Correlación Lineal. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2008, Rev 2010

Transcripción

1 Correlación Lineal Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2008, Rev 2010

2 Objetivos de Lección Conocer el significado de los conceptos: correlación y coeficiente de correlación Calcular los coeficientes de correlación de Pearson y de Spearman rho e interpretar sus significados Distinguir entre los conceptos de correlación, causalidad y relación de causa y efecto

3 Introducción

4 Introducción Muchos proyectos estadísticos estudian una sola variable. En este caso, describen la muestra usando medidas de tendencia central y variación. Hay estudios que miden dos variables en una misma muestra o grupo. Por ejemplo: Puntuaciones de CEEB y Promedio General

5 Introducción En el caso de un estudio con dos variables, el investigador podría analizar los resultados de cada variable individualmente. Pero, al observar que existe cierta relación, le gustaría determinar hasta qué punto están relacionadas las dos variables.

6 Introducción En este caso, conviene realizar un análisis de correlación. El coeficiente de correlación productomomento de Pearson y el coeficiente de correlación Spearman rho son dos de las medidas que utilizamos para hacer este análisis.

7 Introducción En esta lección veremos: Cómo se calculan los diferentes coeficientes de correlación (Pearson y Spearman rho) Cuándo se usan Qué factores afectan su tamaño Cómo se interpretan

8 Correlación Lineal

9 Descubriendo el significado de correlación Supongamos que el profesor de estadística administra el examen final. Al observar los resultados, desea conocer si los estudiantes que salieron bien en el examen son aquellos que entraron a la universidad con una alta puntuación en la parte de matemáticas del CEEB. También, quiere conocer si los que salieron mal en el examen final son aquellos cuya puntuación en matemáticas de CEEB era también baja.

10 Descubriendo el significado de correlación Este profesor está interesado en conocer si estas dos variables (puntuación de Ceeb en matemáticas y resultado de examen final de estadística) están relacionadas. Para esto recopila la información de los 15 estudiantes de su grupo sobre estas dos variables. Los resultados se muestran a continuación.

11 Ejemplo Resultados de dos variables en muestra de 15 estudiantes de Estadística Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) Total x s =

12 Ejemplo En esta muestra, luego de recopilar la información relacionada con las dos variables, uno quisiera ver si las variables se relacionan. O sea, uno quiere determinar si a medida que el valor de una variable aumenta, la otra aumenta también (o disminuye, o quizás no están relacionadas)

13 Ejemplo Se podría hacer el análisis por una simple inspección visual. O sea, se construiría una gráfica donde se observen ambas variables. En este caso, la gráfica de puntos (scatterplot) es la ideal. Se representa en el eje de x la variable x, y en el eje de y la variable y, como se ilustra en la próxima pantalla. Ver signficado de los puntos de la gráfica.

14 Est CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) Total E x a m F i n a l E s t a d ( y ) Gráfica de Puntos (Scatterplot) Puntuaciones de 15 Estudiantes de Estadística x CEEB-Math (x) s =

15 Relación entre la correlación y las gráficas de puntos Se puede ver si existe relación mirando la gráfica Tipos de correlación: Correlación positiva Correlación negativa Correlación perfecta No hay relación Ver diagramas en pág.98 (Libro de Hinkle), Figura 5.2, para distinguir los diferentes tipos de relación

16 Relación entre la correlación y las gráficas de puntos Figura 5.2-Tipos de correlación: Correlación positiva (Figura 5.2-A) Correlación negativa (Figura 5.2-B) Correlación perfecta (Figuras 5.2-C y D) No hay relación (Figura 5.2-E) Observe formas de las líneas y forma de agrupación de los datos.

17 Reflexión La gráfica ayuda a tener noción de si existe correlación, pero no es lo suficientemente precisa para propósitos estadísticos. No nos dice cuán relacionadas están las variables: cuál es la magnitud de la relación y cuál es la dirección de la relación. Para esto, se necesita tener un índice cuantitativo que establezca esta precisión. El coeficiente de correlación sirve este propósito.

18 Coeficiente de Correlación Un coeficiente de correlación asume valores que van desde -1 hasta Correlación perfecta positiva -A medida que una aumenta la otra aumenta también, o a medida que una disminuye, la otra disminuye también -1- Correlación perfecta negativa -A medida que una aumenta la otra disminuye, o si una disminuye, la otra aumenta 0 No hay correlación

19 Coeficiente de Correlación Un coeficiente de correlación asume valores que van desde -1 hasta Cerca de +1- Correlación positiva -A medida que una aumenta la otra tiende a aumentar, o a medida que una disminuye la otra tiende a disminuir Cerca de -1- Correlación negativa -A medida que una aumenta la otra tiende a disminuir, o a medida que una disminuye, la otra tiende a aumentar Cerca de 0 Tiende a no haber correlación

20 Coeficiente de Correlación El signo indica la dirección de la relación: Signo positivo- indica relación positiva o cambio en la misma dirección. Esto significa que: si una variable aumenta, la otra también aumenta si una variable disminuye, la otra también disminuye Signo negativo- indica relación negativa o cambio en la dirección opuesta. Esto significa que: si una variable aumenta, la otra disminuye si una variable disminuye, la otra aumenta El cero indica que no hay relación

21 Coeficiente de Correlación El valor absoluto del coeficiente indica la magnitud de la relación. +1 -Magnitud mayor posible que indica relación positiva Cerca de +1 -Relación altamente positiva -1 - Magnitud menor posible que indica relación negativa Cerca de -1 Relación altamente negativa Cerca de cero Tiende a no haber relación

22 Coeficiente de Correlación El valor numérico del coeficiente es una función de la pendiente de la recta que forma el patrón de correlación. La pendiente indica la dirección de la relación. (+ ó -) El ancho de la elipse que se forma en el patrón de correlación, indica la magnitud de la relación. Ver Figura 5.2 en pág. 98.

23 Coeficiente de Pearson Desarrollado por Karl Pearson, estadístico inglés ( ) Este coeficiente se simboliza con la letra: r El nombre completo del coeficiente es: Coeficiente de correlación productomomento de Pearson. Aplica a muestras.

24 Coeficiente de Pearson Se llama así porque para calcularlo se halla la suma de los productos cruzados. En la fórmula se multiplican los valores de las dos variables x, y de cada sujeto de la muestra y luego se suman todos esos productos (los de los n sujetos de la muestra). Luego se divide esta suma por n-1. En resumen, la fórmula es la media de los productos cruzados.

25 Coeficiente de Pearson Para que las diferencias en las unidades de medidas de las dos variables no afecte el coeficiente de correlación, Pearson usó puntuaciones estandarizadas (z) en vez de puntuaciones crudas. Ver fórmula de Pearson en la próxima pantalla.

26 Fórmula de r r xy n z x z 1 y Fórmula 1 Fórmula de Puntuaciones Estandarizadas Recordar que: z x x s x x z y y s y y

27 Ejemplo para hallar r con fórmula 1 Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) x y y Totales s 96. x y s y x x 534 x 53 z z z x z

28 Continuación de Ejemplo r xy z x z y n

29 Reflexión Calcular r de la forma anterior puede ser tedioso. Hay otras fórmulas que requieren menos cálculos. En esta lección veremos 4 métodos o fórmulas para calcular r: Fórmula 1- Puntuaciones estandarizadas Fórmula 2- Puntuaciones de desviación Fórmula 3- Puntuaciones crudas Fórmula 4- Usando la covarianza

30 Fórmula 2 Fórmula de Puntuaciones de Desviación para calcular r: r xy ( x x x)( y En esta fórmula se utilizan las puntuaciones que representan desviaciones de cada puntuación respecto a la media aritmética. x 2 y y) y 2

31 Hallar r usando fórmula 2 x x 534 x y Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) x x y y x x y y x x y y , , , , , , , , , , , , , , , , Totales , ,460 1,

32 Continuación de Ejemplo ( x x)( y y) r xy x x 2 y y 2 12, ,460 1,

33 Fórmula 3 Fórmula de Puntuaciones Crudas para calcular r: r xy n x 2 x 2 n y 2 y 2 n xy x y En esta fórmula se utilizan las puntuaciones crudas. Esta fórmula es más conveniente ya que produce menos cálculos matemáticos al utilizar las puntuaciones crudas.

34 Ejemplo de hallar r usando fórmula 3 Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) xy x2 y , ,025 4, , ,400 3, , ,225 4, , ,025 1, , ,400 4, , ,100 2, , ,225 3, , ,400 3, , ,225 3, , ,225 1, , ,600 1, , ,225 2, , ,400 1, , ,100 1, , ,225 2,809 8, ,580 4,407,800 41,162

35 Continuación de Ejemplo r xy n x 2 n xy x 2 n x y y 2 y ,580 8, ,407,800 8, ,

36 Fórmula 4 Fórmula para calcular r usando la Covarianza: sxy rxy s s x x x y y sxy n 1 La covarianza es el promedio de los productos cruzados de las puntuaciones de desviación. La covarianza está representada por : s s xy es la desviación estándar de x x s y es la desviación estándar de y y

37 Reflexión No podemos usar la covarianza en sí misma para determinar la relación entre dos variables ya que la covarianza está afectada por la unidad de medida que representa. Además, la covarianza no está delimitada en el intervalo de +1 a -1 como lo está r. Sin embargo, se puede usar la covarianza para determinar r si usamos la fórmula 4 anterior, ya que r será igual al cociente de la covarianza dividido por el producto de las desviaciones estándar de las dos variables. sxy r s xy xy s x s y x x n y 1 y

38 Ejemplo de hallar r usando fórmula 4 Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) x x y y x x y y , , , , , , s Total , x s y

39 Fórmula 4 r s xy xy s s x xy s y x Continuación de Ejemplo x n y 1 y s xy x 12, s x Paso 1- Calcular la Covarianza x n y Paso 2- Calcular la desviación estándar de la variable x y de la variable y s y y Paso 3- Calcular r r xy s s x xy s y

40 Factores que afectan el tamaño de r

41 Factores que afectan el tamaño de r Hay 4 factores que afectan el tamaño de la relación entre dos variables. Para poder usar r como coeficiente de correlación entre dos variables, hay que asegurarse que se cumplen las condiciones establecidas en estos 4 factores.

42 1. Supuestos que tienen que cumplirse Las dos variables tienen que ser observaciones pareadas del mismo grupo de sujetos. Las dos variables tienen que estar en la escala intervalar o de razón.

43 2. Linealidad El coeficiente de Pearson es un coeficiente de linealidad. Esta relación aplica sólo si la relación es lineal. Esto es, si los puntos que representan las dos variables caen alrededor de una línea recta (forman una elipse alrededor de la línea)

44 2. Linealidad Hay relaciones entre variables que no son lineales. Ejemplo: relaciones curvilíneas. Ver diagrama en Figura 5.3 de la pág. 105 (libro de Hinkle). Si se usa r en relaciones curvilíneas, se subestimará la posible relación entre las variables. Por eso no se puede usar r en relaciones curvilíneas.

45 2. Linealidad Si la relación es curvilínea, se usa un Análisis de Covarianza (ANCOVA) para determinar la relación. (Cap. 19 libro de Hinkle) Por eso, para determinar si aplica el coeficiente de Pearson, es muy útil ver primero el diagrama de la relación (Scatterplot).

46 3. Homogeneidad del Grupo Si el grupo es homogéneo la varianza tiende a ser cero. A medida que la homogeneidad aumenta, la varianza disminuye. Si la varianza disminuye, r tiende a cero. Se debe usar r si el grupo es heterogéneo.

47 3. Homogeneidad del Grupo Hay que estar alerta a la interpretación de r si el grupo es homegéneo. Un valor de r cerca de cero no implica que no exista relación entre las variables, si el grupo es homogéneo. Ejemplo: Relación entre IQ y Resultados de Prueba Cognitiva si el grupo es homogéneo

48 3. Homogeneidad del Grupo Si el grupo es homogéneo, o sea, tienen más o menos el mismo intervalo de IQ, los resultados de la prueba cognitiva tenderán a ser altos también. Las variables están relacionadas, pero, al obtener el valor de r, estará cerca de 0. La homogeneidad del grupo limitará la magnitud del coeficiente de correlación.

49 3. Homogeneidad del Grupo Muestras aleatorias tienden a ser heterogéneas. Para conocer si el grupo es homogéneo, se hacen pruebas estadísticas de homogeneidad.

50 4. Tamaño del Grupo El tamaño del grupo (n) no afecta r. En general, el tamaño del grupo puede ser cualquier n 2. Aunque el caso de n = 2 es especial ya que dos puntos diferentes determinan una recta y el diagrama siempre producirá una línea recta. Esto no necesariamente significará que la relación sea lineal perfecta.

51 Interpretación de r

52 La escala de medición de r La escala de medición de r es ordinal, no intervalar ni de razón. Por eso, no se puede interpretar que un r de 0.80 es el doble de un r de Tampoco se puede interpretar que la diferencia entre un r de 0.40 y un r de 0.60 es la misma que la de un r de 0.60 y un r de 0.80.

53 Interpretación de r Qué cantidad de r se interpretaría como alta correlación, baja correlación, o no hay correlación? Existe una regla general para interpretar el tamaño de la relación entre dos variables. La próxima pantalla presenta esta regla.

54 Regla General para interpretar r r Interpretación De 0.90 a 1.00 De (-0.90) a (-1.00) Muy alta correlación positiva Muy alta correlación negativa De 0.70 a 0.90 De (-0.70) a (-0.90) Alta correlación positiva Alta correlación negativa De 0.50 a 0.70 De (-0.50) a (-0.70) Correlación positiva moderada Correlación negativa moderada De 0.30 a 0.50 De (-0.30) a (-0.50) Baja correlación positiva Baja correlación negativa De 0.00 a 0.30 De 0.00 a (-0.30) Muy poca correlación, si alguna Muy poca correlación, si alguna

55 Interpretación de r en términos de la varianza r es un índice que indica la proporción de las diferencias individuales de una variable que puede asociarse a las diferencias individuales de otra variable. Indica qué cantidad de la varianza total de una variable se puede asociar a la varianza de la otra variable y qué cantidad se asocia con otros factores distintos a la variable estudiada.

56 Ejemplo Un estudio sobre la relación entre los resultados de una prueba de aptitud matemática (x) y el promedio general (y) de 75 estudiantes reflejó que r = Esto significa que una puntuación alta en la prueba de aptitud está asociada con un promedio general alto, y vice versa. r también sugiere que hay otros factores, además de la aptitud, tales como motivación, salud, etc., que pudieran contribuir a las diferencias individuales en el promedio general.

57 Continuación de Ejemplo Simbólicamente: 2 2 s s y x 2 s y s 2 w Varianza total en el promedio general 2 s x 2 s w Varianza en el promedio general asociada con las diferencias en la aptitud Varianza en el promedio general asociada a otros factores A mayor correlación entre las variables promedio y aptitud, mayor será la porción de la varianza total en el promedio que se puede asociar con la varianza en aptitud

58 Continuación de Ejemplo La asociación específica está dada por la siguiente ecuación: 2 s r 2 x 2 sy 2 s Varianza total de y y 2 s x r 2 Varianza en y que está asociada con la varianza en x Cuadrado del coeficiente de correlación

59 Coeficiente de Determinación r 2 se llama Coeficiente de Determinación. El Coeficiente de Determinación indica la proporción de la varianza total de y que se puede asociar con la varianza en x. Ejemplo: En el ejemplo anterior, r = 0.69, r 2 = Esto significa que 48% de la varianza en el promedio general se puede asociar a la varianza en aptitud. A mayor correlación entre las variables promedio y aptitud, mayor será la porción de la varianza total en el promedio que se puede asociar con la varianza en aptitud. Ver Figura 5.6 pág. 111 (libro de Hinkle).

60 Coeficiente Spearman rho

61 Coeficiente Spaerman rho Este es un caso particular del coeficiente de Pearson. Aplica cuando los datos son ordinales. Cuando los datos están pareados en orden de rango o se han convertido a rango El símbolo que se usa para representar este coeficiente es:

62 Coeficiente Spaerman rho La fórmula para calcular el coeficiente es: 6 1 n n 2 d 1 n es el total de datos en la muestra d es la diferencia en los rangos de las variables x, y (rango x rango y) 2

63 Ejemplo de hallar Si hay empate en las puntuaciones se promedian los rangos empatados d Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) Rango x Rango y (Rang x Rang y) d

64 Continuación de Ejemplo n n d 2 1 1

65 Correlación vs Causalidad

66 Correlación vs Causalidad No se debe confundir la relación de correlación con la relación de causa y efecto. Que exista relación entre dos variables, no implica que una variable causa la otra. Para poder hacer la inferencia de causalidad se requiere otro análisis estadístico.

67 Ejemplo Un director de escuela estudia la comprensión lectora de estudiantes de kinder a sexto grado y la velocidad con que corren estos estudiantes. Encuentra un alta correlación entre estas variables y concluye que si adiestra los estudiantes a correr a mayor velocidad mejorarán en la comprensión lectora.

68 Continuación de Ejemplo Lo que este director encontró fue que los estudiantes de sexto grado corren más rápido y leen mejor que los estudiantes de kinder. En este estudio la variable edad está interviniendo en el coeficiente de correlación, así que no puede asignar la relación de causa y efecto que establece su conclusión (la comprensión lectora no es un efecto de la velocidad al correr).

69 Fin de la Lección