Estática Profesor Herbert Yépez Castillo

Transcripción

1 Estática Profesor Herbert Yépe Castillo

2 Introducción 4.1 Momento de una fuera ormulación Escalar 4.2 Producto Cru 4.3 Momento de una fuera ormulación Vectorial 4.4 Principio de momentos 4.5 Momento de una fuera respecto a un eje 4.6 Momento de un par 4.7 Sistemas Equivalentes 4.8 Reducción de un Sistema de fueras 4.9 Reducciones adicionales de un Sist. de fueras 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 2

3 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 3

4 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar Momento de una fuera puede ser representado gráficamente de dos formas: 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 4

5 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar Momento de una fuera respecto a un punto o eje es la tendencia de la fuera a ocasionar que el cuerpo gire alrededor del mismo punto o eje. o (M o ) XY d (M o ) XY d Tendencia a girar el tubo sobre el eje 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 5

6 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar (M o ) o o d YZ d (M o ) YZ Tendencia a girar el tubo sobre el eje XY d (M o ),, d Ausencia de giro 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 6

7 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar ormulación Escalar M o =. d [N. m] [lb. pie] Donde: d: : M o : Distancia perpendicular del eje, que pasa por va a la línea de acción de la fuera uera aplicada Momento respecto a 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 7

8 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar d M o Dirección Pulgar especifica la dirección sentido del vector momento M o d Los dedos siguen primero la traectoria de la distancia (d) posteriormente siguen el sentido de la fecha 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 8

9 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar d M o Dirección Pulgar especifica la dirección sentido del vector momento d M o Los dedos siguen primero la traectoria de la distancia (d) posteriormente siguen el sentido de la fecha 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 9

10 4.1 Momento de una fuera formulación Escalar Momento resultante de un sistema de fueras coplanares 1, 2 3 plano XY M R o =. d XY 1 d 1 M o 3 d 2 d /03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 10

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12 4.2 Producto Cru ormulación vectorial cartesiana A = (A, A, A ) B = (B, B, B ) A B = i j k A A A B B B (2) (2) i j k A A A = B B B (2) i j k A A A = B B B i j k A A A = B B B 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 12 (1) (1) (1) i(a. B A. B ) ojo! j(a. B A. B ) k(a. B A. B )

13 4.2 Producto Cru El producto cru de dos vectores define un nuevo vector. C = A B Magnitud C C = A. B. sen θ 0 θ 180 A Dirección C Mano derecha θ B A μ c C = A. B. sen θ C = A B = (A. B. se n θ) μ c θ B 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 13

14 4.2 Producto Cru El producto cru de dos vectores define un nuevo vector. C = A B C A = (1, 0, 0) B = (0, 1, 0) A C = A B = (0, 0, 1) θ B = (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = (0, 0, 1) 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 14

15 4.2 Producto Cru ormulación vectorial cartesiana A B = i j k A A A B B B = A. B A. B i A. B A. B j + (A. B A. B )k ojo! 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 15

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17 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial ormulación Vectorial M o = r [N m] [lb pie] Donde: M r : Vector posición desde hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de r θ : M o : uera vectorial Momento de una fuera respecto a un punto 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 17

18 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial Magnitud Dirección 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 18 M o = r.. sen θ = (r. sen θ) =. d r A A r θ θ 90 d A r M o

19 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial Magnitud Dirección 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 19 M o = r.. sen θ = (r. sen θ) =. d r A r θ A r A

20 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial Magnitud Dirección M o = r.. sen θ = (r. sen θ) =. d d d M o d M o r θ A r r θ A r d = r. sen θ A 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 20

21 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial Principio de transmisibilidad M o r D D r C C r B r A B A M o = r A M o = r B M o = r C M o = r D Iguales Línea de acción 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 21

22 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial ormulación vectorial cartesiana M o = (M o, M o, M o ) M o r A A M o = r A = i j k r r r ojo! M o = r. r. i r. r. j + (r. r. )k = ( r. r. r. r. r. r. ) ; ; 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 22

23 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial ormulación vectorial cartesiana r A A M o A r r r r A M o r r M o = r A = i j k r r r 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 23

24 4.3 Momento de una fuera formulación Vectorial Momento resultante de un sistema de fueras 2 1 r 1 M 2 M 1 M R o r 2 r 3 3 M 3 M R o = (r ) 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 24

25 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 25

26 4.4 Principio de momentos Teorema de Varignon (matemático francés) R 1 M R o = r 1 + r 2 2 r M R o = r ( ) M R o = r R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 26

27 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 27

28 4.5 Momento de una fuera con respecto a un Eje M o M M M o M 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 28

29 4.5 Momento de una fuera con respecto a un Eje M d M o d Por raones prácticas, puede ser necesario determinar la componente M. Debido a que M tiende a destornillar a la tubería 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 29

30 4.5 Momento de una fuera con respecto a un Eje Análisis Escalar M o En general, si la línea de acción de una fuera es perpendicular a cualquier eje específico a a, entonces M d d M a =. d a 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 30

31 4.5 Momento de una fuera con respecto a un Eje Análisis Escalar M o En este caso el eje especifico a a es el eje a a Entonces: M d M a = M =. d d 90 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 31

32 4.5 Momento de una fuera con respecto a un Eje Análisis Escalar Eje especifico L. de acción Eje especifico L. de acción se cortan!! son paralelos!! M = 0 M = 0 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 32

33 4.5 Momento de una fuera con respecto a un Eje Análisis Vectorial M a = M o. cos θ a μ a M a = M o μ a M a θ M o M a = M a μ a M a = (M o μ a ) μ a M a = ((r ) μ a ) μ a a r Vector Escalar Vector 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 33

34 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 34

35 1 = 375 lb = 500 lb sen30 3 cos30 3 = 160 lb M A = (0) (19) 3 cos 30 + (0.5) 3 sin 30 M A = Kip. ft 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 35

36 Rpta.: El momento máimo mínimo respecto al punto A se obtiene con una dirección igual a , respectivamente. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 36

37 A. Rpta.: El momento de la fuera respecto al punto A es (-5.392; ; ) N.m 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 37

38 Rpta.: La coordenada del punto P es (1; 1; 3)m la distancia perpendicular de a la línea de acción de la fuera es m. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 38

39 Sobre una de las caras del cubo de lado a actúa una fuera P. Determinar: a) El momento vectorial que genera la fuera P respecto al vértice A. b) El momento vectorial que genera la fuera P respecto a la arista AB c) El momento escalar que genera la fuera P respecto a la diagonal AG d) La distancia perpendicular entre AG C. Rpta.: P a) b) ap 2 (1,1,1) ap 2 (0,1,0) c) d) ap 6 a 6 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 39

40 Una fuera =(-40; 20; 10) N actúa en el punto A. Determinar los momentos de esta fuera con respecto a los ejes a. Rpta.: El momento de la fuera respecto al eje es (-80; 0; 0) N.m respecto al eje a es (72; -96; 0) N.m. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 40

41 La barra está sostenida por dos argollas situadas en A B. Determinar el momento M AB producido por =(-600; 200; -300) N, que tiende a girar la barra con respecto al eje AB. Rpta.: El momento M AB generado por la fuera es ( ; ; 0) N.m. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 41

42 Rpta.: El momento M A generado por la fuera es (0; 0; 35.35) N.m. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépe Castillo 42