Problemas Resueltos. Ximo Beneyto. Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 1

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1 Problemas Resueltos Ximo Beneyto Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 1

2 PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales : x%3y'5 2x%y'5 Clasificación.- Matriz de Coeficientes Matriz ampliada Como ' &5 0 6 Rang(A) ' 2 Ampliada : (A/b) es una matriz 2x3 y *A* es un menor de orden 2 no nulo 6 Rang(A/b) = 2 número de incógnitas: 2 Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas 6 Sistema Compatible Determinado (Una única solución) Resolución : Mediante la Regla de Cramer x ' 5 1 &5 ' &10 &5 ' y ' 2 5 &5 ' &5 &5 ' SOLUCIÓN ÚNICA: x ' 2 y ' 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 2

3 2.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales : x 1 &x 2 '5 2x 1 &2x 2 '0 Clasificación.- Matriz de Coeficientes : A ' 1 &1 2 &2 Coeficientes : 1 &1 2 &2 ' 0 6 *1* 0 6 Rang(A) ' 1 1 &1 1 &1 5 2 &2 ' 0 Ampliada 6 *1* 0 6 Rang(A/b) = 2 2 & ' &10 0 Rang(A) Rang(A/b) 6 Sistema Incompatible (El Sistema no tiene solución) Resolución.- El Sistema no tiene solución, por lo tanto no se puede resolver. 3.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales : x%3y%z'2 2x%y&z'8 x&y%3z'&8 Clasificación.- Matriz de Coeficientes A ' &1 1 &1 3 Matriz ampliada (A/b) ' &1 8 1 &1 3 &8 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 3

4 Coeficientes: / &1 1 & Rang(A) ' 3 Ampliada : Como (A/b) es una matriz 3x4 y *A* es un MENOR no nulo de orden 3 6 Rang(A/b) = 3 número de incógnitas = 3 Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas 6 Sistema Compatible Determinado (Una única solución) Resolución : Mediante la Regla de Cramer &1 x ' &8 &1 3 &22 ' &44 &22 ' &1 y ' 1 &8 &22 3 ' &22 &22 ' z ' 1 &1 &8 &22 ' 66 &22 ' &3 SOLUCION : x ' 2 y ' 1 z ' &3 [ Al ser un Sistema de Rango 3, hemos seleccionado las tres ecuaciones ] Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 4

5 4.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales : 2x % y & z ' 0 x & 2y % z ' 4 3x % 2y % 2z ' 3 2x % 4y % z ' &1 [ Sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas ] Clasificación.- Matriz de Coeficientes A ' 2 1 &1 1 & Aplicando el método de Gauss para hallar el Rango de la matriz 2 1 &1 2 1 &1 2 1 &1 1 &2 1 0 &5 3 0 & & &1 0 & Y Rang (A) = 3 Matriz ampliada (A/b) ' 2 1 &1 0 1 & &1 De nuevo aplicando el método de Gauss para hallar el Rango de la matriz 2 1 &1 0 1 & &1 2 1 &1 0 0 & &2 Rang (A/b) = 3 número de incógnitas = &1 0 0 & &38 & &38 &38 Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas 6 Sistema Compatible Determinado (Una única solución) 2 1 & &3 &8 0 0 &38 & Y Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 5

6 Resolución : Ya que se trata de un Sistema Compatible Determinado, para hallar su solución vamos a aplicar los tres métodos que conocemos para obtenerla, con el fin de enriquecer al máximo nuestra operativa. 6 Parte común. Puesto que se trata de un S.C.D. con Rangos de la matriz de coeficientes y matriz ampliada igual a tres, seleccionaremos tres (ecuaciones linealmente independientes) de las cuatro ecuaciones de las que consta el Sistema. Observando las tablas empleadas en el proceso de GAUSS, elegiremos las tres primeras ecuaciones (de las cuales, hemos obtenido el Rango). 2x % y & z ' 0 x & 2y % z ' 4 3x % 2y % 2z ' 3 Aplicando la Regla de Cramer : x ' 0 1 &1 4 & &1 1 & ' &19 &19 ' 1 y ' 2 0 & &1 1 & ' 19 &19 ' &1 z ' & &1 1 & ' &19 &19 ' 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 6

7 SOLUCIÓN ÚNICA: x ' 1 y ' &1 z ' 1 Aplicando el método del Pivote, utilizando la última de las tablas obtenidas en el cálculo del rango de la matriz ampliada, y escribiendo el correspondiente Sistema de Ecuaciones Lineales, del cual tenemos los coeficientes: x y z! 2 1 &1! 0 5 &3! 0 0 &38! 0 &8 &38 2x % y & z ' 0 2x & 1 & 1 ' 0 )))))> x ' 1 El sistema equivalente obtenido es 5y & 3z ' &8 &38z ' &38 5y & 3 ' &8 ))))))> 6 z ' 1 y ' &1 SOLUCIÓN ÚNICA: x ' 1 y ' &1 z ' 1 Utilizando el método de la matriz inversa, es factible en este caso: El Sistema de Ecuaciones Lineales 2x % y & z ' 0 x & 2y % z ' 4 matricialmente, se expresa así 3x % 2y % 2z ' 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 7

8 2 1 &1 1 & x y z ' Y x y z ' 2 1 &1 1 & & x y z ' &6 &19 &4 &19 &1 & &3 &19 &19 &19 8 &19 &1 &19 &5 & ' 1 &1 1 SOLUCIÓN ÚNICA: x ' 1 y ' &1 z ' 1 Bien. A partir de este problema espero que tus elementos de cálculo sean más potentes, eso sí, los alumnos teledirigidos se encontrarán incómodos ante esta avalancha operativa. Qué método es mejor?. Sin duda, la Regla de Cramer da una potencia operativa muy general. ( La necesitamos en muchos problemas de Cálculo, Estadística, Geometría, Algebra, etc.). En Cálculo Numérico, el método de Gauss es muy eficaz. 5.- Clasificar y resolver : x%2y%3z'13 2x&y%z'6 3x%y%4z'19 Clasificación.- Matriz de Coeficientes A ' & Ampliada (A/b) ' & Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 8

9 Coeficientes : / & ' &1 0 6 Rang(A) ' Ampliada: 2 & Rang(A/b) = & &1 1 ' &1 6 ' número de incógnitas = 3 Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas 6 Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones) Resolución : Utilizando la variante de la Regla de Cramer para Sistemas Compatibles Indeterminados. En primer lugar, seleccionamos las ecuaciones independientes. Elegiremos aquellas correspondientes al MENOR del cual obtuvimos el rango x%2y%3z'13 2x&y%z'6 Como hay 3 incógnitas y el rango del sistema es 2 6 Grado de libertad = 3-2 = 1. Parametrizaremos una incógnita ( p.ej. "z" ), así x%2y'13&3z 2x&y'6&z Resolviendo ahora mediante la Regla de Cramer: x ' 13 & 3z 6 & z &1 2 &1 ' &25%5z &5 ' 5&z Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 9

10 y ' 2 6 & z 1 2 ' &20%5z &5 ' 4&z 1 13 & 3z 2 &1 Así pues, CONJUNTO DE SOLUCIONES : x' 5&z y' 4&z z' z œ z 0 ú Una pausa (...) y seguimos (...) 6.- Clasifica y resuelve : 2x % 3y % 5z % t ' 1 x % y & z % t ' 0 2x & y & z % 2t ' 2 3x & 2z % 3t ' 2 Clasificación. Coeficientes A ' &1 1 2 &1 & & &1 1 0 Sistemas Ampliada: (A/b) ' Ecuaciones Lineales 2 &1 & &2 3 2 [ Operamos con la matriz de coeficientes y la ampliada simultáneamente. Reordenando las ecuaciones ] Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 10

11 1 1 &1 1! ! 1 2 &1 &1 2! &2 3! &1 1! &1! 1 0 &3 1 0! 2 0 &3 1 0! &1 1! &1! &3! &3! 5 Rang(A) = 3 Rang(A/b) = 3 número de incógnitas = 4 Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas 6 Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones) 1 1 &1 1! &1! &3! ! 0 ÆÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÇ A ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ (A/b) Operando con el Sistema Equivalente obtenido en la última tabla del cálculo de los Rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada Resolución : x%y&z%t'0 y%7z&t'1 22z&3t'5 6 x' 18&20t 22 y' &13%t 22 z' 5%3t 22 CONJUNTO DE SOLUCIONES : x' 18&20t 22 y' &13%t 22 z' 5%3t 22 t' t œ t 0 ú [Observa la sencillez de este método en este problema, tanto en la clasificación como resolución del sistema] Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 11

12 7.- Clasificar el Sistema de Ecuaciones Lineales según valores de a 0 ú : x%y%2z'0 ax&y&z'0 2x %az'2 Clasificación Matriz de coeficientes : A ' a &1 &1 2 0 a Matriz ampliada : (A/b) ' a &1 & a 2 Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante : *A* = - a 2 - a + 2 a'1 Ahora, Si *A* ' 0 6 &a 2 & a % 2 ' 0 '> a'&2 Estudiemos el Sistema para cada uno de los valores del parámetro "a " obtenidos. ) i) Si a = 1 (Sustituyendo este valor en las matrices de coeficientes y ampliada A ' &1 & &1 0 6 Rang(A) ' 2 1 &1 &1 ' (A/b) ' 1 &1 & Rang(A/b) = & & Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 12

13 ii) Si a = -2 A ' (A/b) ' &2 &1 &1 2 0 &2 6 Rang(A/b) = 3 iii) Si a 1, &2 &1 & & &2 &1 0 6 Rang(A) ' &2 & &2 &1 & &2 & *A* 0 6 Rang(A) = 3. Como *A* es un menor de orden 3 no nulo de (A/b) 6 Rang(A/b) = 3 ' 0 0 DISCUSIÓN : Rang(A)'2 a' 1 Rang(A/b)'3 a'&2 Rang(A)'2 Rang(A/b)'3 S. Incompatible (no tiene solución) S. Incompatible (no tiene solución) Rang(A)'3 a 1,&2 Rang(A/b)'3 S. Compatible Determinado (solución única) 8.- Clasificar según valores de a 0 ú : ax%y%2z ' 0 x&y%2z ' 0 2x %4z ' 0 Observemos que se trata de un Sistema Homogéneo Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 13

14 Clasificación.- A ' a & *A* = -4a + 4. Si -4a + 4 = 0 6 a = 1 i) Si a = A ' 1 & &1 0 6 Rang(A) ' 2 ii) Si a 1 *A* 0 6 Rang(A) = 3 CLASIFICACIÓN : a ' 1 Rang(A)'2 S. H. Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones ) a 1 Rang(A)'3 S. H. Compatible Determinado ( Solución trivial ) 9.- Clasificar según valores de m 0 ú : mx%y%z'2 x%my%z'2 x%y%mz'2 Clasificación.- m 1 1 Matriz de coeficientes: A ' 1 m 1 Sistemas Ecuaciones 1 1 m Lineales Matriz ampliada (A/b) ' m m m 2 Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante : *A* = m 3-3m + 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 14

15 Si m 3 &3m%2 ' 0 6 m'1 m'&2 Asignando valores al parámetro: i) Si m = 1 A ' / Rang(A) ' 1 (A/b) ' / Rang(A/b) ' 1 ii) Si m = -2 &2 1 1 A ' 1 & &2 6 &2 1 1 &2 0 6 Rang(A) ' 2 (A/b) ' & & &2 &2 6 &2 1 1 &2 0 & &2 1 ' &2 & & Sistemas 6 Rang(A/b) = 3 Ecuaciones Lineales iii) Si m 1, -2 3 *A* 0 6 Rang(A) = 3. (A/b) es una matriz 3x4 y *A* es un MENOR de orden 3 no nulo 6 Rang(A/b) = Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 15

16 CLASIFICACIÓN : Rang(A)'1 Rang(A/b)'1 S. Compatible Indeterminado ( Infinitas soluciones ) m' 1 m'&2 Rang(A)'2 Rang(A/b)'3 Rang(A)'3 m 1,&2 Rang(A/b)'3 S. Incompatible ( No tiene solución ) S. Compatible Determinado ( Solución Única ) Observa que : Para hallar el rango de las matrices del Sistema, no empleamos siempre el mismo método. Debemos elegir, en cada caso, aquél que nos resulte más fácil Clasificar según valores de los parámetros a, b 0 ú : ax%2y%3z'1 x&y%2z'b 2x%y%5z'3 Clasificación.- a 2 3 Matriz de coeficientes: A ' 1 & Matriz ampliada: (A/b) ' a &1 2 b Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante : *A* = -7a + 7 ; -7a + 7 = 06 a = 1 i) Si a = A ' 1 & &1 0 6 Rang(A) ' 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 16

17 (A/b) ' &1 2 b & &1 2 ' &1 b ' 3b& Si 3b - 6 = 0 6 b = 2 Si b = 2 Rang(A/b) = 2 Si b 2 Rang(A/b) = 3 [ Es importante comprender el razonamiento anterior para afianzar la técnica de MENORES ORLADOS en el cálculo del RANGO de una matriz] DISCUSION : ii) Si a 1 *A* 0 6 Rang(A) = 3 *A* es un MENOR no nulo de la matriz (A/b) que es una matriz 3x4 6 Rang(A/b) = 3 œ b 0 ú Si a ' 1 y b ' 2 Rang(A)'2 Rang(A/b)'2 S. C. Indeterminado ( Infinitas soluciones ) Si a ' 1 y b 2 Rang(A)'2 Rang(A/b)'3 S. Incompatible ( no tiene solución ) Si a 1 y œ b 0 ú Rang(A)'3 Rang(A/b)'3 S. C. Determinado (Solución Unica ) Resolución. Hemos encontrado en la discusión del sistema, dos situaciones de compatibilidad, vamos a dar su solución en cada caso : Si a = 1 y b = 2 Hemos obtenido Rang (A) ' 2 Rang (A/b) ' 2 número incógnitas'3 Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones) Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 17

18 Seleccionemos, pues, 2 ecuaciones linealmente Independientes de las 3 : x % 2y % 3z ' 1 x & y % 2z ' 2 6 Grado de libertad Y 3-2 = 1 Parametricemos una incógnita, por ejemplo z = 8 x % 2y ' 1 & 3λ x & y ' 2 & 2λ Y Mediante la regla de Cramer &1 ' &3 0 x ' 1 & 3λ 2 2 & 2λ &1 &3 ' &5 % 7λ &3 y ' 1 1 & 3λ 1 2 & 2λ &3 ' 1 % λ &3 CONJUNTO DE SOLUCIONES: x ' &5 % 7λ &3 y ' 1 % λ &3 z ' λ œ λ 0 ú Si a 1 y œ b 0 ú Hemos obtenido / 0 Rang (A) ' 3 Rang (A/b) ' 3 Sistema Compatible Determinado Resolvamos por la Regla de Cramer. Como las tres ecuaciones son Linealmente Independientes, seleccionamos las tres : Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 18

19 ax % 2y % 3z ' 1 x & y % 2z ' b 2x % y % 5z ' 3 a & ' &7a % 7 x ' b & &7a % 7 14 & 7b ' &7a % 7 ' b & 2 a & 1 y ' a b &7a % 7 ' 8 % 5ab & 6b & 6a &7a % 7 z ' a &1 b &7a % 7 &3 & 3a % 4b & ab ' &7a % 7 Comentario : SOLUCIÓN ÚNICA x ' b & 2 a & 1 y ' z ' 8 % 5ab & 6b & 6a &7a % 7 &3 & 3a % 4b & ab &7a % 7 a 1 y œ b 0 ú Te puede causar una cierta confusión esta solución única, tan parametrizada. Piensa que, para cada valor de a 1 y b 0 ú obtendrías un Sistema diferente cuya única solución la obtendrías sustituyendo los valores de a y b en la solución parametrizada Clasificar según a, b 0 ú : 3x&7y ' a x%y ' b 5x&13y ' 5a&2b x%2y ' a%b&1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 19

20 Clasificación.- Matrices : A ' 3 & & (A/b) ' 3 &7 a 1 1 b 5 &13 5a&2b 1 2 a%b&1 Como 3 & Rang(A) ' 2 œ a,b 0 U Tomemos este menor no nulo para estudiar el rango de la matriz (A/b) (A/b) ' 3 &7 a 1 1 b 5 &13 5a&2b 1 2 a%b&1 6 3 & &7 a 1 1 b 5 &13 5a&2b &3 &7 a 1 1 b 1 2 a%b&1 ' 32a&16b ' 11a&3b&10 Veamos para qué valores de a y b se anulan simultáneamente los dos MENORES ORLADOS, resolvamos este mini Sistema de Ecuaciones. 32a - 16b = 0 6 b = 2a 6 b = 4 11a - 3b - 10 = 0 6 5a - 10 = 0 6 a = 2 A Estudiemos los valores obtenidos procedentes del sistema de Ecuaciones con incógnitas a y b. i) Si a = 2 y b = 4 Rang(A) = 2 Rang(A/b) = 2. Los dos MENORES de orden 3, son nulos. ii) Si a 2 ó b 4 Rang(A) = 2 Rang(A/b) = 3. Alguno de los dos MENORES de orden 3, es 0. [ Observa la importancia del " ó " ] Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 20

21 DISCUSION : Si a' 2 y b'4 Si a 2 ó b 4 Rang(A)'2 Rang(A/b)'2 Rang(A)'2 Rang(A/b)'3 Sistema Compatible Determinado ( Solución única ) Sistema Incompatible ( no tiene solución ) Observa que : 6 Cuando a = 2 y b = 4 Y Los dos menores orlados dan cero 6 Cuando a 2 ó b 4 Y Alguno ( ó ambos ) de los menores orlados es distinto de cero 12.- Clasifica según a, b 0 ú : bx%2y&z ' a 2x%y%4z ' 2 3x%3by%3z ' 4 Clasificación.- Matrices : A ' b 2 & b 3 (A/b) ' b 2 &1 a b 3 4 Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante *A* = -12b 2-3b Si -12b 2-3b + 15 = 0 6 / 0 b' 1 b' & 5 4 i) Si b = 1 A ' 1 2 & Rang(A) ' 2 [No es necesario hallar el determinante de A] Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 21

22 (A/b) ' 1 2 &1 a & ' a ' 3a& [ El rango de la matriz (A/b) depende de los dos MENORES ORLADOS ] Si 3a - 6 = 0 6 a = 2 Si a = 2 6 Rang(A/b) = 2 Si a 2 6 Rang(A/b) = 3 ii) Si b = -5/4 A ' & & & & Rang(A) ' 2 [ Razonando como antes ] & &1 (A/b) ' & &1 a & &1 1 4 Sistemas Ecuaciones & Lineales Si 18a + 63/2 = 0 6 a = -7/4 a = -7/4 6 Rang(A/b) = 2 a -7/4 6 Rang(A/b) = 3 iii) Si b 1,-5/ & &1 a ' 0 ' 18a % 63 2 *A* 0 6 Rang(A) = 3 œ a 0 ú Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 22

23 *A* es un MENOR no nulo de orden 3 de la matriz (A/b) de 3x4 6 Rang(A/b) = 3 ; œ a 0 ú CLASIFICACIÓN : Si b ' 1 y a ' 2 Si b ' 1 y a 2 Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 2 Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 3 Sistema Incompatible (no posee solución) Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones) Si b ' & 5 4 y a ' &7 4 Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 2 Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones) Si b ' & 5 4 y a &7 4 Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 3 Sistema Incompatible (no posee solución) Si b 1,& 5 4 y œ a 0 ú Rang(A) ' 3 Rang(A/b) ' Clasificar según a, b 0 ú : ax%by%z ' 1 x%aby%z ' b x%by%az ' b 2 Sistema Compatible Determinado (Solución única) [Síguela con atención!. Es muy bella la discusión!] Observa como combinamos el método de GAUSS con el método de MENORES ORLADOS Clasificación.- Matrices : a b 1 Matriz de coeficientes A ' 1 ab 1 1 b a Matriz ampliada (A/b) ' a b ab 1 b 1 b a b 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 23

24 Al ser la matriz de coeficientes una matriz cuadrada, empezaremos por hallar su determinante *a* = a 3 b -3ab + 2b 6 Si a 3 b - 3ab + 2b = 0 6 b(a 3 &3a%2) ' 0 6 / 0 b' 0 a' 1 a' &2 6 Los valores que anulan el determinante de A son a = 1, -2 y b = 0. Estudiemos, pues, estos valores. i) a = 1 A ' 1 b 1 1 b 1 1 b b 1 1 b 1 1 b 1 1 b Rang(A) ' 1 œ b 0 ú [ Para cualquier valor de b, el Rango de la matriz es 1] (A/b) ' 6 1 b b 1 b 1 b 1 b b b 1 b 1 b 1 b 2 Si b'1 6 Rang(A) ' 1 Si b 1 Rang(A/b)'2 1 b &b &b 2!Cuidado pues parecía que b ' &1 era un valor a estudiar [ Obviamente estudiaremos solamente los valores de b que anulan simultáneamente las dos últimas filas, es decir b=1, descartando la opción b=-1 ] A ' &2 b 1 1 &2b 1 1 b &2 6 & Rang(A) ' 2 œ b 0 ú ii) a = -2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 24

25 (A/b)' &2 b &2b 1 b 1 b &2 b 2 6 & &2 b 1 1 &2b 1 1 b &2 ' 0 & b ' &3b 1 &2 b 2 %3b&3 2 & es un BUEN MENOR para ORLAR pues carece de parámetros Si -3b 2 %3± &27-3b - 3 = 0 6 b ' ó ú 6 œ b 0 ú Rang(A/b) = 3 2 A ' a a [ Al ser una discusión en los números reales, no podemos considerar soluciones en el cuerpo de los números complejos] iii) b = 0 a Sistemas a 1 6 Ecuaciones Rang(A) = 2 Lineales ' a&1 ; si a & 1 ' 0 Y a ' 1 a 1 1 a ' a2 &1 ; si a 2 & 1 ' 0 Y a ' ± 1 enores orlados con una columna de ceros, dan cero directamente, los obviamos pues ] Como ambos MENORES se anulan a la vez, para a = 1, tendremos : Si a = 1 6 Rang(A) = 1 [ L o s m (A/b) ' a a / 0 a a 0 ' a&1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 25

26 Si a -1 = 0 6 a = 1 Si a = 1 6 Rang(A/b) = 2 Si a 1 6 Rang(A/b) = 3 iv) Si a 1, -2 y b 0 *A* 0 Y Rang (A) = 3 y como *A* un MENOR NO NULO de orden 3 de la matriz Rang(A/b) = 3 CLASIFICACIÓN : Si a ' 1 y b ' 1 Rang(A)'1 Rang(A/b)'1 Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones ) Si a ' 1 y b 1 Rang(A) ' 1 Rang(A/b) ' 2 Sistema Incompatible (No tiene solución) Si a ' &2 y œ b 0 ú Si b ' 0 y a ' 1 Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 3 Rang(A) ' 1 Rang(A/b) ' 2 Sistema Incompatible (No tiene solución) Sistema Incompatible (No tiene solución) Si b ' 0 y a 1 Si a 1,&2 y b 0 Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 3 Rang(A)'3 Rang(A/b) ' 3 Sistema Incompatible (No tiene solución) Sistema Compatible Determinado (Solución única) 14. Clasificar según valores de m, n 0 ú, el sistema: mx % ny % z ' 1 x % ny % mz ' 1 mx % y % z ' n Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 26

27 Clasificación.- Matrices : Matriz de coeficientes A ' Matriz ampliada A/b ' m n 1 1 n m m 1 1 m n n m 1 m 1 1 n *A* = mn m 2 n - mn - m 2 - n = 1 + m 2 n - m 2 - n Si 1 + m 2 n - m 2 - n = 0 Y m 2 ( n-1 ) - (n-1) = 0 Y ( m 2-1 ) ( n - 1 ) = 0 Y m 2 & 1 ' 0 Y m'1, &1 n & 1 ' 0 Y n ' 1 [ Observa: Las operaciones efectuadas para hallar m y n ] i) Si m = 1 A ' 1 n 1 1 n GAUSS 6 1 n & n 0 Y n ' 1 Rang(A) ' 1 n 1 Rang(A) ' 2 (A/b) ' 1 n n n GAUSS 6 1 n & n 0 n & 1 Y n ' 1 Rang(A/b) ' 1 n 1 Rang(A/b) ' 2 ii) Si m = -1 &1 n 1 GAUSS Sistemas A ' 1 n &1 6Ecuaciones 0 2n 0 Y Lineales &1 1 1 &1 n & n 0 Como no hay ningún valor de "n" que anule simultáneamente las dos filas Y Rang (A) = 2 œ n 0 ú [ Razonamiento de fundamentos para comprender el rango mediante el método de Gauss ] Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 27

28 (A/b) ' &1 n n &1 1 &1 1 1 n ORLAMOS &1 1 _ / 0 ` n 1 1 n & n & &1 1 &1 1 n ' &2n 2 % 2 ' 0 [ Observa: Seleccionamos un MENOR sin parámetros para ORLAR] si -2n = 0 Y n 2 = 1 Y n = ± 1 si n = 1 Y Rang (A/b) = 2 si n = -1 Y Rang (A/b) = 2 si n 1, -1 Y Rang (A/b) = 3 iii) Si n = 1 A' m m m 1 1 GAUSS 6 (2ª columna ) m & m 0 m & Y Si m ' 1 Rang(A) ' 1 Si m 1 Rang(A) ' 2 (A/b)' m m 1 m m & m 0 m & Y Si m ' 1 Rang(A/b) ' 1 Si m 1 Rang(A/b) ' 2 CLASIFICACIÓ m = 1 y n = 1 Rang (A) ' 1 Rang (A/b) ' 1 Sistema Compatible Indeterminado Sistemas Ecuaciones ( Infinitas Soluciones ) Lineales m = 1 y n 1 Rang (A) ' 2 Rang (A/b) ' 2 Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones ) Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 28

29 m = -1 y n = 1 Rang (A) ' 2 Rang (A/b) ' 2 m = -1 y n = -1 m = -1 y n 1, -1 Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones ) Rang (A) ' 2 Rang (A/b) ' 2 Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones ) Rang (A) ' 2 Rang (A/b) ' 3 n = 1 y m = 1 n = 1 y m 1 Sistema Incompatible ( o tiene solución ) Rang (A) ' 1 Rang (A/b) ' 1 Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones ) Rang (A) ' 2 Rang (A/b) ' 2 m 1, -1 y n 1 Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones ) Rang (A) ' 3 Rang (A/b) ' 3 Sistema Compatible Determinado ( Solución única ) TEST DE COMPRENSIÓN Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 29

30 1. Dado el sistema x % y 1 &1 1 % ' & Es Compatible Determinado 1.2. Es Compatible Indeterminado 1.3. Es Incompatible 2. En un Sistema de Ecuaciones Lineales con mayor número de ecuaciones que incógnitas, se tiene : 2.1. El Sistema es necesariamente Compatible Indeterminado 2.2. El Sistema puede ser Compatible 2.3. Carece de sentido matemático pues un Sistema no puede tener más ecuaciones que incógnitas La solución del Sistema &1 0 3 y ' 0 es : x = 0 ; y = 0 ; z = 0 solamente 3.2. x = 0 ; y = y ; z = 0 œ y 0 ú 3.3. x = x ; y = 0 ; z = z œ x, z 0 ú x z La clasificación del Sistema del apartado 3 es : 4.1. Sistema Homogéneo Compatible Determinado 4.2. Sistema Homogéneo Compatible Indeterminado Sistemas 4.3. Incompatible Ecuaciones Lineales 5. Sean A 0 M n, v 0 M nx1. Si el Sistema Homogéneo ( A - 8I) v = 0, 8 0 ú, es Compatible Indeterminado : 5.1. Rang ( A - 8I) = n 5.2. Rang ( A - 8I) > n 5.3. *A - 8I* = 0 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 30

31 6. Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales : α x y z ' a b c 6.1. Es Compatible Determinado œ (a,b,c) 0 ú 3 siempre que " Es Compatible Determinado œ (a,b,c) 0 ú 3 / (a,b,c) (0,0,0) 6.3. Es Compatible Determinado œ (a,b,c) 0 ú 3 siempre que " = 1 7. Sea A 0 M 4x3 (ú ) y b 0 ú El Sistema A x = b es siempre Incompatible 7.2. El Sistema A x = b es Incompatible, si det (A/b) El Sistema A x = b nunca puede tener solución única 8. Dado el Sistema A x = b, sea x * la solución del Sistema Homogéneo A x = 0 y x 0 una solución particular (A x 0 =b) x * + x 0 nos da la Solución del Sistema 8.2. x * + x 0 carece de sentido matemático 8.3. x * + x 0 no es Solución del Sistema 9. Sea A 0 M n una matriz REGULAR A x = b es un Sistema Compatible Indeterminado œ b 0 ú n 9.2. A x = b es un Sistema Incompatible œ b 0 ú n 9.3. x = A -1 b es la única solución del Sistema A x = b 10. Un sistema de Ecuaciones Lineales : Siempre tiene solución Su clasificación depende del Rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada Sistemas Nunca tiene solución Ecuaciones única Lineales SOLUCION 1. a 2.b 3.b 4.b 5.c 6.a 7. b 8.a 9.c 10.b Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 31

32 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Clasificar y resolver los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales : [ Operar por el método que se estime más conveniente en cada caso ] 1.1.& x 1 % 3x 2 % 2x 3 ' &1 2x 1 % x 2 & x 3 ' 4 3x 1 % x 2 % x 3 ' & x 1 % 2x 2 % 3x 3 % 4x 4 ' 1 2x 1 % 4x 2 % 6x 3 % 8x 4 ' 2 x 1 % 6x 2 % 9x 3 % 12x 4 ' & 2x 1 & x 2 % x 3 ' &1 x 1 % 3x 2 % 2x 3 ' 2 3x 1 % 2x 2 % 3x 3 ' & x % y % z ' 0 2x & y % 3z ' 0 x & y % 2z ' 0 Dar así mismo 2 soluciones diferentes del Sistema 1.5.& &x % y % 2z ' 0 x % 3y ' &z 2x % y % z ' Sea A 0 M 3 (ú) y el Sistema Homogéneo A x = 0 Qué debe cumplir el det(a) para que el Sistema : Sólo admita la solución trivial Tenga infinitas soluciones Sea A 0 M n (ú), 8 0 ú y el Sistema Homogéneo (A - 8I) x = Cuántas ecuaciones tiene? Cuántas incógnitas tiene? Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 32

33 12.3. Qué condición debe cumplirse para que tenga infinitas soluciones? Clasificar según valores de a 0 ú Y resolver los casos de Compatibilidad. (a%2)x % y % z ' 3 x % (a%2)y % z ' 3 x % y % (a%2)z ' Clasificar según a, b 0 ú 2x % 3y & az ' 1 x % 2y % 3z ' b ax % 5y ' Hallar para qué valores de a 0 ú es compatible el Sistema ax % 3y & 2z ' 1 2x % y % 5z ' 2 3x % 4y % 3z ' 3a Clasificar según valores de a, b 0 ú &2x % y % z ' 1 x & 2y % z ' &8 x % y & 2z ' 3 y como aplicación del resultado obtenido, clasificar: ax % y % z ' 1%x x % ay % z ' b%y x % y % az ' 3%z Clasificar según valores de a y b 0 ú. Resolver los casos de compatibilidad. ax % y % z ' 1 x % ay % z ' b x % y % ay ' b 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 33

34 18..- Clasificar según valores de 8 0 ú. (λ % 1)x % y % z ' 0 x % (λ % 1)y % z ' 0 x % y % (λ % 1)z ' 0 y resolverlo para λ ' 0, λ ' 1, λ ' & Clasificar según valores de m 0 ú. x % y % mz ' 0 2x % 3y ' z y % z ' mx Clasifica y resuelve según valores de p, q 0 ú. 2p % 3r & 5q ' 7 r & q % 2p ' 3 &6q % 4p & 10 ' &4r &7q % 6r ' &5p % Clasifica y resuelve x 1 % x 2 & x 3 % x 4 % x 5 % x 6 & x 7 % x 8 & 2x 9 ' 2 2x 1 % 3x 2 % x 3 & x 4 ' 5 x 1 & x 2 % 2x 3 % x 5 & x 6 ' 2 x 4 % x 5 % x 6 & x 7 & x 8 & x 9 ' 0 x 6 % 2x 7 % x 8 ' 4 x 3 % x 4 % x 9 ' 3 x 2 & x 3 & 2x 4 % 3x 5 % x 6 & x 7 ' 1 x 7 & x 8 % x 9 ' 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Pàgina : 34