EL USO DE UN PROBLEMA DE COMPLEMENTARIEDAD LINEAL EXTENDIDA PARA LA OBTENCIÓN DE SUCESIONES TEMPORALES ÓPTIMAS

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1 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales EL USO DE U PROBLEMA DE COMPLEMETARIEDAD LIEAL EXTEDIDA PARA LA OBTECIÓ DE SUCESIOES TEMPORALES ÓPTIMAS Lus P Pedrera Andrade Fernando Rey Mígue Unversdade da Coruña Resumen En este trabajo mostramos como medante el un problema de complementaredad lneal etendda ue es un problema de programacón matemátca podemos obtener una sucesón temporal swtchng óptma Prmeramente analamos el problema de complementaredad lneal (LCP y defnmos una etensón de este al denomnado problema de complementaredad lneal etendda (XLCP A contnuacón estudamos el caso de las sucesones temporales óptmas y consderamos el problema de obtener un nstante (temporal óptmo swtchng Fnalmente estudamos como a partr del problema de complementaredad lneal etendda podemos obtener una sucesón temporal swtchng óptma ue nos permte calcular ese valor óptmo de tempo Palabras clave: Programacón matemátca Óptmacón Complementaredad Lneal Sucesones temporales Introduccón Este trabajo esta organado como sgue: En la seccón presentamos el problema de complementaredad lneal etendda (XLCP En la seccón 3 consderamos una clase general de sstemas swtched con dnámcas lneales saturadas y mostramos ue el XLCP puede ser usado para dseñar sucesones temporales swtchng óptmas para estos sstemas Puesto ue en general el XLCP es un problema P-hard (una clase de problemas de decsón ue contene todos los problemas H tales ue para todos los problemas de decsón L en P (tempos polnómcos no determnístcos hay una reduccón a un tempo polnómco H consderamos una subclase especal de sstemas swtched con dnámcas lneales saturadas y ue a partr de estos sstemas podemos calcular métodos efcentes para calcular sucesones temporales swtchng óptmas Fnalmente presentamos algunas conclusones El problema de complementaredad lneal etendda El problema de complementaredad lneal (LCP esta defndo por []: XIII ornadas de ASEPUMA

2 Pedrera Andrade L P Rey Mígue F Dada una matr M R nm y un vector R n hallar dos vectores y R n + tales ue y=+m y T y= El problema de complementaredad lneal etendda (XLCP es una etensón del LCP y está defndo como sgue: Dadas dos matrces M R mn y sea C un poledro de R m hallar dos vectores y R n + tales ue M-y C T y= Cuando m=n y C consste en un únco vector R n este problema se reduce al LCP Este problema se puede asocar a un problema de programacón blneal (BLP Mnmar T y Sujeto a (y D Donde D={(y R :M-y C} n + El XLCP es euvalente al BLP en el sentdo de ue (y resuelve el problema s y solo s es una solucón óptma global del problema con un valor de la funcón objetvo gual a Ver [6] El teorema 6 de [] prueba ue el XLCP es un P-hard En la sguente seccón probaremos ue el XLCP puede ser usado para determnar un tempo óptmo swtchng para una clase de sstemas lneales swtched saturados 3 Sucesones temporales óptmas swtchng para una clase de sstemas lneales swtched saturados 3 Sstemas swtched con dnámcas lneales saturadas Matemátcamente un sstema swtched puede ser descrto por una ecuacón dferencal de la forma & =f σ ( dónde {f p :p } es una famla de funcones sufcentemente regulares de R n en R n ue está parametrada para algún índce de y σ:[ es una señal swtchng constante El valor de σ vene en un tempo dado t ue deberá depender de t o (t o de ambos o puede ser generado usando técncas mas sofstcadas tales como feedbac híbrdo con memora en el lao El conjunto es un conjunto compacto (frecuentemente fnto subconjunto de un espaco vectoral normado XIII ornadas de ASEPUMA

3 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales En el caso partcular cuando todos los subsstemas son lneales obtenemos un sstema lneal swtched & =A σ Este caso de sstemas es el más utlado en la lteratura Consderamos ahora un sstema con varas colas La evolucón del sstema está caracterada por consecutvas fases En cada fase cada longtud de cola ehbe un crecmento o decrecmento lneal hasta el nvel superor o nferor buscado; la longtud de cola permanece constante hasta el fnal de la fase Un sstema ue satsface esta descrpcón se denomnará sstema swtched con dnámcas lneales saturadas o brevemente sstema lneal swtched saturado Obtenemos las ecuacones ue descrben la evolucón de las longtudes de cola en sstema lneal swtched saturado Sea M un número de colas La longtud de cola en el a d tempo t se denotada por (t Sean y u respectvamente la raón de l llegada para la cola en la fase la raón de salda par la cola en la fase la cota nferor para la longtud de cola en la fase y la cota superor para la longtud de cola en la fase El crecmento de la raón de la longtud de cola para la cola en la fase vene dado por = La evolucón del sstema comena en t Sea a d t t los tempos swtchng es decr los tempos en ue el sstema swtched va de una fase a otra La longtud de la -ésma fase es gual a def = t + t ótese ue > para todo Supongamos ue l + (t + u + para todo tales ue las longtudes de cola son sempre no negatvas en el nvel de saturacón en uno de los tempos swtchng Para la cola tenemos d s l < ( < ( t t u = dt en otro caso ( para t (t t + con Esto mplca ue la evolucón de las longtudes de cola en un tempo swtchng está dada por (t + =ma(mn( (t + u l para =o S defnmmos = (t y s ntroducmos las varables falsas obtenemos s defnmos = M = = M M + =mn( + u + =ma( + l l l l = lm u u u = um XIII ornadas de ASEPUMA 3

4 Pedrera Andrade L P Rey Mígue F Entonces esto resulta + =mn( + u ( + =ma( + l (3 para = 3 Sucesones temporales swtchng óptmas Ahora consderamos el problema de determnar el tempo swtchng óptmo Puesto ue nuestra ntencón es usar óptmacón en la línea de sucesones temporales swtchng solo consderamos un número fnto de swtchng en el procedmento de óptmacón en combnacón con un horonte móvl cercano (es decr para un tempo ncal t calculamos una sucesón temporal swtchng t t t ; entonces fjamos el tempo en la prmera fase wtchng t ; a contnuacón calculamos una sucesón óptma temporal t t 3 t + : fjamos el tempo en la segunda fase swtchng t ; y así sucesvamente ótese ue usando un horonte temporal podemos tambén cambar las raones de llegada y salda meda en un nstante ótese ue en general la sucesón temporal swtchng óptma será acclca es decr las longtudes de fase óptmas no serán guales Ahora consderamos el sguente problema: Dado entero y un tempo ncal t ueremos calcular una sucesón óptma t t t de tempos swtchng ue mnmce: (Ponderada Longtud meda de cola de todas las colas = M w = t t t t ( t dt ( (Ponderada longtud meda de cola sobre las peores colas ma ( = w t t t dt (5 t t (Ponderada longtud de cola del peor caso ( w ( 3 = ma t (6 t (Ponderado tempo esperado sobre todas las colas = M t w = t = ( t dt a (7 (Ponderado tempo esperado sobre la peor cola XIII ornadas de ASEPUMA

5 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales 5 t ( ma t t dt = w a = (8 donde w > para todo ota 3 La raón para ntroducr el factor t -t en es ue en nuestro horonte temporal no está fjado de antemano El usar crteros basados en valores medos temporales tene la ventaja ue mantenemos valores fntos para las funcones objetvos s o t tenden a (con tal ue las longtudes de colas ueden fntas Podemos mponer condcones etras tales como duracones mínmas y mámas para los tempos swtchng longtudes de cola mínmas y/o mámas (ue se usaran para prevenr la saturacón en el menor o mayor nvel de algunas colas y así sucesvamente Esto deja el sguente problema mnmar (9 sujeto a mn ma para = - ( mn ma para =- ( + =mn( + u para = - ( + ma( + l para = - (3 donde mn y ma son respectvamente la longtud mínma y máma del -esmo tempo swtchng (t t + para la cola y ( mn y ( ma son respectvamente la longtud de cola mínma y máma para la cola en el tempo t + Puesto ue las entradas de corresponden a las longtudes de cola podemos suponer sn perdda de generaldad ue mn para todo S las cotas nferor y superor de las longtudes de cola son fntas entonces la factbldad de (-(3 del problema de óptmacón es no convea puesto ue las ecuacones de evolucón (-(3 contenen operacones de mnmacón y de mamacón Además esto tambén mplca ue las longtudes de cola no son una funcón convea de las longtudes de fase Por tanto las funcones objetvo a 5 son no conveas Como consecuencas el problema de óptmacón (9-(3 es un problema nolneal no conveo En general un problema tal puede tener algún mínmo local y se consdera dfícl de resolver En la sguente seccón dscutmos algunos métodos para resolver el problema de óptmacón (9-(3 33 El problema de complementaredad lneal etendda y las sucesones temporales swtchng óptmas Ahora veremos ue el sstema (-(3 puede ser reformulado como un XLCP Prmeramente consderamos ( para un índce arbtraro Esta ecuacón puede ser reescrta como sgue: XIII ornadas de ASEPUMA 5

6 Pedrera Andrade L P Rey Mígue F 6 XIII ornadas de ASEPUMA u + = + o + =u para I= M o euvalentemente ( u - + (5 ( (u - + = para I= M (6 puesto ue una suma de números no negatvos es gual a s y solo s todos los números son guales a (6 es euvalente a: = + + = + M u ( ( o ( T (u - + = (7 Podemos repetr este raonamento para (3 y para cada índce Defnmos = = = es fácl verfcar ue fnalmente tenemos un problema de la forma mnmar (8 sujeto a A +B +C +d (9 E +F +g ( H +K +l ( (A +B +C +d T (E +F +g= ( con matrces A B C E D F H K y vectores d g l defndos apromadamente Las ecuacones (9 ( y ( corresponden a ( (5 y (7 respectvamente y el sstema de desgualdades lneales ( contene las condcones ( y ( Es fácl de verfcar ue el sstema (9-( es (un caso especal de un XLCP Es tambén fácl de verfcar ue las condcones adconales tales como una duracón total (máma para

7 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales las fases ( + ++ T ma o duracones totales (mámas para dos fases consecutvas ( + + =T o + + =T ma nos conducrá a un XLCP Para determnar la sucesón temporal swtchng óptma deberemos óptmar la funcón objetvo en la solucón del XLCP (9-( como sgue Suponemos ue y están acotados nótese ue una condcón sufcente para eso es ue ma esta defnda y fnta para todo - entonces la solucón del sstema (9-( consste en la unón de caras del poledro defndo por (9-( Cada cara del poledro puede ser representada por sus vértces y los puntos de la cara pueden ser epresados como combnacones conveas de estos vértces Podremos en cada cara determnar para ue combnacón convea de los vértces de la funcón objetvo se alcana un mínmo global sobre la cara y después selecconar el mínmo total Para calcular la solucón de un XLCP general el algortmo de [] reuere tempos de ejecucón eponencales Esto mplca ue el XLCP no es factble s el número de fases es grande Por tanto dscutremos ahora dos apromacones para calcular solucones subóptmas en una raonable cantdad de tempo En la sguente seccón dscutremos algunas apromacones para calcular apromadamente solucones s no hay saturacón en el nvel superor Las sguentes apromacones pueden ser usadas para calcular sucesones temporales swtchng subóptmas para los casos en donde la apromacón al XLCP no puede ser utlada: Óptmacón local multprncpo Las funcones objetvo defndas en la seccón 3 no dependen eplíctamente de puesto ue da s l s y u s las componente de y están determnadas úncamente por S hay condcones no etras acotadas en s (es decr s ( mn l y ( ma u para todo entonces el problema (9-(3 se reduce a un problema de óptmacón condconada en ue será resuelto utlando un algortmo de mnmacón local condconada ótese ue las condcones en son smples condcones superor e nferormente acotadas respecto a las las componentes de S ( mn >l o ( ma I <u para algún para de índces ( podemos utlar esta mnmacón local condconada añadendo un termno penalty etra a s <( mn o >( ma La mayor desventaja de esta apromacón es ue en general la rutna de mnmacón solo obtene un mínmo local Apromacón mult-xlcp: S es grande consderaremos un número mas peueño s de fases calculamos la estratega swtchng óptma para la prmera fase s usando el método XLCP mplementando el prmer paso de esta estratega después calculamos la estratega swtchng óptma para la fase sguente s mplementando el prmer paso de esa estratega y así sucesvamente A esta apromacón la denomnamos apromacón XIII ornadas de ASEPUMA 7

8 Pedrera Andrade L P Rey Mígue F mult-xlcp Puesto ue los XLCP para un horonte de s fases serán mucho menores ue el XLCP para fases la apromacón mult-xlcp será utlable en la práctca s es grande ótese en general ue esta apromacón dará una solucón subóptma La solucón subóptma puede ser usada como punto ncal de una rutna de mnmacón local aplcada al problema orgnal total En la práctca hay sempre alguna ncertdumbre y varacón en el tempo de las raones de crecmento de la longtud de cola ue hace ue en general el cálculo del la sucesón temporal swtchng óptma sea una utopía Además estamos mas nteresados en obtener rápdamente una buena apromacón de la sucesón temporal swtchng óptma ue en gastar una grande cantdad de tempo para obtener la eacta En la sguente seccón consderaremos una subclase de sstemas lneales swtched ue sólo están saturados en una cota nferor En este caso es posble hacer algunas apromacones etras ue conducen a algortmos muy efcentes para calcular sucesones temporales swtchng subóptmas ota 3 ótese ue podemos tambén usar un sstema lneal swtched saturado como un modelo apromado s tenemos un sstema swtched saturado en el ue las raones de crecmento o decrecmento de la longtud de cola es lento respecto al tempo: podemos apromar las funcones raones respecto al tempo por funcones constantes a troos Aunue en general no conocemos eactamente el comportamento de estas funcones por adelantado el comportamento puede frecuentemente ser predcho en la bases de datos hstórcos y por las meddas ótese tambén ue tampoco conocemos las longtudes de las fases de antemano Para determnar las raones medas de cada fase por tanto prmeramente supondremos ue todas las fases tenen gual longtud Entonces calculamos una sucesón temporal swtchng óptma o subóptma y usamos el resultado para obtener mejores estmadores de las longtudes de fases y tambén de las raones de crecmento de la longtud de cola en cada fase podemos usar como la entrada para otra óptmacón Repetmos este proceso teratvamente ótese ue este procedmento teratvo es una apromacón heurístca ue es una garantía de convergenca 3 Sucesones temporales swtchng subóptmas para sstemas saturados en el nvel nferor En esta seccón consderamos sstemas lneales swtched saturados en el nvel nferor Sea u gual a para todo o euvalentemente ( ma u para todo es decr los tempos swtchng son selecconados tales ue la saturacón en el nvel superor nunca se alcanará Además suponemos ue mn l para todo es decr no mponemos condcones etras de cotas nferores en las longtudes de cola S no hay saturacón superor y s no hay condcones etras de cotas nferores en las longtudes de cola el problema swtchng óptmo (9-(3 se reduce a sujeto a mnmar (3 mn ma para = - ( 8 XIII ornadas de ASEPUMA

9 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales + ma para =- (5 += ma( + l para = - (6 Llamamos a este problema Recordamos ue las funcones objetvos 3 5 defndas en la seccón 3 no depende eplíctamente de puesto ue para dados s y l s las componentes de dependerán solamente de Las funcones objetvos apromadas ue serán ntroducdas a contnuacón dependerán eplíctamente de y Para un y t defnmos la funcón ( o ( mas brevemente- como funcón lneal a troos ue nterpola en los puntos (t para = Las funcones objetvos apromadas 3 5 están defndas gual ue en la seccón 3 pero reemplaando por Es fácl verfcar ue los valores de 3 3 concden Sea l 5 ótese ue los valores de las funcones objetvos l l dependen en la superfce bajo las funcones y respectvamente Ahora mostramos ue el uso de las apromacones de las funcones objetvos o conducen a un problema de óptmacón ue puede ser resuelta mas efcamente ue el problema orgnal en el ue serán usadas o Defnmos el problema relajado P correspondente al problema sujeto a mnmar (7 mn ma para = - (8 + ma para =- (9 + + para = - (3 + l para = - (3 Comparado al problema orgnal hemos reemplaado (6 por ecuacones relajadas de la forma (-(5 sn tener en cuenta (6 o (7 Por tanto y no están emparejados ótese ue es fácl resolver el problema relajado P cuando el problema es en general no conveo puesto ue este consste en unón de caras del poledro defndo por el sstema de desgualdades (8-(3 La sguentes proposcones demuestran ue para las funcones objetvos cualuer solucón óptma del problema relajado P es tambén una solucón óptma el problema Otra ventaja de es ue usando la formula (3 dada abajo podemos calcular el gradente de esas funcones objetvos analítcamente ue en general acelera el algortmo de mnmacón sgnfcatvamente XIII ornadas de ASEPUMA 9

10 Pedrera Andrade L P Rey Mígue F Proposcón 3 S es una funcón estrctamente monótona de es decr s para cualuer con componentes postvos y para todo ˆ con ˆ y con ( j < ( ˆ j para al menos un índce j tenemos ( ˆ < ( - entonces cualuer solucón óptma del problema relajado P es tambén una solucón del problema Prueba: Sea ( una solucón óptma de P Ahora probaremos por contradccón ue s es estrctamente monótona de entonces ( decr ( es una solucón factble de Supongamos ue ( para algún no satsface (6 Sea p el menor índce tal ue tambén satsface (6 es p+ ma( p + p p l p y ( p+ = p+ ma( p + p p l p Ahora defnmos = y tal ue = + + para =p = ma( l para =pp+- ótese ue p + p + =p+ p+3 Por tanto Puesto ue = para todo esto mplca ue Puesto ue ma mplca ue ( es tambén una solucón factble de P Puesto ue = y tenemos ( ( < ( j j para para todo esto para al menos un índce j=mp+ puesto ue <( ue mplca ue ( no es una solucón óptma de P Ya ue esto es una contradccón nuestra suposcón ncal ue ( no satsface (6 es falsa Por tanto ( tambén es una solucón factble del problema y puesto ue las solucones factbles de es un subconjunto de las solucones de P esto mplca ue ( es tambén una solucón óptma de cd Proposcón 3 Para sl s y un las funcones son funcones estrctamente monótonas de Prueba: Sea R con > y sean ( < ( j j R M con S para al menos un índce j=m(-+ con entonces tenemos ( t ( t para todo t [t t ] y ( t < ( t en algún ntervalo no vacío (t -ηt +η [t t ] con η> Por tanto y t ( t t dt< t ( t t dt XIII ornadas de ASEPUMA

11 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales ue mplca ue ( < ( ( < ( cd Es fácl verfcar ue 3 5 son en general funcones no estrctamente monótonas de para todo Aunue en general son funcones no conveas de y nuestros epermentos computaconales han mostrado ue las funcones objetvos y son smooth ue selecconando dferentes puntos ncales para la rutna de óptmacón al menos sempre conducen a más o menos al msmo resultado numérco Dscutremos ahora una apromacón de ue conducrá a un problema ue es resuelto efcentemente Puesto ue tenemos t + t ( t dt = ( + + (3 ( + + ( = ( (33 M = w = t t S suponemos ue para todo entonces (33 conduce a M def ( = w + + = ˆ ( = = ótese ue Ĵ es una funcón afín de Substrayendo un térmno constante M w no camba la localacón del mínmo esto mplca ue podemos = mnmar ln =ω T con ω= w w w w wm w w wm w M T para calcular un mínmo de Ĵ Podemos utlar un raonamento smlar para obtener una apromacón lneal de la funcón objetvo Puesto ue ϖ > para todo ln es una funcón estrctamente monótona de Como consecuenca de la proposcón 33 ue mplca ue para = ln el problema se reduce a un problema de programacón lneal ue puede ser resuelto efcamente usando el método del smple o usando un método de punto nteror Es fácl verfcar ue la reduccón a un funcón objetvo lneal es posble s en cambo suponemos todo los s son guales mponemos duracones relatvas para las XIII ornadas de ASEPUMA

12 Pedrera Andrade L P Rey Mígue F longtudes de fases es decr selecconamos coefcentes ρ tales ue =ρ para algún La suposcón consderada arrba de ue todos los s s son guales correspondentes a ρ = para todo ótese ue la suposcón en lo relatvo a la longtud es solo usada para smplfcar la funcón objetvo; no será ncluda eplíctamente en el problema de programacón lneal Como consecuenca el óptmo s no necesaramente tene ue satsfacer la suposcón de las longtudes relatvas ota 33 ótese ue las solucones apromadas obtenda usando los métodos presentados en esta seccón puede ser usado como puntos ncales para una rutna de mnmacón local aplcado a P (con las funcones objetvo o o el problema orgnal (con las funcones objetvo Conclusones Hemos ntroducdo el problema de complementaredad lneal etendda (XLCP e ndcado ue este puede ser usado para determnar sucesones temporales swtchng óptmas para una clase de sstemas swtched con dnámcas lneales saturadas Puesto ue el XLCP es un P-hard hemos tambén dscutdo varas técncas para calcular efcentemente subóptmos y apromar sucesones temporales swtchng En este trabajo hemos dervado métodos para óptmar meddas realables tales como medas o peores casos de tempos esperados y longtudes de cola para sstemas swtched con dnámcas lneales saturadas Hemos consderado propedades cuanttatvas del sstema S vemos mas nteresante propedades cualtatvas tales como por ejemplo segurdad debemos utlar las técncas presentadas en [5] Un mportante tema para la nvestgacón futura es la etensón de los resultados obtendos en este estudo para redes de colas dependentes es decr una stuacón donde las saldas de algunas colas serán conectadas con las entradas de otras colas S usamos una estratega de horonte móvl en combnacón con una solucón de control descentralado podemos aplcar todavía la apromacón dada en este trabajo y usar meddas de una cola para predecr las raones de llegadas y las otra colas proporconadas ue conocemos las raones de rutas r j (es decr la cantdad de coches fludo ue recorrerán desde la entrada de cola a la entrada de cola j y el tempo vajado t j de una a otra cola Otros temas para nclur en una nvestgacón futura: desarrollo de otros algortmos efcentes y/o apromacones para calcular estrategas swtchng óptmas para las clase de sstemas dscutdos en este trabajo desarrollo de algortmos efcentes para los casos especales del XLCP ue aparecen en el análss de clases especfcas de sstemas lneales swtched saturadas e nvestgacón del uso de XLCP para modelar y controlar otras clases de sstemas swtched 5 Bblografía [] Coo S The P versus P Problem Manuscrpt prepared for the Clay Mathematcs Insttute for the Mllennum Pre Problems (revsed ovember [] Cottle RW Pang S y Stone RE The lnear complementary problem Boston Academc Press (99 XIII ornadas de ASEPUMA

13 El Uso de un Problema de Complementaredad Lneal Etendda para la Obtencón de Sucesones Temporales [3] De Schutter B Óptmng acyclc traffc sgnal swtchng seuences through an etended lnear complementary problem formulaton European ournal of Operatonal Research Vol 39 nº pp -5 [] De Schutter B De Moor B The etended lnear complementary problem Mathematcal Programng vol 7 nº 3 pp [5] Kashan HR; Sards G Intellgent control for urban traffc systems Automatca vol 9 nº pp [6] Lberon D Morse AS Benchmar problems n stablty and desgn of swtched systems IEEE Control Systems Magane pp [7] Mangasaran OL Pang S The Etended Lnear Complementarty Problem SIAM 995 [8] esterov Y emrovs A Interor-Pont Polynomal Algorthms n Conve Programmng SIAM 99 [9] WesstenEW P-hard Problem Mathword A wolfram web resource [] Wong-To H The synthess of controllers for lnear hybrd automata n Proccedngs of the 36 th IEEE Conference on Decson and Control pp XIII ornadas de ASEPUMA 3