Método de Euler-Lagrange en el modelado y control de un péndulo invertido sobre un carro

Transcripción

1 1 Métoo e Euler-Lagrange en el moelao y control e un pénulo invertio sobre un carro RAMÍREZ-GONZÁLEZ, Luis 1, GARCÍA-MARTÍNEZ, José 2, SIORDIA-VÁSQUEZ y Xóchitl 1, GARCIA-RAMOS, Roman 1. 1 Universia Veracruzana Faculta e Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones, Prolongación e la Av. Venustiano Carranza s/n, Poza Rica, Veracruz 2 Universia Autónoma e Querétaro, Cerro e Las Campanas, s/n, Col. Las Campanas, Santiago e Querétaro Recibio 2 e Junio, 2017; Aceptao 8 e Septiembre, 2017 Resumen Un problema clásico e la teoría e control es el pénulo invertio sobre un carro, one estan conectaas os masas en movimiento. Este tipo e sistema mecánico es ifícil e controlar ebio a su inherente inestabilia y con un comportamiento altamente no lineal. El objetivo e este artículo es obtener un moelo matemático erivano las ecuaciones que rigen la inámica el sistema pénulo invertio usano el métoo e Euler-Lagrange y una representación en espacio e estaos para el iseño el controlaor. El controlaor se valia implementano un iagrama e la planta y el controlaor en MATLAB/Simulink. Los resultaos emuestran que el métoo empleao en el iseño el controlaor logra el objetivo e control. Este trabajo aporta una metoología que puee ser aaptaa y servir como base, en el moelao y iseño e control e otros sistemas no lineales. Pénulo invertio, espacio e estao, controlaor lineal Abstract A classic problem of control theory is the inverte penulum on a cart, where two masses in motion are connecte. This type of mechanical system is ifficult to control because of its inherent instability an with highly non-linear behavior. The objective of this paper is to obtain a mathematical moel by eriving the equations governing the ynamics of the inverte penulum system using the Euler-Lagrange metho an a state space representation for the controller esign. The controller is valiate by implementing a plant iagram an controller in MATLAB/Simulink. The results emonstrate that the metho use in the controller esign achieves the control objective. This work provies a methoology that can be aapte an serve as a basis in the moeling an control esign of other nonlinear systems. Inverte penulum, state space, linear controller Citación: SIORDIA-VÁSQUEZ, Xochitl y GARCIA- RAMOS, Roman. Euler- carro. Revista e Ingeniería Eléctrica :1-8. Investigaor contribuyeno como primer autor. *Corresponencia al Autor Correo Electrónico: ramirez@uv.mx ECORFAN-Perú

2 2 Introucción El sistema pénulo invertio sobre un carro (SPISC) es un sistema inámico inherentemente inestable con un comportamiento altamente no lineal y por su semejanza a otros problemas e la ingeniería e control como son los controlaores e brazos robóticos, lanzaores e cohetes espaciales, controlaores e vehículos aéreos para espegue y aterrizaje vertical por mencionar algunos, es consierao como uno e los problemas clásicos más importantes en la teoría e control, sieno e gran interés en su investigación al ser utilizao como un banco e pruebas para la evaluación e una amplia gama e métoos y estrategias e control lineal y no lineal. El SPISC como el que se muestra en la figura 1, (Mahbubeh Moghaas, 2012), es un tipo e sistema mecánico subactuao, el cuál tiene un número menor e entraas e control que graos e liberta y consiste e una varilla rígia cilínrica o plana sin masa e longitu l con una bola e masa m al extremo el pénulo, con liberta e rotar 360 sobre su propio eje, la cual se encuentra montaa sobre un carro e masa M que se mueve libremente sobre la irección x, (García, 2016). El carro y la bola se consieran como os masas puntuales. En general, el problema e control consiste en obtener un moelo matemático el SPISC y utilizar el moelo para eterminar la ley e control con el objetivo e mantener al pénulo en la posición vertical eseaa en too momento (Vijayanan Kurekar, 2013). El esarrollo e la metoología se centra en erivar el moelo matemático, usano el métoo e Euler-Lagrange, el cual permite crear las ecuaciones e movimiento para un conjunto e puntos e masa, introucieno las llamaas coorenaas generalizaas y esarrollar un controlaor por el métoo e espacio e estaos para lograr estabilizar el pénulo sobre la vertical que se esplaza en una trayectoria lineal. (Ogata K., 2004), (García, 2016) Este artículo está organizao e la siguiente manera: la sección 1, introuce al pénulo invertio como un problema clásico e la teoría e control mencionano algunas aplicaciones e este problema, la sección 2, abora el esarrollo el moelo matematico a través e la erivación e las ecuaciones que gobiernan el movimiento el SPISC basao en el métoo el Euler-Lagrange, la sección 3 presenta una representación en el espacio e estao y la linelización el SPISC, en la sección 4, se abora el iseño el controlaor usano el métoo e asignación e polos, en la sección 5 se presenta la simulación usano la herramienta computacional MATLAB/Simulink y los resultaos, finalmente en la sección 6 se presentan las conclusiones e este trabajo. Moelao matemático El sistema pénulo invertio sobre un carro (SPISC), se consiera como un robot articulao e 2 graos e liberta, cuya primera articulación es traslacional, mientras que la seguna, es rotacional. Las ecuaciones e Euler- Lagrange representan al sistema por un conjunto e coorenaas generalizaas, caa coorenaa por caa grao e liberta inepeniente el sistema, incluyeno totalmente las limitaciones propias el sistema. Las ecuaciones que moelan al sistema se obtienen usano las ecuaciónes e Euler-Lagrange (1): ( L t q i ) L q i = Q i (i = 1, 2, 3,, n) (1)

3 3 Done q i representa la posición (angular ó lineal) corresponiente a caa elemento móvil el sistema, q i es la velocia corresponiente, y Q i representa las fuerzas generalizaas, aplicaas a caa elemento (fuerzas y torques) al sistema. La energía cinética T(q i, q i) se expresa en términos e estas coorenaas y sus erivaas, mientras que la energía potencial V(q i ) se expresa en términos e las coorenaas generalizaas. La función Lagrangiana se expresa por la siguiente ecuación como: L = T(q 1, q 2,, q r, q 1, q 2,., q n) V(q 1, q 2,, q n ) (2) En relación a la geometría el SPISC e la figura 1, se efine la posición el centro e masa el pénulo con las ecuaciones (3) y (4). x p = x + lsenѳ (3) y p = lcosѳ (4) La tabla 1 presenta una breve escripción e los parámetros el SPISC mostraos en la figura 1 y son utilizaos en la obtención el moelo matemático, (García, 2016). Las expresiones e la energía cinética y potencial el pénulo son obtenias efinieno las coorenaas generalizaas. Para la coorenaa generalizaa q 1 = x. Símbolo Parámetro Valor M Masa el carro 2 Kg m Masa el pénulo 0.2 Kg l Longitu el pénulo 0.6 m b Fricción el carro 0.1 N/m/ s Friccion el pénulo nula g gravea 9.81 m/s 2 F Fuerza aplicaa al carro N P Pivote montao en el carro - x Coorenaa e la posición - el carro Ángulo el pénulo ese vertical - Tabla 1 Parámetros el sistema pénulo invertio t ( L x ) L x = F bx (5). Y para la coorenaa generalizaa q 2 = t ( L θ ) L θ = θ (6) La energía cinética total el sistema esta expresaa por la siguiente ecuación: T = T c + T p (7) Sieno T c la energía cinética el carro y T p la energía potencial el pénulo, entonces se tiene: Figura 1 Sistema pénulo invertio sobre un carro (SPISC) T c = 1 2 Mx 2 (8) T p = 1 2 mv p 2 (9)

4 4 Done v p es la componente total e la velocia el pénulo, y las componentes en x e y e la velocia el pénulo son v xp y v yp respectivamente, expresaas como: v p 2 = v xp 2 + v yp 2 (10) Sustituyeno la ecuación (10) en (9). T p = 1 2 m(v xp 2 + v yp 2 ) (11) La posición el centro e masa el pénulo esta efinia por las ecuaciones (3) y (4) y relacionánolas con la ecuación (11) se obtiene la ecuación (12). T p = 1 2 m [(x + lθ cosθ) 2 + ( lθ senθ) 2 ] (12) Desarrollano la ecuación (12) y reucieno términos se obtiene la energía cinética total el pénulo: T p = 1 2 mx 2 + mlx θ cosθ ml2 x 2 (13) Sustituyeno las ecuaciones (8) y (13) en la ecuación (7) y arreglano términos se obtiene: T = 1 2 (M + m)x 2 + mlx θ cosθ ml2 x 2 (14) La energía potencial el pénulo quea expresaa como: V p = mglcosθ (15) Y la energía potencial el carro se expresa: V c = 0 (16) Por lo tanto, la energía potencial total el sistema quea expresaa: Relacionano las ecuaciones (14) y (17) con la ecuación (2), se obtiene el Lagrangiano el sistema representao por la ecuación (18). L = 1 2 (M + m)x 2 + mlx θ cosθ ml2 x 2 mglcosθ (18) Consierano ahora, la ecuacion e movimiento e Euler-Lagrange y las coorenaas generalizaas q 1 = x y q 2 = θ, para los os casos siguientes, se aplican las ecuaciones (5) y (6) a la ecuación (18). En el caso 1, la coorenaa generalizaa q 1 = x: [ ( 1 (M + m)x 2 + mlx θ cosθ)] = F bx (19) t x 2 L x = 0 (20) Aplicano las erivaas a la ecuación anterior se obtiene (M + m)x mlθ 2 senθ + mlcosθθ + bx = F (21) En el caso 2, la coorenaa generalizaa q 2 = θ: [ (mlx θ cosθ + 1 t θ 2 ml2 θ 2 )] (mlx θ cosθ) θ = 0 (22) θ Aplicano las erivaas a la ecuación anterior y simplificano términos se obtiene: m l 2 θ + mlx cosθ mglsenθ + θ = 0 (23) Las ecuaciones (21) y (23) son las ecuaciones que efinen el movimiento el SPISC y representan el moelo matemático no lineal y se expresan en forma matricial en la ecuación (24): (M + m) mlcosθ [ mlcosθ ml 2 ] [ x θ ] = [ F + mlθ 2 senθ bx ] (24) mglsenθ θ V = V c + V p = V p (17)

5 5 Representación en el espacio e estaos A partir e las ecuaciones el moelo matemático no lineal el SPISC, representaas por las ecuaciones (21) y (23), se manipulan algebraicamente e moo que, e la ecuación (21) se obtiene la ecuación (25): x = mlθ senθ mlcosθ θ (M+m) (M+m) b x + 1 (M+m) (M+m) F (25) Para estabilizar al pénulo en la vertical superior, es necesario mantener al ángulo pequeño, entonces es posible justificar la aproximación senθ θ, cosθ 1, y θθ es espreciable, entonces es posible linealizar el sistema SPISC cerca e su posición e equilibrio, (Dorf R., 2011) las cuales son os, (x, θ) = (0,0) el pénulo esta en la posición e arriba y (x, θ) = (0, π) el pénulo esta posicionao abajo. La ecuación (25) puee ser expresaa en forma lineal como sigue: x = ml θ b x + 1 F (26) (M+m) (M+m) (M+m) Aplicano las coniciones e equilibrio a la ecuación (23) se obtiene la ecuación (27). l θ + x gθ = 0 (27) Sustituyeno la ecuación (26) en la ecuación (27), se obtiene la ecuación (28): lθ + ( ml θ b x + 1 (M+m) (M+m) (M+m) y resolvieno para θ se obtiene: θ = b Ml F) gθ = 0 (28) (M+m)g x + θ 1 F (29) Ml Ml La función e transferencia el pénulo invertio se obtiene aplicano la transformaa e Laplace a la ecuación (29) obteniénose (30). θ(s) F(s) = 1 Ml s 2 (M+m)g Ml (30) Las variables e estao son: la posición el carro x, el ángulo e la varilla el pénulo con respecto a la vertical θ, la velocia el carro x y la velocia angular e la varilla el pénulo θ. Definieno las variables e estao y usano las ecuaciones (26) y (29) el moelo matematico lineal se tiene: x 1 = x; x 2 = x ; x 3 = θ; x 4 = θ (31) La representación en el espacio e estaos el moelo el SPISC esta aa por las ecuaciones (32) y (33). x = Ax + Bu (32) La ecuación e salia y = Cx + Du (33) Sieno A, B, C y D matrices. La ecuación e estao el SPISC es expresaa en la ecuación (34) como sigue: x 1 0 b 0 ml x x 2 (M+m) (M+m) x 2 (M+m) [ ] = [ x x ] b (M+m)g x 4 [ 0 0 x ] 4 [ 1 Ml ] Ml Ml u (34) La ecuación e salia el sistema se expresa [ y 1 y ] = [ ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] (35)

6 6 Sieno u la entraa el sistema que es igual a la fuerza F aplicaa, y D la matriz e transmitancia el sistema la cual tiene un valor 0. Usano, los parámetros e la Tabla 1, el SPISC, en la ecuación e estao se obtienen los valores numéricos e las matrices A y B, por lo que la ecuación e estao (34) quea ahora expresaa por la ecuación (36). x x 1 0 x x [ ] = [ ] [ x x ] + [ 3 0 x x ] u (36) Con la ecuación e estao el SPISC se evaluan los polos en lazo abierto, queano expresaos en la ecuación (37). s1 = 0; s2 = ; s3 = ; s4 = (37) Se observa que el polo s4 se encuentra en el semiplano erecho, lo que confirma claramente que el sistema es inestable en lazo abierto. Diseño el controlaor El métoo e iseño por asignación e polos y el uso e la fórmula e Ackerman, consiste en eterminar la ley e control por retroalimentación, expresaa por la ecuación (38). u = Kx (38) Por lo que se necesita encontrar K, la matriz ganancia e retroalimentación e estao expresaa como: K = [ ][B AB A n 1 B] 1 φ(a)] (39) Done (A) es el polinomio característico matricial que se expresa como sigue: (A) = A n + α 1 A n 1 + +α n 1 A + α n I = 0 (40) Sieno α n los coeficientes el polinomio característico eseao. La ubicación e los polos e lazo cerrao en la localización eseaa se expresa por la ecuación siguiente: s = μ 1 ; s = μ 2 ; ; s = μ n (41) Para realizar el iseño, primero es necesario que el sistema sea e estao completamente controlable, por lo que se necesita verificar la controlabilia el SPISC con la matriz e controlabilia M c expresaa por la ecuación siguiente: M C = [B AB A n 1 B]; M c 0 (42) Consierano, que las variables e estao, son meibles y isponibles por retroalimentación. La figura 2 representa el iagrama e bloques el SPISC en la representación e espacio e estaos, con control e retroalimentación, observanose que, u es retrolimentaa por el controlaor, e acuero a la ecuación (38). u. X=Ax+Bu -K Cx Figura 2 Diagrama e bloques el SPISC con control e retroalimentación e estaos Simulación y resultaos Usano la herramienta computacional MATLAB/Simulink y en base a la metoología e iseño, se verificó la controlabilia el sistema, obteniénose que M c = 4, por lo tanto, el SPISC es controlable. Se esea que los polos e lazo cerrao estén ubicaos en las siguientes localizaciones: μ 1 = 2 + 3i; μ 2 = 2 3i; μ 3 = μ 4 = 3 (43) y 1 y 2

7 7 A continuación, evaluano la matriz ganancia e retroalimentación K se obtiene: K = [ ] (44) Ahora con los graficos 1 y 2, obtenios en simulación, los resultaos emuestran, que espués e aproximaamente 2.75 segunos el sistema el pénulo esta en la posición e equilibrio vertical θ = 0 y el carro en x = 0. Esto puee observarse en el gráfico 1. Grafico 2 Respuesta el controlaor para las velociaes el carro y pénulo obtenio con MATLAB/Simulink. Conclusiones Gráfico 1 Respuesta el controlaor para la posiciòn e carro y ángulo el pénulo--obtenio con MATLAB/Simulink Esto mismo sucee, con la velocia el carro x = 0, y la velocia el pénulo θ = 0, el sistema se establece en aproximaamente 2.75 segunos, como se observa en el gráfico 2. Sin embargo, la posición el pénulo se incrementa hasta 0.48 ra/seg antes e llegar al equilibrio origen). Con los resultaos obtenios en los gráficos e simulación, es posible visualizar que la respuesta el controlaor para estabilizar al SPISC es eficaz, sin embargo, la respuesta e control puee ser mejoraa con otro tipo e controlaor más robusto. El moelo matemático el sistema pénulo invertio sobre un carro (SPISC), fue esarrollao usano el métoo e Euler- Lagrange que resultó un métoo eficaz para erivar las ecuaciones e movimiento no lineal. Fue posible linealizar el sistema SPISC cerca e su posición e equilibrio, obteniénose una buena aproximación el sistema no lineal, y a partir el moelo linealizao y su representación en variables e estao, se iseñó un controlaor para la estabilización el pénulo en la vertical superior usano el métoo e asignación e polos y aplicano la fórmula e Ackerman. Los resultaos e simulación el SPISC permitierón emostrar que el sistema logró estabilizarse alreeor el punto e equilibrio cuano el pénulo se encontró en la parte e arriba. Este trabajo aporta una metoología que puee ser aaptaa y servir como base, en el moelao y iseño e control e otros sistemas no lineales.

8 Artículo 8 Revista e Ingeniería Eléctrica Agraecimiento Los autores agraecen a la Faculta e Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones e la Universia Veracruzana por el apoyo brinao para la realización e este trabajo. Referencias Bishop, R. (2013). Moern Control Systems. California, USA: Prentice Hall. Dorf, R. (2011). Moern Control Systems. Upper Sale River, New Jersey, USA: Prentice Hall. García Martinez, J. R. (2015). Análisis y Diseño e un Controlaor para un Pénulo Invertio Usano los Métoos e Espacio e Estaos. Universia Veracruzana. Poza Rica, Ver.: Universia Veracrzana. García, J. (Diciembre e 2016). Las Leyes e Newton en el moelao y control el pénulo invertio sobre un carro. (Ecorfan, E.) Revista Tecnología e Inovación, 3(9), Mahbubeh Moghaas, M. R. (2012). Design of optimal PID controller for inverte penulum using genetic algorithm. International Journal of Innovation, Vol. 3(4). Ogata, K. (1997). Moern Control Engineering. (P. Hall, E.) Sale River, New Jersey, USA: Prentice Hall. Ogata, K. (2004). Systems Dynamics. Upper Sale River, New Jersey, USA: Pearson Prentice Hall. Vijayanan Kurekar, S. B. ( e 2013). Inverte Penulum Control: A brief Overview. International Journal of Moern Engineering Research, Vol. 3( ).