Bootstrap en los modelos de elección discreta: una aplicación en el método de valoración contingente

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONA MAYOR DE SAN MARCOS FACUTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS UNIDAD DE POSGRADO Bootstrap los modlos d lccó dscrta: ua aplcacó l método d valoracó cotgt TESIS Para optar l Grado Académco d Magístr Estadístca Matmátca AUTOR us Maul dsma Gozuta ASESOR Atoo Bravo Quroz ma Prú 6

2 BOOTSTRAP EN OS MODEOS DE EECCIÓN DISCRETA: UNA APICACIÓN EN E MÉTODO DE VAORACIÓN CONTINGENTE UIS MANUE EDESMA GOYZUETA Tss prstada a cosdracó dl urado xamador ombrado por la Udad d Postgrado d la Facultad d Ccas Matmátcas, d la Uvrsdad Nacoal Maor d Sa Marcos, como part d los rqustos para obtr l grado académco d Magstr Estadístca Matmátca. Aprobada por: Mg. Ysla Domga Agüro Palacos Mmbro Mg. Wlfrdo Eugo Domíguz Crlo Prsdt Mg. Rosaro Zora Bulló Cuadrado Mmbro Mg. Rosa Ysabl Adrazola Cruz Mmbro Mg. Atoo Bravo Quroz Mmbro Assor ma Prú Julo 6

3 Rsum a prst vstgacó t como obtvo mostrar d mara práctca la clusó dl método bootstrap dtro dl procso d stmacó d la dsposcó a pagar (DAP) d u dtrmado b /o srvco ambtal, bao l foqu d la valoracó cotgt d formato baro. El prcpal aport dl documto s la clusó d u crtro adcoal l procso d rmustro bootstrap, slccoádos alatoramt mustras qu cotga valors balacados la varabl dpdt bara. Co fs lustratvos, s utlzó la bas d datos d trs studos ralzados l país, co l obtvo d stmar la mda, l rror stádar l trvalo d cofaza d la DAP mdat bootstrap, cludo admás l scaro d balaco d la varabl dpdt bara. E comparacó co los rsultados obtdos l scaro bas (co las mustras orgals), al aplcars l bootstrap co mustras balacadas, s obtuvo cofcts logt co maor sgfcaca stadístca, admás, mor promdo rror stádar d la DAP. palabras clavs: valoracó cotgt, dsposcó a pagar (DAP), modlo logt, bootstrap, ssgo hpotétco.

4 Abstract Ths rsarch ams to show a practcal wa th cluso of th bootstrap mthod th procss of stmatg th wllgss to pa (WTP) for a dtrmd vromtal srvc, usg th bar choc modl for cotgt valuato. Th ma cotrbuto of ths work s th cluso of a addtoal crtro th bootstrap procss, whch sampls ar radoml slctd cotag balacd valus th dpdt dchotomous varabl. For llustratv purposs, t s usd th data bass from thr studs mad Pru, ordr to stmat th ma, stadard rror ad th cofdc trval of th WTP through d bootstrap mthod, cludg also th balacd sampl scaro. I comparso of th rsults obtad th basl scaro (orgal sampls), f th bootstrap mthod wth balacd subsampls s appld, t would b obtad logt coffcts wth gratr statstcal sgfcac ad also lowr ma ad stadard rror of th WTP. kwords: cotgt valuato, wllgss to pa (WTP), logt modl, bootstrap, hpothtcal bas.

5 Ídc Rsum... Ídc... 3 Capítulo : Itroduccó Stuacó problmátca Formulacó dl problma Justfcacó d la vstgacó Obtvos... Capítulo : Marco tórco Modlos d lccó dscrta Famla xpocal Modlos lals gralzados Modlo logt Bodad d aust modlos dcotómcos Valoracó Cotgt Efoqus dl modlo tpo rfrédum Formas fucoals para la fucó drcta d utldad Mda mdaa d la mdda d bstar Ssgo hpotétco Bootstrappg Dfcó Estmacó bootstrap dl rror stádar Aplcacó dl bootstrap rgrsó Capítulo 3: Mtodología Dscrpcó d los studos datos utlzados Procdmto d aálss Modlamto stmacó Capítulo 4: Rsultados Coclusos Rfrcas Bblográfcas Axos A.. Códgos fucos programadas R A.. Estmacos utlzado los datos d Postgo () A.3. Estmacos utlzado los datos d MINAM (3) A.4. Estmacos utlzado los datos d Vásquz t al (3)

6 Ídc d fguras.. Fucó d dstrbucó ogístca F() Tabla d Clasfcacó d Prdccó Procdmto dl método bootstrap Estmacó bootstrap dl rror stádar (Efro Tbshra, 993) Cálculo d la DAP aplcado bootstrappg Ídc d cuadros.. Formas fucoals d la utldad drcta v para v Mdas mdaas d las formas fucoals d v Modlos logt stmados utlzado los datos d Postgo () Modlos logt stmados utlzado los datos d MINAM (3) Modlos logt stmados utlzado los datos d Vásquz t al (3) Itrvalos d cofaza bootstrap d la DAP por studo 73 4

7 Capítulo : Itroduccó.. Stuacó problmátca os modlos d lccó dscrta so usados por dsttas dscplas, como la coomía, mdca grías, cuado xst la csdad o trés d modlzar ua varabl dóga d aturalza cualtatva o catgórca. Al rspcto, la aplcacó d stos modlos prmt aalzar los factors qu dtrma la probabldad d qu dvduo la ua rspusta o catgoría, sgú las opcos posbls. Dtro d la toría coómca, s ha dsarrollado métodos qu s basa la aplcacó d los modlos d lccó dscrta, marcádos éstos dos foqus prcpalmt: l prmro basado la modlzacó d ua varabl latt mdat ua fucó dcadora, qu trata d modlar ua varabl obsrvabl o latt, l sgudo basado la toría d la utldad alatora, d tal mara qu la altratva o catgoría lgda cada caso srá aquélla qu maxmc la utldad sprada. Espcífcamt l campo d la coomía ambtal, s ha dsarrollado téccas para modlar las prfrcas d los agts coómcos qu corpora los bs o srvcos ambtals (qu o prsta u mrcado dfdo) dtro d su fucó d utldad; stas téccas so domadas métodos d valoracó coómca, dod alguos casos, los modlos d lccó dscrta so la bas l procso d stmacó dl vl d utldad o bstar. Uo d los métodos d valoracó coómca más coocdos s l método d valoracó cotgt, l cual, mdat la utlzacó d custas tta rcogr las prfrcas dclaradas d los agts co rspcto a u rcurso, b o srvco. a valoracó cotgt t como marco cocptual ua furt bas mcrocoómca stadístca, dod s utlza l aálss d rgrsó co varabl d rspusta catgórca, como los modlos logt probt. El procdmto d la valoracó cotgt cosst báscamt dsñar u custoaro dod s dtalla a los custados u dtrmado scaro hpotétco dod s prov l b o srvco a valorar, dfédos admás u fcto d cambo o 5

8 mora su provsó. Por lo tato, s l prguta a los custados por la máxma dsposcó a pagar por ua mora la caldad o catdad dl rcurso, o su dfcto, la dsposcó a acptar (DAA) d ua compsacó motara para rucar a u cambo favorabl o acptar ua stuacó dsfavorabl. No obstat, para la aplcacó d st método s csaro qu s cumpla alguas codcos; l Rport dl NOAA Pal o Cotgt Valuato (NOAA, 993) s rcomda l uso dl método d valoracó cotgt bao crtos crtros o codcos, dtro dl marco d la valuacó d daños ambtals. Sgú su dctam, las sguts dfccas dtrmaría qu u studo d valoracó cotgt s cosdr o cofabl: Ua alta tasa d o-rspustas l couto d la custa o la rspusta d valoracó. Rspustas adcuadas al obtvo dl daño ambtal. Ausca d comprsó d los trvstados acrca dl studo. Ausca d crdbldad sobr l total dl scaro d rstauracó. Rspustas l rfrédum hpotétco, qu o so xplcados fucó d los costos o l valor d la mora ambtal. Cuado la valoracó cotgt s aplca para stmar l valor d u srvco ambtal, gralmt la varabl d rspusta bara cosst la acptacó o rchazo d u supusto pago para facar hpotétcamt u dtrmado programa d protccó o cosrvacó dl srvco ambtal studo. E s stdo, las rspustas podría star afctadas s los custados o asmla o tralza l scaro hpotétco platado la custa. Uo d las dsvtaas dl método d valoracó cotgt, s ustamt la prsca dl ssgo hpotétco. E coscuca, la rspusta bara o s ua varabl obsrvabl pr s, so qu podría cambar sgú l dsño l procdmto d aplcacó d la custa, dpdtmt d las caractrístcas dl custado. Por lo tato, u dvduo podría rspodr d mara afrmatva cualqur stuacó, s cooc o sospcha qu ralmt l dsmbolso por l qu s l prguta o s va a cocrtar; stuacó qu 6

9 pud cambar s l dsño d la custa prmt cocdr maor crdbldad al scaro hpotétco platado... Formulacó dl problma E los últmos años, s ha ralzado studos d valoracó coómca utlzado l método d valoracó cotgt como hrramta prcpal d aálss, dbdo prcpalmt a su vrsatldad capturar dfrts tpos d valor (d uso o uso). D acurdo a la structura d la valoracó cotgt, la tapa más mportat s l dsño d la custa, l cual db asgurar qu l custado ralmt s volucr l scaro qu s l prsta l custoaro. El modlo tpo rfrédum, platado por Hama (984), s uo d los foqus más coocdos dtro d la valoracó cotgt. Dcho foqu s basa prcpalmt modlar la dfrca d la fucó drcta d utldad d los agts at ua stuacó d cambo. E la ralzacó d las custas, s ls prguta d mara hpotétca a los dvduos s stá dspustos a pagar u dtrmado moto para cosgur ua stuacó d mora, o su dfcto, vtar ua stuacó por a la stablcda. Por lo tato, las rspustas d los custados (s acpta o o), srá las obsrvacos d la varabl dpdt, mtras qu las varabls xplcatvas dl modlo so gralmt caractrístcas sococoómcas dl trvstado. Asmsmo, dtro d las varabls xplcatvas s db clur l moto qu s prguta como ofrta d la stuacó d mora (sta varabl gralmt s coocda como BID ). U patró frcut qu s obsrva la rcolccó d datos, s la xstca d ua maor proporcó d rspustas afrmatvas rspcto a acptar u dtrmado pago para obtr hpotétcamt ua mora la dotacó dl rcurso o b. Gralmt, st comportamto pud sr causado por dos hchos: () los valors lacs o BID promdo mu baos, /o () l scaro hpotétco platado o s tralzado o asumdo por l custado; a st fcto s l cooc como ssgo hpotétco. Co rspcto al prmr puto, la asgacó alatora d los valors d la varabl BID BID s ua palabra glés qu hac alusó a ua ofrta para pagar ua dtrmada catdad d dro por algo. E las subastas, l trmo BID gralmt s utlzado a la hora d lazar la ofrta por u b subastado. 7

10 db partr d la dstrbucó mpírca d los motos máxmos qu u dvduo staría dspusto a pagar, los cuals so rcogdos drctamt mdat ua prguta abrta la custa ploto. Por lo tato, la ralzacó d la custa ploto o sólo s mportat para dtrmar l úmro óptmo d mustra, so també para asgurar la asgacó adcuada d los valors d la varabl BID las custas fals. D acurdo al sgudo puto, l ssgo hpotétco s prsta prcpo stuacos dod s plata u scaro fctco. S l custado o tralza como posbl l scaro qu s l plata la custa, sus rspustas pud star fucó a otro tpo d factors, los cuals o so obto d studo. Por mplo, u custado pud rspodr qu stá dspusto a colaborar co "" sols para colaborar la mora o cudado d u srvco ambtal, solamt para mostrars como algu colaborador o co coscca ambtal at al custador, sabdo qu dcho pago ralmt o s hará fctvo. E coscuca, para dsarrollar ua custa d valoracó cotgt s mportat dsmur lo posbl los ssgos tríscos qu prsta dcho método, por mplo, a través d clusó d prgutas d cotrol o valdacó, stablcmto d valors BID drvados d u studo ploto prvo, gral lmtos qu gr maor crdbldad al scaro platado. E la prst vstgacó, s toma como rfrca d aálss trs studos ralzados l Prú dod s utlza l método d valoracó cotgt d formato baro, aplcádos l modlo logt para stmar la DAP. E los trs studos aalzados, o s prstó la stmacó dl rror stádar o la varabldad d la DAP; asmsmo, los trs casos s vdcó ua partcpacó maortara d rspustas afrmatvas para acptar l pago propusto la custa. Sgú Yoo (), la dstrbucó mustral d la DAP covcoalmt s drvado mdat procdmtos d smulacó, dod s dstaca la aproxmacó d Camro (Camro, 99), l método bootstrap (Efro, 979), l método ackff (Mclod Brglad, 989) l método d smulacó Motcarlo dsarrollado por Krsk Robb (986). Por lo tato, co la aplcacó d dchas téccas s posbl 8

11 stmar l trvalo d cofaza d la DAP, coocr así su vl d varabldad. a prst vstgacó part d la catva d xpor u método complmtaro a la stmacó dl modlo logt, co l f d obtr l rror stádar d la DAP, smulado u scaro dod las rspustas d las custas d valoracó so qutatvas, a razó d coocr los posbls fctos d cosdrar u cotxto dal d stmacó. Para obtr los rrors stádar d la DAP s propo utlzar método bootstrap propusto por Efro (979) cosst la stmacó o paramétrca mdat u rmustro co rmplazo. Asmsmo, s ha cosdrado agrgar u crtro adcoal l procso d rmustro dtro d la aplcacó dl método bootstrap, l cual cosst balacar las obsrvacos d varabl dpdt d u modlo logt, para smular u scaro dal d aálss 3. Co lo atror, la vstgacó plata la csdad d rspodr a las sguts trrogats: os cofcts logt bootstrap prstaría algua mora térmos d sgfcaca stadístca al aplcars l balaco d las obsrvacos d la varabl dpdt? Exstría algú cambo l valor stmado d la DAP cuado s utlza los cofcts logt bootstrap, cosdrado varabls dpdts balacadas? a DAP stmada mdat l modlo logt balacado so fcts? Coopr (994) comparó l dsmpño d los métodos d smulacó sñalados, cotrado qu o xst u método supror tr llos. Por lo tato, Yoo () mcoa qu la lccó d u método para la costruccó d trvalos d cofaza para la DAP db sr ralzada d mara ad hoc. 3 Hlb (5) mcoa qu, l caso d la rgrsó logístca, dalmt s dbría prstar ua rlatva gualdad d uos cros la varabl d rspusta bara. 9

12 .3. Justfcacó d la vstgacó E la actualdad, la aplcacó d los métodos d valoracó os brda u paorama más amplo la toma d dcsos, cotxtos dod s prsta fallas d mrcados. Por mplo, la valoracó coómca pud aplcars l stablcmto d tarfas d u srvco s mrcado, stmar coómcamt ua compsacó o ua sacó pcuara causado por cotamar u cosstma, valorar los mpactos ambtals d u procto d frastructura, tc. Por lo tato, los rsultados obtdos a través d la aplcacó d los métodos d valoracó, a psar d la xstca d ssgos tríscos, db sr los más prcsos posbls. Esto s mportat, dbdo a qu dchas stmacos srá utlzadas como formacó rfrcal l cotxto d ua vstgacó d maor magtud, o cluso como part d la valuacó facra d u procto d gra alcac trés. a obtcó d la varaza, o su dfcto l trvalo d cofaza dl stmador d la DAP, prmtría coocr l vl d prcsó co l qu cuta, grado así la posbldad d laborar dvrsos aálss adcoals, como los d ssbldad o d scaros, pus o sólo s toma cuta la stmacó putual. a forma fucoal d la DAP prsta ua spcfcacó o lal térmos d los cofcts dl modlo logt, por lo qu l cálculo d la varaza d la DAP o s pud obtr d mara drcta. E s stdo, s optó por aplcar l método bootstrap u modlo logt para stmar l rror stádar d la DAP, dbdo a su facldad opratva d mplmtacó. Por otro lado, Hlb (5) prcsa qu u modlo logt dalmt dbría prstar ua rlatva gualdad d uos cros la varabl d rspusta; por lo qu sñala qu al xstr ua proporcó maortara d uos o cros l prdctor baro, l modlo logt sría cosdrado como dsbalacado, por lo qu sría csaro u aust la stmacó d los parámtros 4. 4 Kg Zhg () propusro u aust la stmacó dl trcpto la rgrsó logístca at la prsca d vtos raros (co varabls d rspusta co gra dsbalac), co l obtvo d dsmur l ssgo por mustras pquñas l procso d stmacó d máxma vrosmltud.

13 S mbargo, l problma o radca qu las class o stá balacadas pr s, so l hcho a qu o haa sufcts patros prtcts a la clas mortara para rprstar adcuadamt su dstrbucó. Por lo qu, a mdda qu s dspoga d maors datos, l problma d "dsbalac d class por lo gral dsaparc. a rspusta bara ua custa d valoracó cotgt o s ua varabl obsrvabl pr s, so qu ésta podría cambar sgú l dsño aplcacó d la custa, dpdtmt d las caractrístcas dl custado, caso qu s prst l ssgo hpotétco 5. Etocs, l prst studo s asumó u scaro adcoal para calcular la DAP, l cual cosst clur u supusto d gualdad d proporcó d dvduos qu acpta l pago rspcto a los qu lo rchaza, s dcr, cotar co rspustas baras balacadas. S supomos qu part d los dvduos qu rspodro afrmatvamt ha prstado u ssgo hpotétco, tocs s podrá valuar qué mdda camba l valor d la DAP ua supusta lmacó dl ssgo hpotétco, sto a través d la smulacó d u scaro altratvo dod l úmro d prsoas qu acpta l pago sa gual o paro al úmro d prsoas qu o lo acpta. Por lo tato, la corporacó dl bootstrap l modlo logt, l marco d la stmacó d la DAP u studo d valoracó cotgt, prmtría obtr d mara sclla l vl d varaza d dcho stmador, admás d clur scaros altratvos d aálss..4. Obtvos Obtvo Gral Evaluar l fcto d balacar la varabl dpdt bara la stmacó d los cofcts dl modlo logt co bootstrappg; sto l marco dl cálculo d la dsposcó a pagar mdat la utlzacó dl método d valoracó cotgt. 5 D acurdo a abadra (7), l ssgo hpotétco pud sr rducdo s los trvstados td compltamt la stuacó platada s ls prsta u scaro críbl prcso.

14 Obtvos Espcífcos Estmar los cofcts dl modlo logt utlzado l método bootstrap, tdo cuta dtro dl procso d rmustro, tato los datos orgals como la formacó cludo l balaco d la varabl dpdt. Calcular la dsposcó a pagar utlzado los cofcts stmados dl modlo logt co bootstrappg (co o s balaco), bao l foqu d la valoracó cotgt d formato baro. Estmar l rror stádar d la dsposcó a pagar, utlzado l método bootstrap (co s balaco) l procso d stmacó d los cofcts dl modlo logt.

15 Capítulo : Marco tórco E l prst capítulo, s dsarrolla u brv marco tórco d los modlos d lccó dscrta, dl método d valoracó cotgt dl método bootstrap. Rspcto a los modlos d lccó dscrta, s xpo prcpalmt l modlo logt; asmsmo, s brda alcacs d los cocptos d famla xpocal d los modlos lals gralzados, tdo como prcpals rfrcas los trabaos d Dmétro (), Dobso (), McCullagh Nldr (989), Nldr Wddrbur (97), tr otros. Asmsmo, lo xpusto acrca dl método d valoracó cotgt, t como rfrca prcpal l trabao d Vásquz, Crda Orrgo (7), l cual s dtalla los foqus platados por Hama (984), Bshop Hbrl (979), tr otros. Admás, utlzado los alcacs d Efro (979) Efro Tbshra (993), s prsta ua sítss acrca dl método bootstrap... Modlos d lccó dscrta os modlos d lccó dscrta, so aqullos modlos qu stá coformados por u couto d varabls xplcatvas, qu pud sr umércas co valors cotuos o catgórcos, ua varabl dpdt bara Y. Por lo tato, la partculardad radca la structura d la varabl dpdt, dbdo a qu éstas so tamt catgórcas o dscrtas. E la prst sccó, s dsarrolla los cocptos más rlvats d los modlos d lccó dscrta, spcífcamt dl modlo logt, dscrbdo las caractrístcas propdads stadístcas qu prsta la varabl dpdt bara, así como la structura fucoal dl modlo. A cotuacó, s aborda los sguts tmas: Famla xpocal Modlos lals gralzados Modlo logt Bodad d aust modlos dcotómcos 3

16 ... Famla xpocal S dc qu ua dstrbucó d probabldad, cotua o dscrta, s mmbro d la famla xpocal s su fucó d dsdad o probabldad s pud xprsar como: dod h x, t x t x,..., t x f x hxs xp t xi Ax k, k so fucos ral valoradas d las obsrvacos d, s,..., parámtros., k so fucos ral valoradas dl vctor d Admás, la fucó dcadora dl couto A, dotado por I Ax dod I A x x, x,..., x ; f x, prsta la sgut forma: I A x x A x A x x Muchas d las dstrbucos coocdas, por mplo, la ormal, bomal, bomal gatva, gamma, posso ormal vrsa, prtc a sta famla. Otra forma quvalt d xprsar ua fucó d dsdad o probabldad d la famla xpocal s: f k x xp t x l hx l s I Ax E l caso qu s prst sólo u parámtro, la fucó qudaría, como f g x xp t x l hx l s. Ahora, s cosdramos d l s I Ax x l hx, tmos qu f x xp t x gx d I Ax. Admás, coocdo qu las trasformacos d tpo d varabls o parámtros o afcta a la dfcó d ua dstrbucó, al dfr t Y 4, dod a

17 , tocs tmos qu ua dstrbucó qu prtc a la famla xpocal s pud xprsar també d la sgut mara (Dmétro, ): f xp ; a d g I A dod d.. g so fucos coocdas. Asmsmo, cohrca a lo mostrado atrormt, McCullagh Nldr (989) prstaro la sgut otacó para dfr ua dstrbucó d famla xpocal: f, xp ; a b c I A dod b.. c so fucos coocdas, co S dfmos como dscoocdo,, xpocal co dos parámtros. f pud prtcr a la famla Cosdrado la otacó propusta por McCullagh Nldr (989), la fucó gradora d momtos (f.g.m.) para ua dstrbucó, qu prtc a la famla xpocal co u parámtro, s pud dfr mdat la sgut xprsó: M Y ty t;, E xp a b a t b I A Supodo qu Y s ua varabl cotua, s pud probar qu: A f d Etocs, A xp a b c; d 5

18 xp c d b xp a A a ; Obtédos A xp a c b ; d xp a Cosdrado lo atror, s t qu: M M M Y Y Y M Y ty ty t;, E f A d t;, xp ; a A a t b c d t;, b xp ; a A xp a t;, b xp a b xp a t c d a t a Etocs, la fucó gradora d momtos s: M Y ty t;, E xp a ba t b I A E s stdo, la fucó gradora acumulatva (f.g.a) corrspodt para ua dstrbucó qu prtc a la famla xpocal co u parámtro, stá dada por: t;, l MY t;, b a a t b S s drva la f.g.a sucsvamt t, s t qu: 6

19 t;, a b t; b a,. a t a ba t a t;, b a t a r r r t;, b a t a t para t, s obt k k. b a b k r a r r b Por lo tato, s vrfca qu xst ua rlacó d rcurrca tr los acumulados k d la famla xpocal, sdo sto fudamtal para la obtcó d las propdads astótcas d los Modlos als Gralzados. Asmsmo, los momtos d la famla xpocal pud sr obtdos faclmt a partr d los acumulados k (Kdall Stuart, 969). Como s mustra Dmétro (), la rlacó tr acumulados k momtos rlacó al org, pud xprsars d la sgut mara: k k k k r sdo EY r 7

20 Por otro lado, la rlacó tr los acumulados k los momtos rlacó a la mda, s prsta d la sgut mara (Dmétro, ): k k 3 3 k sdo r E Y E Y r Por tato, la mda la varaza d ua varabl alatora Y cua dstrbucó prtc a ua famla xpocal, la forma caóca usada por McCullagh Nldr (989), stá dadas por: E Y var b Y a b Admás, s,...,, s ua mustra alatora d ua dstrbucó qu prtc a ua famla xpocal, la fucó d dsdad couta d,...,, s dada por: f f f Y Y Y ; xp b c; a, f ;, ;, xp a b xpc ; ;, xp b a xp c ; utlzado l torma d factorzacó d Nma-Fshr, s pud afrmar qu T s ua stadístca sufct d, dbdo a qu: f Y ;, xp a T b xp c; g T, h,,..., 8

21 Sdo T, h,..., g ua fucó dpdt d T, s ua fucó dpdt d., mtras qu Esto dmustra qu, bao u mustro alatoro, s ua fucó d dsdad prtc a la famla xpocal co u parámtro, tocs xst ua stadístca sufct. Admás, usado l Torma d hma-schff, s dmustra qu stadístca mmal. T s ua Por mplo, s tmos ua varabl alatora Y qu prsta ua dstrbucó Broull, la fucó d probabldad corrspodt staría dada por: rordado, f, Y, f f f xp l S pud vrfcar tocs qu al rmplazar s, l x t, la dstrbucó Broull prtc a la famla xpocal. Admás, podmos xprsar dcha fucó d probabldad d acurdo a la otacó prstada por McCullagh Nldr (989): f f f xp l xp l l 9

22 dod a, l b l l Por otro lado, s tmos ua varabl alatora Y qu prsta ua dstrbucó bomal, la fucó d probabldad corrspodt staría dada por: A I f,,, A,...,, rordado, A A I I f A I f l xp A I f l xp (.) Asmsmo, s pud vrfcar qu al rmplazar x h, s, l x t, la dstrbucó bomal prtc a la famla xpocal. Admás, podmos xprsar dcha fucó d probabldad d acurdo a la otacó prstada por McCullagh Nldr (989): A A I I f A I f l xp I A f l l l xp (.) dod a, l, b l l c l ;

23 ... Modlos lals gralzados Nldr Wddrbur (97) troduc l térmo d modlos lals gralzados (GM). Dcho cocpto cosst prcpo ua gralzacó d dvrsos modlos d rgrsó, dod las varabls dpdts prsta dtrmadas dstrbucos probablístcas prtcts a la famla xpocal (como la bomal, posso, tr otras), agrupádos todas u solo marco tórco. U modlo lal gralzado s spcfca a partr d trs compots: U compot alatoro, qu s dtrmado por la varabl rspusta Y, co obsrvacos dpdts,,..., a partr d ua dstrbucó d probabldad qu prtc a la famla xpocal. U compot sstmátco qu dtfca a las varabls xplcatvas usadas ua fucó lal adtva. Est compot rlacoa u vctor,..., co las varabls xplcatvas dl modlo lal., Sa x l valor dl prdctor la obsrvacó, tocs: k x,,,..., Esta combacó lal d las k varabls xplcatvas s domada prdctor lal. Ua fucó d lac g qu spcfca la fucó dl valor sprado d la varabl d rspusta E Y, l cual hac posbl qu la varabl d rspusta Y s vcul co l compot sstmátco. a fucó d lac g (.) s moótoa, dfrcabl laza través d: E co las varabls xplcatvas a k Y g x,,,...,

24 a fucó d lac qu trasforma la mda haca l parámtro atural s llamado lac caóco 6, s dcr: g k x Como s aprca las cuacos (.) (.), l parámtro atural d la fucó d probabldad d ua varabl bomal s l, sdo tocs l lac caóco dl modlo GM bomal, st últmo coocdo como l modlo logt o d rgrsó logístca. Por cosgut, l modlo GM co varabl dpdt bomal tdrá la sgut spcfcacó: g l k x,,,..., Asmsmo, s tmos ua varabl alatora Y qu prsta ua dstrbucó d posso, la xprsó d su fucó d probabldad térmos d la famla xpocal s: f!! xp l I A E s stdo, s pud probar qu ~ posso prtc a la famla xpocal, l tdo como parámtro atural l fucó d lac caóco los cuals s spcfca d la sgut forma: g. os modlos GM qu prsta como, so domados modlos loglal d posso, g k l x,,,..., 6 El lac caóco rsulta d xprsar la fucó d probabldad como la famla xpocal.

25 ..3. Modlo logt os modlos para rspusta bara t ua structura comú, la varabl dpdt toma sólo dos posbls valors, d tal mara qu su dstrbucó s csaramt ua Broull. Como s mostró atrormt, l modlo logt s u modlo lal gralzado (GM), l cual prsta como fucó d lac l, sdo l valor sprado d ua varabl alatora qu s dstrbu como ua Broull. S dfmos Y como ua varabl bara, qu toma l valor co ua probabldad valor co ua probabldad probabldad d tpo Broull, sto s:, la varabl Y prstaría ua fucó d dod, f P Y P Y Etocs, E Y p V Y E E E caso qu la probabldad dpda d, la probabldad codcoal d Y s spcfca d la sgut mara: P Y x x P Y x x 3

26 4 Estructura dl modlo logt S s df como u vctor d k varabls xplcatvas la obsrvacó, como l vctor d cofcts dl modlo, tocs: k x,,...,, Asmsmo, coocdo qu l parámtro caóco d la dstrbucó Broull xprsada como famla xpocal s l, l modlo gralzado logt s df como: l, dod k x x x k Dspado tmos: xp l xp xp S s dfda como la fucó d dstrbucó F, la fucó d dsdad tdrá la sgut forma: F F F f

27 Fucó logstca - F(x) β=.5 β=.6 β=.7 β=.8 β=.9 β= β=. β=. β= x Fgura.. Fucó d dstrbucó ogístca F Estmador d máxma vrosmltud S z f dota la fucó d probabldad o dsdad couta d la mustra Z Z Z Z,...,, tocs dado qu Z z s obsrvado, la fucó d dfda, s domada la fucó d vrosmltud (Caslla Brgr, por z f z ). S Z,...,, Z Z s ua mustra alatora dpdt détcamt dstrbuda d ua poblacó co fucó d probabldad o dsdad f z,,..., vrosmltud s df por: k, la fucó d Para cada puto mustral z, sa k,..., z,,..., z, z,..., z f z, z l valor dl parámtro qu z k alcaza su máxmo valor como fucó d, co fo. U stmador d máxma vrosmltud dl parámtro basado la mustra Z s Z. 5

28 6 S la fucó d vrosmltud s cotua dfrcabl, los posbls caddatos para stmadors d máxma vrosmltud so los valors d k,...,, qu rsulv: z, k,...,, E coscuca, s dfmos como la fucó d vrosmltud dl vctor, para ua mustra co -obsrvacos dpdts, tocs: F F ugo, aplcado logartmo, obtmos la fucó d log-vrosmltud: l l l l l l l l Para obtr l stmador d máxma vrosmltud d, s maxmza la fucó log-vrosmltud: l l (.3)

29 l l Para dspar s pud aplcar l algortmo d Nwto-Raphso, l cual cosst optmzar ua fucó d mara tratva, usado la xpasó d la sr d Talor d sgudo ord. S dfmos sría: f x como ua fucó ral, la xpasó d la sr d Talor x f x f x f x f x f x x x x x... x x!!! s dfmos f ; x x tocs: T como la xpasó d la sr d Talor d sgudo ord, ; T f ; x x f x f x x x ; al mmzar f ; x x T tmos qu: ; T f ; x; x x x f x x x f s dfmos x x, coocdo qu x s l valor d partda, obtmos: x x f x f x E coscuca, la xprsó gral la -ésma tracó srá: x x f x f x 7

30 8 Por lo tato, para car l procso tratvo d Nwto Raphso qu maxmza la fucó d log-vrosmltud l, s propo u vctor d valors cals : l l l l l l Dod, s las tracos td a, s dcr,,...,,. Para obtr la sguda drvada d la fucó log-vrosmltud, l, s utlza la vrsa d la matrz Hssaa H l, la cual corrspod a la matrz d varaza astótca stmadas d : l l l l (.4) Al vrfcars qu l, s pud afrmar qu la optmzacó ralzada s ua maxmzacó. Asmsmo, la matrz d formacó s obt como la spraza d la matrz Hssaa co sgo vrtdo, valuado, s dcr H I E.

31 9 E s stdo, la matrz d varazas covarazas d s obtdo mdat l límt o cota fror d la vrsa d la matrz d formacó, s dcr: E I f I I V Ahora, cosdrado las cuacos (.3) (.4), las xprsos d l l s pud xprsar d la sgut mara: E l V l Falmt, cludo la prmra sguda drvada d la fucó d log-vrosmltud l procso tratvo d Nwto-Raphso 7, s obt la xprsó d : l l E V qu térmos matrcals t la sgut structura: E W dod, 7 Vr Dobso ()

32 3 k k k x x x x x x x x x k W El fcto margal o cambo parcal E l caso dl modlo d rgrsó lal múltpl, l fcto margal d cada varabl x s obt a través d ua smpl drvada parcal, sdo su cálculo rlatvamt scllo. S s spcfca l sgut modlo d rgrsó lal: k x,,...,, Etocs, l fcto margal d por cada varacó d ua udad d x s: x x S mbargo, l fcto margal los modlos o lals o s dtrma d mara drcta mdat l valor d los cofcts, dod k,...,,, como l caso lal. a stmacó dl fcto margal d la varabl dpdt sobr la rspusta, s plaa dl sgut modo: x F x x P

33 S sabmos qu, F x F x Etocs, F P x x f x f Por lo tato, l fcto margal d co rspcto a x s: P x f E l caso qu ua varabl x sa bara, l fcto margal s obt como la dfrca tr la probabldad qu dado qu x la probabldad qu dado qu x, tocs: P P P x P x x x x x..4. Bodad d aust modlos dcotómcos A dfrca dl modlo d rgrsó lal o múltpl, co varabl dpdt cuattatva cotua, los modlos d lccó dscrta o t u cofct d dtrmacó claramt dfdo; o obstat, xst alguas aproxmacos qu pud sr cosdradas como dcadors d bodad d aust dl modlo, sdo los más coocdos l Porcta d Prdccó Corrcta (PPC) l psudo R cuadrado d McFadd. 3

34 Porcta d Prdccó Corrcta (PPC) os valors prdchos por l modlo dcotómco, como l logt, pud sr grados tomado algú valor crítco rfrcal a partr dl cual s pud sprar qu., s, s F c F c Usualmt l valor crítco utlzado s c. 5, por lo tato, s l modlo stma qu la probabldad qu s maor a c, s dcr. 5, s db cosdrar qu. E cambo, s la probabldad qu s mor a c, s dcr. 5, s db cosdrar qu. Por lo tato, l porcta qu rsulta dvddo las vcs qu cocd co, co rspcto al total d obsrvacos, lo domarmos l Porcta d Prdccó Corrcta (PPC). Por cosgut, u modlo s mor qu otro s su porcta d matchg o cocdcas (proóstcos corrctos) s maor. Valors obsrvados Total Total Corrctas Porcta Corrctas PPC (%) Proóstco dl modlo Total N N N N N N N N N N N / N N / N N N N N N N Fgura.. Tabla d Clasfcacó d Prdccó Adcoalmt, ua mara d stablcr l valor crítco c para la laboracó d las tablas d clasfcacó, s mdat la stmacó d la prdccó promdo dl modlo logt spcfcado (Hlb, 9). E s stdo, la stmacó d c s podría obtr mdat la sgut fórmula: 3

35 33 x x x x k k k k c Psudo R Cuadrado McFadd (973) sugró ua altratva, coocda como lklhood rato dx, comparado u modlo s gú prdctor a u modlo qu clu todos los prdctors. Es dfdo como uo mos la proporcó log-vrosmltud co todos los prdctors tr l log-vrosmltud tomado sólo l trcpto: l l l l l R psudo Dod l l S cosdramos la sgut codcó: S Etocs, l l l l l l Por lo tato, s pud dmostrar qu l psudo R cuadrado d McFadd s cutra tr los valors :

36 34 l l Asmsmo, Maddala (983) dsarrolló otro psudo R cuadrado qu s pud aplcar a cualqur modlo stmado por l método d máxma vrosmltud. Esta mdda popular amplamt utlzada s xprsa como: maddala R l l Dfédolo térmos d la razó d vrosmltud ( R ), s tdría: l l R Etocs, l l R l l R l l R l l l l R R Asmsmo, R R l l l l Por lo tato, l psudo R cuadrado propusto por Maddala s xprsa d la sgut mara térmos d la razó d vrosmltud:

37 R l maddala l Maddala dmostró qu l psudo R cuadrado prsta u límt supror d, por lo qu sugró ua mdda ormalzada xprsada d la sgut mara: l l Rmaddala R S b l psudo R cuadrado d Maddala s comúmt utlzado, sus propdads stadístcas o ha sdo amplamt vstgadas. E l studo d Mttlbôck Schmpr (996) s ha rvsado dsttas mddas d bodad d aust para l caso d la rgrsó logístca, pro sus rsultados so prcpalmt mpírcos umércos. 35

38 .. Valoracó Cotgt El método d valoracó cotgt s ua técca utlzada para obtr l valor coómco qu los dvduos l asga a u b o srvco. Muchos vstgadors ha aplcado st método para stmar l valor d u b /o srvco, cuado s prsta dtrmadas fallas d mrcado, como la prsca d bs públcos, xtraldads, tr otros. E s stdo, dtro d la coomía ambtal s utlza dsttos métodos, tr llos la valoracó cotgt, para dtrmar l valor d los bs o srvcos ambtals, dbdo a qu gralmt l mrcado o tralza l vrdadro aport qu éstos brda a la coomía, tdo como coscuca ua asgacó o óptma o fct d dchos rcursos. a valoracó part d la mdcó dl cambo dl vl d bstar coómco qu u dvduo xprmta at ua altracó las codcos dl mrcado, como la dsmucó o aumto dl prco o la caldad d u b. Cocptualmt, dcho platamto s compatbl co las mddas d bstar hcksaas 8, amplamt acptadas por la ltratura coómca como stmacos qu rfla l cambo l bstar d los dvduos. Es dcr, la valoracó cotgt s basa los cocptos d bstar drvados d la varacó compsada la varacó quvalt. El org d la valoracó cotgt s rmota al studo d Crac-Watrup (947), dod s vstgó acrca d los bfcos d la rosó. Asmsmo, l autor sugró la utlzacó d trvstas o custas prsoals dod s prgut acrca d la dsposcó a pagar por accdr a catdads adcoals d u dtrmado b /o srvco. E l trabao d Davs (963) s dsñó formalmt la prmra custa d valoracó cotgt como part dl studo para valorar las actvdads d caza los bosqus dl stado d Ma, Estados Udos. Ua cotrbucó mportat para l dsarrollo d st método, fu lo formulado l trabao d Bshop Hbrl (979), l cual s corporó u formato d prguta 8 Sgú la toría mcrocoómca, s l obtvo dl cosumdor cosst la mmzacó dl gasto csaro para alcazar u vl dtrmado d utldad, las dmadas drvadas d rsolvr dcho problma d optmzacó so domadas d tpo hcksaas. Bao st foqu, xst mddas d bstar qu prov d las dmadas hcksaas, tal como la varacó compsada o la varacó quvalt. 36

39 bara o dcotómca las custas d valoracó cotgt. Bao st formato, s l prsta a los custados ua catdad dvduos dcd s adqur l b paga la catdad B t, rprstado l prco dl b, los B t o smplmt s ga a dcha compra. Ats dl studo d Bshop Hbrl (979), l formato aplcado los studos mpírcos ra los d formato abrto, l cual s l prgutaba a los custados d mara drcta por su máxma dsposcó a pagar por l b o procto obto d valoracó. El formato baro, també coocdo como rfrédum, duc a los custados a rvlar sus prfrcas at crcustacas parcdas a las trasaccos habtuals. E otras palabras, s ls prsta a los dvduos u scaro dod t qu dcdr s toma o da la opcó d adqurr u b, l cual prsta u dtrmado prco hpotétco. Dado qu la varabl dpdt st tpo d formatos s dscrta, la stmacó coométrca s ralza mdat u procdmto d máxma vrosmltud. Gralmt, s asum qu los rrors d la rgrsó s dstrbu ormalmt o d mara logístca, dado lugar a u procdmto d stmacó probt o logt, rspctvamt. Por otro lado, Hama (984), Camro Jams (987) Camro (988) dsarrollaro formulacos tórcas dl método d valoracó cotgt co formato baro, qu prmt stmar cambos l bstar d las prsoas. A partr d dchos aports, s dstgu dos foqus l platamto dl formato baro d la valoracó cotgt; l prmro propusto l trabao d Hama (984) coocdo como l modlo d dfrcas d la fucó drcta d utldad, mtras qu l sgudo dsarrollado por Camro (988) coocdo como fucó d varacó, ctrádos la dfrca d fucos d costo. Camro (988) Hama (984) dfr l tpo d fucó d rspusta qu asum para l procso d rfrédum.... Efoqus dl modlo tpo rfrédum Hama (984) propuso l modlo d dfrcas d la fucó drcta d utldad, l cual cosst cosdrar la varacó qu s prsta la fucó d utldad d los cosumdors al clurs ua dmada d u dtrmado b, l cual s obto d 37

40 valoracó. S dfmos v como la fucó d utldad drcta d u cosumdor, p l vctor d prcos qu frta los dvduos, l grso famlar, s t: u v p, ; q Dod rprsta la stuacó cal, la stuacó d cambo (por mplo, la mora la caldad ambtal). E l prst foqu s asum qu la utldad s cutra fucó d u vctor d caldad ambtal dotado por q. Asmsmo, las caractrístcas sococoómcas d los dvduos qu so rlvats pud corporars la spcfcacó d la fucó d utldad, a f d modlar la rspusta bara, l cual cosst acptar o o l pago d B t para cosgur la stuacó d cambo. Por dualdad, s pud obtr la fucó d gasto m mdat la vrsa d la fucó drcta d utldad, xprsádos como: m v p, ; q Uo d los supustos más mportats dtrás d la valoracó cotgt cosst qu las fucos d utldad t compots qu so a pror dscoocdos, lo cual volucra qu la structura dl modlo sa stocástca, s dcr, la spcfcacó d las fucos d utldad corpora u compot stocástco. Est compot alatoro pud corporar tato caractrístcas dl cosumdor, como d las altratvas a sr valuadas. E s stdo, la fucó drcta d utldad s ua varabl alatora, qu prsta la sgut xprsó: u p, q v ; dod s l térmo d rror, l cual t la sgut propdad E. D acurdo co McColl (99), u modlo d valoracó cotgt po a los custados ua stuacó dod t qu lgr tr ua mora la caldad 38

41 ambtal, s dcr d q a q, para lo cual s db d pagar ua catdad B t, o cotuar la stuacó actual. E st cotxto, la probabldad d ua rspusta afrmatva por part dl dvduo s formula d la sgut mara: s Pv p B ; q v p, q P t ;, s Pv p B ; q v p, q P t ;, Etocs, s Pv P (.5) Por lo tato, s cosdramos la cuacó (.5) podmos xprsar la probabldad d acptar u pago B t mdat F v, dod F s la fucó d dstrbucó acumulada d. Al rspcto, al dfr ua dstrbucó para spcfcado d mara apropada la fucó d utldad drcta v., los parámtros d la fucó dfrcal v pud sr stmadas co la formacó brdada a partr d las rspustas obtdas d las custas d formato baro. Por otro lado, Camro (988) propuso l foqu d fucó d varacó, l cual s asum qu u dvduo calcula su dsposcó a pagar o dsposcó a acptar, tdo cosdracó la fucó d gasto. Sgú McColl (99), m u s df como la catdad d dro csara para alcazar u vl d utldad gual a u, dod rprsta la stuacó cal, la stuacó co accso al rcurso o mora d la caldad ambtal, mtras qu s l factor stocástco o rror, dod. E Cosdrado l formato baro dl foqu d fucó d varacó, ua rspusta afrmatva volucra qu la catdad d dro B t rqurda a los dvduos s mor qu su máxma dsposcó a pagar, la cual s obt comparado las fucos d gasto at las stuacos s co mora la caldad ambtal. o mcoado s pud xprsar d la sgut mara: 39

42 B t m u m u B t m u m u Etocs, la fucó d varacó s pud dfr como: S m u m u. Sgú McColl (99) s llama fucó d varacó dbdo a qu s la varacó compsada o quvalt, dpddo dl tpo d prguta qu s formul, admás cosdrado los drchos d propdad volucrados. Est foqu platado por Camro, o rqur csaramt formular forma aalítca ua fucó d gasto lugo calcular la dfrca tr dos fucos valuadas co s la mora la caldad ambtal. Por l cotraro, l modlo d Camro s utlza la formacó brdada por las rspustas d los dvduos para obtr drctamt la vrdadra fucó d valoracó. E otras palabras, l modlo s pud xprsar mdat ua cuacó co la sgut forma: x dod rprsta a la dsposcó a pagar (DAP). a cuacó rprsta la dsposcó a pagar como fucó dl vctor d varabls x. Por otro lado, l foqu d Hama, sólo s posbl la stmacó d ua fucó d probabldad o d mara drcta la vrdadra fucó d valoracó rvlada por los dvduos, tal como s uca la xprsó ats mcoada. Por tato, l foqu d dfrcas d la fucó drcta d utldad o prmt d mara drcta stmar l cambo la dsposcó a pagar at varacos las varabls xplcatvas, s dcr, DAP x. D mara gral, l modlo d Camro s más scllo térmos d trprtacó d cálculo. Para stmar la mda d la dsposcó a pagar, smplmt quvaldría al valor sprado d la varabl dpdt d la rgrsó platada, s dcr, E x. No obstat, la ltratura ha xstdo ua prdomaca dl foqu d dfrcas d la fucó drcta d utldad; asmsmo, Hama (984) sboza la trprtacó altratva d Camro compara las propdads stadístcas d ambas trprtacos. 4

43 Dbdo a qu l modlo plaado por Hama s l foqu más utlzado, l qu admás prsta maor acptacó la ltratura, dada su maor compldad rquza trprtatva, a cotuacó, s dtalla acrca d las formas fucoals l método d stmacó d las mddas d bstar propas d dcho foqu.... Formas fucoals para la fucó drcta d utldad E l foqu d dfrcas d la fucó drcta d utldad, s coclu qu la probabldad qu u dvduo rspoda afrmatvamt a la prguta dod s plata la mora d la caldad ambtal, suto a u pago B t, stá dtrmada por P v, como s mostró la cuacó (.5). Para dtrmar la fucó d probabldad drvada dl modlo, s rqur dfr la forma fucoal para v. E l sgut cuadro s prsta las xprsos d propustas por Hama (984), Bshop Hbrl (979) la forma fucoal Box-Cox gralzada, dscutda Hama Ka (999), pro s cosdrar varabls xplcatvas adcoals al grso. v Cuadro.. Formas fucoals d la utldad drcta v para v I II III Fucó v Forma fucoal v v v Bt B v l t v l v v xp v l B t IV v B v t Fut: Vásquz t al (7), basado Hama (984) Hama Ka (999). Dod B t rprsta la suma d dro propusta o l valor umbral,. as formas fucoals prstadas s obt aplcado l procdmto platado por Hama. A partr d la forma fucoal d Box-Cox 4

44 4 (mostrada la fla IV dl Cuadro.) s drva las otras formas fucoals, por lo qu s cosdra ua xprsó gralzada. D acurdo al procdmto dado l foqu d dfrca d fucos drctas d utldad d dfrca, la fucó Box-Cox v, s pud xprsar tato la stuacó cal como la fal d la sgut mara: v B t v Etocs, la fucó d dfrca utldad sría: B v t B v t B v t S s asum qu, s t qu B v t B v t E caso dfamos, s obt la forma fucoal lal t v B. S, s obt la xprsó d la forma fucoal smlogarítmca B v t l.

45 Fucó drcta d utldad d forma lal Al dfr ua fucó drcta d utldad d forma lal, tal como v, la stuacó cal la fal s xprsa los sguts térmos: v B t v Etocs, la dfrca d las fucos d utldad mara: v, s obt d la sgut B v t v Bt t v B v B t Fucó drcta d utldad d forma smlogarítmca D la msma mara, s tmos ua fucó drcta d utldad v l, tocs la stuacó cal fal s xprsa como: v l v Bt l E coscuca, la dfrca utldad v s df mdat la sgut xprsó: l B v t l Bt v l B t v l 43

46 Como s mcoa Vásquz t al (7), la xprsó v qu part d ua fucó drcta d utldad sm-log, s pud aproxmar como B t...3. Mda mdaa d la mdda d bstar E l caso qu l valor d B t sa gual a la vrdadra valoracó qu u dvduo l asga a u b, s prstará u vl d dfrca tr pagar o pagar dcho moto. S tmos qu la valoracó d u dvduo s C, tocs s prsta la sgut stuacó: v p, C; q v p, q ; v, q s gual a p C; Por otro lado, coocmos qu la fucó gasto d m m p, v q, por lo qu s dduc qu: ; C m p v;, q Admás, s sabmos qu v p, C; q v p, ; q C m, q p v p, ; q ;,tocs tmos qu: Por lo tato, C s pud dfr como ua mdda d bstar hcksaa. Asmsmo, dado qu la fucó d utldad prsta u compot alatoro, C srá ua varabl alatora. A cotuacó, s prsta la drvacó d C para cada forma fucoal d v. Fucó drcta d utldad lal S s prsta la fucó lal v, la stuacó cal fal s pud xprsar como: v C v 44

47 45 Ahora, al cosdrar C vz d t B la stuacó fal, s obtdrá la vrdadra dsposcó a pagar (DAP) qu guala los vls d utldad los dos stados, s dcr: C v C Dspado C, tmos qu: C Fucó drcta d utldad smlogarítmca Aplcado u procdmto smlar al atror co la fucó sm-log v l, s t qu: l v l C v l l B B v t t Etocs, C Fucó drcta d utldad d Bshop Hbrl S cosdramos C lugar d t B, la fucó v s xprsaría d la sgut mara: l C v (.6)

48 46 Por lo qu C stá dado por C l C Fucó drcta d utldad d Box-Cox S rmplazamos l valor C lugar d t B, dtro d la fucó dfrcal d Box-Cox, tmos qu: C v Dspado C, C C S, tocs C C, s xp C, s D acurdo a los rsultados obtdos, s posbl dfr las mddas d bstar Hcksaas. Sgú Hama, las mddas d bstar so las sguts:

49 a mda: Es la spraza o l valor sprado dl moto d dro qu u dvduo staría dspusto a pagar para qu la stuacó d mora ambtal s ralc, d modo qu prmazca ta b como la stuacó cal. a mdaa: Es la suma d dro csara para qu u dvduo sté l umbral d dfrca tr matr l uso dl rcurso o srvco ambtal rucar a llo (dotado por C ); s dcr P v p C ; q v p, ; q. 5, Por lo tato, ha u 5% d probabldads qu u dvduo sté dspusto a pagar la suma ofrcda. D sta mara, la fucó v p, C ; q v p, q ; P. Así qu, vc F v C. 5 v s xprsaría como Tato para l caso logt, como l caso probt, tmos qu. 5 cosgut, v C F, por. Al aplcars stos cocptos dsarrollados los modlos d utldad drcta s obt las xprsos d la mda la mdaa para las dsttas spcfcacos d v, tal como s mustra l sgut cuadro: Cuadro.. Mdas mdaas d las formas fucoals d v Modlo Mda Mdaa I C II C E III C E IV C E Fut: Vásquz t al (7), basado Ardla (993). Es prcso sñalar qu la xprsó d la spraza matmátca d las flas II III d 47

50 Cuadro., s dfdo mdat la fucó gradora d momtos d sgú Hama, prsta la forma xp E para l caso dl probt (Vásquz l al, 7). v, dod E para l caso dl logt, s..4. Ssgo hpotétco E los métodos d valoracó d prfrcas rvladas, como s l caso dl método d valoracó cotgt, s pud prstar alguos ssgos la dtrmacó dl vrdadro valor d u dtrmado b /o srvco. Estos ssgos s orga dbdo al hcho qu s plata scaros hpotétcos para capturar la dsposcó a pagar o acptar d u dvduo. Sgú Rra (994), uo d los problmas tórcos qu prmro s plató la costruccó d mrcados hpotétcos fu l dl comportamto stratégco d las rspustas, l cual s produc cuado los custados utlza sus rspustas para ttar flur los rsultados dl studo. Asmsmo, s pud prstar l ssgo d complacca, l cual s gra cuado la prsoa custada, o rvla su vrdadra dsposcó a pagar at la prguta d valoracó, so qu rspod lo qu supo qu spra la otra prsoa. Ua mara d mmzar stos ssgos s cosdrar u formato baro o dcotómco, rstrgdo al custado solamt a acptar o dgar u moto d pago qu s l plata, a dfrca dl formato abrto (op-dd), dod l custado rvla u dtrmado valor motaro d mara drcta. Rra (994) mcoó qu ua solucó tórca al problma dl ssgo stratégco, s la d platar la prguta térmos d rfrédum. E prcpo, la valoracó cotgt supo qu los dvduos toma dcsos coómcas basadas úcamt l valor d u b, s mbargo, varos studos (por mplo, Stvs t al, 99; Kotch Rlg, ) ha sugrdo qu los dvduos prsta ua dsposcó a pagar, qu s basa part lo qu los custados cosdra qu s su part usta o su oblgacó moral. os custados també pud 48

51 star dspustos a pagar para obtr la aprobacó d sus pars o d ua "cálda ssacó" asocado co dar. a prsca d ssgos so u problma latt los métodos d prfrcas rvladas, dod la smulacó d u mrcado hpotétco s la bas d la valoracó. Uo d los prcpals ssgos qu s pud prstar la aplcacó dl método d valoracó cotgt s l domado ssgo hpotétco, l cual cosst la o tralzacó dl scaro hpotétco por part d los custados. Sgú Nll t al (994), l ssgo hpotétco s orga dbdo a qu los dvduos usualmt s comporta d forma dstta a la hora d rspodr sobr su dsposcó a pagar los custoaros d valoracó, pus mustra ua maor dspobldad a pagar cuado s ls prsta u scaro hpotétco, comparado a ua stuacó dod fctvamt s t qu ralzar u dsmbolso ral. Así pus, s pud prstar ua sobrstmacó d la DAP los mrcados cotgts atrbuda gra part a u ssgo hpotétco, s dcr, ua stuacó dod l scaro hpotétco o fu tralzado como ral por l custado. D acurdo a abadra (7), l ssgo hpotétco pud sr rducdo s los trvstados td compltamt la stuacó platada s ls prsta u scaro críbl prcso. Para llo, s covt qu l srvco ambtal sa dfdo putualmt qu o dé lugar a ambgüdads o gralzacos. Sgú Champ Bshop (), Rad Navrud (), Cummgs Talor (999), a mdda qu s ls pd a los custados u vl d compromso más alto o u vl más alto d crtza, su DAP hpotétca s acrca al pago ral. Ua d las téccas para rducr l ssgo hpotétco s l domado Chap Talk, cuo ombr fu acuñado por Cummgs Talor (999). Esta técca cosst corporar u párrafo qu xplca l problma dl ssgo a los partcpats l studo ats d admstrar los custoaros d valoracó. os studos más rprstatvos qu dmostraro la valdz dl Chap Talk ha sdo cutados su maoría paíss dsarrollados (Cummgs Talor, 999; st, ; Brow t al 3; usk, 3; Murph t al, 5). 49

52 E l Prú, l studo ralzado por Maturaa Ptado (3) domado Valdacó mtodológca dl Chap Talk su aplcacó la valoracó coómca por la rduccó d gass fcto vradro Prú, cotró qu la hrramta custó tuvo ua fluca sgfcatva (crca d 5%) dsmudo l ssgo hpotétco custas d valoracó cotgt, stmádos ua dspobldad a pagar promdo d la poblacó d ma por rducr la msó d gass fcto vradro d S/ sols (.6 dólars) por prsoa por smaa..3. Bootstrappg.3.. Dfcó El bootstrappg (o bootstrap) s u método computacoal propusto por Bradl Efro 979, qu cosst stmar mddas d prcsó d stmadors stadístcos. Ua mustra bootstrap x x,..., x s obtda mustrado alatoramt co, rmplazo lmtos d la mustra orgal B vcs, por lo qu s podrá stmar stadístcos d cada ua d las mustras bootstrap. x x x (,,..., ) ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ). ( x, x,..., x ) B B B B B Fgura.3. Procdmto dl método bootstrap os problmas d frca stadístca frcutmt mplca stmar alguos aspctos d la dstrbucó d probabldad F basado ua mustra alatora obtda d F. a fucó d dstrbucó mpírca, qu s dotará como F, s ua stmacó smpl d la fucó d dstrbucó F, por lo qu mdat F s podría stmar prcpo alguos aspctos trsats d F, como su mda, mdaa o corrlacó. E sto cosst l prcpo plug-, sdo l bootstrap ua drcta aplcacó d st prcpo. 5

53 a fucó d dstrbucó mpírca S s t ua mustra alatora d tamaño d ua dstrbucó d probabldad: F x x,...,, x a fucó d dstrbucó mpírca s dfda como ua dstrbucó dscrta qu asga probabldad para cada valor x, dod,,...,. E otras palabras, F asga a u couto A l spaco mustral d, su probabldad mpírca: #{ x A} Prob{ A} l cual s dfda como la proporcó d obsrvacos d la mustra x x,..., qu ocurr A. Por mplo, ua mustra d lazamtos d u dado, los rsultados,, 3, 4, 5 6 ocurr 7, 5,,, 5, rspctvamt, por lo tato, la dstrbucó mpírca s.7,.5,.,.,.5,.., x a dstrbucó mpírca s ua lsta d valors tomados ua mustra x x x,..., co la proporcó d vcs qu cada valor ocurr. E l mplo d, lazamto d los dados, l vctor d frcucas obsrvadas F f, f,..., stadístca sufct d la vrdadra dstrbucó F f f,...,, s ua f f. Esto sgfca qu toda la formacó sobr F cotda s també cotda F. Asmsmo, l prcpo d sufcca asum qu los datos ha sdo grados a partr d ua mustra alatora d ua dstrbucó F. Asmsmo, l prcpo plug- s u smpl método d stmacó d parámtros a partr d la mustra. Por lo tato, l stmador plug- d u parámtro tf por: tf E otras palabras, s stma la fucó tf mdat la msma fucó d dstrbucó mpírca F, 5 s dfdo d la dstrbucó d probabldad F tf. Por cosgut, l

54 prcpo plug- s utlzado para la stmacó d f k por f k..3.. Estmacó bootstrap dl rror stádar a stmacó dl rror stádar mdat bootstrap t la vtaa d sr compltamt automátco, dbdo a qu o rqur d cálculos tórcos. os métodos bootstrap dpd d la ocó d mustra bootstrap. S F s la dstrbucó mpírca co probabldad para cada valor obsrvado x dod,,...,, la mustra bootstrap srá dfda como ua mustra alatora d tamaño obtda a partr d F, s dcr: F x, x,..., x D modo qu, por cada couto d datos bootstrap s obt ua rplcacó bootstrap d, s dcr: a stmacó l stmador bootstrap d s s s l rsultado d aplcar la fucó s a. E coscuca, s F, s l stmador plug- qu usa la fucó d s s dstrbucó mpírca F lugar d la dscoocda dstrbucó F, dod l rror stádar d ua stadístca. Espcífcamt dcho stmador bootstrap sra dfdo por: s F Por lo tato, l algortmo bootstrap para la stmacó dl rror stádar s l sgut: F Slccoar B mustras bootstrap dpdts B,,...,, cada ua compusta por valors obtdas co rmplazo d. Evaluar las rplcacos bootstrap corrspodt a cada mustra bootstrap B b s, dod b,,..., B. Estmar l rror stádar sê B para la mustra mdat la dsvacó stádar d las B rplcacos: 5

55 B b. sê B b B dod, B. b b B () s F. () s s B B b ( ) (.) b B B ( B ) s B Fgura.4: Estmacó bootstrap dl rror stádar (Efro Tbshra, 993) El límt d sê B, a mdda qu B td al fto, td al stmador bootstrap dal d F s : lm sê B s B F E coscuca, l caso qu B tda a ua catdad fta, l stmador sê B covrg a sf. Esta stuacó s quvalt al caso qu ua dsvacó stádar mpírca td a la dsvacó stádar poblacoal a mdda qu l tamaño d mustra aumta. a poblacó st caso s la poblacó d valors s. El stmador bootstrap dal s su aproxmacó sê B so coocdos també F como stmadors bootstrap o paramétrcos, porqu llos so obtdos basados F, l stmador o paramétrco d la poblacó F Aplcacó dl bootstrap rgrsó El bootstrap s pud aplcar a modlos d rgrsó gral qu o t ua solucó matmátca drcta, s dcr, dod la fucó d rgrsó s o lal los parámtros dod usamos métodos d stmacó dfrts al d mímos cuadrados. 53

56 E l caso d la rgrsó lal, l cual tmos putos z,...,, z z, dod cada z stá dfda por la coordada c,, l modlo d probabldad d z, dotado por P z, stá compusto por dos factors (Efro Tbshra, 993): P, F Dod s l vctor d parámtros d los cofcts d rgrsó, F s la dstrbucó d probabldad dl rror. El algortmo gral bootstrap rqur qu s stm P. E prcpo s posbl calcular, mdat los stmadors mímos cuadrados, pro cómo stmamos F? S fura coocdo s podría calcular los rrors c para,,..., stmar F.por su dstrbucó mpírca. D tal forma qu, al o coocrs, s utlza para calcular los rrors aproxmados (rsduals): c Dod c s u vctor p, c c, c,..., cp llamado l vctor prdctor o vctor d covarabls, mtras qu s u úmro ral d la varabl d rspusta. Por otro lado, la stmacó d F part d la dstrbucó mpírca d los rrors dcr:, s F : probabldad para,,..., Tdo P, F, s cooc qu para calcular los stmadors bootstrap co l couto d datos para l modlo d rgrsó lal P z, sgfca lo msmo qu s fura P z rsduals:. Para grar z, prmro s slccoa ua mustra alatora d F,,..., Cada quval a algú rror d los valors co dstrbucó d probabldad F. 54