TEMA: Introducción al estudio de los efectos dinámicos. Sistemas con un grado de libertad. Sistemas continuos.

Transcripción

1 TEMA: Intrducción al estudi de ls efects dináics. Sisteas cn un grad de libertad. Sisteas cntinus. Intrducción.- Una viga se cprta c un uelle; relación cargas-flechas; ejepls: viga apyada cn una asa cncentrada en el punt edi, viga en vladiz cn una asa cncentrada en el extre. Centari breve sbre asa cncentrada equivalente a una asa distribuida. Cita de ejepls de excitación: tr cn rtr excéntric, efect sísic, etc. La respuesta libre de un sistea cn 1gdl, sin y cn artiguaient, la han estudiad ya, en Mecánica. Tabién la respuesta frzada, per la recrdas. Respuesta frzada c u u k u f(t) u f(t) u + c u + k u = f(t) u + ζ n u + n u = f(t)/ slución de la ecuación diferencial: u gc = u pc + u gh u gc : slución general de la ecuación cpleta u pc : slución particular de la ecuación cpleta (respuesta peranente) u gh : slución general de la ecuación hgénea (respuesta transitria) u gh 0 t

2 Carga arónica i f(t) = f e = f (cs t + i sen t) Slución particular (respuesta peranente): t i t u(t) = u e i t u(t) = i u e i u(t) = u e t sustituyend en: u + ζ n u + n u = f(t)/ u = 1 f / k - + i ζ n n u st =f /k (respuesta estática) Factr de aplificación: st gráfic: dibujar pner en una transparencia, y centarl u u

3 Vibracines lngitudinales en una barra N N N + dx X,U dx Ecuación de la dináica: Ley de cprtaient: Ecuación: N dx = ρa dx u t σ x = E ε x = E u N = σ x A = EA u u 1 u = c = E c t ρ Reslución de la ecuación. Métd de las fras dales: Separación de variables: u(x,t) = f(x) g(t) u 1 u = f x t = c t ( ) g ( ) 1 c f( x) g(t) f ( x) f( x) 1 () gt = = c gt () c (Cte) slucines particulares: f ( x) f( x) = c f(x) = A 1 cs x c + A sen x c fra dal: () gt gt () = g(t) = B 1 cs t + B sen t (variación arónica)

4 Ejepl AE, = Cte L x Cndicines de cntrn: x = 0 ; u = 0 (1) (1) f(0) = 0 fras dales: x = L ; σ x = 0 () f(x) = A 1 cs x c + A sen x c f(x) = φ i (x) = sen ix c (): ley de cprtaient: σ x = E ε x = E u f (L) = A c f (L) = 0 cs L c = 0 A 1= 0 ; A arbitraria n L 1 = π + n c n = 0, 1,, 3... cn c = E ρ y = ρa 1 EA frecuencias prpias: n = π + n L 1 x fras dales: f(x) = φ i (x) = sen π + n L Centaris: slución a una excitación cualquiera c cbinación de las fras dales, cada una cn su frecuencia; aplificación para excitacines cn frecuencia próxia a alguna de las n, especialente las ás bajas. Dibujar las fras dales para tras cndicines de cntrn (bieptrada).

5 Vibracines de flexión en barras q(x,t) Y,V Q Q+ Q dx X M M+ M dx Ecuacines de la dináica dx M : asa pr unidad de lngitud Q dx v + q dx dx t M dx + Q dx = 0 v + t q = 0 = 0 Ley de cprtaient v v EI v + t M(x) = EI x q = 0 Fras dales para EI=Cte ( q=0): 4 v 4 + EI v t = 0 Separación de variables: v(x,t) = f(x) g(t) f IV ( x) f( x) () gt + = 0 EI gt () f IV ( x ) fx ( ) =β 4 (C te ) () gt gt () EI = β = 4 (C te ) f(x) = C e sx g(t) = A cs t + B sen t s = ±β s = ±iβ f(x) = C 1 e βx + C e βx + C 3 e iβx + C 4 e iβx f(x) = A 1 cs βx + A sen βx + A 3 Ch βx + A 4 Sh βx

6 Ejepl EI, = Cte x Cndicines de cntrn: x=0 L v=0 f(0) = 0 A 1 = 0 x = L M = EI v = 0 f() 0 = 0 A 3 = 0 v = 0 f(l) = 0 A sen βl + A 4 Sh βl= 0 M = EI v = 0 f ( L) = 0 A sen βl + A 4 Sh βl= 0 A 4 = 0 sen βl = 0 ; β π = n L EI EI = β = n π L 4 C cpleent, sin ás cálculs; sól figuras y centaris: Dibujar las fras dales btenidas para la viga sipleente apyada y las que se btendrían en trs cass (pr ejepl, viga eptrada) sin intentar deducirls; sipleente haciend referencia a las distintas cndicines de cntrn. Interpretación de l btenid: separación del fenóen en el espaci (d) y en el tiep (viient arónic); varias frecuencias y ds prpis; cparar la priera frecuencia y su d cn l btenid en el sistea cn un g.d.l. Excitación de ls distints ds; pr ejepl el º cn un ent en el centr de la viga. En un cas general de carga se haría ediante descpsición dal y superpsición de efects en ls resultads (sin citar nada de rtgnalidad de ls ds ni trs detalles).

7 Ideas sbre la discretización Hacer referencia al ejepl: burdaente discretizad c: k k En la expsición en clase del sistea cn gdl, pnes la figura hrizntal y l haces directaente cn iguales y k iguales; tenes la slución al final. Sistea cn ds grads de libertad: k 1 1 x 1 k 1 x 1 + k k (x -x 1 ) + k (x -x 1 ) x Ecuación de equilibri para cada asa: - k x + k ( x - x ) = x k( x - x) = x 1 Supngas las respuestas: x = x e 1 10 x = x e 0 i t i t i ; x = x e t (- ) 1 10 i ; x = x e t (- ) 0

8 Sustituyend y perand: - (k + k )x + k x = - x k x-k x = - x 1 Pniendl en fra atricial: - (k + k ) + k x = 0 k - k + x Para tener slucines distintas de la trivial el deterinante de ls ceficientes debe ser igual a cer: - (k + k ) + k 1 1 k - k + = 0 La slución que se btendrá será: x1 x1 n1 n x x n1 n Ls térins de estas slucines (x 1, x ) n sn independientes, y a un de ells se le puede asignar un valr arbitrari. Al tener ds frecuencias naturales tendres ds ds de vibración. Para el cas particular en que: k 1 = k = k 1 = = n1 = 0.38 k x = (0.618 ; 1) n 1 n =.618 k x = ( ; 1) n n n 1 x n Centaris: Recrdar la cbinación lineal, dependencia de las cndicines iniciales, etc. Cparación de ls ds cn ls del sistea cntinu. La aprxiación cn gdl sól puede dar ls ds priers ds, y de fra aprxiada. Cn n asa-uelle se btendrían ls n priers, y cn ejr aprxiación para ls ás bajs; hacer figuras.