (11 17) podemos obtener los sguentes tamaños: A = (8l + 2)n, b = 6ln, c = 1. El número de operacones requerdas se puede obtener medante el Teorema 3.1 y es O(n 3.5 (14ln + 2n + 1) 2 ), lo cual está en O(l 2 n 5.5 ). Corolaro 3.3. Para el problema CTOMSR perezoso exste un algortmo basado en el algortmo de Karmarkar y se ejecuta en tempo O(l 2 n 5.5 ) donde l es la máxma cantdad de bts que se requeren para almacenar U y cualquer a, d, p o v. Demostracón. Con el modelo de mnmzacón de la dstanca total recorrda (18 27) podemos obtener los sguentes tamaños: A = (10l + 6)n, b = 8nl, c = n. El número de operacones requerdas se puede obtener medante el Teorema 3.1 y es O(n 3.5 (18nl + 7n) 2 ) lo cual está en O(l 2 n 5.5 ) Algortmo lneal para CTOMSR rápdo A contnuacón presentaremos un algortmo que resuelve CTOMSR rápdo en tempo lneal. Para ello resolveremos el problema por etapas. Comenzando en el orgen, se determna el prmer (t e 1 ) y el últmo

8 52 Urbán Rvero, et. al. momento (t f 1 ) en que se puede capturar el prmer objeto. Con esa nformacón se calcula lo msmo para el segundo objeto y así sucesvamente hasta calcular t e n y t f n. Es decr, en cada etapa se resuelven dos programas lneales con funcones objetvo t e = mín(t ) y t f = máx(t ) y el conjunto de restrccones (28 34), para las varables t y t 1 : (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) t a t d t 1 t e 1 t 1 t f 1 (U v )t (U + v 1 )t 1 α (U + v )t (U v 1 )t 1 α t 0 donde α = a v a 1 v 1 p + p 1 son constantes, además t e y t e se calculan en el paso anteror, con la excepcón de te 0 = 0 y tf 0 = 0. Estos programas lneales se deducen del programa lneal para CTOMSR rápdo (11 17). En este momento tenemos el tempo mínmo y el tempo máxmo para capturar a todos los objetos. S además se desea encontrar una ruta factble para dcho tempo mínmo, se toma t e n = t e n, t f n = t e n y se resuelven dos programas lneales con funcones objetvo t e 1 = mín(t 1 ) y t f 1 = máx(t 1) y el conjunto de restrccones (28 34), para las varables t y t 1, modfcando las dos prmeras restrccones como sgue: (35) (36) donde t e y t f t t e t t f se calculan en el paso anteror. Adconalmente se buscará la ruta que ocupará el tempo más tardío medante un procedmento smlar pero con t e n = t f n, t f n = t f n y el conjunto de restrccones (28 34), para las varables t y t 1, modfcando las dos prmeras restrccones como sgue: (37) (38) donde t e y t f t t e t t f se calculan en el paso anteror.

9 Captura de objetos móvles sobre una recta 53 Algortmo por etapas 1. Sea t e 0 = 0, tf 0 = Para = 1,..., n: a) Resolver los programas lneales t e = mín(t ) sujeto a (28 34) y t f = máx(t ) sujeto a (28 34). 3. Sea t e n = t e n, t f n = t e n. 4. Para = n,..., 1: a) Resolver los programas lneales t e 1 = mín(t 1) sujeto a (35 36) y (30 34) y t f 1 = máx(t 1) sujeto a (35 36) y (30 34). 5. Sea t e n = t f n, t f n = t f n. 6. Para = n,..., 1: a) Resolver los programas lneales t e 1 = mín(t 1) sujeto a (37 38) y (30 34) y t f 1 = máx(t 1) sujeto a (37 38) y (30 34). Teorema El problema CTOMSR rápdo es resuelto en tempo lneal por el algortmo por etapas. Demostracón. Cada uno de los programas lneales que se deben resolver en el paso 2a del algortmo consta de 2 varables y 6 desgualdades. Se sabe por la teoría de la programacón lneal que la solucón óptma se puede obtener resolvendo a lo más ( ) = 28 sstemas de 6 ecuacones lneales con 6 varables. Como cada uno de estos sstemas se puede resolver en tempo constante, entonces el paso 2a se puede llevar a cabo tambén en tempo constante. Es decr, el paso 2 del algortmo se puede completar en tempo lneal. Evdentemente, lo msmo es certo para los pasos 4 y 6 del algortmo. Fnalmente, como los pasos 1, 3 y 5 son de tempo constante, el tempo de ejecucón del algortmo es lneal. En la Fgura 4 se muestra una salda del algortmo por etapas. Los segmentos de línea contnua son los objetos móvles. La zona de líneas vertcales y contorno punteado corresponde con la regón a través de la cual cualquer ruta requere de tempo mínmo t e n para capturar a todos los objetos. La zona de líneas horzontales y contorno rayado corresponde con la regón a través de la cual cualquer ruta requere de tempo máxmo t f n para capturar a todos los objetos. La regón factble

10 54 Urbán Rvero, et. al. está determnada por la regón de tempo máxmo, la regón de tempo mínmo y la regón sn nngún patrón entre estas dos. Fgura 4: Ejemplo de la salda del algortmo por etapas. 4. Conclusones y trabajo futuro En este trabajo se da una cota superor a la complejdad de los problemas CTOMSR, CTOMSR rápdo y CTOMSR perezoso. Para los dos prmeros casos se tene un algortmo de tempo lneal, que asntótcamente no puede mejorarse más, y para el últmo caso se tene un algortmo polnomal basado en el algortmo de Karmarkar. Es probable que se pueda encontrar un algortmo que resuelva CTOMSR perezoso asntótcamente más rápdo. Por otro lado, s no se pudera capturar todos los objetos, entonces nos nteresaría dar un algortmo que maxmce la cantdad de objetos atrapados (máx COMSR). Fnalmente nos nteresa estudar el caso en que el orden de captura debe ser determnado por el algortmo, para mnmzar el tempo de captura, mnmzar la dstanca total recorrda o maxmzar la cantdad de objetos atrapados. 5. Agradecmentos El prmer autor recbó una beca del Acuerdo 02/2011 de la UAM y actualmente recbe una beca por parte del Conacyt en el Programa Naconal de Posgrados de Caldad. Los otros dos autores recben apoyo

11 Captura de objetos móvles sobre una recta 55 de la Dvsón de CBI de la UAM Azcapotzalco a través del proyecto Algortmos y modelos para problemas de optmzacón en redes. El tercer autor recbe apoyo del Conacyt (SNI 33694). Los tres autores agradecen el tempo dedcado, las valosas sugerencas y comentaros del edtor y los árbtros en el proceso de revsón. Lus Eduardo Urbán Rvero Posgrado en Optmzacon, Unversdad Autónoma Metropoltana Azcapotzalco, Av. San Pablo 180 Col. Reynosa-Tamaulpas Delegacón Azcapotzalco C.P Méxco, D.F. al @alumnos.azc.uam.mx Rafael López Bracho Departamento de Sstemas, Unversdad Autónoma Metropoltana Azcapotzalco, Av. San Pablo 180 Col. Reynosa-Tamaulpas Delegacón Azcapotzalco C.P Méxco, D.F. rlb@correo.azc.uam.mx Francsco Javer Zaragoza Martínez Departamento de Sstemas, Unversdad Autónoma Metropoltana Azcapotzalco, Av. San Pablo 180 Col. Reynosa-Tamaulpas Delegacón Azcapotzalco C.P Méxco, D.F. franz@correo.azc.uam.mx Referencas [1] Helvng C. S., Robns G., Zelkovsky A., The movng-target travelng salesman problem, Journal of Algorthms 49 (2003), [2] Karmarkar N., A new polynomal-tme algorthm for lnear programmng, Combnatorca 4 (1984), [3] Papadmtrou C. H., The Eucldean travellng salesman problem s NP-complete, Theoretcal Computer Scence 4 (1977), [4] Tstskls J. N., Specal Cases of Travelng Salesman and Reparman Problems wth Tme Wndows, Networks 22 (1992), [5] Karp R.M., Reducblty Among Combnatoral Problems, Complexty of Computer Computatons, In R.E. Mller and J.W. Thatcher (1972),