MECÁNICA ESTADÍSTICA

Transcripción

1 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 MÁIA SADÍSIA IRODUIÓ ROBABILIDAD robabldad s la cuatfcacó d la spraza dl rsultado d u xprmto o vto. S l posbl rsultado d u xprmto s A la probabldad d qu ocurra A s A. l spaco d mustra d u xprmto s u cojuto S d lmtos tals qu cada rsultado dl xprmto corrspod a uo o más lmtos dl cojuto. ARIABL SOÁSIA arabl stocástca o alatora s ua catdad o magtud cuyo valor s u úmro qu s obt como rsultado d u xprmto. Ua varabl stocástca d u spaco d mustra S s ua fucó qu mapa lmtos d S l cojuto d los úmros rals {R} d tal forma qu l mapo vrso d cada trvalo d {R} corrspod co u vto d S. ARIBL SOASIA DISRA osdrmos la varabl stocástca d u spaco d mustra S qu toma l sgut cojuto fto o fto d valors umrabls S x x2.... odmos costrur u spaco d probabldads para S dfdo ua probabldad para cada valor d x. l cojuto d valors d fx s domado la dstrbucó d probabldads d S. La dstrbucó d probabldads fx db satsfacr las sguts codcos. f x y f x S dtrmamos la fucó dstrbucó fx para la varabl stocástca tocs obtmos toda la formacó posbl rspcto d lla. S df l -smo momto d como x f x Alguos momtos t ombrs spcals. l valor d xpctacó d o mda s. La varaza o dsvacó stadar d s df como Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso

2 FAyA Lccatura Químca Físca III año Los momtos d os da formacó rspcto d la forma y d cómo s xtd la fucó dstrbucó fx. ARIBL SOASIA OIUA osdrmos la varabl stocástca la cual toma u cojuto cotuo d valors tal como u trvalo d la rcta ral a b. osdrmos qu xst ua fucó cotua f x tal qu la probabldad d qu adopt u valor l trvalo a b a b sté dada por a b b a f x dx lugo s ua varabl stocástca cotua y f x s la dsdad d probabldad d. La dsdad d probabldad db cumplr co las sguts codcos f x y x dx dod la tgral s xtd sobr todo l rago d. S df l -smo momto d como f x f x dx DISRIBUIÓ D ROBABILIDAD OJUA Sa y Y ambas varabls stocástcas d u spaco d mustra S co valors S x x2... y Y S y y2.... S hacmos l cojuto producto S Y S x y x2 y2... podmos dfr la probabldad dl par ordado x y como x Y y f x y. Dod la fucó f x y s la dstrbucó d probabldad cojuta d y Y. S las varabls stocástcas so cotuas s cosdra la dsdad d probabldad cojuta. La dsdad d probabldad cojuta db satsfacr las sguts codcos f x y y f x y dxdy admás podmos obtr la dsdad d probabldad d f x y sobr todo l rago d Y f x f x y dy Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 2

3 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 ROSOS D MARKO osdrmos u sstma cuyas propdads pud sr dscrptas térmos d ua úca varabl stocástca Y. Sa y t la dsdad d probabldad qu la varabl stocástca Y tga los valors y al tmpo t. 2 y t; y2 la dsdad d probabldad cojuta qu la varabl stocástca Y tga los valors y al tmpo t y y 2 al tmpo t 2. y t; y2 ;...; y t la dsdad d probabldad cojuta qu la varabl stocástca Y tga los valors y al tmpo t y 2 al tmpo t 2... y al tmpo t. Las dsdads d probabldad cojuta so postvas pud sr rducdas aplcado y t ; y t ;...; y t dy y t ; y t ;...; y t y stá ormalzadas y t dy U procso s llamado stacoaro s y t; y2 ;...; y t y t ; y2 ;...; y t para todo y. tocs para u procso stacoaro y t y Itroduzcamos la dsdad d probabldad codcoal y t y la dsdad d probabldad codcoal qu la varabl stocástca / 2 Y tom los valors y 2 al tmpo t 2 s tomo l valor y al tmpo t. Y stá dfda por y t / y t y2 2 y t; y2 y cumpl co la codcó / y t y2 dy2 Itroduzcamos la dsdad d probabldad codcoal cojuta / l y t;...; y t y t ;...; yl tl la dsdad d probabldad codcoal cojuta qu la varabl stocástca Y tom los valors y t ;...; y l t l tdo cuta qu y t;...; y t stá fjos. La dsdad d probabldad codcoal cojuta stá dfda por l y t;...; y t ; y t ;...; yl tl / l y t;...; y t y t ;...; yl tl y t;...; y t La dsdad d dsdad d probabldad codcoal cojuta s mportat cuado xst corrlacó tr los valors d la varabl stocástca a dfrts tmpos sto sgfca qu la varabl stocástca pos algua mmora d su pasado. S mbargo s la varabl stocástco o pos mmora d su pasado las xprsos para la dsdad d probabldad cojuta y la dsdad d probabldad codcoal cojuta s smplfca cosdrablmt. Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 3

4 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 S la varabl stocástca sólo t mmora d su pasado mdato la dsdad d probabldad cojuta / y t;...; y t y t dod t... t toma la forma / y t;...; y t y t / y t y t sto sgfca qu la dsdad d probabldad codcoal para y a t stá totalmt dtrmada por l valor d y - a t - y o stá afctada por los valors qu toma la varabl stocástca los prmros tmpos. U procso como ést qu sólo t mmora d su pasado mdato s llama procso d Marov. La dsdad d probabldad codcoal y t y s llama probabldad d / 2 trascó. U procso d Marov stá totalmt dtrmado por dos fucos y y y t y. or jmplo / 2 3 y t; y2 ; y3 t3 2 y t; y2 2 / y t; y2 y3 t3 3 y t; y2 ; y3 t3 y t / y t y2 / y2 y3 t3 t DSIDAD D ROBABILIDAD ARA SISMAS D ARÍULAS SISMA LÁSIO osdrmos u sstma clásco crrado co 3 grados d lbrtad por jmplo partículas ua caja crrada. l stado dl sstma stá totalmt dfdo por u cojuto d 6 varabls dpdts p q dod p y q rprsta a los vctors p p p2... p y q q q 2... q rspctvamt co p l y q l l momto y la poscó d la l-sma partícula. S l vctor d stado p q s coocdo para u tmpo dtrmado tocs ést quda dtrmado para cualqur otro tmpo sgú las lys d wto. l amltoao para l sstma d partículas s t lugo la volucó tmporal d las catdads p l y q l l=2... stá dada por las cuacos d amlto dp dq p y q dt q dt p S l amltoao o dpd xplíctamt dl tmpo tocs s ua costat d movmto y sta costat s la rgía total dl sstma. sta caso l sstma s llama cosrvatvo Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 4

5 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 l spaco d la fas d ustro sstma s u spaco d 6 dmsos. Lugo l vctor d stado p q rprsta a u puto l spaco d la fas. omo l sstma volucoa l tmpo y su stado camba l puto dl sstma dscrb ua trayctora l spaco. q t 2 q m t p l p rayctora l spaco d la fas uado s trata co sstmas físcos rals s dfícl spcfcar corrctamt l stado dl sstma. Smpr xst algua crtza codcos cals. or lo tato s útl cosdrar a como ua varabl stocástca troducr la dsdad d probabldad l spaco d la fas t. Dod t d rprsta la probabldad qu l puto d stado s cutr lmto d volum d al tmpo t co d dq... dq dp... dp s l dfrcal d volum l spaco d la fas. Dbdo a qu los putos d stado smpr stá algú lugar dl spaco d fas la dsdad d probabldad cumpl co la codcó d ormalzacó t d dod la tgral s xtd a todo l spaco d la fas. La probabldad d cotrar u puto d stado ua dtrmada rgó fta R dl spaco stá dada por R t d. R Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 5

6 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 SISMA UÁIO uado s studa u sstma d partículas cuátcas s covt trabajar co l oprador dsdad d probabldad t. l oprador dsdad s u oprador hrmtao dfdo postvo y pud sr usado para cotrar l valor d xpctacó d u obsrvabl ua dtrmada rprstacó. osdrmos l cojuto d los autostados dl oprador dsdad y sus p co p dado qu t s dfdo postvo lugo podmos scrbr l oprador dsdad como t p t t rspctvos autovalors dod p s la probabldad d cotrar al sstma l stado codcó p. l valor d xpctacó d cualqur oprador s O t r O t p t O t qu cumpl co la dod r sgfca la traza d la matrz. S cosdramos u cojuto d stados compltos ortoormals los cuals o so autostados dl oprador dsdad tocs la probabldad t d qu l sstma sté l stado al tmpo t stá dada por l valor d xpctacó dl oprador dsdad dcho stado t t p t t l valor d xpctacó dl oprador Ô valuado rspcto d rprstacó O t r O t O t La catdad t s doma la matrz dsdad. FUIÓ D SRUURA alculmos l volum qu ocupa los putos d stado l spaco d fas qu pos rgía mor qu o sa la rgó dl spaco d la fas qu cumpl co la codcó Ê rprstamos a st volum como. d ara aalzar sta tgral asumamos qu l spaco d la fas pud star dvddo capas cada ua co dfrt rgías y qu las capas pud sr acomodadas ord d rgía dcrct. Lugo la drvada d st volum rspcto d la rgía os da l ára suprfcal d cada capa d rgía també llamada fucó d structura. Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 6

7 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 d d ROÍA La tropía s ua catdad trmodámca postva adtva y qu toma u valor máxmo u stado d qulbro trmodámco. xst varas formas fucoals d lgr sta catdad osotros usarmos la xprsó d Gbbs S log d dod s la costat d Boltzma y s coloca para obtr las udads corrctas. ara u sstma cuátco la tropía d Gbbs toma la forma S r l dod la traza dl oprador dsdad s toma sobr u cojuto ortogoal complto d stados d bas OJUOS SADÍSIOS OJUO MIROAOIO U cojuto mcrocaóco s u sstma aslado y crrado lo qu sgfca qu l sstma pos u úmro d partículas fjas qu ocupa u volum l spaco d cofguracos y qu los putos d stado s cutra rstrgdos a ua suprfc d rgía costat ; dbdo al prcpo d crtza d sbrg cosdrarmos qu los putos d stado s cutra ua capa d rgía dod podmos tomar ta pquño como quramos. ara obtr la dsdad d probabldad d qulbro dbmos cotrar u xtrmo d la tropía d Gbbs sujta a la codcó d ormalzacó d la dsdad d probabldad la tgral stá rstrgda sólo a la capa d rgía ya qu la dsdad d probabldad fura d allí s cro. Utlcmos l método d multplcadors d Lagrag para cotrar l xtrmo d la tropía; como tmos ua solo rstrccó tmos u solo multplcador. cstamos qu la sgut varacó sa cro l d qu os quda d Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 7

8 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 d l dado qu la varacó s arbtrara la tgral srá cro s l tgrado s cro lugo l co lo cual K s paraotroscasos dod K s ua costat y s pud calcular a partr d la codcó d ormalzacó. Lugo s paraotroscasos dod s l volum d la capa d rgía dod s la fucó d structura. La tropía quda S l dod t las msmas udads qu y o pud sr dtrmada cláscamt lugo dbmos rcurrr a la mcáca cuátca dod cotramos qu para partículas 3 3 dstgubls h y para partículas dstgubls! h. omo h l volum s l volum d u úco stado l spaco d la fas rprsta l úmro total d stados la capa d rgía. La tropía s la cuacó fudamtal para l sstma ya qu a partr d lla podmos drvar todas las propdads dl sstma por jmplo la tmpratura stá dada por ; la prsó por ; y l potcal químco por S S ara sstmas cuátcos dbmos cotrar u cojuto d stados rspcto d los cuals la matrz d dsdad sa dagoal. D tal forma qu la tropía sa dod S r l l s la probabldad d cotrar l sstma l stado. La codcó d ormalzacó toma la forma r S Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 8

9 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 S cosdramos qu l úmro total d stados co rgía s obtmos y S l OJUO AÓIO U cojuto caóco s u sstma crrado l cual la rgía total dl sstma fluctua lo qu sgfca qu l sstma pos u úmro d partículas fjas qu ocupa u volum l spaco d cofguracos. or lo tato cstamos cotrar la dsdad d probabldad para la rgía total y qu s corrspoda co u xtrmo d la tropía. Las rstrccos d ustro sstma so dos la ormalzacó d la dsdad d probabldad todo l spaco d la fas d y qu la rgía total tom u valor mdo fjo d Itroduzcamos u sgudo multplcador d Lagrag corrspodt a u xtrmo d la tropía co las codcos d rstrccó l d dod obtmos la codcó para l xtrmo l Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso 9 para calcular la varacó lugo Z xp d dod Z s doma la fucó partcó dl cojuto. Multplqumos la codcó d xtrmo por tgrmos todo l spaco. Obtmos d d d l s dtfcamos l valor mdo d la rgía co la rgía tra dl sstma obtmos l Z v U S rcordado qu la rgía lbr d lmholtz s scrb como A U S podmos dtfcar a y A l Z co lo cual podmos scrbr la fucó partcó como U

10 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso d Z dod y rscrbmos la dsdad d probabldad Z La rgía lbr d lmholtz s la cuacó fudamtal para u sstma crrado ya qu la tropía stá dada por A S la prsó s obt co A y l potcal químco co A. ara u sstma cuátco l oprador dsdad quda A y la fucó partcó A r Z dod la traza s valúa co rspcto d u cojuto d stados co bas ortoormals covts. OJUO GRA AÓIO U cojuto gra caóco s u sstma abrto l cual tato la rgía total dl sstma como l úmro d partículas fluctúa. S mbargo para u sstma abrto qulbro vamos a pdr qu l valor mdo d la rgía y l valor mdo dl úmro d partículas sté fjos. La codcó d ormalzacó toma la forma d dod la sumatora s sobr todos los posbls úmros d partículas dl sstma Las codcos d rstrccó so l valor mdo d la rgía d y l valor mdo dl úmro d partículas d troduzcamos u trcr multplcador d Lagrag para calcular la varacó corrspodt a u xtrmo d la tropía co las codcos d rstrccó l d dod obtmos la codcó para l xtrmo

11 FAyA Lccatura Químca Físca III año 26 Mag. arlos Albrto attao Lc. rqu Mart Baso l lugo obtmos la fucó gra partcó d xp multplqumos la codcó d xtrmo por tgrmos todo l spaco. Obtmos l S rcordado qu la cuacó fudamtal para l gra potcal S U podmos dtfcar a ; y l lugo podmos scrbr la dsdad d probabldad como ara u sstma gra caóco la tropía stá dada por S la prsó por y l úmro mdo d partículas por. ara u sstma cuátco l oprador dsdad quda dod s l oprador úmro d partículas y la fucó partcó quda r Z dod la traza s valúa rspcto a u cojuto d stados co bas ortoormals covts.