Ejercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008

Transcripción

1 Ejeriios de Matries, deterinantes sisteas de euaiones lineales. Álgebra 8 - Dado el sistea de euaiones lineales 5 (a) ['5 puntos] Clasifíalo según los valores del paráetro λ. (b) [ punto] Resuélvelo para λ = - Soluión: a) λ -, Copatible deterinado, λ = - Copatible indeterinado; λ = Inopatible b) R on, -, -B ['5 puntos] Dadas las atries, B, C Calula la atri P que verifia P - B = C t (C t es la atri traspuesta de C). Soluión: P - (Septiebre) Considera el siguiente sistea de euaiones a a a a (a) [ 5 puntos] Disútelo según los valores del paráetro a. (b) [ punto] Resuélvelo en el aso a =. Soluión: a) a, Copatible deterinado; a = Copatible indeterinado uniparaétrio ; a = Inopatible b) R on,, -B (Septiebre) Sabeos que el sistea de euaiones Tiene las isas soluiones que el que resulta al añadirle la euaión a = 7

2 (a) [ 5 puntos] Deterina el valor de a. (b) [ 5 puntos] Calula la soluión del sistea iniial de dos euaiones, de anera que la sua de los valores de las inógnitas sea igual a la unidad. 6 Soluión: a) a = 8 b),, (Junio) Un ajero autoátio ontiene sólo billetes de, 5 euros. En ttotal ha billetes on un iporte de euros. (a) [ 5 puntos] Es posible que en el ajero haa el triple núero de billetes de que de 5. (b) [ 5 puntos] Suponiendo que el núero de billetes de es el doble que el núero de billetes de 5, alula uántos billetes ha de ada tipo. Soluión: a) Resulta un sistea inopatible, por tanto, no es posible b) 8 billetes de, de de 5. 6-B (Junio) Considera la atri (a) [ punto] Halla los valores del paráetro para los que el rango de es enor que. (b) [ 5 puntos] Estudia si el sistea obtenidos en el apartado anterior. tiene soluión para ada uno de los valores de Soluión: a) El rango es enor que para =, b) Para = Inopatible,; para = Copatible indeterinado biparaétrio,, on, R 7- Dado el siguiente sistea de euaiones k k k k (a) [ 5 puntos] Deterina el valor del paráetro k para que sea inopatible (b) [ 5 puntos] Halla el valor del paráetro k para que la soluión del sistea tenga = Soluión: a) Es inopatible para k = b) k = 8-B [ 5 puntos] Halla los valores del paráetro que haen opatible el sistea de euaiones

3 Soluión: = - = 9-5 [ 5puntos] Sea I la atri identidad de orden. Calula, si eiste, el valor de k para el ual ki es la atri nula. Soluión: k = -5B Dadas las atries B (a) [ punto] Calula, si eisten, la atri inversa de la de B. (b) [ 5 puntos] Resuelve la euaión atriial I B X, donde I denota la atri identidad de orden. Soluión: a) ; B B no tiene inversa. b) 6 6 X -6 (a) [ punto] Deterina raonadaente los valores del paráetro para los que el siguiente sistea de euaiones tiene ás de una soluión; (b) [ 5 puntos] Resuelve el sistea anterior para el aso = para el aso = Soluión: a) 7 7,, b) Para = Soluión trivial (,, ). Para =, (λ, -λ, λ) on λ R -6B Dada la atri k k k 7

4 (a) [ 5 puntos] Estudia el rango de en funión de los valores del paráetro k. (b) [ 5 puntos] Para k =, halla la atri inversa de. Soluión: a) k, rango() ; k -, rango() b) 9 7 Álgebra 9 - Trataos de adivinar, ediante iertas pistas, los preios de tres produtos, B C. Pista : Si opraos una unidad de, dos de B una de C gastaos 8 euros. Pista : Si opraos n unidades de n+ de B tres de C gastaos 9 euros. (a) (,75 puntos) Ha algún valor de n para el que estas dos pistas sean inopatibles? (b) ( punto) Sabiendo que n = que el produto C uesta el triple que el produto, alula el preio de ada produto. Sol: a) n = ; b) : euros/unidad; B: euros/unidad C: 69 euros/unidad -B Sean, B, C X atries ualesquiera que verifian XB = C. (a) ( punto) Si las atries son uadradas de orden, se sabe que el deterinante de es, el de B es - el de C es 6, alula el deterinante de X X. (b) (,5 puntos) Si, B C alula la atri X Soluión: a) X ; X X 6 b) 8 X (Septiebre) (a) (,75 puntos) Disute según los valores del paráetro λ el siguiente sistea (b) (,75 puntos) Resuélvelo para λ = Soluión: a) λ R - {, 6} opatible deterinado, λ = opatible indeterinado uniparaétrio, λ = 6 inopatible b) =, = -- λ, = λ on λ R -B (Septiebre) (,5 puntos) Sean las atries

5 , B C Deterina la atri X que verifia X B t = C (B t es la atri traspuesta de B). Soluión: X (Junio) Sean F, F F las filas priera, segunda terera, respetivaente, de una atri B de orden, uo deterinante vale -. Calula, indiando las propiedades que utilies: (a) (,75 puntos) El deterinante de B -. (b) (,5 puntos) El deterinante de (B t ) (B t es la atri traspuesta de B). () (,5 puntos) El deterinante de B. (d) ( punto) El deterinante de una atri uadrada uas filas priera, segunda terera son, respetivaente, 5F F, F, F. Soluión: a) B,b) 6 t F F B, ) B 6, d) F F 6-B (Junio) (,5 puntos) Una epresa envasadora ha oprado un total de 5 ajas de pesado en tres erados diferentes, a un preio por aja de, euros respetivaente. El oste total de la operaión ha sido de 5 euros. Calula uánto ha pagado la epresa en ada erado, sabiendo que en el priero de ellos se ha oprado el % d las ajas. Soluión: En el prier erado se opran 5 ajas se paga 5 euros En el segundo erado se opran 75 ajas se paga 5 euros En el terer erado se opran ajas se paga euros. 7- Dadas las atries 7 B (a) ( punto) Calula, si eiste, la atri inversa de. (b) (,5 puntos) Calula las atries X e Y que satisfaen las euaiones atriiales X = + B Y = + B. Soluión: a) 7 b) X 9 67, 59 Y B Dado el sistea de euaiones lineales

6 5 (a) (,75 puntos) Disútelo según los valores del paráetro λ. (b) (,75 puntos) Resuélvelo en el aso de λ =. Soluión: a) λ R - {, } opatible deterinado, λ = opatible indeterinado uniparaétrio, λ = inopatible b),, 7 on λ R 9-5 (a) (,5 puntos) Resuelve el sistea de euaiones (b) (,5 puntos) Calula λ sabiendo que el siguiente sistea tiene alguna soluión oún on el del apartado (a) Soluión: a) = μ, = - μ, = μ on μ R b) λ = - -5B Considera las atries X (a) punto) Calula, si eiste -. (b) (,5 puntos) Resuelve el sistea X = X e interpreta geoétriaente el onjunto de sus soluiones. Soluión: a) b) () = λ, = -λ, = λ. Tres planos que se ortan en una reta que tiene de euaión paraétria (). -6 Se onsideran las atries B = ki, donde k es una onstante e I es la atri identidad de orden. (a) (,75 puntos) Deterina los valores de k para los que B no tiene inversa.

7 (b) (,5 puntos) Calula B - para k = -. () (,5 puntos) Deterina las onstantes α β para las que se uple + α = βi. Soluión: a) B tiene inversa para, R k b) B ) α = β = - -6B Sea el sistea de euaiones - (a) (,5 puntos) Deterina los valores de para los que el sistea es opatible. (b) ( punto) Resuelve el sistea en el aso = -. Soluión: a) R - {-, } Sistea inopatible, {-, } Sistea opatible indeterinado b),, Álgebra..- Considera el sistea 5 (a) [ 5 puntos] Calula raonadaente un valor de λ para que el sistea resultante al añadirle la euaión + + λ = 9 sea opatible indeterinado. (b) [ punto] Eiste algún valor de λ para el ual el sistea resultante no tiene soluión? Soluión: a) λ opatible deterinado, λ = opatible indeterinado uniparaétrio b) Según (a) no eiste.b.- Sean las atries B (a) [ 5 puntos] Deterina los valores de α para los que tiene inversa. (b) [ 5 puntos] Calula la inversa de para α =. () [ 75 puntos] Resuelve, para α =, el sistea de euaiones X = B. Soluión: a) Para α / α b) 5 ) 5 B X

8 ..- (Junio) Sean las atries B 5 C (a) [ 5 puntos] India los valores de para los que es invertible. (b) [ puntos] Resuelve la euaión atriial X B t = C para =. (B t es la atri traspuesta de B) Soluión: a) b) 6 X.B.- (Junio) Sea el siguiente sistea de euaiones (a) [ 75 puntos] Disútelo según los valores de λ. Tiene siepre soluión? (b) [ 75 puntos] Resuelve el sistea para λ =. Soluión: a) λ - opatible deterinado, λ = - opatible indeterinado uniparaétrio, Siepre tiene soluión b) ; t ; t 5..- Considera las siguientes atries B (a) [ 75 puntos] Calula -. (b) [ 75 puntos] Resuelve la euaión atriial X t B = I, donde I es la atri identidad de orden t es la atri traspuesta de. Soluión: a) b) t B I X 6.B.- [ 5 puntos] Obtén un vetor no nulo v = (a, b, ), de anera que las atries siguientes tengan siultáneaente rango. b a b a B Soluión: b ; a b a v,,,,, para = v = (,, )

9 7..- Sea la atri 5 (a) [ 5 puntos] Coprueba que se verifia = I. (b) [ 5 puntos] Calula -. (Sugerenia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Soluión: a) ; ; b) I I I I I I 5 8.B.- Considera el siguiente sistea de euaiones (a) [ 75 puntos] Disútelo según los valores de. (b) [ 75 puntos] Resuélvelo para el aso =. Soluión: a) - opatible deterinado, = - inopatible, = opatible indeterinado uniparaétrio. b) = λ; = λ; = - + λ (Septiebre) (a) [ 75 puntos] Disute, según los valores del paráetro λ, el siguiente sistea de euaiones 6 (b) [ 75 puntos] Resuelve el sistea anterior para λ=. Soluión: a) λ λ 8 opatible deterinado, λ = opatible indeterinado, λ = 8 inopatible b) = t; = t; = - t

10 .5B.- (Septiebre) [ 5 puntos] Sean las atries ; B C Calula la atri X que upla la euaión XB = C. Soluión: X.6.- Considera el sistea de euaiones 6 6 (a) [ 75 puntos] Disútelo según los valores del paráetro _. (b) [ 75 puntos] Resuélvelo para λ=. Soluión: a) λ - λ opatible deterinado, λ - inopatible, λ opatible indeterinado uniparaétrio b) = t ; = t ; = -.6B.- De la atri d b a se sabe que det() =. Se pide: (a) [ 5 puntos] Halla det( t ) det d a b. India las propiedades que utilias. ( t es la atri traspuesta de ). (b) [ 75 puntos] Calula det( - t ). () [ 5 puntos] Si B es una atri uadrada tal que B = I, siendo I la atri identidad, halla det(b). Soluión: a) det( t ) = 6, det d a b b) det( - t ) = ) det(b) = Álgebra - Considera las atries (a) [ punto] Ha algún valor de para el que no tiene inversa? (b) ['5 puntos] Para =, resuelve la euaión atriial - X = B.

11 Soluión: no lo ha. b) -B Dadas las atries (a) ['75 puntos] Calula el rango de según los diferentes valores de t. (b) ['75 puntos] Raona para qué valores de t el sistea hoogéneo X = tiene ás de una soluión. Soluión: a) Si t ± t ± - rang() = ; si t = rang() =, si t = - rang() =. b) El sistea hoogéneo tiene la soluión X = O, para que tenga ás soluiones rang() < para los valores t = - para t =. - Dadas las atries (a) ['75 puntos] Calula el rango de dependiendo de los valores de α. (b) ['75 puntos] Para α =, resuelve la euaión atriial X = B. Soluión: a) Si α ± - α ± rang() = : si α = - rang() = : si α = rang() =. b) -B Sean las atries (a) ['5 puntos] Calula los valores de α para los que la atri inversa de es. (b) ['5 puntos] Para α = -, deterina la atri X que verifia la euaión t X = B, siendo t la atri traspuesta de. Soluión: a) α = - b) 5- Sean B dos atries que verifian: (a) [ punto] Halla las atries ( + B)(- B) - B. (b) ['5 puntos] Resuelve la euaión atriial X - XB - ( + B) t = I, siendo I la atri identidad de orden ( + B) t la atri traspuesta de + B.

12 Soluión: a) b) 6-B Sea la atri (a) [ punto] Deterina los valores de α para los que la atri - I tiene inversa, siendo I la atri identidad de orden. (b) ['5 puntos] Para α = -, resuelve la euaión atriial X = X + I. Soluión: a) Para α α I tiene inversa. b) 7- Considera el sistea de euaiones (a) ['75 puntos] Disútelo según los valores del paráetro a. (b) ['75 puntos] Resuélvelo uando sea posible. Soluión: a) Si a el sistea es inopatible. Si a = el sistea es opatible indeterinado. b) La soluión es: = µ, = µ, = -µ 8-B Dada la atri (a) [ punto] Deuestra que + = I que - = + I, siendo I la atri identidad de orden. (b) ['5 puntos] Calula la atri X que verifia la euaión + X + 5 = I. Soluión: a) b) 9-5 Sean B dos atries uadradas de orden uos deterinantes son. Halla: (a) ['5 puntos]. (b) ['5 puntos]. () ['5 puntos].

13 (d) ['5 puntos], siendo B t la atri traspuesta de B. (e) ['5 puntos] El rango de B. Soluión: a) b) ) d) - e) rang(b) = -5B Dada la atri (a) ['5 puntos] Deuestra que se verifia la igualdad = -I, siendo I la atri identidad de orden. (b) ['5 puntos] Justifia que es invertible halla su inversa. () ['75 puntos] Calula raonadaente. Soluión: a) b) ) -6 Dado el sistea de euaiones lineales λ λ λ (a) ['75 puntos] Clasifia el sistea según los valores del paráetro λ. (b) ['75 puntos] Resuelve el sistea para λ =. Soluión: Si λ λ S. C. D. El sistea tiene una soluión. b) Si λ = S.C.I. El sistea tiene infinitas soluiones. Si λ = S. I. El sistea no tiene soluión. -6B Dada la atri = (a) ['5 puntos] Deterina los valores de λ para los que la atri + no tiene inversa. (b) ['5 puntos] Para λ =, halla la atri X que verifia la euaión X + = I, siendo I la atri identidad de orden. Soluión: a) λ = - λ = - b) - ['5 puntos] Considera las atries: Álgebra

14 Deterina, si eiste, la atri X que verifique X B = C t siendo C t la atri traspuesta de C. Soluión: -B Dado el sistea de euaiones (a) ['75 puntos] Estudia el sistea para los distintos valores del paráetro k. (b) ['75 puntos] Resuélvelo para k =. Soluión: a) Si k -7 k el sistea tiene soluión únia. Para k = -7 el sistea es inopatible. Si k = el sistea tiene uhas soluiones. b) = + µ, = -µ, = µ. - Considera el sistea de euaiones (a) ['75 puntos] Clasifíalo según los distintos valores de k. (b) ['75 puntos] Resuélvelo para el aso k =. Soluión: a) Para k k El sistea es opatible deterinado (soluión únia). Si k = el sistea no tiene soluión. si k = el sistea tiene infinitas soluiones uniparaétrio. b) = µ, = - + µ, = 5-5µ -B ['5 puntos] Enuentra la atri X que satisfae la euaión X+ B =, siendo Soluión: X = 5- Considera el siguiente sistea de euaiones on dos inógnitas (a) ['5 puntos] Prueba que el sistea es opatible para ualquier valor del paráetro k.

15 (b) [ punto] Espeifia para qué valores del paráetro k es deterinado para uáles indeterinado. () [ punto] Halla las soluiones en ada aso. Soluión: a) Si es la atri apliada la atri de oefiientes rang() = rang( ). b) Si k - el sistea es deterinado si k = - el sistea es indeterinado. ) Para k - la soluión es = =. Para k = - = - µ, = µ. 6-B Considera el sistea de euaiones on tres inógnitas (a) ['5 puntos] Clasifíalo según los distintos valores del paráetro. (b) ['5 puntos] Resuélvelo para = =. Soluión: a) Si S. C. D. Si = ó = - S. C. I.. b) Para = = =, = µ Para = - = - + µ, = µ, = -µ 7- Sea la atri = (a) [ punto] Para qué valores del paráetro k no eiste la inversa de la atri? Justifia la respuesta. (b) ['5 puntos] Para k =, resuelve la euaión atriial (X +I) = t, donde I denota la atri identidad t la atri traspuesta de. Soluión: a) es singular para k = / b) X = t - I = 8-B Considera el sistea de euaiones (a) [ punto] Resuelve el sistea para =. (b) [ punto] Halla los valores de para los que el sistea tiene una únia soluión. () ['5 puntos] Eiste algún valor de para el que el sistea adite la soluión? Soluión: a) El sistea tiene infinitas soluiones uniparaétrio = µ; = +µ; = -µ b) Si el sistea tiene soluión únia ) Para

16 9-5 Considera el sistea de euaiones (a) ['5 puntos] Deterina los valores de k para los que el sistea tiene ás de una soluión. (b) ['5 puntos] Eiste algún valor de k para el ual el sistea no tiene soluión? () ['75 puntos] Resuelve el sistea para k =. Soluión: a) k = -, k = k = b) El sistea siepre tiene soluión ) = - µ; = + µ; = µ -5B Dada la atri =, sea B la atri que verifia que B = (a) [ punto] Coprueba que las atries B poseen inversas. (b) ['5 puntos] Resuelve la euaión atriial - X - B = B. Soluión: a) ; por tanto las dos tienen inversa b) X = -6 Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la opra de un libro, una aluladora un estuhe. Sabeos que el libro uesta el doble que el total de la aluladora el estuhe juntos. (a) ['5 puntos] Es posible deterinar de fora únia el preio del libro? Y el de la aluladora? Raona las respuestas. (b) ['5 puntos] Si el preio del libro, la aluladora el estuhe hubieran sufrido un 5 %, un % un 5% de desuento respetivaente, el estudiante habrá pagado un total de euros. Calula el preio de ada artíulo. Soluión: a) El del libro si 8. El de la aluladora no porque el sistea tiene infinitas soluiones. b) El libro 8, la aluladora 5 el estuhe. -6B Considera el sistea de euaiones (a) [ punto] Clasifia el sistea según los valores del paráetro k. (b) ['75 puntos] Resuélvelo para k =. () ['75 puntos] Resuélvelo para k = -.

17 Soluión: a) Si K el sistea es opatible deterinado, tiene una únia soluión. b Tiene infinitas soluiones uniparaétrio = µ; = -µ; = µ ) Álgebra - Considera el siguiente sistea de euaiones lineales, a) [ 75 puntos] Disute el sistea según los valores del paráetro. b) [ 75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para =. Soluión: a) Si - el sistea es opatible deterinado, tiene una únia soluión. Si = - el sistea no tiene soluión. Si = el sistea tiene infinitas soluiones uniparaétrio. b) -B Sea M una atri uadrada de orden tal que su deterinante es det(m) =. Calula: a) [ 5 puntos] El rango de M. b) [ 75 puntos] El deterinante de M t (M t es la atri traspuesta de M). ) [ 75 puntos] El deterinante de (M - ). d) [ 5 puntos] El deterinante de N, donde N es la atri resultante de interabiar la priera segunda filas de M. Soluión: a) rango (M ) = b) ) det[(m - ) ] = ¼ d) - Considera las atries a) [ punto] Halla, si es posible, - B -. b) [ 5 puntos] Halla el deterinante de B t siendo t la atri traspuesta de. ) [ 5 puntos] Calula la atri X que satisfae X B = B. Soluión: a) B no tiene inversa b) )

18 -B Considera el siguiente sistea de euaiones lineales, a) [ 75 puntos] Disute el sistea según los valores del paráetro. b) [ 75 puntos] Resuélvelo para =. Para diho valor de, alula, si es posible, una soluión en la que =. Soluión: a) Si el sistea es opatible deterinado, tiene una únia soluión. Si = el sistea es inopatible (no tiene soluión. si = el sistea tiene infinitas soluiones b) = -+µ = µ = - µ (-,, ) 5- Sean a) [ 5 puntos] Deterina el rango de según los valores del paráetro. b) [ 75 puntos] Disute el sistea X = B según los valores del paráetro. ) [ 5 puntos] Resuelve el sistea X = B para =. Soluión: a) Si / rango () =. Si = rango () = si = / tabién el rango () = b) Si / rango () = = rango (`) el sistea tiene soluión únia. Si = rango () = = rango (`) el sistea tiene infinitas soluiones uniparaétrio si = / rango () = < = rango(`) ) = - µ = - µ = µ 6-B Sean B las atries a) [ 5 puntos] Calula las atries X e Y para las que X Y = X Y = B. b) [ 5 puntos] Halla la atri Z que verifia B + Z + B t = I (I denota la atri identidad B t la atri traspuesta de B. Soluión: a) b) 7- Considera el siguiente sistea de euaiones lineales a) [ 5 puntos] Deterina el valor de para el que al añadir la euaión + + = al sistea anterior se obtenga un sistea on las isas soluiones.

19 b) [ punto] Calula la soluión del sistea para la que la sua de los valores de las inógnitas sea 6. Soluión: a) = -6 b) = - = = 8-B Considera las atries a) [ 5 puntos] Calula X e Y tales que X Y = t X Y = B ( t es la atri traspuesta de ). b) [ 5 puntos] Calula Z tal que Z = BZ +. Soluión: a) 9-5 Considera las atries a) [ 75 puntos] Halla -. b) [ 5 puntos] Calula la atri X que satisfae X = B t C (B t es la atri traspuesta de B). ) [ 5 puntos] Halla el deterinante de B t ( - ). Soluión: a) b) ) -5B Sabiendo que el deterinante de una atri es, alula los siguientes deterinantes indiando, en ada aso, las propiedades que utilias: a) [ punto] det( ) det( - ). b) [ 5 puntos] Soluión: a) det( ) = - det( - ) = / b) = - -6 Sea a) [ 75 puntos] Deterina los valores de para los que los vetores fila de M son linealente independientes.

20 b) [ punto] Estudia el rango de M según los valores de. ) [ 75 puntos] Para =, alula la inversa de M. Soluión: a) Para - b) Si - el rango(m) = si = ó = - el rango(m) = ) -6B Sea. a) [ 5 puntos] Coprueba que = I alula -. b) [ punto] Calula su inversa Soluión: a) b) =