Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas urbanas

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1 Métodos heurístcos aplcados al control de semáforos en zonas urbanas Métodos heurístcos aplcados al control de semáforos en zonas urbanas Pedrera Andrade, Luís P. Lema Fernández, Carmen S. Dpto. Economía Aplcada Unversdade da Coruña Allende Alonso, Sra Unversdad de La Habana (La Habana-Cuba) RESUME En los últmos años se ha dado un gran mpulso a la nvestgacón en métodos heurístcos por su utldad cuando no hay métodos exactos, cuando el tempo de procesamento es muy grande, cuando los datos son poco fables o cuando los necestamos como paso ntermedo en la aplcacón de otro método. Son muchos los campos de aplcacón, en este trabajo proponemos su utlzacón en la regulacón de semáforos en zonas urbanas. Así ntroducmos un método híbrdo de solucón para el problema de control óptmo de semáforos que tene dos ejes fundamentales: la resolucón de un problema de complementaredad lneal y el uso mprescndble de una heurístca para explorar el domno acotado del vector de longtudes de fase, usando el ambente de programacón Matlab y las facldades que éste ofrece en Optmzatón Toolbox, Genetc Algorthm and Drect Search Toolbox. Palabras claves: Optmzacón; control de semáforos; métodos heurístcos. Clasfcacón JEL (Journal Economc Lterature): C61 Área temátca: Programacón matemátca 1

2 Pedrera Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sra 1. ITRODUCCIÓ En el trabajo que presentamos en las XIV Jornadas ASEPUMA y II Encuentro Internaconal [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y Pedrera, L. (2006)] analzábamos un problema de control óptmo de semáforos que consstía en: Conocdas las tasas de llegada y de salda de vehículos del cruce, para un entero dado, y un tempo ncal t 0, queremos calcular una sucesón t 1, t 2,,t de nstantes de cambo de las luces de los semáforos (tempos swtchng) óptma bajo un crtero. El crtero a consderar se expresa en una funcón objetvo a mnmzar que denotamos por J. Es posble, por ejemplo, consderar como crtero: Longtud meda de la cola sobre todas las colas J 1 = 4 = 1 w t t 0 t l (t)dt - t 0 (1) Longtud meda de la cola sobre la peor cola J t0 2 = max w t t 0 t l (t)dt (2) Longtud de cola en el peor caso max w l (t) J 3 = ( ),t (3) Tempo de espera medo sobre todas las colas (El tempo de espera medo es gual a la longtud meda de cola dvdda por la tasa meda de llegada). J 4 = 4 = 1 w t t0 λ (t Tempo de espera medo sobre la peor cola l (t)dt t 0 ) (4) J t0 5 = max w λ (t t 0 ) t l (t)dt (5) 2

3 Métodos heurístcos aplcados al control de semáforos en zonas urbanas donde w >0 para todo, son los factores peso que se pueden usar para dar una mportanca más alta a algunos carrles; l (t) es la longtud de la cola (es decr el número de coches esperando) en el carrl L en el nstante de tempo t; llegada de vehículos en el carrl L (dada en vehículos por segundo). λ es la tasa meda de En la práctca se establecen las duracones mínmas y máxmas para los tempos verde y rojo del semáforo y longtudes máxmas para las colas. Todo ello conduce al sguente problema P: sujeto a: Mnmzar J (6) δ mn,verde,1 δ 2k+1 -δ amb δ max,verde,1 para k=0,1,, 1 2, (7) δ mn,verde,2 δ 2k -δ amb δ max,verde,2 1 para k=0,1,, 2, (8) x k x max para k=1,2,, (9) x 2k+1 =max(x 2k +b 1 δ 2k +b 3,b 5 ) 1 para k=0,1,, 2, (10) x 2k+2 =max(x 2k+1 +b 2 δ 2k+1 +b 4,b 6 ) para k=0,1,, 1 2, (11) donde δ mn,verde, (respectvamente δ max,verde, ) es el mínmo (respectvamente el máxmo) tempo verde en el carrl L, y (x max ) es la máxma longtud de cola en el carrl L. 2. MÉTODOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA P 2.1. Escrbr las restrccones del problema P como un ELCP Para determnar la sucesón temporal swtchng óptma debemos optmzar la funcón objetvo J en la solucón del ELCP (problema de complementaredad lneal extenddo)[de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)]; para ello consderamos (10) para un índce arbtraro k. Esta ecuacón se puede reescrbr como sgue: x 2k+1 x 2k +b 1 δ 2k +b 3 (12) x 2k+1 b 5 (13) (x 2k+1 ) = (x 2k +b 1 δ 2k +b 3 ) o (x 2k+1 ) = (b 5 ) para =1,2,3,4 (14) 3

4 Pedrera Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sra o equvalentemente: x 2k+1 - x 2k -b 1 δ 2k -b 3 0 x 2k+1 - b 5 0 (x 2k+1 -x 2k -b 1 δ 2k -b 3 ) (x 2k+1 -b 5 ) = 0 para =1,2,3,4 Como una suma de números no negatvos es gual a 0 s y sólo sí todos los números son guales a 0, este sstema de ecuacones es equvalente a: x 2k+1 -x 2k -b 1 δ 2k -b 3 0 (15) x 2k+1 -b 5 0 (16) 4 = 1 (x 2k+1 -x 2k -b 1 δ 2k -b 3 ) (x 2k+1 -b 5 ) = 0 (17) Podemos repetr este razonamento para (11) y para cada k. Así s defnmos: x*= x x M 1 2 x δ0 y δ*= δ1 M δ 1 donde δ k = t k+1 -t k, k=0,1,2,,-1 obtenemos el problema P en la sguente forma: Mnmzar J (18) sujeto a: Ax*+Bδ*+c 0 (19) x*+d 0 (20) Ex*+Fδ*+g 0 (21) (Ax*+Bδ*+c) T (x*+d)=0 (22) cuyas restrccones son un caso especal de ELCP y donde A y E son matrces cuadradas de orden 4 (A es P-matrz); B y F son matrces de orden 4x; c,d y g son vectores de orden 4x1. La dfcultad de este método es que el problema ELCP es un problema P-duro, y el algortmo propuesto en [de Schutter, B. y de Moor, B. (1995)] para resolver el ELCP usa tempos de ejecucón exponencales, lo que mplca que no es factble s el número de cclos swtchng es grande. 4

5 Métodos heurístcos aplcados al control de semáforos en zonas urbanas 2.2. Resolver un problema aproxmado-relajado En este método [de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)] se usan funcones objetvo aproxmadas que dependen explíctamente de x* y δ*, de la sguente forma: ~ ~ dados x 0 y t 0, se defne la funcón l (., x*,δ*), -o para abrevar l (.) - como la funcón lneal a trozos que nterpola en los puntos ((t k,l (t k )) para k=0,1,,. Las funcones objetvo aproxmadas ~ para l=1,2,3,4,5 están defndas como en (1)-(5) pero Jl ~ reemplazando l por l ; y se relajan las restrccones reemplazándose las ecuacones (10)-(11) por ecuacones de la forma (12)-(13) sn tener en cuenta (14). Se obtenen solucones subóptmas y cuando se manejan las funcones aproxmadas de J 1 y J 4 la solucón para este problema es una solucón sufcentemente buena para el problema P, pero no se puede afrmar lo msmo cuando se usan las aproxmadas de J 2, J 3 y J Método híbrdo de solucón Consste en una heurístca para fjar los valores de δ* ( IR + ) o más un algortmo efcente para resolver el problema LCP [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y Pedrera, L. (2006)] que se obtene usando la sguente propedad: Para cada δ* ( IR + ) o, las restrccones de ELCP (19) (22) descrben un problema de complementaredad lneal (LCP) con solucón únca, esto quere decr que dado δ* la longtud de las colas está unívocamente determnada. El proceso sería el sguente: 0) Ĵ =M (valor sufcentemente grande), k=1. Repetr q veces. 1) Medante una heurístca se explora el domno acotado del vector δ*: Construr un vector δ*. 2) Fjado δ*, se determna la solucón factble únca del problema de complementaredad lneal LCP(δ*) correspondente. Sea x*(δ*) la solucón determnada. 3) Se evalúan las funcones J según los dstntos crteros. 4) Para cada crtero s: S Js(x*(δ*))< Ĵ S entonces q=q+1 Ĵ S :=J S (x*(δ*)) y δˆ (s)= δ*. La heurístca utlzada en el menconado trabajo (con la que se hceron algunas pruebas para ejemplos concretos) fue smulated annealng. Esta es una heurístca que 5

6 Pedrera Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sra smula el proceso de enframento de un sóldo sometdo a altas temperaturas a fn de mejorar su estructura crstalna, fue ntroducdo por Krkpatrck et al (1983). En cada teracón este algortmo genera aleatoramente un nuevo punto. La dstanca de ese nuevo punto al punto ncal o la extensón de la búsqueda esta basada en una dstrbucón de probabldad con una escala proporconal a la temperatura. El algortmo acepta todos los nuevos puntos que mejoran la funcón objetvo, pero tambén con una certa probabldad puntos en los que la funcón objetvo toma un peor valor, así se evta el quedar atrapados en mínmos locales, y se puede explorar globalmente para obtener otras solucones posbles. A medda que la temperatura dsmnuye, el algortmo reduce la extensón de su búsqueda para converger a un mínmo. Es un algortmo nteresante ya que genera solucones ncales para utlzar otro algortmo. Ofrece buenas aproxmacones al óptmo; se demuestra su convergenca en probabldad a una solucón óptma. 3. MÉTODOS PARA EXPLORAR EL DOMIIO ACOTADO DEL VECTOR δ* Además de la menconada, otras heurístcas pueden ser aplcadas. Como los métodos heurístcos no son exactos es convenente consderar alternatvas de enfoques y comparar los resultados. Dada la dsponbldad de las mplementacones generales propuestas sobre Matlab y dado que sus procedmentos en Optmzatón toolbox, Genetc Algorthm and Drect Search Toolbox se ajustan ben a las característcas del problema, proponemos la aplcacón de los algortmos: 3.1. Drect Search En el Toolbox se mplementan dos drect search algorthms que se llaman Generalzed Pattern Search (GPS) algorthm y Mesh Adaptatve Search (MADS) algorthm. En ambos casos en cada paso, el algortmo busca un conjunto de puntos (llamados una malla mesh-) alrededor del punto (calculado en el paso prevo del algortmo) en el que la funcón objetvo tene el mejor valor (current pont). La malla está formada por varos puntos cada uno de los cuales se calcula sumando al current pont un múltplo de un vector de los que forman el pattern (estos vectores son de 6

7 Métodos heurístcos aplcados al control de semáforos en zonas urbanas dreccón fja en GPS mentras que en MADS se usa una seleccón aleatora). S el pattern search algorthm encuentra un punto en la malla que mejora el valor de la funcón objetvo respecto a su valor en el current pont, el nuevo punto se converte en punto de partda para el próxmo paso del algortmo Genetc Algorthms (GAs) Están basados en la seleccón natural, proceso que conduce la evolucón bológca. Fueron ntroducdos por John Holland (1975). En cada paso, el algortmo genétco seleccona ndvduos al azar entre los de la poblacón en ese momento, que se convertrán en padres y los usa para crear los ndvduos de la generacón sguente. Los componentes que han de consderarse a la hora de mplementar un GA son los sguentes:. Una representacón en térmnos de cromosomas, de las confguracones de cada problema: método de codfcacón del espaco de solucones en cromosomas.. Una manera de crear las confguracones de la poblacón ncal.. Una funcón de evaluacón que permta ordenar los cromosomas de acuerdo con la funcón objetvo: medda de la bondad o funcón ftness.. Operadores genétcos que permtan alterar la composcón de los nuevos cromosomas generados por los padres durante la reproduccón.. Valores de los parámetros que el algortmo genétco usa (tamaño de la poblacón, probabldades asocadas con la aplcacón de los operadores genétcos). Éste método fue usado en [Sánchez, J.J.; Galán, M. y Rubo, E. (2004)] para resolver un problema de gestón de semáforos. Se dseña un modelo de tráfco mcroscópco es decr un modelo que supone el tráfco como un conjunto de partículas que se mueven según un modelo de reglas. Usan además un autómata celular, que es un sstema que va aprendendo poco a poco para hacer un modelo precso. Con esta teoría los vehículos se consderan como entdades undmensonales. Las calles se ejemplfcan como un conjunto de puntos. En cada punto sólo puede haber un vehículo en cada nstante de tempo. Para alcanzar una solucón del problema se representa el estado de los semáforos medante un cromosoma, que tene longtud varable en funcón del período de tempo que se quera optmzar, aunque se supone que ese período de tempo representa un cclo base que se repte ndefndamente. Este 7

8 Pedrera Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sra cromosoma está compuesto por valores enteros que representan qué semáforo está aberto en el cruce en cada momento. Los resultados obtendos con esta codfcacón y el smulador descrto muestran que aparte de ser una forma válda, permte optmzar varas nterseccones al msmo tempo, lo que reduce los tempos de cálculo con respecto a otras solucones Threshold Acceptance Usa una aproxmacón smlar a smulated annealng, pero en vez de aceptar nuevos puntos que empeoran la funcón objetvo con una certa probabldad, acepta todos los nuevos puntos bajo un umbral (thershold) fjado. El umbral se va sstemátcamente bajando, como se hacía con la temperatura. Como threshold acceptance evta el cálculo de la aceptacón probablístca de smulated annealng, puede conjeturarse un tempo de cálculo nferor al requerdo por smulated annealng. 4. APLICACIÓ: REGULACIÓ MEDIATE SEMÁFOROS DE LA GLORIETA DE AMÉRICA (A CORUÑA) Esta gloreta de la cudad de A Coruña, está con frecuenca colapsada por la gran cantdad de vehículos que a ella acceden a través de las calles Bolva, Cabo Santago Gómez, Cudad de Lugo y Palomar. Solamente pueden abandonarla a través de las calles Palomar (crculacón haca Razor) o Uruguay (crculacón haca una de las saldas de la cudad), tambén se utlza para cambar de sentdo de crculacón en la calle Palomar. El edfco que se observa en la parte nferor zquerda de las mágenes es el palaco de la Ópera. Cuando hay espectáculo (generalmente vernes o sábado por la noche) el embotellamento es extremo, llegando ncluso a colapsar vías tan mportantes como la Avenda de Fnsterre o Juan Flórez. En la actualdad sólo exsten señales de ceda el paso. Con nuestros estudos ntentamos realzar una regulacón medante semáforos que reduzca aprecablemente los embotellamentos. 8

9 Métodos heurístcos aplcados al control de semáforos en zonas urbanas 5. COCLUSIOES Además de los dversos campos de aplcacón de los métodos heurístcos: problemas de transporte y asgnacón, regulacón de flujos de produccón, pronóstcos de ventas, análss fnancero, nspeccón de caldad, dseño de crcutos electróncos, predccones económcas, etc.; nosotros proponemos su utlzacón en la regulacón de semáforos. En la actualdad la gestón del tránsto crculatoro es una prordad de actuacón en la mayoría de las cudades. A menudo no es vable aumentar las nfraestructuras y cas sempre es una solucón muy cara. La buena coordnacón de la red de semáforos de la cudad y la optmzacón de los cclos y fases de cada uno de ellos, son herramentas fundamentales para resolver la congestón. 9

10 Pedrera Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sra En el mercado hay dversos sstemas de smulacón de tráfco, tambén en la lteratura exsten trabajos que usan programacón dnámca, programacón entera mxta, algortmos de flujo, algortmos basados en reglas lógcas y en algún caso otros tpos de heurístcas. uestro trabajo en la actualdad y en un futuro próxmo está centrado en: dseñar una red de semáforos para la gloreta de Amérca, realzar los cambos necesaros para adaptar el modelo expuesto en [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y Pedrera, L. (2006)] a este problema concreto, mplementar el algortmo propuesto en 2.3 para regular los semáforos, usar las dferentes opcones en cuanto a métodos heurístcos que el toolbox de Matlab nos ofrece, para así poder comparar resultados y obtener en cada momento la mejor solucón que permta una respuesta sufcentemente rápda para las fases y cclos de los semáforos, con el objeto de dsmnur la congestón. 6. REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS ALLEDE, S.; BLACO, A.; LEMA, C. y PEDREIRA, L. (2006). Modelo de optmzacón con restrccones de equlbro para el control de semáforos. Rect@, Actas14, 1, pp DE SCHUTTER, B. y DE MOOR, B. (1998) Optmal traffc lght control for a sngle ntersecton, European Journal of Control, 4, 3, pp DE SCHUTTER, B. y DE MOOR, B. (1995) The extended lnear complementarty problem, Mathematcal Programmng, 71, 3, pp S. KIRKPATRICK, S.; GELATT, J.R. y VECCHI, M.P. (1983) Optmzaton by Smulated Annealng. Scence, 220, pp HOLLAD, J. (1975) Adaptaton n atural and Artfcal Systems, Unversty of Mchgan Press, Ann Arbor. SÁCHEZ, J.J.; GALÁ, M. y RUBIO, E. (2004) Genetc algorthms and cellular automata. A new archtecture for traffc lght cycles optmzaton. Proceedngs of the 2004 Congress on Evolutonary Computaton CEC2004, pp