Mejora iterativa. Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO. 9 de abril de CINVESTAV-Tamaulipas

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1 Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 9 de abril de 2018 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

2 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

3 Introducción 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

4 Introducción Mejora iterativa Introducción La clase pasada estudiamos los algoritmos codiciosos (greedy) los cuales construyen una solución de un problema de optimización paso a paso a través de una secuencia de elecciones que son: factibles, localmente óptimas e irrevocables Hoy veremos otro enfoque para diseñar algoritmos para resolver problemas de optimización: Comienza con una solución factible (que no viole las restricciones) Procede a mejorarla aplicando repetidamente un paso simple. Típicamente un pequeño cambio local que lleve a otra solución factible con mejor valor de la función objetivo Cuando dicho cambio no existe el algoritmo regresa la última solución factible encontrada y se detiene Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

5 Introducción Mejora iterativa Introducción Existen muchos problemas importantes que pueden ser resueltos mediante algoritmos de mejora iterativa El más importante de ellos es la programación lineal Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

6 Programación lineal 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

7 Programación lineal Mejora iterativa Programación lineal El término programación lineal define una clase particular de problemas de optimización en los que las restricciones del sistema se pueden expresar como: Ecuaciones lineales, o Desigualdades Además, la función objetivo es una función lineal de las variables de decisión/diseño Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

8 Programación lineal Mejora iterativa Programación lineal Las técnicas de programación lineal (PL) son ampliamente utilizadas para resolver una amplia serie de problemas militares, económicos, industriales y sociales Las razones principales para su amplio uso son: La disponibilidad de software comercial para resolver problemas muy grandes, y La facilidad con la que la variación de datos (análisis de sensibilidad) puede manejarse a través de modelos de PL Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

9 Formulación de modelos de PL 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

10 Formulación de modelos de PL Formulación de modelos de PL La formulación se refiere a la construcción de modelos de PL de problemas prácticos del mundo real No se trata de una ciencia Es cuestión de experiencia y práctica Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

11 Formulación de modelos de PL Formulación de modelos de PL Los pasos básicos para la formulación de un modelo de PL son: 1 Identificar las variables de decisión/diseño, 2 Expresar las restricciones del problema como ecuaciones lineales o inecuaciones, y 3 Escribir la función a optimizar (minimizar/maximizar) como una función lineal Ilustraremos estos pasos a través de un ejemplo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

12 Formulación de modelos de PL Ejemplo: problema de inspección Formulación de modelos de PL Una compañía tiene dos grados de inspectores (1 y 2), los cuales tienen que ser asignados a una inspección de control de calidad Se requiere que al menos 1800 piezas sean inspeccionadas por día (8 hrs) Los inspectores Grado 1 pueden verificar 25 piezas por hora con una precisión de 98 % Los inspectores Grado 2 pueden verificar 15 piezas por hora con una precisión de 95 % Los salarios para los inspectores son: $4.0/hr para Grado 1 y $3.0/hr para Grado 2 Cada vez que un inspector falla, el costo para la compañía es de $2.0 La compañía dispone de un máximo de plazas de inspector: 8 para Grado 1 y 10 para Grado 2 La compañía quiere determinar la asignación óptima de inspectores que minimice el costo total de inspección Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

13 Formulación de modelos de PL Ejemplo: problema de inspección Formulación de modelos de PL Paso 1. Identificar variables de decisión Las variables de decisión/diseño en este problema son x 1 y x 2 Estas representan el número de inspectores grado 1 y grado 2 asignados Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

14 Formulación de modelos de PL Ejemplo: problema de inspección Formulación de modelos de PL Paso 2. Expresar restricciones como ecuaciones lineales Dado que el número máximo de inspectores disponibles para cada grado es restringido (8 y 10), podemos escribir las siguientes restricciones: x 1 8 (grado 1) x 2 10 (grado 2) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

15 Formulación de modelos de PL Ejemplo: problema de inspección Formulación de modelos de PL Paso 2. Expresar restricciones como ecuaciones lineales... La compañía requiere que al menos 1800 piezas se inspeccionen diariamente y cada inspector tiene un máximo de piezas inspeccionadas por hora (25 y 15) 8(25)x 1 + 8(15)x x x simplificando: 5x 1 + 3x 2 45 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

16 Formulación de modelos de PL Ejemplo: problema de inspección Formulación de modelos de PL Paso 3. Escribir función objetivo (lineal) La compañía incurre en dos tipos de costos: (1) salarios de inspectores y (2) errores de inspección El costo para cada inspector grado 1 es: $4 + $2(25)(0.02) = $5.0/hr De manera similar el costo para cada inspector grado 2 es: $3 + $2(15)(0.05) = $4.5/hr Por lo tanto la función objetivo para minimizar los costos diarios de inspección es: Z = 8(5.0x x 2) = 40x x 2 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

17 Formulación de modelos de PL Ejemplo: problema de inspección Formulación de modelos de PL La formulación completa del problema de PL es la siguiente: Minimizar: Z = 40x x 2 Sujeto a: x 1 8 x x 1 + 3x 2 45 x 1 0 x 2 0 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

18 Representación y proyección de poliedros 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

19 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros Acabamos de ver cómo formular un problema de PL (problema de inspección) Minimizar: Z = 40x x 2 Sujeto a: x 1 8 x x 1 + 3x 2 45 x 1 0 x 2 0 Para resolverlo se requieren conocer los valores de x 1 y x 2 que satisfagan las restricciones y resulten en el menor valor de la función objetivo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

20 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros Minimizar: Z = 40x x 2 Sujeto a: x 1 8 x x 1 + 3x 2 45 x 1 0 x 2 0 Primero identificaremos todos los valores de x 1 y x 2 (positivos) que satisfagan las restricciones Por ejemplo, x 1 = 8 y x 2 = 10 (solución factible) El conjunto de todas las soluciones factibles es conocido como la región factible Resolver un problema de PL es encontrar la mejor solución en la región factible (solución óptima) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

21 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros La región factible puede ser representada como un poliedro en un plano cartesiano Las restricciones de no negatividad (x 1 0 y x 2 0) implican que todas las soluciones factibles caen en el primer cuadrante Las restricciones x 1 8 y x 2 10 acotan aún más la región factible Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

22 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros La restricción 5x 1 + 3x 2 45 (inspección de 1800 piezas diarias) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

23 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros La función objetivo Z = 40x x 2 = 600 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

26 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros La solución óptima es x 1 = 8 y x 2 = 2 que resulta en Z = 380 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

27 Representación y proyección de poliedros Representación y proyección de poliedros Existen tres posibles resultados para un determinado problema de PL: Factible: Existe al menos una solución óptima Existe un único vértice de la región factible (una solución óptima) Existen una arista o cara de la región factible ortogonal a la función objetivo (múltiples soluciones óptimas) No factible: La región factible es no acotada, y por lo tanto, no hay solución No acotado: La región factible es no acotada en la dirección de la función objetivo, por lo que no existe solución óptima finita Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

28 Representación y proyección de poliedros Problema de PL factible con solución óptima única Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

29 Representación y proyección de poliedros Problema de PL factible con múltiples soluciones óptimas Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

30 Representación y proyección de poliedros Problema de PL no factible (región factible vacía) No existe solución óptima Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

31 Representación y proyección de poliedros Problema de PL no acotado en la dirección del gradiente de la función objetivo (maximización) No existe solución óptima finita (óptimo no acotado) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

32 Representación y proyección de poliedros Problema de PL no acotado en dirección diferente a la del gradiente de la función objetivo (minimización) Existe una solución óptima Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

33 Representación y proyección de poliedros Es importante observar que si existe una solución óptima para un problema de PL, entonces al menos uno de los vértices de la región factible calificará siempre para ser una solución óptima Esta es la propiedad fundamental en la cual se basa el método simplex para resolver problemas de PL Aún cuando la región factible de un problema de PL puede contener un número infinito de puntos, la solución óptima puede obtenerse al examinar sistemáticamente un número finito de vértices de la región factible Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

34 PL en espacios dimensionales mayores 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

35 PL en espacios dimensionales mayores PL en espacios dimensionales mayores Una tienda de chocolates tiene tres productos: chocolate blanco, chocolate amargo y chocolate con leche Si la demanda diaria está limitada a máximo: 200 cajas de chocolate blanco y 300 de chocolate amargo La ganancias por caja son: $1 para chocolate blanco, $6 para chocolate amargo y $13 para chocolate con leche El personal sólo puede producir 400 cajas por día El chocolate amargo y el chocolate con leche requieren la misma maquinaria para empaque, excepto que el chocolate con leche la emplea tres veces más tiempo El tiempo total de empaque de ambos tipos de chocolate no debe exceder 600 minutos Cuánto debe producir para maximizar sus ganancias? Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

36 PL en espacios dimensionales mayores PL en espacios dimensionales mayores Maximizar: Z = x 1 + 6x x 3 Sujeto a: x x x 1 + x 2 + x x 2 + 3x x 1, x 2, x 3 0 Un posible trayectoria del método simplex: 1 (0,0,0)=$0 2 (200,0,0)=$200 3 (200,200,0)=$ (200,0,200)=$ (0,300,100)=$3100 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

37 Teoría de la dualidad 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

38 Teoría de la dualidad Mejora iterativa Teoría de la dualidad Desde el punto de vista teórico y práctico, la teoría de la dualidad es uno de los conceptos más importantes e interesantes en PL La teoría de la dualidad fue desarrollada de manera independiente por John von Neumann y Leonid Kantoróvich en 1947 La idea básica detrás de la teoría de la dualidad es que cada problema de PL (primal) tiene asociado un programa lineal conocido como su dual Por lo tanto, cuando se resuelve un problema de PL, en realidad se obtienen soluciones para dos problemas de PL Veamos el concepto de dualidad con un ejemplo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

39 Teoría de la dualidad Problema primal Maximizar: Z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 Sujeto a: x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Problema dual Minimizar: W = 20y y 2 Sujeto a: y 1 + 2y 2 1 2y 1 + y 2 2 2y 1 + 3y 2 3 3y 1 + 2y 2 4 y 1, y 2 0 Primal: 4 variables, 2 restricciones. Dual: 2 variables, 4 restricciones Cada restricción (fila) en el primal corresponde a una columna en el dual El objetivo primal de maximizar cambia a minimizar Coeficientes de función obj (primal) son constantes en el lado derecho del problema dual Constantes del lado derecho (primal) son los coeficientes de costos en el dual Las desigualdades se invierten en las restricciones El dual del dual es el problema primal Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

40 Teoría de la dualidad Teoría de la dualidad Problema primal Maximizar: c T x Sujeto a: Ax b x 0 Problema dual Minimizar: b T y Sujeto a: A T y c y 0 x T = [x 1, x 2,..., x n] y c T = [c 1, c 2,..., c n] son vectores en R n b T = [b 1, b 2,..., b m] R m A = [a ij] es una matriz en R m n y T = [y 1, y 2,..., y m] 0 Si todas las variables son no negativas y las restricciones son desigualdades entonces son problemas duales simétricos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

41 Teoremas de dualidad 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

42 Teoremas de dualidad Mejora iterativa Teoremas de dualidad Para los siguientes teoremas y axiomas consideremos los problemas duales simétricos: maximizar c T x, Ax b, x 0, y minimizar b T y, A T y c, y 0 Teorema de dualidad débil En general, el valor de la función objetivo de cualquier solución factible del problema dual provee una cota superior (i.e., es siempre mayor o igual que) para cualquier solución factible del problema primal. Análogamente, cualquier solución factible del problema primal es una cota inferior para el problema dual. Ilustremos este teorema con el siguiente ejemplo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

43 Teoremas de dualidad Teoremas de dualidad, ejemplo Problema primal Maximizar: Z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 Sujeto a: x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Problema dual Minimizar: W = 20y y 2 Sujeto a: y 1 + 2y 2 1 2y 1 + y 2 2 2y 1 + 3y 2 3 3y 1 + 2y 2 4 y 1, y 2 0 Una solución factible cualquiera x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1 del problema primal, Z = c T x = 10 Una solución factible cualquiera y 1 = y 2 = 1 del problema dual, W = b T y = 40 Observe que c T x < b T y lo que satisface el teorema de dualidad débil El mínimo valor de W no puede ser menor que 10 De forma similar, el máximo valor de Z para el problema primal no puede exceder 40 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

44 Teoremas de dualidad Mejora iterativa Teoremas de dualidad Teorema de dualidad fuerte Si [y 1, y 2,..., y m ] es una solución factible del dual de un problema y [x 1, x 2,..., x n ] es una solución factible del problema primal correspondiente, tales que c T x = b T y, entonces ambas soluciones son óptimas para sus respectivos problemas. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

45 Teoremas de dualidad Teoremas de dualidad, ejemplo Problema primal Maximizar: Z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 Sujeto a: x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Problema dual Minimizar: W = 20y y 2 Sujeto a: y 1 + 2y 2 1 2y 1 + y 2 2 2y 1 + 3y 2 3 3y 1 + 2y 2 4 y 1, y 2 0 La solución óptima para el problema primal es Z = c T x = 28 con x 1 = x 2 = 0 y x 3 = x 4 = 4 La solución óptima del problema dual es W = b T y = 28 con y 1 = 6 5 y y2 = 1 5 c T x = b T y, i.e., ambas coinciden Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

46 Teoremas de dualidad Mejora iterativa Teoremas de dualidad Resumiendo: Cada solución factible del problema dual representa una cota superior del valor óptimo del problema primal Recíprocamente, cada solución factible del problema primal representa una cota inferior del valor óptimo del problema dual Si uno de los problemas admite una solución óptima, entonces el otro problema también y ambas soluciones óptimas coinciden Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

47 Teoremas de dualidad Mejora iterativa Teoremas de dualidad Corolario 1 Si el problema primal es factible y su objetivo no está acotado (i.e., max c T x + ), entonces el problema dual no puede tener una solución factible. Corolario 2 Si el problema dual es factible y no está acotado (i.e., min b T y ), entonces el problema primal es no factible. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

48 Teoremas de dualidad Mejora iterativa Teoremas de dualidad Corolario 3 Si el problema primal es factible, y el dual es no factible, entonces el primal es no acotado. Corolario 4 Si el problema dual es factible y el primal es no factible, entonces el dual es no acotado. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

49 Importancia de la dualidad en PL 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

50 Importancia de la dualidad en PL Importancia de la dualidad en PL Resolver los problemas duales se justifica en el caso de problemas primales donde el número de restricciones supere al número de variables, pues resulta más fácil Una ventaja es que como el número de restricciones y variables entre un problema dual y su primal es inverso, entonces es posible resolver gráficamente problemas con dos restricciones sin importar el número de variables que empleen Resolver el problema dual permite obtener una cota superior del valor óptimo del problema primal (certificado de optimalidad) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

51 certificado de optimalidad, ejemplo Importancia de la dualidad en PL Problema primal Maximizar: x 1 + 6x 2 = Z Sujeto a: x x x 1 + x x 1, x 2, x 3, x 4 0 Problema dual Minimizar: 200y y y 3 = W Sujeto a: y 1 + y 3 1 y 2 + y 3 6 y 1, y 2, y 3 0 Buscar cota superior del óptimo primal mediante una combinación lineal de las restricciones y 1(x 1)+y 2(x 2)+y 3(x 1 +x 2) = (y 1 +y 3)x 1 +(y 2 +y 3)x 2 200y y y 3 Queremos que el lado izquierdo se asemeje a x 1 + 6x 2 para que el derecho represente una cota superior del óptimo con y 1, y 2, y 3 0 Para eso requerimos que (y 1 + y 3) 1 y (y 2 + y 3) 6 y obtenemos la cota superior x 1 + 6x 2 200y y y 3 Óptimo dual es W = b T y = 1900 con y 1 = 0, y 2 = 5 y y 3 = 1 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

52 Algoritmo Simplex 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

53 Algoritmo Simplex Mejora iterativa Algoritmo Simplex El algoritmo simplex es un método analítico de solución de problemas de PL capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico (sin restricción en el número de variables) El algoritmo simplex primal fue desarrollado por el matemático norteamericano George Dantzig en 1947 Es un método de mejora iterativa que procede examinando vértices adyacentes del poliedro de soluciones para mejorar la solución en cada paso Dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se encontrará una solución Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

54 Algoritmo Simplex Mejora iterativa Algoritmo Simplex El algoritmo simplex es la alternativa más popular para resolver problemas de PL Algoritmo Simplex Sea v cualquier vértice de la región factible while exista un vecino v de v con mejor valor objetivo do v = v end while Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

55 Algoritmo Simplex Mejora iterativa Algoritmo Simplex Cada vértice está especificado por n inecuaciones Dos vértices son vecinos si tienen n 1 restricciones en común Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

56 Algoritmo Simplex Algoritmo Simplex Maximizar: Z = x 1 + 6x x 3 Sujeto a: x x x 1 + x 2 + x x 2 + 3x x 1, x 2, x 3 0 Un posible trayectoria del método simplex: 1 (0,0,0)=$0 2 (200,0,0)=$200 3 (200,200,0)=$ (200,0,200)=$ (0,300,100)=$3100 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

57 Algoritmo Simplex Mejora iterativa Algoritmo Simplex En el peor caso, el algoritmo simplex visitará ( ) n+m n vértices, siendo n el número de variables y m el número de restricciones, lo cual implica un tiempo exponencial en n Sin embargo, este caso raramente se presenta en la práctica Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

58 Algoritmo Simplex Mejora iterativa Algoritmo Simplex Un buen vértice de inicio, por la facilidad de identificación, es el origen En adelante, se busca resolver sistemas de ecuaciones (restricciones) para encontrar nuevos vértices El algoritmo simplex consiste en resolver continuamente sistemas de ecuaciones lineales, pero tiene la ventaja de que, para cada siguiente problema, sólo se ha modificado una de las restricciones Varios métodos de resolución de ecuaciones pueden aprovechar este hecho, entre ellos la Eliminación Gaussiana Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

59 Algoritmo Simplex, desventajas Algoritmo Simplex El algoritmo simplex no es un algoritmo polinomial en tiempo Algunos casos raros de programas de PL causan que éste vaya de un vértice de la región factible a otro mejor y después a otro todavía mejor, y así sucesivamente por un número exponencial de veces (ciclado) Por esta razón por mucho tiempo la PL fue considerada una paradoja: Un problema que puede ser resuelto en la práctica, pero no en la teoría En otras palabras se creía que no era posible resolverlo en tiempo polinomial Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

60 Otros algoritmos 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

61 Otros algoritmos Otros algoritmos, método del elipsoide En 1979, Leonid Khachiyan (matemático soviético) diseñó el llamado Algoritmo del Elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la PL es resoluble en tiempo polinomial (i.e., de manera eficiente) Este algoritmo es muy diferente al método simplex. En vez de saltar de vértice en vértice del poliedro, lo confina a elipsoides cada vez más pequeños Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

62 Otros algoritmos Otros algoritmos, método del elipsoide Imagen tomada de Wikipedia Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

63 Otros algoritmos Otros algoritmos, método del elipsoide Cuando este algoritmo se publicó fue un gran logro para la URSS sobre EEUU (en plena Guerra Fria), pues mostraba la posible superioridad científica de la Unión Soviética El algoritmo del elipsoide fue una gran aportación teórica, pero en la práctica no funcionaba tan bien como el simplex La paradoja de la PL se agravó: Un problema con 2 algoritmos, uno eficiente en teoría, y uno eficiente en la práctica Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

64 Otros algoritmos Otros algoritmos, método de punto interior Años más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar (estudiante indio en UC Berkeley) introduce una idea completamente nueva, que lo lleva a obtener otro algoritmo probablemente polinomial en tiempo El algoritmo de Karmarkar se conoce como método de punto interior porque la solución actual no sigue la frontera de la región factible (vértices o arcos del poliedro) como en el caso del método simplex Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

65 Otros algoritmos Otros algoritmos, método de punto interior Sino que se mueven a través del interior de la región factible, mejorando cada vez más la aproximación de la solución óptima en cada iteración, hasta converger (i.e., traza un camino inteligente al interior del poliedro de la región factible) El algoritmo de Karmarkar se desempeña muy bien en la práctica Constituyó un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área de PL Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

66 Otros algoritmos Otros algoritmos, método de punto interior Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

67 Software para resolver problemas de PL 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

68 Software para resolver problemas de PL Software para resolver problemas de PL Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

69 Software para resolver problemas de PL Software para resolver problemas de PL Algunas ligas útiles: cplex-optimizer/ Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

70 Software para resolver problemas de PL Software para resolver problemas de PL Mathematica a través del lenguaje Wolfram permite tener acceso a una serie de algoritmos para resolver problemas de PL Utiliza principalmente el formato MPS (Mathematical Programming System) para importar modelos de PL de gran tamaño En la siguiente URL hay un excelente tutorial: ConstrainedOptimizationLinearProgramming.html Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

71 PL para resolver problemas combinatorios 1 Mejora iterativa Introducción Programación lineal Formulación de modelos de PL Representación y proyección de poliedros PL en espacios dimensionales mayores Teoría de la dualidad Teoremas de dualidad Importancia de la dualidad en PL Algoritmo Simplex Otros algoritmos Software para resolver problemas de PL PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

72 PL para resolver problemas combinatorios PL para resolver problemas combinatorios Flujo máximo en redes Red de Transporte Una Red de Transporte es un grafo con pesos (V, E, c), donde hay dos nodos especiales: uno llamado fuente s y otro llamado sumidero t. Se asume que todo nodo del grafo v V está en un camino s v t. El peso de cada arco e debe ser no negativo y representa su capacidad, c(e) 0. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

73 PL para resolver problemas combinatorios PL para resolver problemas combinatorios Un flujo f en una red de trasporte (V, E, c) es una asignación de un valor numérico f(e) a cada arco e E que satisface: 1 Restricción de capacidad: e E: 0 f(e) c(e) 2 Conservación de flujo: v V {s, t}: f(x, v) = {x,v} E {v,y} E f(v, y) Para cualquier nodo v el flujo total de entrada es igual al flujo total de salida El valor del flujo f se define como la cantidad total de flujo enviada de s a t: f = f(s, v) {s,v} E Por conservación de flujo, f es igual al flujo total que sale de s Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

74 PL para resolver problemas combinatorios PL para resolver problemas combinatorios Cada arco tiene entonces dos valores asignados: flujo / capacidad Para este ejemplo f = 19 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

75 PL para resolver problemas combinatorios PL para resolver problemas combinatorios Dada una red de trasporte (V, E, c) encontrar un flujo f con máximo valor f La formulación en PL es directa: Para cada arco e E se tiene una variable de decisión x e que representa su flujo con las restricciones 0 x e c(e) Función objetivo: Maximizar z = e E x e donde e = {s, v} Restricciones para cada nodo v diferente de s y t: x e = x e e={x,v} E e ={v,y} E Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

76 PL para resolver problemas combinatorios PL para resolver problemas combinatorios Maximizar: Z = x 61 + x 64 Sujeto a: x 61 + x 41 = x 12 + x 14 x 64 + x 14 + x 24 = x 41 + x 43 x 12 + x 32 = x 24 + x 25 x 43 = x 32 + x 35 0 x x x x x x x x x x Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82

77 PL para resolver problemas combinatorios PL para resolver problemas combinatorios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Mejora iterativa 9 de abril de / 82