MICROECONOMÍA. EQUILIBRIO GENERAL Y ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN. Tema 2 LA ELECCIÓN EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE

Transcripción

1 MICROECONOMÍA. EQUILIBRIO GENERAL Y ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN Tema LA ELECCIÓN EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Apliaiones de la teoría de la inertidumbre Fernando Perera Tallo Olga María Rodríguez Rodríguez

2 .7 Apliaiones de la teoría de la inertidumbre Juegos de azar o apuestas: Considere que hay dos estados de la naturaleza y (podría ser ara y ruz), un agente tiene una riqueza y se le da la oportunidad de apostar dinero en el siguiente juego de azar: por ada unidad monetaria que apueste pierde P unidades monetarias uando el estado de la naturaleza es y le dan G unidades en aso de que gane, que ourrirá en el estado de la naturaleza (gana).

3 -Px (pierde) - Px p p G x (gana) + G x x antidad apostada Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

4 p -Px (pierde) -P x p G x (gana) + G x El valor esperado del juego se define omo la esperanza matemátia de lo que se va a ganar [ p P + p G] x [ p p g]px VE juego p ( Px) + p Gx + donde g G P Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

5 p -Px (pierde) -P x p G x (gana) + G x El valor esperado del onsumo es la esperanza matemátia del onsumo E( ) + p ( Px) + [ p P + p G] x + VE ( x) + p p juego p ( + Gx) Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

6 Un juego de azar está atuarialmente equilibrado si el valor esperado del juego es ero: [ p P + p G] VE juego g x 0 p + pg 0 Un juego de azar está atuarialmente desequilibrado a favor del individuo si el valor esperado del juego es positivo: [ p P + p G] VE juego g > x > 0 p + pg > 0 Un juego de azar está atuarialmente desequilibrado en ontra del individuo si el valor esperado del juego es negativo: [ p P + p ] VE juego g < G x < 0 p + pg < 0 p p p p p p

7 La reta balane de este individuo vendría dada por las siguientes tres euaiones: 0 + x Gx P x Px Dihas euaiones se pueden resumir en la dos siguientes: ( ) ( ) P x g g P G donde P G g Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

8 Restriión presupuestaria: g + ( + g) donde g G P Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

9 Apuesta todo -g ~ erteza No Apuesta nada Apuestas negativas (no fatible) ( g ) g + + Apuesta algo

10 En algunos ontextos uando P <, se impone también la restriión de que no se puede apostar más que la riqueza: x. Lo que implia que: x P ( P) ; + G ( + G) En este aso la restriión presupuestaria quedaría de la siguiente forma: g + + g ( P) ( ) donde g G P Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

11 Restriión presupuestaria uando P < y x : x > (no fatible) Apuesta toda la riqueza: x erteza ( + G) -g ~ Apuesta algo No Apuesta nada Apuestas negativas (no fatible) ( g) g + + ( P)

12 Preio relativo del onsumo en aso de perder on respeto al onsumo en aso de ganar: es el número de unidades de onsumo en aso de ganar (estado de la naturaleza ) a las que renuniamos si queremos onsumir una unidad adiional en aso de perder (estado de la naturaleza ). Si queremos onsumir una unidad más en aso de perder, tendremos que jugar P unidades monetarias menos, lo que implia que en aso de ganar dejaremos de peribir G ( P) g unidades monetarias. Por tanto, el preio relativo del onsumo en aso de perder on respeto al onsumo en aso de ganar es igual a g. g + ( + g)

13 Apuesta atuarialmente desequilibrada a favor (g > p /p ): uanto más se apuesta mayor es el valor esperado del onsumo g + + ~ -g ( g) ~ - p /p erteza p + p VE3 p + p VE p + p VE

14 Apuesta atuarialmente equilibrada (g p /p ): el valor esperado del onsumo es igual para ualquier apuesta ( g) g + + erteza ~ -g - p/p ~ - p /p p + p VE

15 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g<p /p ): uanto más se apuesta menor es el valor esperado del onsumo ( g) g + + erteza ~ -g ~ - p /p p + p VE3 p + p VE p + p VE

16 Problema de maximizaión de la utilidad del onsumidor ( ) 0.. ) ( ) ( max, g g a s u p p u Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

17 Lagrangiano: ( ) [ ] [ ] ) ( ) ( L g g u p u p µ µ λ Las ondiiones de primer orden son: [ ] ) '( L 0 ) '( L + u p g p u µ µ λ µ µ λ Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

18 i) El individuo no apuesta nada µ ; µ 0: L L RMS Si, p u'( p ( u'(, ) λg ) λ 0 ) µ 0 pu'( p u'( ) g ) 0 p u'( ) λg µ 0 x 0 : + Gx { Px { 0 pu'( ) p p g RMS,(, ) g p + pg 0 pu'( ) p p Por tanto, para que un agente no apueste, el juego tiene que ser desequilibrado en ontra o equilibrado: p + p g 0 0

19 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g < p /p ) on un onsumidor adverso al riesgo: ~ -g erteza ( g) g + + ~ -RMS, (,)-p /p

20 Apuesta atuarialmente equilibrada (g p /p ) on un onsumidor adverso al riesgo: ~ -g erteza ( g) g + + ~ RMS, (,)p /p p u( ) + pu( ) u( )

21 ii) el individuo apuesta algo pero no toda su riqueza ( 0 ), µ 0; 0 µ (soluión interior) L L p u'( ) λg 0 p '( ) 0 u λ pu '( ) RMS p u'( ) g

22 Condiiones de primer orden del adverso al riesgo en aso de que apueste algo: x 0, (0, ): P + Gx > Px u ( ) < u'( ) g ' pu'( ) p RMS,(, ) > p + pg p u'( ) p > Por tanto, para que un adverso al riesgo apueste algo, el juego tiene que ser desequilibrado a favor: p + p g 0 > 0 Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

23 ~ -g erteza * ( g) g + + *

24 iii) el individuo apuesta todo 0; µ 0; µ 0: L L p u'( p u'( ) λg + µ ) λ 0 0 p u'( ) λg µ 0 RMS, (, ) pu'( p u'( ) ) g Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

25 Condiiones de primer orden del adverso al riesgo en aso de que apueste todo: x 0: P pu'(0) p g RMS,( 0, ( + g)) > p + pg > 0 pu'( ( + g)) p Por tanto, para que un adverso al riesgo apueste, el juego tiene que ser desequilibrado a favor: p + p g 0 >

26 ~ -RMS, (0,(+g)) ~ -g erteza ( g) g + +

27 Condiiones de Primer orden: Si apuesta algo pero no todo su dinero (soluión interior) ( 0, ) pu'( ) RMS,(, ) pu'( ) Si apuesta todo 0: pu'( ) RMS,(, ) pu'( ) Si no apuesta : pu'( ) RMS,(, ) p u'( ) g g g : Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

28 Usando la restriión presupuestaria, se dedue que: Si apuesta parte de su riqueza x 0, Px (0, ): P pu'( ) RMS,(, ) g pu'( ) Si apuesta todo x P 0 ( + g) : P P pu'(0) RMS,(0, ( + g)) g pu'( ( + g)) Si no apuesta nada x 0 Px : pu'( ) p RMS, (, ) g p u'( ) p Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

29 Si una apuesta es atuarialmente equilibrada ó atuarialmente desequilibrada en ontra del individuo, un agente adverso al riesgo no apostará. Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

30 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g < p /p ) on un onsumidor adverso al riesgo: ~ -g erteza ( g) g + + ~ -RMS, (,)-p /p p u( ) + pu( ) u( )

31 Apuesta atuarialmente equilibrada (g p /p ) on un onsumidor adverso al riesgo: ~ -g erteza ( g) g + + ~ RMS, (,)p /p p u( ) + pu( ) u( )

32 Si una apuesta es atuarialmente desequilibrada a favor del individuo, un agente adverso al riesgo siempre apostará. Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

33 Apuesta atuarialmente desequilibrada a favor (g > p /p ) on un onsumidor adverso al riesgo: g + + * ~ -g ( g) ~ -RMS, ( *, * ) g erteza ~ -RMS, (,)- p /p p u( ) + pu( ) u( ) *

34 Cuando un agente es neutral al riesgo: i) Si una apuesta es atuarialmente desequilibrada en ontra del individuo, el agente no apostará, ii) si es atuarialmente equilibrada al agente será indiferente entre no apostar nada, apostarlo todo ó apostar ualquier antidad; iii) si la apuesta es atuarialmente desequilibrada a favor del individuo, el agente apostará toda su riqueza. Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

35 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g < p /p ) on un onsumidor neutral al riesgo ~ -g p u( ) + pu( ) u( ) ( g) g + + ~ -RMS, (, )-p /p erteza

36 Apuesta atuarialmente equilibrada (g p /p ) on un onsumidor neutral al riesgo ( g) g + + ~ -g erteza ~ -RMS, (, )-p /p p u( ) + pu( ) u( )

37 Apuesta atuarialmente desequilibrada a favor (g > p /p ) on un onsumidor neutral al riesgo ( g) g + + erteza ~ -g ~ -RMS, (, )-p /p p u( ) + pu( ) u( )

38 Un agente amante del riesgo nuna elegirá una soluión interior: apostará todo o nada. ˆ ~ -g Mínima utilidad de la reta balane RMS ˆ, ( ) g, ˆ ( g) g + + erteza ˆ

39 Un agente amante del riesgo nuna elegirá una soluión interior: apostará todo o nada. ˆ apuesta todo ~ -g Mínima utilidad de la reta balane RMS ˆ, ( ) g, ˆ ( g) g + + erteza ˆ

40 Un agente amante del riesgo nuna elegirá una soluión interior: apostará todo o nada. ˆ ~ -g Mínima utilidad de la reta balane RMS ˆ, ( ) g, ˆ ( g) g + + erteza No apuesta nada ˆ

41 Si una apuesta es atuarialmente equilibrada a ó atuarialmente desequilibrada en a favor del individuo, un agente amante del riesgo apostará toda su riqueza. Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

42 Apuesta atuarialmente equilibrada (g p /p ) on un onsumidor amante del riesgo ( + g) ~ -g ( g) g + + ~ -RMS, (,)- p /p erteza

43 Apuesta atuarialmente desequilibrada a favor (g p /p ) on un onsumidor amante al riesgo ( g) g + + erteza ~ -g ~ -RMS, (,)- p /p

44 Si una apuesta es atuarialmente desequilibrada en ontra del individuo, un agente amante del riesgo o bien apostará toda su riqueza o no apostará nada. Dada las probabilidades de ganar y perder p y p, existe un premio p g * 0, tal p que: si g > g* el agente jugará toda su riqueza, si g < g* el agente no jugará nada y si g g* el agente le será indiferente entre jugar toda su riqueza o no jugar nada: * g Def p u 0) + p u( ( + g*)) ( u( ) Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez

45 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g < p /p ) on un onsumidor amante del riesgo que apuesta todo (g > g*). ( g) g + + ~ -g erteza ~ -RMS, (,)- p /p

46 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g <p /p ) on un onsumidor amante del riesgo que no apuesta nada (g < g*). ( g) g + + ~ -g erteza ~ -RMS, (,)- p /p

47 Apuesta atuarialmente desequilibrada en ontra (g <p /p ) on un onsumidor amante del riesgo que es indiferente entra apostar toda su riqueza o no apostar nada (g g*). ( g) g + + ~ -g* erteza ~ -RMS, (,)- p /p

48 Deisión de un amante al riesgo dependiendo del premio ~ -p /p erteza ~ -RMS, (,)- p /p

49 Deisión de un amante al riesgo dependiendo del premio -g 0 ~ ~ -p /p erteza ~ -RMS, (,)- p /p

50 Deisión de un amante al riesgo dependiendo del premio -g 0 ~ -g*~ ~ -p /p erteza ~ -RMS, (,)- p /p

51 Deisión de un amante al riesgo dependiendo del premio -g 0 ~ -g*~ -g ~ ~ -p /p erteza ~ -RMS, (,)- p /p

52 Resumen Atuarialmente desequilibrada a favor Atuarialmente Equilibrada Atuarialmente desequilibrada en ontra Adverso al riesgo Apuesta algo o todo No apuesta Neutral al riesgo Apuesta todo Indiferente entre apostar nada, algo o todo Amante al riesgo Apuesta todo Apuesta todo No apuesta No apuesta Apuesta todo o nada Perera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez