Desigualdades. ElenadeOteyzadeOteyza

Transcripción

1 Desigualdades ElenadeOteyzadeOteyza

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3 Índice general 1 Desigualdades 1 El orden en los números reales Intervalos Ejercicios 9 Desigualdades 9 Ejercicios 16 Desigualdadesylasexpresionesracionales 16 Ejercicios 3 Valorabsoluto 3 Ejercicios 7 Desigualdades y valor absoluto 7 Desigualdades y recta 3 Ejercicios de repaso 3 0

4 Capítulo 1 Desigualdades 1

5 Desigualdades Elordenenlosnúmerosreales Cuando discutimos sobre la belleza de dos artistas de cine, no siempre llegamos a un acuerdo, en gustos se rompen géneros ; en cambio, dados dos números reales, siempre podemos decidir cuál de ellos es mayor, por ejemplo, 7 Estoejemplifica la propiedad conocida como tricotomía Cuando comparamos a tres equipos de fútbol, tampoco podemos decir siempre cuál es el mejor Por ejemplo, en un torneo de todos contra todos, los Pumas le ganaron a las Aguilas, las Aguilas le ganaron a las Chivas y las Chivas le ganaron a los Pumas, así que no podemos decidir cuál es mejor En cambio, con los números no hay tal ambigüedad, por ejemplo, como sabemos que 7 y 7 9, sin pensarlo más sabemos que 9 Esdecir,elordenenlos números naturales es transitivo Si Cristina es mayor que su hermano Juan, entonces dentro de cinco años, Cristina seguirá siendo mayor que Juan, es decir, si a la edad de ambos le sumamos, el orden no se altera Si un refresco es más barato que una bolsa de papas y, debido a la inflación, el año próximo el precio de ambos se multiplica por, entonces el refresco seguirá siendo más barato que la bolsa de papas Para poder comparar los números, debemos establecer sin ambigüedad un orden entre ellos Para ello, hacemos lo siguiente: Definición Dadosdosnúmerosreales y, decimosque es menor que si al colocarlos en la recta, quedaalaizquierdade, y escribimos,queselee es menor que o es mayor que a Figura 1-1 Otra manera de escribir es,encuyocasoleemos es mayor que Escribimos para indicar que,obien =, yleemos es menor o igual que Ejemplos 7 canicas son más que 3 canicas $10 es menor que $, (se tiene menos dinero cuando se debe 10 que cuando se debe ) 4 Cesmenorque C, ya que es más alta la temperatura a Cquea 4 C Podemos escribir las desigualdades anteriores así: b

6 Desigualdades 3 Propiedades de orden de los reales El orden en los reales satisface las siguientes propiedades: Tricotomía Dados y números reales, se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones,, = Decir que es positivo equivale a decir que 0; yque es negativo equivale a decir que 0 Transitividad Si y, entonces Es decir, si estáalaizquierdade y está a la izquierda de, entonces está a la izquierda de Relación con la suma Si y es cualquier entero, entonces + + Multiplicación por un número positivo Si y es cualquier entero positivo, entonces (No se altera el sentido de la desigualdad) Multiplicación por un número negativo Siy 0 entonces (Se invierte el sentido de la desigualdad) Ejemplos 1 Verificar la transitividad cuando = 8, =7y =1 Debemos verificar que: si y,entoncesenefecto 8 7 y 7 1 entonces 8 1 Multiplicar 3 por 4 Al multiplicar una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se altera, así que 3 3(4) (4) 1 0

7 4 Desigualdades 3 Multiplicar 3 por 6 Puesto que vamos a multiplicar por un número negativo, debemos recordar que al hacerlo se debe intercambiar el signo por Entonces 3 ( ) ( 6) 3( 6) Mostrar que la desigualdad se puede obtener a partir de la desigualdad Puesto que 11 17, multiplicando por ( 1) a ambos lados de la desigualdad tenemos: oloqueeslomismo, ( 1) 17 ( 1) 11 17, Escribir 19 como la suma de un número entero y fracciones distintas que tengan el número 1 en el numerador Como 19 entonces escribimos el número como un número entero más una fracción: 19 =3+4 Los números racionales que tienen un uno en el numerador son: Comparamos 4 con 1 utilizando los productos cruzados 4() = 8 (1) = ycomo8, entonces 4 1

8 Desigualdades Calculamos 4 1 4() (1) = 10 = 8 10 = 3 10 Así 19 = Ahora comparamos 3 10 con 1 3 3(3) = 9 10 (1) = 10 de manera que 9 10, entonces Como 3 10 es menor que 1 3, entonces comparamos 3 10 con 1 4 : así 1 10 Calculamos 3(4) = 1 10 (1) = (3) (1) = 0 = 6 0 = 1 0 Por tanto, 19 = Intervalos Para definir intervalos utilizamos la notación de conjuntos

9 6 Desigualdades Si,elconjunto ( ) ={ R } se llama intervalo abierto y lo representamos geométricamente como a ( ) b Figura 1- Si y están incluidos en el conjunto, es decir, [ ] ={ R } se llama intervalo cerrado y lo representamos geométricamente como [ ] a b Figura 1-3 Un intervalo es semiabierto si contiene sólo uno de los dos extremos, es decir, [ ) ={ R } y lo representamos como a [ ) b Figura 1-4 obien y lo representamos como ( ] ={ R } a ( ] b Figura 1- Utilizamos el símbolo para representar infinito ; no es un número real y no satisface lasreglasdelasumayelproductodelosnúmerosreales

10 Desigualdades 7 Si R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos por ( ) ={ R }, lo representamos geométricamente como a ( y lo llamamos el rayo que parte de Figura 1-6 Si R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos por ( )={ R } y lo representamos geométricamente como a ) Figura 1-7 Éste es también un rayo que llega a pero que se extiende en dirección contraria al del inciso anterior De la misma manera que antes, si queremos que el punto esté incluido, escribimos y lo representamos como [ ) ={ R } a [ Figura 1-8 o y lo representamos como ( ]={ R } Figura 1-9 a ]

11 8 Desigualdades Utilizando las operaciones de conjuntos podemos hablar de uniones e intersecciones de intervalos Ejemplos 1 Encontrar ( ) [1 7] ( ) [ ] ( [ ) ] Figura 1-10 Un número está en la intersección si está en ambos intervalos ( ) [1 7] = [1 ) Escribir usando notación de intervalos, { R } { R 1 } ( ) ( ( Figura 1-11 Un número está en la unión si está en alguno de los intervalos, es decir, si está en uno de los intervalos, en el otro o en ambos { R } { R 1 } = { R } = ( ) ( 1 ) = ( )

12 Desigualdades 9 Ejercicios Determinar la unión y la intersección de los siguientes intervalos 1 ( 0) y ( 4) (1 63) y (3 7) 3 ( ) y (13 7) 4 7 y Desigualdades Reinaldo obtuvo como calificaciones en los primeros cuatro exámenes: 71, 84, 8 y 93 Sólo falta efectuar un examen y para aprobar el curso sin presentar el examen final, es necesario que el promedio de los cinco exámenes sea mayor o igual que 8 Cuál es la menor calificación que debe obtener Reinaldo en el quinto examen para poder quedar exento? Llamamos alacalificaciónquefaltaelpromediodetodaslascalificaciones es: Dichopromediodebesermayor oigualque8, así que escribimos la desigualdad Para resolverla multiplicamos por ambosmiembrosyobtenemos: 38+ (8) Sumamos 338 aambosladosdeladesigualdad En el quinto examen, Reinaldo debe obtener por lo menos 7 de calificación Una desigualdad en la que aparecen variables también se conoce como inecuación Como en el caso de las igualdades, la expresión que aparece a la izquierda del símbolo de desigualdad se llama primer miembro y la que aparece a la derecha, segundo miembro

13 10 Desigualdades Resolver una desigualdad algebraica significa encontrar los valores numéricos que, cuando sustituyen a las variables, la hacen cierta Para manipular desigualdades algebraicas utilizamos las propiedades de la suma y el producto de los números reales, así como las de orden Ejemplos 1 Resolver la desigualdad 9 1 Sumamos 9, en ambos lados de la desigualdad: Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por 1 que por ser positivo no altera el sentido de la desigualdad: 3 1 () 1 ( 3) 3 Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que 3, es decir, 3 Resolver la desigualdad Sumamos 7 en ambos lados de la desigualdad: Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por 1, que por ser 4 negativo invierte el sentido de la desigualdad: ( 4) 1 4 (16) 4 Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que 4, es decir, ( 4)

14 Desigualdades 11 Consecuencias de las propiedades de orden Para despejar la variable de la desigualdad 8 13 seguimos los siguientes pasos: 8 13 Queremos despejar Sumamos el opuesto de 8, esdecir,8 1 Simplificamos En el primer renglón, el 8 está restando en el lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemos sumando en el lado derecho En general, si un término está restando de un lado de una desigualdad,, al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene: Es decir, el término pasa al otro lado de la desigualdad sumando Así: Si,entonces+ Similarmente, si un término está sumando de un lado de la desigualdad, +, al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene: + + Es decir, el término pasa al otro lado de la desigualdad restando Así: Si +,entonces Para despejar la variable de la desigualdad 6 7 seguimos los siguientes pasos: Queremos despejar 1 7 Multiplicamos por 1, que es el recíproco de 6, y 6 6 como es positivo, la desigualdad no se altera Simplificamos En el primer renglón, el 6 está multiplicando del lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemos dividiendo del lado derecho

15 1 Desigualdades En general, si un término positivo está multiplicando de un lado de una desigualdad, entonces al multiplicar por su recíproco de ambos lados de la desigualdad y simplificar: 1, 1 el término pasa al otro lado de la desigualdad dividiendo Por tanto, Si y 0, entonces De manera similar, si un término positivo está dividiendo en un lado de la desigualdad, al multiplicar por él, ambos lados de la desigualdad se obtiene: () () El término pasa al otro lado de la desigualdad multiplicando Por tanto, Si y 0, entonces Si tenemos la desigualdad, y 0, entonces al multiplicar por el recíproco, la desigualdad cambia de sentido, por lo que, Si y 0, entonces Es decir, el término pasa al otro lado de la desigualdad dividiendo y cambia el sentido de la desigualdad De la misma manera, Ejemplos Si y 0, entonces

16 Desigualdades 13 1 Resolver 7 9 Despejamos (El pasa sumando) (Simplificamos) De donde 7 (3) (El 9 pasa multiplicando, y el 7 pasa dividiendo sin cambiar el sentido de la desigualdad) (Simplificamos) 0 ( 4 6 Figura 1-1 Resolver Despejamos : de donde Resolver Tenemos que resolver dos desigualdades: y

17 14 Desigualdades Es decir, y ( 4] de donde 1 ( 4], ] ] 4 1 ] Figura 1-13 es decir, 1 4 Resolver Tenemos que resolver dos desigualdades: +67 y Es decir, ( 04) y [ 03 )

18 Desigualdades 1 de donde ( 04) y [ 03 ), 1 03 [ 1 03 [ 1 03 ) ) Figura 1-14 es decir, ( 04) [ 03 ) =[ 03 04) La suma de dos números enteros pares consecutivos y positivos es a lo más 4 Encuentra dichos números Llamamos y +a los enteros pares consecutivos Planteamos la desigualdad: Ahoralaresolvemos: +( +) 4 +( +) Así, =1,, 3, 4 o, y entonces los números que satisfacen la desigualdad son:

19 16 Desigualdades Ejercicios Resolver las siguientes las desigualdades Un cartero parte de la oficina postal llevando en su bolsa cierto número de sobres Al mediodía ha repartido 134 sobres y en su bolsa quedan menos de 38 sobres por repartir Cuál es el mayor número de sobres con los que pudo haber salido de la oficina? Desigualdades y las expresiones racionales El cociente, del menor entre el mayor, de dos enteros impares consecutivos es mayor oiguala Encontrar los números Llamamos a los enteros impares consecutivos +1 y +3 Formamos el cociente del mayor entre el menor: yéstedebesermayoroiguala, es decir, Para resolver esta desigualdad debemos considerar dos casos: Si +3 0, entonces 3,esdecir, 3 y +1 ( +3)

20 Desigualdades 17 de donde Es decir, 3 = Si +3 0, entonces 3, es decir, 3 y +1 ( +3) de donde Es decir, = 3 De donde, 3 = 3 =[ 1) pero como es un entero entonces = Portanto,elcocientees: ( ) + 1 =3 ( ) + 3 Ejemplos 1 1 Resolver + 4 Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha Como no sabemos si +es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos Supongamos + 0 es decir Así ( ) Como + es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido 1 4( +)

21 18 Desigualdades de donde 9 ( ) = 4 En este caso la desigualdad no tiene solución Supongamos + 0 es decir Así ( ) Como + es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido 1 4( +) de donde es decir Por tanto, la desigualdad ( ) 94 = se satisface para 9 4 es decir 94 =( ) Y X Figura Resolver 4 3

22 Desigualdades 19 Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores Sabemos que 3 es positivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si 4 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos Supongamos 4 0, o sea 4, entoncesalpasarlaexpresión 4 multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido ( +) ( 4) Por tanto, debemos tener: 4 y 13, ) 13 0 Figura 1-16 ( 4 Pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones Esto significa que ningún número 4 es solución de la desigualdad original Supongamos 4 0, esdecir,4, entonces al pasar multiplicando esa expresión

23 0 Desigualdades al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido ( +) ( 4) De donde, 4 y 13, Podemos escribir esto como: 13 4 ( 13 0 ) 4 Figura 1-17 Por tanto, si Resolver Primer método: Para resolver esta desigualdad debemos quitar denominadores Sabemos que 3 es positivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si +es positivo o negativo, por esto es necesario considerar dos casos Si + 0, entonces al pasar multiplicando +al otro lado de la desigualdad,

24 Desigualdades 1 ésta no cambia de sentido: ( 3) y como estamos suponiendo que: + 0, entonces: Podemos escribir esto como: y ( ) 0 Figura Si + 0, entonces al pasar multiplicando +al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido ( 3) Entonces como: + 0, debemos tener: y 11,

25 Desigualdades ) ( 0 Figura 1-19 pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones Por tanto, Segundo método: Resolvemos primero la ecuación: si = 1 3 En primer lugar, nos damos cuenta que la expresión de la izquierda no está definida para = La solución de la ecuación es: 3 + = 1 3 3( 3) = + = 11 Los puntos donde no está definida la ecuación y donde se satisface la igualdad dividen a la recta en tres intervalos, como lo muestra la figura Figura 1-0 En cada uno de estos intervalos todos los puntos satisfacen la desigualdad original o ninguno la satisface La razón de esto es que si en alguno de estos intervalos un punto 1 satisface la desigualdad y otro la desigualdad contraria, habría un punto 3 intermedio y, por tanto, dentro del mismo intervalo en donde se satisface la igualdad, lo cual no es cierto, ya que el único punto donde se satisface la igualdad es 11 La justificación formal de este argumento, conocida como el teorema del valor intermedio, está fuera del alcance de este libro, pues requiere del concepto de continuidad, que es un tema que se ve en el curso de cálculo diferencial e integral Sin embargo, creemos que intuitivamente es bastante claro para poder utilizarlo aquí Elegimos un punto en cada intervalo, por ejemplo, 3 ( ), 0 11, 3 11

26 Desigualdades 3 y evaluamos la expresión en ellos: En = 3 tenemos: ( 3) 3 ( 3) + =9, que no satisface la desigualdad, así que en ningún punto de ( ) se satisface En =0tenemos: (0) 3 (0) + = 3, se satisface la de- quesíesmenorque 1 3, así que en todo el intervalo 11 sigualdad En =3tenemos: (3) 3 (3) + = 3, que no es menor que ,asíqueenningúnpuntodelintervalo se satisface la desigualdad Por tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo 11,esdecir, 11 Ejercicios Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o cero, se tiene: ½ si 0 = si 0

27 4 Desigualdades a a a a a 0 a a 0 a Si a >0 Si a <0 Figura 1-1 Recuerda que si 0, entonces 0 Es claro que = pues dista de 0 lo mismo que su simétrico Observación: La letra representa un número que puede ser positivo, negativo o cero Por consiguiente no es necesariamente un número negativo, y podremos decidirlo hasta que sepamos que número representa Ejemplos 1 Si = 3 4 entonces = 3 4 Si = 16 entonces =16 3 Si =0entonces =0 Observaciones: El valor absoluto de cualquier número es no negativo no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si = 8, entonces queespositivo = ( 8) = 8 Algunas propiedades del valor absoluto Si y son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades: = = =,donde denota la raíz no negativa de, para cualquier número 0 =

28 Desigualdades = Ejemplos 1 11 = 11 =11 1 =( 1) =144 3 = = = 8 1 = = 7 = Resolver la ecuación =7 Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos: Si 0, entonces =, de donde =7 Si 0, entonces =, dedonde =7Así, = 7 Por tanto =7y = 7 satisfacen la igualdad Esto era de esperarse ya que 7 y 7 son los únicos puntos cuya distancia al cero es Figura 1-7 Resolver la ecuación + + =0donde, y son números dados y 6= 0 Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto Primero factorizamos el coeficiente de : Despejamos el término independiente + + = = = 0 + =

29 6 Desigualdades El número que completa a + como trinomio cuadrado perfecto es,así: + + = = + 4 Efectuando la suma de la derecha obtenemos: = 4 + = = 4 + = 4 s + = 4 + = 4, así que, de donde + = 4 o + = 4 + = 4 o + = 4 Con lo cual obtenemos las soluciones: = + 4 o = 4 Podemos escribir brevemente lo anterior como: = ± 4 La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado

30 Desigualdades 7 Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones 1 + =3 4 = = =10 = 1 Desigualdades y valor absoluto En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero el tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros El ancho requerido es de 1 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de, alomás,004 cm Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado el control de calidad? Llamamos al ancho de un cuaderno El defecto en el ancho del cuaderno es la diferencia: 1 Como el cuaderno puede ser más ancho o más angosto, entonces consideramos el valor absoluto de la diferencia anterior Dicho error puede ser de, a lo más, 004 cm, es decir, Para resolver esta ecuación primero quitamos el valor absoluto: ½ 1 si = ( 1) si 1 0 Ahora resolvemos las desigualdades: Si 1 0, entonces

31 8 Desigualdades Si 1 0 entonces ( 1) Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho está entre 146 y 14 cm Propiedades del valor absoluto 1 Si y 0 entonces Observa en la siguiente figura, que los puntos que satisfacen que su distancia al origen es menor que son los que se encuentran a la derecha de y a la izquierda de ( ) -k k Figura 1-3 Veamos cómo justificar esto: Si 0 entonces = de donde así entonces De manera que es decir

32 Desigualdades 9 Si 0 entonces de donde es decir, Esto implica que entonces De manera que Por tanto, = Si entonces o Los puntos cuya distancia al origen es mayor que son los que están a la derecha de o bien los que se encuentran a la izquierda de ) -k Figura 1-4 ( k Veamos cómo justificar esto: Si 0 entonces Si 0 entonces de donde Por tanto, = = o Ejemplos

33 30 Desigualdades 1 Resolver Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos, por ser un número positivo, que: es decir, Resolver Si +4 0, entonces no hay solución 3 7 Si +4 0, entonces 4, esdecir, [ 4 ) y: ( +4) y Así, para que sea solución, tiene que cumplir que: 4 y 3 1 Observamos que si satisface que 3 1, entonces también satisface que 4 Así, todas las soluciones de la desigualdad son 3 1, esdecir, Resolver 8 4 Como entonces no tiene solución y 8 4

34 Desigualdades 31 3 Resolver Utilizando la propiedad del valor absoluto, tenemos: Así, es solución si satisface que 6 o 1, es decir, 1 (6 ) o 6 (4 +7) Resolver Como y entonces se cumple para todo R Resolver 1 Si 1 0, entonces no hay solución, ya que es siempre mayor o igual que 0 Si 1 0, entonces 1, es decir, 1 y: ( 1) y Así, para que sea solución, tiene que cumplir que: 3 7 y 1 y 1 3 Pero ,

35 3 Desigualdades así que no existe un real que satisfaga solución y por tanto, la desigualdad no tiene Desigualdades y recta Una ecuación del tipo = + representa la ecuación de una recta Dos personas están en un valle atravesado por un río Es claro que las dos personas están del mismo lado del río, si pueden caminar una hacia la otra hasta encontrarse sin atravesar el río Similarmente, dos puntos en el plano están del mismo lado de una recta, si podemos conectarlos mediante una recta que no corte la recta Están los puntos (3 1) y ( 3) del mismo lado o en lados opuestos de la recta = +4? Dibujamos la recta = +4 Véase la figura 1- La gráfica de la recta = +4divide al plano en tresregiones: Los puntos que están en la recta Los puntos que están arriba de la recta Los puntos que están debajo de la recta Y X 4 Figura 1- Sabemos que los puntos que están en la recta son los que satisfacen la ecuación: El punto (3 10) está en la recta: = +4 = +4 Todo punto que esté verticalmente encima de (3 10) tiene por primera coordenada 3 y su segunda es mayor que 10; esdecir,lacoordenada(3) de satisface: +4

36 Desigualdades 33 El punto (3 1) satisface: 1 (3)+4 De la misma manera, si nos movemos verticalmente hacia abajo, la ordenada del puntoescadavezmenor,esdecir, +4 El punto ( 3) satisface 3 ( ) + 4 = 0 Por tanto, los puntos (3 1) y ( 3) están en lados opuestos de la recta Entonces los puntos que están arriba de la recta satisfacen la desigualdad +4 Los puntos que están abajo de la recta satisfacen la desigualdad +4 Y Y Y X 4 X y x 4 y x 4 y x 4 Figura 1-6 X La gráfica de una recta = + divide al plano en tres conjuntos: Los puntos que están arriba de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad + Los puntos que están en la recta, que son los que satisfacen la ecuación = + Los puntos que están abajo de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad + y mx b y mx b y mx b Figura 1-7

37 34 Desigualdades Ejemplos 1 Describir las regiones determinadas por la recta = 1 3 Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 1 3 Los puntos que están en la recta satisfacen = 1 3 Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 1 3 Y Y Y X X X y 1 x 3 y 1 x 3 y 1 x 3 Figura 1-8 Describir las regiones determinadas por la recta = 7 Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 7 Los puntos que están en la recta satisfacen = 7 Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 7 Y Y Y X X X y 7 y 7 y < 7 Figura 1-9

38 Desigualdades 3 Ejercicios de repaso Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha Como no sabemos si 7 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos Supongamos 7 0 es decir 7 Así (7 ) Como 7 es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido de donde 1 6( 7) (7 ) =(7 ) Supongamos 7 0 es decir 7 Así ( 7) Como 7 es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido 1 6( 7) de donde Por tanto, ( 7) 41 = (7 ) Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores Sabemos que es positivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si +8es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos

39 36 Desigualdades Supongamos osea, ( 4 ) Entonces al pasar la expresión +8multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido (4 6) 3( +8) así ( 4 ) ( 18) = ( 4 18) Supongamos osea, ( 4) Entonces al pasar la expresión +8multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta sí cambia de sentido (4 6) 3( +8) de donde ( 4) (18 ) = Por tanto, ( 4 18) =( 4 18)

40 Desigualdades Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores Sabemos que 3 es positivo, por lo que no hay problema ahí, 3 3( 3) Pero no sabemos si es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos Supongamos que 4 0 osea, ( ) Entonces al pasar la expresión multiplicandoalotroladodeladesigualdad,ésta no cambia de sentido es decir, De donde Supongamos que ( ) ( ) 3 = 13 0

41 38 Desigualdades osea, ( ) Entonces al pasar la expresión multiplicandoalotroladodeladesigualdad,ésta sí cambia de sentido de donde, Así ( ) ( ) = 13 Por tanto, = 13 Recordemos que si y 0 entonces Observa en la siguiente figura, que los puntos que satisfacen que su distancia al origen es menor que son los que se encuentran a la derecha de y a la izquierda de Veamos cómo justificar esto: Si 0 entonces ( ) -k k Figura 1-30 = de donde así 0 0

42 Desigualdades 39 entonces De manera que es decir Si 0 entonces de donde es decir, Esto implica que entonces De manera que 0 0 = Por tanto, Ejemplos Primera condición de donde ( 6 )

43 40 Desigualdades Como , entonces debemos resolver ( +1) 3 6 y Resolvemos las desigualdades: ( +1) y ( 18) de donde Por tanto, ( 18) 6 = 6 18 ( 6 ) = Primera condición de donde ( ) Como debemos resolver entonces (3 +6) 7 14 y (3 +6) y ( )

44 Desigualdades 41 de donde Por tanto, 4 4 ( ) = 4 4 ( ) = Primera condición de donde [ ) Debemos resolver ( +10) 4 8 y así ( +10) y ( 9] de donde 13 ( 9] = 13 9 Por tanto, [ ) =

45 4 Desigualdades Primera condición 1 es decir 4 Debemos resolver (4 1) +6 y de donde (4 1) y ( 7) así 14 ( 7) = Por tanto, 1 4 = es decir, la desigualdad no tiene solución Recordemos que: Si entonces o Los puntos cuya distancia al origen es mayor que son los que están a la derecha de obien los que se encuentran a la izquierda de Veamos cómo justificar esto:++ ) -k Figura 1-31 ( k Si 0 entonces =

46 Desigualdades 43 Si 0 entonces de donde = Por tanto, o Ejemplos Como y entonces y esto siempre se cumple Por tanto, la desigualdad se cumple para todo R Debemos resolver o Resolvamos las desigualdades: o Por tanto,

47 44 Desigualdades Debemos resolver o +8 (7 13) Resolvamos la primera desigualdad: de donde 1 Ahora resolvemos la segunda desigualdad +8 (7 13) así 9 Por tanto, 1 = Para resolver la desigualdad consideramos o 8 +9 (6 +3) de donde ( 3 ) o 8 +9 (6 +3)

48 Desigualdades 4 así ( 3 ) 6 = R Para resolver la desigualdad consideramos 4 10 o 4 10 ( ) así de donde o 4 10 ( ) ( 1 ) 9 ( 1 ) =( 1 ) Para resolver la desigualdad consideramos o 9 (3 11) así de donde ( ) o ( ) ( 1) = ( ) 9 (3 11) ( 1)