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Transcripción

1 Unidad Resolución de triángulos generales! 11!" Demuestra estas identidades: 1 1 (a) + sec (b) (1 - )(cosec + cotg ) sen cot g + cot gβ (c) tg( + β) cot g cot gβ 1 (a) Partimos del primer miembro: (1 + ) (1 ) sen cos sec! Hacemos la suma ( teniendo en cuenta que el denominador común es el producto de denominadores )! Arriba reducimos los senos ( que son cero por tener signo opuesto) y abajo es una suma por una diferencia que es diferencia de cuadrados ( (a+b) (a-b) a b ).! De la ecuación fundamental.! Definición de secante. (b) Partimos del primer miembro : 1 (1 )(cos ec + cot g) (1 ) + (1 ) (c) Partimos del segundo miembro : sen cot g + cot gβ cot g cot gβ tg tgβ 1 1 tg tgβ tgβ + tg tg tgβ tg tgβ tg tgβ tg + tgβ tg( + β) tg tgβ!# Calcula la altura en la Figura, utilizando la identidad [IT0]. tg tg tg Si aplicamos la definición de la tangente en los dos triángulos : opuesto 5 opuesto tg y tg contiguo contiguo Sustituyendo aora estas dos epresiones en la primera igualdad tendremos una ecuación de segundo grado, en, que resuelta nos dará el valor de buscado :

2 Unidad Resolución de triángulos generales! ( 5) ( 5) '66!$ Halla todas las soluciones de las ecuaciones: (a) sen 1 (b) -1 (c) tg 3 Eprésalas en grados y en radianes. (a) 1 arc sen1 90º π / rad. (b) -1 arc cos º π rad. (c) tg 3 arctg 3 π 60º rad 3 π 0º rad 3!% Mirando a lo alto de un rascacielos lo vemos con un ángulo de elevación de 60. Con qué ángulo de elevación lo veríamos desde una distancia doble? Ya emos visto problemas similares, es una variante del típico problema de doble observación, aplicamos la definición de la tangente a los dos ángulos el conocido y el desconocido : En el triángulo BCD : tg 60º (1) d En el triángulo ACD : d 3 tg () Despejamos de (1) d tg60 d 3 y lo sustituimos en () : tg d d 3 Sólo nos queda allar, con la calculadora el ángulo cuya tangente tiene ese valor :

3 Unidad Resolución de triángulos generales! 13 3 arctg 0º53'36''!& A un ebanista le an encargado un tablero triangular con dos lados de longitudes 1 m y 1,75 m, y el ángulo opuesto al primero de 30, y no sabe qué acer. Por qué? Porque no tiene datos suficientes para cortar el tablero, le falta un dato : otro ángulo u otro lado para que el problema esté determinado.!' Los árboles más altos del mundo se encuentran en el Parque Redwood de California. Estima la altura de uno de ellos a partir de la información de la siguiente ilustración. Otra vez la doble observación : Sea: d tgº tg36º tgº tg36º + 35 tgº altura de los árboles. d distancia de los árboles al primer punto de observación. tgº y tg36º d d + 35 Despejamos d de la primera y lo sustituimos en la segunda ( quizás para ti sea más fácil despejar de las dos, igualar y despejar d, allando después ) : + 35 tgº + 35 tg36º tgº (1'036 1'38) '7 m tgº tg36º 0'3 tg36º 35!( Resuelve la ecuación cos - sen 0,5. cos sen 0'5 sen sen 0'5 sen (0'5 + sen) 1 sen (0'5 + sen) 1± 0'75 1± sen 0'5 + sen + sen sen + sen 0'75 0 sen 7

4 Unidad Resolución de triángulos generales! 1 º17'' ' 5º' sen 0'1 arcsen0'1 ;sen 0'91 arcsen 0'91 155º' 9º17'' ' válidas º 17!) El radar de un buque de guerra detecta un barco enemigo en dirección este a 8 km de distancia y otro en dirección noroeste a 6 km. Cuánto distan entre sí los dos barcos detectados? Como sabemos dos lados c 8 km y b 6 km y el ángulo comprendido A 90º+ 5º 135º, para allar el otro lado a, tenemos que usar el teorema del coseno : a b + c b c cos  cos135º 167'88 13 km "& Dos baterías antiaéreas, distantes km entre sí, disparan a un caza enemigo en el momento en que éste sobrevuela la línea que forman aquéllas. El primero a de dirigir sus disparos con un ángulo de elevación de 70, y el otro con 80. A qué altura vuela el caza? Otro caso de doble observación : tgbˆ tg80º y tgĉ ( ) tg70º, igualando y resolviendo : tg80º ( ) tg 70º ; tg80º tg70º - tg70º ; (tg80º+tg70º) tg70º ; tg70º/(tg 80º + tg 70º ) 75/( ) 1 31 km Y sustituyendo : tg 80º 1 31 tg 80º 7 km. "! Del etremo superior de un poste se tienden dos cables, para amarrarlo al suelo, asta dos puntos que distan 0 m uno de otro. Los cables forman con el suelo ángulos de 75 y 65. Averigua la altura del poste. (Suponemos que el poste y los cables están en un mismo plano vertical). Igual que el ejercicio precedente: tg75º y tg65º 0

5 Unidad Resolución de triángulos generales! 15 Despejamos de ambas e igualamos ( en ejercicios anteriores emos despejado para que veas las dos maneras de acerlo) : De la primera : tg 75º De la segunda ( 0 ) tg 65º (0 - ) 1. Igualando y resolviendo: 3 73 (0 ) 1 ; ; ; ; 89/ m. Sustituyendo : m ( ) m Vemos que aciéndolo de esta manera ay ciertas diferencias ( por las aproimaciones realizadas, cuantos más decimales pongamos menos diferencias abrá ) que son menores si lo acemos como en el ejercicio nº '( AUTOEVALUACIÓN (! %& ) ' Qué razones trigonométricas tienen sus valores comprendidos entre -1 y 1? El seno y el coseno, ya lo emos dico en un ejercicio anterior, pues lo máimo y mínimo que pueden valer es el radio de la circunferencia trigonométrica, y esta tiene radio unidad ( r 1). ) Cuándo se considera positivo un ángulo? Cuando para unir la semirrecta del origen con la del final ay que girar en sentido antiorario ( Ñ ). * Completa estas identidades: (a) sen + cos (b) sen cos β + cos sen β tg tgβ (c) tg tgβ (d) sen ± (e) cos (90 - ) []

6 Unidad Resolución de triángulos generales! 16 (a) sen + cos 1. (b) sen cos β + cos sen β sen(!+ "). tg tgβ (c) tg(! - " ) tg tgβ (d) sen ± (e) cos (90 - ) sen!. + Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, basta conocer un punto de su lado terminal? Sí, si conocemos P (a, b) podemos allar todas las razones ( véase la pág 7 ) % Demuestra la identidad trigonométrica: (tg - cotg ) 1 - cos. Partimos del primer miembro, sustituyendo la tg y cotg en función del seno y coseno : ( tg cot g) cos cos (1 cos ) cos 1 cos, q.e.d. sen cos sen cos cos & Una de estas identidades no es correcta. Cuál? (a) (b) cos sec sec cos cos cos cot g (e) tg 1 cot g

7 Unidad Resolución de triángulos generales! 17 (a) 1 + multiplicando en cruz (1 + ) (1 ) sen cos V (b) sec sec Falsa 1 1 g 1 tg tg ( tg ) (e) tg tg tg ( tg ) tg tg cot 1 cot g Verdadera tg ' Calcula el seno y el coseno de ' aciendo uso de identidades trigonométricas. sen(337º 30' ) 675º sen cos 675º 675º cos 675º [ IT1*;cos(337º ] 30' ) cos [ IT]* Necesitamos allar previamente el cos 675º cos( 360º + 315º) cos 315º cos ( 360º - 5º ) cos 5º, luego : sen337º30' cos 5º cos 337º30' cos 5º ( Dibujando sobre el círculo unidad un ángulo a y el ángulo opuesto a + 180, comprueba la validez de cada una de estas relaciones: (a) sen (+ 180 ) - sen (b) cos ( ) - (c) tg ( ) tg

8 Unidad Resolución de triángulos generales! 18 Los triángulos rectángulos AOB y A OB son iguales pues tienen los tres ángulos iguales y un lado igual ( el radios, r 1, en verde ), luego - e y - y (a) sen (+ 180 ) y -y - sen (b) cos ( ) - - (c) sen(180º +) tg (180º + ) tg cos(180º +) cos cos ) El mayor obelisco del mundo es el del Monumento a G. Wasington, con 169,3 m de altura. A qué distancia ay que colocarse para ver su punta con un ángulo de elevación de 60? 169'3 m tg 60º d 97'75 m d tg60º 3 * El faro más alto del mundo es el del Parque Yamasita en Yokoama. Mide 106 m de altura. Desde qué distancia veríamos su punta con un ángulo de elevación de 1? Semejante al anterior : 106 tg 1º d 6.07'7 m d tg1º 0'0175!! Para qué ángulos agudos a se verifica 1 + sen (sen + )?

9 Unidad Resolución de triángulos generales! sen (sen + ) { desarrollamos el º miembro } sen + cos+ cos ( sen + cos )+ cos 1 + sen, ya que el paréntesis es la ecuación fundamental de la trigonometría y el º sumando el ). Se cumple para cualquier valor de pues una identidad. ') Halla todas las soluciones de la ecuación sen 0. Eprésalas en grados y en radianes. arc sen 0 180kº #k rad. k 0, 1,, '* Eiste algún ángulo a que verifique la ecuación cos cos a? cos cos cos - sen cos - ( 1 cos ) cos cos cos -1, luego se deduce que 1-1 lo que nos es cierto, por tanto no se puede cumplir la ecuación para ningún valor de, es incompatible. '+ En la pirámide de base cuadrada de la figura alla: (a) La longitud de una de las aristas, usando el triángulo equilátero ABC. (b) La altura de una de las caras, usando ese mismo triángulo partido en dos triángulos rectángulos iguales. (c) La altura de la pirámide, mediante el triángulo rectángulo BOD. (a) Si el triángulo es equilátero los tres lados miden 0 m, luego 0 m. (b) Aplicamos el teorema de Pitágoras : l l '3 m (c) De nuevo el teorema de Pitágoras : a ( l/ ) '1 m

10 Unidad Resolución de triángulos generales! 0 ', Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un oyo, distante 350 m, y alcanza una distancia de 180 m. Pero el golpe a sido defectuoso y la dirección de la pelota forma un ángulo de 0 respecto de la dirección acia el oyo. A qué distancia del oyo a quedado su pelota? Tenemos un ángulo y los lados que lo forman, luego emos de aplicar el teorema del coseno : cos 0º 3698'73 191m '- Resuelve la ecuación cos - sen 1. cos cos 1 cos 1 cos (cos 1) ( cos ) cos cos + 1 cos 5cos cos 0 cos (5cos ) 0 cos 0 70k 5cos 0;cos arccos º5'11'' + 360k '( Dos observadores, distantes 5 km entre sí, divisan un OVNI dirigiendo sus prismáticos con ángulos de elevación respectivos de 80 y 65. A qué altura se encuentra el OVNI? (Suponemos que está situado sobre la línea que une a los dos observadores.) Un último problema de doble observación : sustituimos tg80º ;tg65º tg65º º tg80º 5 5 tg80º ( 5tg80º ) tg65º tg80 5tg80º tg65º 5 5'67 '1 tg 80º + tg65º 5tg80º tg65º (tg80º + tg65º ) 5tg80º tg65º 7'78 km tg80º + tg65º 5'67 + '1