5, calcula el valor de los siguientes determinantes:
|
|
- Ángela Lara Barbero
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Determinantes 1. Sabiendo que 5, calcula el valor de los siguientes determinantes: a), b) a b c junio 00 Utilicemos las propiedades de los determinantes para transformar el determinante en otro que dependa del determinante conocido: a). En estos dos pasos hemos permutado la fila 1 por la fila 3 (el determinante cambia de signo), y la fila por la fila 3 (el determinante vuelve a cambiar de signo). 3. Aquí se ha utilizado que si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una misma línea (fila o columna) el determinante queda multiplicado por ese número (obsérvese que todos los elementos de la primera fila están multiplicados por 3). Por tanto, b) a b c 5 a b c a b c (obsérvese que la primera fila está 3 3 multiplicada por 5 y la tercera por 1/3). a b c. El primer determinante se puede poner como suma de otros dos que tienen la primera y tercera filas iguales (comunes) y en la segunda fila cada uno de Determinantes 1
2 los sumandos de la segunda fila del primer determinante. Además, el determinante es 0 porque la segunda fila es el doble que la primera (recuérdese que una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero). Por tanto, a b c 5.. Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente: x x 1 3x x x 3 3x 4 x x 5 3x 6 Enuncia las propiedades que has utilizado. junio 003 x x 1 3x x x 3x x 1 3x x x 3 3x 4 x x 3x 4 x 3 3x 4 x x 5 3x 6 x x 3x 6 x 5 3x 6 x x 3x x x x 1 3x x 1 x x 3x x x 4 x 3 3x x 3 4 (*) x x 3x x x 6 x 5 3x x 5 6 Hasta aquí se ha utilizado la siguiente propiedad (descomposición de un determinante en suma de otros dos): a a a ' a a a a a a ' a a a a' a a a a a a ' a a a a ' a a a a a a ' a la fila o la columna en la que se hallen los sumandos). Analicemos ahora cada uno de los determinantes que aparecen en (*): x x 3x x x x 3x 0, x x x 3x x x x x 4 0, x x 6 x (esta descomposición es válida cualesquiera que sean 1 3x 3 3x 0, porque los tres tienen columnas son proporcionales. 5 3x x x 3 4 x x0 0. En la primera igualdad se ha utilizado que si multiplicamos por el mismo x Determinantes
3 número todos los elementos de una misma línea (en este caso la primera columna), el determinante queda multiplicado por ese número. En la segunda igualdad se ha utilizado la propiedad según la cual, si una línea es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero (en este caso la tercera columna es suma de las dos primeras). Por tanto, x x 1 3x x x 3 3x 4 0 x x 5 3x Si la matriz A d e f tiene su determinante igual a n, averigua, utilizando las propiedades de los g h i determinantes, el valor del determinante de las matrices siguientes: 6d 4e f d f e f e B 3g h i, C a c b c b 9a 6b 3c g i h i h junio 005 : 6d 4e f 9a 6b 3c B 3g h i 6d 4e f = [intercambiando la primera y tercera filas y luego la segunda y tercera 9a 6b 3c 3g h i filas hay dos cambios de signo el determinante que resulta tiene el mismo signo que el primero] 3a 3b 3c 3a 3b 3c 3 d e f 6 d e f [la primera columna está multiplicada por 3 y la segunda columna g h i g h i está multiplicada por ] 63 d e f 36n [la primera fila está multiplicada por 3 y la segunda fila está g h i multiplicada por ; además el determinante que queda es, según el enunciado, igual a n ]. d f e f e d e f e f e f e C a c b c b b c b c b g i h i h g h i h i h i h d e f d e e f e f f e e a b b c b c c b b g h i g h h i h i i h h En este paso hemos escrito los determinantes como suma de otros dos, usando la siguiente propiedad: (*) Determinantes 3
4 a a a ' a a a a a a ' a a a a' a a a a a a ' a a a a ' a a a a a a ' a (descomposición válida cualesquiera que sean la fila o la columna en la que se hallen los sumandos). Estudiemos ahora cada uno de los cuatro determinantes de (*): d e f d e e d e f n (intercambiando la primera y segunda filas). a b b 0 (la segunda y g h i g h i g h h f e f f e e tercera columnas son iguales). c b c 0 (la primera y tercera columnas son iguales). c b b 0 (la i h i i h h segunda y tercera columnas son iguales). d f e f e Por tanto, C a c b c b n g i h i h. 4. Sabiendo que d e f x, y que g h i 3b 6c 6a a b b c 7c e f d d e e f 7 f 50x 6, halla el valor de 5h 10i 10g g h h i 7i (Nota: expresa los determinantes de la segunda igualdad en función de x ). septiembre 006 : 3b 6c 6a 6a 3b 6c Por un lado tenemos que: e f d d e f [intercambiando la primera y tercera columnas y 5h 10i 10g 10g 5h 10i luego la segunda y tercera columnas hay dos cambios de signo el determinante que resulta tiene el mismo 3a 3b 3c signo que el primero] 4 d e f [la primera y tercera columnas están ambas multiplicadas por ] 5g 5h 5i 435 d e f 60x [la primera fila está multiplicada por 3 y la tercera fila está multiplicada por 5; g h i además el determinante que queda es, según el enunciado, igual a x ]. x. Por otro lado: a b b c 7c a b c 7c b b c 7c d e e f 7 f d e f 7 f e e f 7 f g h h i 7i g h i 7i h h i 7i Determinantes 4
5 a b 7c a c 7c b b 7c b c 7c d e 7 f d f 7 f e e 7 f e f 7 f [descomposición de un determinante en suma g h 7i g i 7i h h 7i h i 7i de otros dos (véanse los ejercicios y 3)]. Pero a b 7c d e 7 f 7 d e f 7x. Además, g h 7i g h i determinantes tienen columnas proporcionales). a c 7c d f 7f 0, g i 7i b b 7c e e 7 f 0, h h 7i b c 7c e f 7 f 0 (los tres h i 7i Entonces: Por tanto, a b b c 7c d e e f 7 f 7x. g h h i 7i 3b 6c 6a a b b c 7c 6 e f d d e e f 7 f 50x 6 60x 7x 50x 6 17x 6 x 17 5h 10i 10g g h h i 7i. 5. Sabiendo que x y z , calcula el valor de 7 1 z z 7 3 y y 3 x x 3 3 y x 3 1 y 0 1 z septiembre 008 : Utilizando propiedades de los determinantes que ya se han comentado en los ejercicios anteriores, tenemos: z z 7 3 z z 7 1 z z 1 z 7 1 x y y 3 3 y y 1 y y 1 y 0 1 y x x 3 3 x x 3 1 x x 1 x 3 1 z 7 1 Para calcular el valor del determinante x 3 1 y 0 1, desarrollaremos por los elementos de la última fila: z x 3 1 x 1 x 3 1 y y 1 y z 7 1 z 1 z Determinantes 5
6 6. a) Calcula, en función del parámetro a, las soluciones de la ecuación 1 1 x 1 x x x x 0 a x b) Para qué valores de a la ecuación anterior tiene una única solución? junio 009 Desarrollemos el primero de los dos determinantes por la regla de Sarrus: x x x 1 x 4x En el segundo determinante podemos hacer algún cero más, antes de desarrollar por los elementos de alguna 1 1 x 1 1 x 1 fila o columna: (hemos restado a la primera columna la segunda columna). 1 0 x x 1 x 0 a x x 0 a x Si ahora desarrollamos el último determinante por la segunda fila tenemos: 1 x 1 x x x x 1 1 x a a x 1 0 x 1 a x x a x x a x x 0 a x En el segundo paso hemos restado a la primera fila la segunda y luego hemos vuelto a desarrollar el determinante, esta vez por los elementos de la primera fila. Por tanto, la ecuación es una ecuación de segundo grado: 1 1 x 1 x x x x 0 a x x x a Su discriminante es, la podemos escribir así: x a x a a 4 4a 41 a Esta Entonces la ecuación de segundo grado tendrá solución cuando 0, es decir, cuando a 1. En este caso 4 4 1a 4 1a las soluciones son: x 1 a. La solución es única cuando 1a 0, es decir, cuando a 1. En este caso particular la solución es claramente x. Determinantes 6
7 7. Sabiendo que , obtén el valor de los siguientes determinantes: a) 3x 3y 3z 0 1 ; b) 0 4 y x z ; c) x 1 y 1 z reserva, 010 propuesta B a) Usando la propiedad de los determinantes según la cual, si en un determinante multiplicamos una fila o columna por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número, tenemos: 3x 3y 3z 3x 3y 3z 3x 3y 3z De donde, por ser , debe cumplirse necesariamente que 3x 3y 3z b) Usando la propiedad de los determinantes según la cual, si en un determinante intercambiamos entre sí dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo, tenemos: Y como , entonces y x z y x z y x z 0 4 y x z 10. c) En este apartado usaremos la propiedad de los determinantes según la cual, si los elementos de una fila o columna se descomponen en dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes obtenidos, sustituyendo los elementos de la fila o columna mencionada por los primeros y segundos sumandos respectivamente. Por ejemplo, para matrices de orden tres: Entonces: a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a x 1 y 1 z El segundo de los determinantes de la suma anterior es cero porque las filas primera y tercera son proporcionales. Determinantes 7
8 8. Sabiendo que calcula el valor de los determinantes b b a c e e d f h h g i d e f 5, g h i a d g b e h c f i d g e h f i g h i septiembre, 01 propuesta A En este ejercicio vamos a hacer uso de las propiedades mencionadas en los ejercicios anteriores. En particular, usaremos en el primero de los pasos la propiedad expuesta en el apartado c) del ejercicio anterior. b b a c b b c b a c b a c e e d f e e f e d f 0 e d f d e f h h g i h h i h g i h g i g h i a d g b e h c f i d g e h f i d g e h f i d g e h f i d g e h f i d g e h f i 0 g h i g h i g h i g h i d e f g h i d e f 0 d e f 5. g h i g h i g h i g h i 9. a) Sabiendo que Donde a, b y c, calcula los determinantes a1 b1 c1 a 1 b 1 c 1 y A a1 b1 c1 b) Razona que, puesto que A, los parámetros a, b y c deben ser distintos entre sí (no puede haber dos iguales). junio 013 propuesta B Determinantes 8
9 En este ejercicio volveremos a hacer uso de las propiedades de los determinantes ya varias veces utilizadas en los ejercicios anteriores. a) b) a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a 1 b 1 c 1 a a 1 b b 1 c c 1 a 1 b 1 c 1 a b c a) Sabiendo que A los determinantes b) Sabiendo que es una matriz cuadrada de orden tal que A 5, calcula razonadamente el valor de A, A 1, T A, calcula, usando las propiedades de los determinantes, 3 a b 1 c 1 a 1 b 1 c y 3a 3b 3c 3 A a b c a) Usando la propiedad según la cual k A k A, tenemos: A 1 A junio 014 propuesta A Como 1 A A A A 5 A A. En general A. A 1 1 T El determinante de una matriz cuadrada es igual que el de su traspuesta, con lo que A A 5. 3 A A A A A A A Determinantes 9
10 b) 3 a b 1 c a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 0 3a 3b 3c 3a 3b 3c 3a 3b 3c 3a 3b 3c a 3b 3c 3a 3b 3c 3a 3b 3c Determinantes 10
Determinantes. = a 11a 22 a 12 a 21 = ( 3) ( 5) ( 4) 7 = 15 ( 28) = = 43
Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada A lleva asociado un número, llamado determinante de A, y que denotaremos mediante el símbolo. Este número, entre otras cosas, permite saber cuándo
Más detallesTeoría Tema 8 Propiedades de los determinantes
página 1/6 Teoría Tema 8 Propiedades de los determinantes Índice de contenido Propiedades...2 página 2/6 Propiedades 1. El determinante de una matriz coincide con el determinante de su traspuesta. A=A
Más detallesTEST DE DETERMINANTES
Página 1 de 7 TEST DE DETERMINANTES 1 Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con A = -2, a qué es igual -A? A -2 B 2 C 0 D -6 2 A -144 B 44 C 88 D -31 3 Indicar qué igualdad es falsa: A B C D 4 A -54 B
Más detalles1. Determinantes de orden dos y tres:
1. Determinantes de orden dos y tres: TEMA 8: DETERMINANTES. A una matriz cuadrada le vamos a asociar un número que servirá para resolver sistemas, calcular matrices inversas y rangos de matrices. A det
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesTema 5. Matrices y Determinantes
Tema 5. Matrices y Determinantes 1. Definiciones 2. Operaciones Propiedades 3. Determinantes Orden 2 Orden 3: Regla de Sarrus Orden mayor de 3 Propiedades 4. Matriz inversa Ecuaciones matriciales 5. Rango
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDAD 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden, un número real que llamaremos su determinante y escribiremos. Vamos a ver cómo se calcula. Consideremos
Más detallesDeterminantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).
Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante
Más detallesDada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden 2 y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 24 24 = 0 Aplica la teoría.
Más detallesEJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante:
EJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante: 3 7 1 2 0 1 1 3 6 a) Usando la Regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la primera columna. 2º/ Obtén el valor del determinante
Más detalles2.1 Introducción. Propiedades.
19 2 MATRICES II: DETERMINANTES En este segundo capítulo de matrices, aprenderemos a utilizar una herramienta muy importante como son los determinantes Gracias a ellos, podremos calcular la inversa de
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO ) D = ( 4 2
EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO 2016-17 Opción A 1.- Considera las matrices A = ( 1 2 1 0 0 2 1 ), B = ( 2 1 0) y C = ( 1 0 0 1 5 0 ) 3 2 1 a)
Más detallesEjemplo 2. Calcula el valor del determinante de la matriz A =
D e t e r m i CV 1 n a n t e s Introducción El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesRango de una matriz. Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden m n: A M m n.
En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz A, ra), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz:
Más detallesSe llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Más detallesMatemáticas. D e t e r m i n a n t e s
Matemáticas D e t e r m i n a n t e s El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución
Más detallesDETERMINANTES. Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE. Determinantes de orden 2
DETERMINANTES Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2 Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + y = 29 5x y = 8 a b x y = 5 0x + 6y
Más detallesEJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante:
EJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante: 3 7 1 2 0 1 1 3 6 a) Usando la Regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la primera columna. 2º/ Obtén el valor del determinante
Más detallesUnidad 2 Determinantes
Unidad Determinantes 4 SOLUCIONES. Las soluciones son:. Aplicando la regla de Sarrus se obtiene: 3. Queda del siguiente modo: 4. Decimos que: a) El término a5 a5 a44 a3 a 3 es el mismo que a3 a5 a3 a44
Más detallesCapítulo 1 DETERMINANTES
Capítulo 1 DETERMINANTES 1 Matemáticas II 2 1.1. DETERMINANTES DE 2 o ORDEN a11 a Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = 12. Se define el determi- a 21 a 22 nante det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTES
EJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTES 1. Calcular los siguientes determinantes: a) - 13 b) 4-3 8 1 0 3-1 -1 1 3-4 a) - 13 = (-)(-3) 4.13 = 1 2 = -37 4-3 b) 8 1 0 3-1 -1 1 3-4 = 8(-1)(-4) + 1(-1)1 + 0 0
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS DETERMINANTES DETERMINANTES
1. CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=(aij),de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden n, A M n un número real que llamaremos su determinante y escribiremos A. Vamos a ver cómo se calcula.
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:
Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22
Más detallesMatemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Determinantes DETERMINANTES Se trata de una herramienta matemática que sólo se puede utilizar cuando nos encontremos con matrices
Más detallesTEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.
TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesMatemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II
Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 05 de abril de 2018 1 hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Dadas las matrices A ( 2 1 1 2 ), B ( 0 1 ) e I la matriz identidad de
Más detallesDETERMINANTES. Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + 3y = x + 6y = 16.
DETERMINANTES REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2 Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + y = 29 5x y = 8 a b x y = 5 10x + 6y = 16 4x
Más detallesACTIVIDADES INICIALES
2 Determinantes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumera las inversiones que aparecen en las siguientes permutaciones y calcula su paridad, comparándolas con la permutación principal 1234. a) 1342 b) 3412 c) 4321
Más detallesPROPUESTA A. 1A a) Enuncia el teorema de Bolzano.
PROPUESTA A 1A a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos) b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x 5 10x 4 + 10x 3 + 3 y g(x) = e x se cortan en algún punto con coordenada de abcisa entre
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto de m n números ordenados en m filas y n columnas Por ejemplo, 1 1 2 0 2 0 2 1 1 1 2 1 3 0 2 es una matriz de orden 3 5 Una matriz
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesPROPUESTA A. b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y a s. (1 25 puntos)
PROPUESTA A 1A. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función { sea continua y derivable en x = 0. (1 5 puntos) b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente
Más detallesAPUNTES ALGEBRA SUPERIOR
1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales, Método de Gauss. Parte I
Sistemas de Ecuaciones Lineales, Método de Gauss Parte I Ecuación lineal con n incógnita ES cualquier expresión del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, donde a i, b. Los valores a i se
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Álgebra Problema 1: Se consideran las matrices: donde m es un número real. Encuentra los valores de m para los que A B tiene inversa. Problema 2: Discute el sistema de ecuaciones lineales Según los valores
Más detallesDETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76
UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesCONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO ) D = ( 4 2
EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO 2015-16 Opción A 1.- Considera las matrices A = ( 1 2 2 1 ), B = ( 2 1 0) y C = ( 1 5 0 ) a) [1,5 puntos]
Más detallesGUÍA DE LA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES
Matrices Determ. Inversa Sistemas C ontenidos Idea de matriz. Elementos de una matriz. Diferentes tipos de matrices: matriz unidad, matriz nula, matriz traspuesta, matriz inversa. Operaciones con matrices.
Más detallesTEMA 3: DETERMINANTES
TEMA Ejercicios / TEMA : DETERMINANTES. Calcula los determinantes de las siguientes matrices: A B C d. D e. E f. F 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 4 4 0 SOL: A 0 SOL: B SOL: C 5 SOL: D 0 SOL: E 0 SOL: F 0. Utiliza
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES II.
MATRICES Y DETERMINANTES II. Matriz adjunta es la matriz cuadrada que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. Calcula la matriz adjunta: 2 2 2 A =( 2 1 0 ) 3 2 2 Primero calculamos
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesDeterminantes. En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:
UNIDAD 2 Determinantes l número que asociaremos a cada matriz E cuadrada A y que llamaremos su determinante det(a), aparece en los libros actuales a continuación de las matrices, aunque históricamente
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesA cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o
DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o Una tabla ordenada n ð n de escalares situada entre dos líneas
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 2 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) 2a 2c 2b 2u 2w 2v. a b c. u v w. p q r. a b c.
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) - Calcular los siguientes determinantes: 3 3 a) b) 3 5 5 3 4 5 Hoja : Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesEjercicio nº 1.- para que se cumpla la igualdad A 2 xa yl = 0. Solución: Calculamos A 2 xa yl e igualamos a 0: Así, tenemos que ha de ser:
MATEMATICAS. BC2 TEMA 2: Matrices Ejercicio nº 1.- para que se cumpla la igualdad A 2 xa yl = 0. Calculamos A 2 xa yl e igualamos a 0: Así, tenemos que ha de ser: Por tanto: x = 3, y = 8 Ejercicio nº 2.-
Más detallesDepartamento de matemáticas
Álgebra y análisis hasta el estudio de continuidad, con solución. (50 ejercicios para que repaséis, con solución) Problema 1: Se considera el sistema de ecuaciones lineales a) Discute el sistema según
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesOpción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Junio Colisiones 2014
IES Fco Ayala de Granada Junio de 04 (Colisiones Modelo 3) Soluciones GermánJesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Junio Colisiones 04 a [ 5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesDETERMINANTES. 2. Resuelve el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus:
DETERMINNTES. Calcula el determinante de la siguiente matriz: 3 4 3 0..(3.0 2.0).0 0 0 3 4 0 0 3 Hemos sumado a la segunda fila la primera cambiada de signo. continuación hemos sumado a la tercera fila
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II EXTREMADURA CONVOCATORIA JUNIO 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A a) La matriz A tiene tres filas de las que para calcular el determinante
Más detallesEJERCICIOS DE MATRICES
EJERCICIOS DE MATRICES a) º) Escribir los siguientes sistemas en forma matricial: x+ y= x + y = 0 x+ y z = x+ y+ z = 0 ; b) x y= 3 ; c) y + z = ; d) 6x + y = 4 x + z = 3 x = 3 y = 4 z = 5 ; e) x+y+z+t=3
Más detallesDETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES
Tema 2.- DETERMINANTES DETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES 1 Un poco de historia Los determinantes es uno de los temas más útiles del Álgebra Lineal, con muchas
Más detallesDada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula
Más detallesMatrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa
Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a
Más detallesF F / 3 0 A 1 =
EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (A) 8/05/0. De un paralelogramo ABCD se sabe que A = 3,4, B = 4,3, que las dos coordenadas del vértice C son positivas que la diagonal AC el lado BC miden ambos 5. Hallar las
Más detallessolucionario matemáticas II
solucionario matemáticas II UNIDADES 8-4 bachillerato 8 Determinantes 4 9 Sistemas de ecuaciones lineales 46 Fin bloque II 0 Vectores 8 Rectas planos en el espacio 68 Propiedades métricas 08 Fin bloque
Más detallesMatemáticas Empresariales II
Matemáticas Empresariales II Lección 3 Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 40 Concepto de Matriz Se define matriz de orden n m a todo conjunto
Más detalles1. Matrices. Operaciones con matrices
REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las
Más detallesContenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices
elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas
Más detallesPrograma EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión
1/26 Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión Ramón Esteban y Antonio Pastor Índice 1 Álgebra 3 Sistemas de ecuaciones lineales................ 3 Métodos conocidos...................
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro
Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que
Más detallesPruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio Propuesta A
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta A 1. Dada la ecuación matricial I + 3 X + A X B. Se pide:
Más detalles3.7. Determinantes. Definición. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles Definición de determinante.
37 Determinantes 11 Definición de determinante Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de
Más detalles1. Lección 3: Matrices y Determinantes
Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (
Más detallesMatrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo
Más detalles(2) X(3I + A) = B 2I (3) X(3I + A)(3I + A) 1 = (B 2I)(3I + A) 1 (5) X = (B 2I)(3I + A) 1
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta B 1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación
Más detallesRESUMEN DEL TEMA 7 VALORES Y VECTORES PROPIOS
RESUMEN DEL TEMA 7 VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. Determinantes El determinante de una matriz cuadrada n n A = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn es un número real, y se representa por: A = a 21 a 22 a 2n a
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss
Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss En los artículos anteriores se ha hablado de ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas y de ecuaciones lineales de primer grado con tres
Más detallesOPCIÓN A. 1.- a) (1,5 puntos) Hallar el rango de la matriz. 2.- (2,5 puntos) Calcular, razonadamente, el valor de a para que:
Nombre: Nota Curso: º Bachillerato Eamen X (Rec º Eval) Fecha: 4 de Marzo de 06 La mala o nula eplicación de cada ejercicio implica una penalización de hasta el 5% de la nota. OPCIÓN.- a) (,5 puntos) Hallar
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesDeterminantes. Definiciones básicas sobre determinantes. José de Jesús Angel Angel.
Determinantes Definiciones básicas sobre determinantes wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Determinantes 2 11 Propiedades de determinantes 4 2 Inversa
Más detallesTEMA 1 MATRICES. Si se trata de una matriz rectangular con cuatro filas y una columna.
TEM MTRICES. Concepto de matriz.tablas y grafos. Es un ejemplo de matriz 4 9 5 9 6 9 7 8 8 a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 a 5 a 5 a 5 a 54 Se trata de una matriz rectangular de cinco filas
Más detallesEjercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008.
Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 5y λz = λ +1 [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1
Más detallesAlgunos Tipos de matrices. Matrices. Algunos Tipos de matrices. Algunos Tipos de matrices
Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto ordenado de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas de la forma: A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2
Más detalles