EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA. . Puede ser SCD el sistema A X=C? ë û ë û

Transcripción

1 1) Sean EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA éx ù é1 p ù a A=, X= y é ù, C= b ë û ë û ë zû La matriz ampliada del sistema es Claramente r = r' y= n.. Puede ser SCD el sistema A X=C? é1 p a ù é1 p a ù Â = b p b-a ë û ë û Por tanto el sistema es SCI, independientemente de los valores de los parámetros. En definitiva, este sistema nunca es compatible determinado. é -1 ù ) Dada la matriz A = , determina todas las matrices no nulas ë-1 - û cumplen la igualdad A X =m X, para algn nmero real m. [ ] ( ) [ ] A X = m X Þ A X- m X = 0 Þ A- m I X = 0 é -1ù é1 0 0ù é-m -1 ù A- m I = m 0 = m 1 ë-1 - û ë0 0 1û ë mû éx ù X= y ë z û Llamo B A m I B X = 0. Se trata de un sistema de ecuaciones lineal homogéneo. Para que tenga solución no nula la matriz de coeficientes B debe tener rango menor que. Esto ocurrirá cuando B = 0. = -. De esta manera la igualdad inicial se puede escribir como [ ] ( )( )( ) é ( ) ( ) ù B = -m -m -m ---ë-m- -m - - m û = - m + 6m - 1m+ 8 0= Una solución es m =. Al aplicar Ruffini se comprueba que no hay más soluciones. Por tanto si m = es un SCI. é 1-1ù Para resolverlo sustituimos m = en B obteniendo: ë-1-1 û Tachamos F yf porque valen - F1. Queda la ecuación x+ y- z = 0, cuya solución es x = - y+ z que Por tanto é- y+ z ù X = y ë z û. Para que esta matriz sea no nula tiene que ser y 0 ó z 0-1 -

2 ì x+y+z=a x+y+az=1 ) Estudia el sistema í sin resolverlo en ningn caso. x+ay+z=1 î ax+y+z=1 é1 1 1 a ù é1 1 1 a ù é1 1 1 a ù 1 1 a a -1 1-a 0 a a  = 1 a a a 0 0 a a ëa 1 1 1û ë0 1-a 1-a 1-a û ë0 0 1-a -a - a+ û È1 1 1 a 0 a a : 0 0 a-1 1-a Í Î a - a En la matriz de coeficientes el menor ( ) Distinguimos dos casos: 0 a- 1 = 0 a- 1 = 0Þ a = a -1 1) Si a ¹ 1Þel menor anterior es ¹ 0Þ r = porque A solo tiene columnas. Para hallar r' calculamos  multiplicando los elementos de la diagonal principal: ( ) ( )  = a-1 -a - a+ = 0Þ a = 1, - Como estamos dentro del caso a ¹ 1 solo vale la solución a =-. Ahora hay que distinguir subcasos: 1.1) Si a ¹ - Þ Â ¹ 0 Þ r' = ÞSI 1.) Si a = -Þ la ltima fila de  es nula y claramente r ' = ÞSCD ) Si a = 1, sustituyo: En resumen: é ù Þ r = r = ' 1 ÞSCI ë û ìsi a ¹ 1, - ÞSI ísi a =- ÞSCD îsi a = 1ÞSCI ) Estudia el siguiente sistema y resuélvelo, si es posible, para m=1: ì í î ( ) x+ ( -m) y=0 ( ) ( ) m + x + my + z = m - m+1 x+ m+1 z=m-1 - -

3 ém+ m m-ù Â = -m 0 0. No hacemos por ser complicado. ë m+ 1 0 m+ 1 m-1 û m+ m ( )( )( ) ( )( ) ( ) A = - m 0= m+ - m m m m+ 1 - m m+ 1 m+ 1 0 m+ 1 ( ) é( )( ) ( ) ù ( )( ) = m + 1 ë m + -m - -m - mû= m m + m= 0 Þ m 0,1, = -1 Distinguimos cuatro casos: 1) Si m ¹ 0,1, -1Þ A ¹ 0Þ r = Þ r' = porque solo hay filas Þ SCD é 0 -ù é ù é ù ) Si m = 0, sustituyo :Â = ë û ë û ë û Þ r = r ' = ÞSCI é0-1 -ù ) Si m =- 1, sustituyo :Â = 0 0. Observando F se ve que es SI. ë û é 1 0ù ) Si m = 1, sustituyo :Â = Se trata de un sistema homogéneo. ë 0 0û Para resolverlo divido F entre y la permuto con F 1 (no escribo la columna de ceros): é1 0 1ù é1 0 1 ù ë 1 û ë0 1 -û Por tanto la solución es ( - z,z,z). Tacho F y resuelvo: y - z= 0 Þ y = z ; x + z = 0 Þ x = - z. 5) Estudia el siguiente sistema y resuélvelo solo cuando sea SCI: ì x+y+z+t=0 x-y+z-t=1 í x+y-z+t=-8 î x-y-z+at=b é ù é ù é ù Â = ë a b û ë0 - - a-1 b û ë0 - - a-1 b û é ù é ù Þ= A a += 1 0Þ= a ë0 0 - a+ 1 b- 1û ë0 0 0 a+ 1 b-û - -

4 Distinguimos dos casos: 1) Si a ¹ -1 Þ A ¹ 0 Þ r = Þ r ' = ÞSCD é ù ) Si a =- 1, sustituyo : = ë b-û Claramente r = y el valor de r' depende de si b- = 0, es decir, si b=. Distinguimos dos subcasos:.1) Si b¹ Þel menor formado por C,C 1,CyC 5 es ¹ 0 Þ r ' = ÞSI.) Si b= tachamos F por ser nula y obtenemos r ' = Þ SCI Resolvemos: De F : z= De F : y+= t -6Þ= y -6-t De F 1 : x+ y+ z+ t = 0Þx-6- t+ + t = 0Þ x= Por tanto la solución es: (, -6-t,,t ) 6) Resuelve segn los valores de los parámetros el sistema: ìx - 7y = a x+y=b í 5x -1y = 5a - b îx+y =a+b-1 é -7 a ù é1 1 b ù é1 1 b ù é1 1 b ù 1 1 b 1 a+ b a a-1  = 5-1 5a -b -7 a 0-10 a -b a -b -10 ë1 a + b + 1 û ë5-1 5a -b û ë0-18 5a -7b û ë0 0 a -7b -18 û Como el menor de orden dos 1 1 = 1¹ 0Þ r =, " a,b (la matriz A solo tiene dos columnas) 0 1 Al observar las filas F yf de la matriz  se deduce que el sistema tendrá solución cuando 11a -b - 10 = 0 y a -7b - 18 = 0. Resolvemos el sistema que forman estas dos ecuaciones y obtenemos la solución: a =, b=. Distinguimos dos casos: 1) Si a ¹ ó b¹ Þ alguna de las filas F ó F será no nula y la ecuación correspondiente a esa fila será imposible Þ SI ) Si a = = y b Þlas filas F yf son ambas nulas y las podemos tachar. Claramente r ' = ÞSCD Para resolverlo nos queda la matriz ampliada Se resuelve este sistema obteniendo y= 1, x = é1 1 ù  = ë û - -

5 7) La tabla adjunta muestra la cantidad de vitaminas A, B y C que poseen cada uno de los productos P, Q, R y S por unidad de peso. Queremos elaborar una dieta en la que intervengan todos los productos de manera que contenga 0 unidades de vitamina A, 5 de vitamina B y 6 de vitamina C. a) Es posible elaborar esa dieta? De cuántas formas se puede hacer? b) Si la cantidad de producto Q es de unidades, cuáles serán las cantidades de los otros productos en esa dieta? c) Obtén en función de la cantidad de producto Q que entre en la dieta, las cantidades de los otros productos. Entre qué valores tiene que estar la cantidad de producto Q? a) Llamo x, y, z, t a las unidades de peso que hay que tomar, respectivamente, de cada producto P, Q, R, S para elaborar una dieta. Segn la tabla, la cantidad de vitamina A será: 1x + 1y + z + 1t = 0; la de vitamina B será: x + 0y + 1z + 1t = 5; la de vitamina C: 0x + y + 0z + 1t = 6. Con estas ecuaciones obtenemos el sistema: ìx + y + z + t = 0 íx + z + t = 5 îy+ t = 6 Elaborar una dieta equivale a resolver el sistema y ver si tiene o no solución. é ù é ù é ù Â = ë û ë û ë û Claramente r = r ' = Þ SCI. Por tanto sí se pueden elaborar dietas, de infinitas maneras. b) Se trata de resolver el sistema para y=. De F se deduce que - z= -9Þ z = De F : -y-z- t =-15Þ t = De F 1 : x + y + z + t = 0 Þ x = 10 Por tanto las cantidades de los otros productos son: P = 10, R=, S= c) Se trata de resolver el sistema dando la solución en función de y. Es fácil llegar a: x= y+ 8;z = = ;t 6-y Por tanto: P = Q + 8, = R =, S 6 -Q Como todos los valores tienen que ser positivos, tiene que ser QÎ( 0,) 8) En un sistema de igual nmero de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes vale 0. Puede ser compatible? Puede tener solución nica? Se le puede aplicar la regla de Cramer? Escribimos el sistema A X= C. Por hipótesis la matriz A es cuadrada n n y A = 0. Como A = 0fi r< n. En consecuencia el sistema puede ser compatible, pero nunca será determinado y tampoco se le podrá aplicar la regla de Cramer. P Q R S A B C

6 9) Sean A X=C1 y A X=C dos sistemas con la misma matriz de coeficientes. a) Justifica con un ejemplo que uno de los sistemas puede ser compatible y el otro incompatible. b) Puede ser incompatible uno y compatible determinado el otro? c) Si ambos son compatibles, puede ser uno determinado y el otro indeterminado? Ï x y 1 a) El sistema Ô + = Ì es compatible indeterminado porque la segunda ecuación sobra. Ô ÔÓ x+ y= Ï x y 1 El sistema Ô + = Ì es incompatible porque es imposible que se cumplan las dos Ô ÔÓ x+ y= 5 ecuaciones a la vez. b) Como la matriz de coeficientes es la misma, los dos sistemas tienen el mismo valor r para el rango de A y el mismo nmero de incógnitas, n. Las matrices ampliadas son A µ [ ] µ 1 A,C y A [ A,C ] = =. 1 El rango de estas matrices puede ser diferente, así que los llamamos r 1 yr. Como el nmero de filas de estas matrices es n fi r1 y r n Si el primer sistema es incompatible fi r< r1 nfi r< n Si el segundo sistema es compatible determinado fi r= r = n Es imposible por tanto que ocurran ambas cosas a la vez. c) Si el primer sistema es compatible determinado fi r= r1 = n Si el segundo sistema es compatible indeterminado fi r= r < n Es imposible por tanto que ocurran ambas cosas a la vez. 10) Si a+b 0, demuestra que el sistema Èa b 0 1 La matriz ampliada del sistema es A µ = 0 a b r Íb 0 a s Î Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Como a+ b 0fia -bfia -b fi a + b 0 Por tanto A 0fi r = Como el nmero de filas es fi r' = Como el nmero de incógnitas también es ÏÔ ax+by=1 Ô Ì ay+bz=r es compatible determinado. Ô ÔÓ bx+az=s fi SCD a b 0 0 a b a b b 0 a =