EMALCA AREQUIPA COORDINADORES: VLADIMIR ROSAS (UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN), RAFAEL LABARCA (UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE)

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1 EMALCA AREQUIPA LOCAL: UNVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN, Arequipa, Perú. FECHA: 9 al 21 de Julio de 2012 PUBLICO ESPERADO: DE PERU, DE BOLIVIA, DEL NORTE DE CHILE COORDINADORES: VLADIMIR ROSAS (UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN), RAFAEL LABARCA (UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE) COMISIÓN ORGANIZADORA LOCAL: Renzo Osorio Ccoya. ; Vidal Martin Bolaños; María Torreblanca Todco; Elsa Mamani Palomino; Pedro Mamani; Marva Hurtado Soto; Angélica Choqueluque; Luz Vásquez Quispe; Richard Mamani Troncoso; Tulio Bravo Palomino, Rocio Bellido Dávila, Roger Maquito Gutierrez, Maria Tereza Cárdenas; Elizabeth Zea Torres; Maria Rodriguez; Zayda Villanueva, Doris Tupacyupanqui; Judith Cruz; Brito Sierra; Carina Viza, Nelly Solis; Maritza Gutierrez. COMITÉ CIENTÍFICO: PROF. DR. RAFAEL LABARCA B. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE PROF. DR. WILFREDO SOSA, UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA, PERU PROF. DR SEBASTIAN LORCA PIZARRO, UNIVERSIDAD DE TARAPACA, CHILE NUMERO DE PARTICIPANTES ESPERADOS: 30 DE PERU, 20 EXTRANJEROS. PROPUESTAS DE CURSOS: 1.- Prof. Dr. Oswaldo Araujo G. Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela. Cursillo: Métodos algebraicos y estructuras químicas. Resumen El objetivo de este cursillo es presentar algunas de las interrelaciones existen-tes entre, la Matemática y la Estructura Química, empleando técnicas de teo-ría de grafos, álgebra lineal, cuerpos y polinomios. Las aplicaciones de la teo-ría de grafos a la química han dado origen a la teoría de grafos químicos. La idea general es la de representar estructuras químicas por medio de grafos. La teoría de grafos químicos ha producido un número importante de índices topológicos o invariantes asociados al grafo que han demostrado ser muy útiles al reducir estructuras químicas a números que correlacionan con pro-piedades químicas. PROGRAMA 1. Introducción histórica de la teoría de grafos 2. Teoría algebraica de grafos 3. Índices topológico 2.- Prof. Dr. Jaime Orrillo. Profesor de Economía y de Matemáticas de la Universidad Católica de Brasilia. Cursillo: Introducción a la Economía Matemática

2 Este cursillo tiene como objetivo introducir La economía matemática a partir del estudio y análisis de la teoría del equilibrio general con mercados incompletos. Comenzamos definiendo una economía de Arrow-Debreu. En esta economía: definimos equilibrio, probamos su existencia y su eficiencia. Finalmente, definimos una economía de puras trocas y una estructura financiera la cual permite a los agentes transferir riqueza entre periodos y estados de la naturaleza (incertidumbre). Definimos equilibrio en esta economía, establecemos su existencia, analizamos su eficiencia y por último su indeterminación. Referencias 1. ARAUJO, A.. Introdução à Economia Matemática. Insituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, in portuguese 2. ARAUJO, A.. Economia Dinâmica e Mercados Incompletos. Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, in portuguese 3. Magill, M. and M. Quinzii (1996) Theory of Incomplete Markets. Cambridge: The MIT Press. 3.- PROFESOR DR. SEBASTIAN LORCA PIZARRO, Universidad de Tarpacá, Chile. MÉTODOS TOPOLÓGICOS APLICADOS A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES, OBJETIVO Y PROGRAMA: Continuando con un primer curso dictado en anteriores versiones de escuelas EMALCA, abordaremos otros tipos de ecuaciones no lineales. Se introducirá el método del tiro o disparo (shooting method) y se espera que el alumno sea capaz de aplicarlo a la resolución de problemas no lineales. Esperamos estudiar otros métodos topológicos simples, generalizando el teorema del valor intermedio, y que se aplican también a la resolución de problemas no lineales. 4.- Profesor Dr. Jesé Seade. Universidad Autónoma de México en Cuernavaca. Cursillo: Introducción a la Geometría Hiperbólica La geometría hiperbólica surge hacia finales del siglo XIX, como una respuesta a la pregunta de si el quinto postulado de la geometría euclidiana era o no necesario. En el plano hiperbólico, dada una ``recta R (o mejor dicho, una geodésica) y un punto P fuera de ella, existen una infinidad de rectas paralelas a R y que pasan por P. La geometría hiperbólica ha sido, desde entonces, una de las ramas más estudiadas de la matemática, teniendo fuertes relaciones con mucha áreas de la matemática contemporánea, como por ejemplo la teoría de superficies de Rieman, las variedades de dimensiones bajas y los sistemas dinámicos holomorfas, En este curso daremos una introducción a la geometría hiperbólica en dimensiones dos y tres. Empezaremos por definir la métrica hiperbólica y estudiaremos algunas propiedades fundamentales. Después nos enfocaremos en el estudio de grupos discretos de isometrías del plano y del espacio hiperbólico, los llamados grupos Kleinianos. Definiremos el conjunto límite y la región de discontinuidad. Estos se pueden pensar como subconjuntos de la esfera de Riemann, que son invariantes bajo la acción del grupo. En el conjunto límite

3 es donde se concentra la dinámica, y su geometría puede ser fascinante y sumamente rica y complicada. Finalmente, estudiaremos generalizaciones de la geometría hiperbólica clásica a dimensiones superiores. PROPUESTAS DE CONFERENCIAS 1.- Profesor Dr. Jesús Zapata, IMCA y PUC del Perú. Conferencias Estructuras geométricas sobre variedades. RESUMEN: El objetivo de esta conferencia es presentar un abordaje unificado de las diversas áreas de la geometría diferencial moderna a través del concepto general de estructuras geométricas sobre una variedad. Las estructuras geométricas más importantes que consideraremos en esta conferencia serán estas tres: * Estructuras Riemannianas * Estructuras complejas * Estructuras simplécticas. Será entonces a partir del entendimiento de estas estructuras que discutiremos algunos problemas de las áreas de Geometría Riemanniana, Geometría Compleja y Geometría Simpléctica respectivamente, así como también las relaciones que existen entre estas distintas geometrías. TEMARIO: Día 1: Introducción * Estructuras geométricas clásicas en R^m. * Los grupos clásicos de matrices (grupo ortogonal, grupo complejo, grupo simpléctico, etc). * La relación entre las estructuras geométricas clásicas en R^m y los grupos clásicos de matrices. * Grupos de Lie y discusiones acerca del concepto general de estructura geométrica. Día 2: Estructuras geométricas sobre variedades * Estructuras Riemannianas, complejas y simplécticas sobre una variedad. * Interpretación de una estructura geométrica. * Integrabilidad de estructuras geométricas. * Aplicaciones y problemas relacionados. 2.- Profesor Dr. Rafael Labarca, Universidad de Santiago de Chile. Conferencia: La construcción de los números enteros y racionales e introducción a la construcción de los números reales. Esta conferencia versará sobre lo que señala el título, repasando la construcción axiomática de los números naturales para construir los enteros y racionales. Luego se iniciará la construcción de los números reales.

4 3.- Profesor Doctor Ali Tahzibi, Universidad de Sao Paulo en SAO CARLOS Conferencia: Princípio de Cavalieri e sistemas dinâmicos unidimensionais (O Pesadelo de Fubini) Primeiro vamos lembrar o Teorema de Fubini (um caso especial deste teorema é conhecido como princípio de Cavalieri) na Teoria da Medida e daremos atenção especial às hipóteses deste famoso teorema. De fato, vamos convidar os participantes para um mundo onde as hipóteses do Teorema de Fubini não são satisfeitas. O fato é que para entrarmos neste mundo não precisamos apresentar exemplos sofisticados. Consideramos funções do intervalo [0,1] conhecidas por funções "tenda". Definimos a noção de ergodicidade de medida de Lebesgue. Estudamos a frequência de visita da órbita de um ponto típico do intervalo, a um subintervalo de [0,1]. A seguir apresentaremos uma partição de quadrado unitário em curvas analíticas que "formam as cenas de um pesadelo para Teorema de Fubini." Mais precisamente, vamos dividir o quadrado unitário em uma família de curvas e apresentamos um subconjunto A do quadrado unitário de medida de Lebesgue total tal que a interseção de A com cada curva seja apenas um ponto! Analisando este exemplo encontraremos a famosa escada de diabo também. O requisito para este minicurso é a Teoria da Medida, mas tentaremos definir tudo que necessitaremos durante o minicurso. Como curiosidades, se o tempo permitir, apresentaremos também brevemente os exemplos de alguns conjuntos "patológicos" como conjuntos de Nikodym que aparecem na Teoria Geométrica da Medida e comentaremos sobre o fato de que estes conjuntos aparecem em sistemas dinâmicos com muita frequencia. Ementa: 1. Elementos da Teoria da Medida: Medida, Conjuntos Mensuráveis, Funções Mensuráveis, Princípio de Cavalieri e Teorema de Fubbini. 2. Sistemas Dinâmicos: Órbita, Função Tenda, Recorrência e Ergodicidade. 4.- Profesora Dra. Leticia Brambila-Paz, CIMAT, Guanajuato, México. Conferencia: Introducción a los Fibrados vectoriales y espacios moduli. Resumen

5 El concepto de de espacio moduli se introduce en Geometría Algebraica cuando se consideran problemas de clasificación. B. Riemann en 1857 introdujo el término moduli cuando considero el espacio de parámetros de superficies de Riemann de genero fijo. En estas platicas explicare el concepto de espacio moduli, en particular el de los fibrados vectoriales sobre una curva algebraica. En la primera charla explicaré el concepto de espacio moduli en general y veremos algunos ejemplos. En al segunda charla explicaré el concepto de fibrado vectorial y las propiedades principales de estos. Veremos también como el espacio moduli de fibrados vectoriales (estables) está relacionado con distintas áreas de matemáticas.