INTERPOLACIÓN DE OPERADORES. EN ESPACIOS L p. Guillermo Javier Flores Directora: Dra. Elida Ferreyra

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA, FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA Trabajo especial de licenciatura INTERPOLACIÓN DE OPERADORES EN ESPACIOS L p Guillermo Javier Flores Directora: Dra. Elida Ferreyra Marzo de 2

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3 De Mí obtiene el sol el calor que él emite, y del mismo modo retengo y rocío la lluvia sobre la superficie de la tierra. El Bhagavad Gita Canto del Señor 3

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5 46B7. Interpolation between normed linear spaces. 46E3. Spaces of measurable functions (L p -spaces, Orlicz spaces, Kthe function spaces, Lorentz spaces, rearrangement invariant spaces, ideal spaces, etc.) 46G2. Measures and integration on abstract linear spaces. Resumen En el capítulo I presentamos el Teorema de convexidad de Riesz-Thorin y diferentes aplicaciones. Y concluimos con el Teorema de interpolación de Riesz-Stein. En el capítulo II, hacemos un breve estudio de operadores de tipo débil y función distribución, definimos la clase de Marcinkievicz y demostramos los Teoremas de interpolación de Marcinkievicz. Caso diagonal y caso general. Damos algunas aplicaciones. Concluimos este capítulo con las Condiciones de Kolmogoroff y Zygmund. Este trabajo contiene un Apéndice donde destacamos variados resultados matemáticos, fundamentales para el entendimiento de los dos capítulos. Palabras claves: interpolación, transformada de Fourier, operadores de convolución, espacios L p. 5

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7 Índice Introducción 9 Breve reseña histórica Capítulo I. Teorema de Convexidad de Riesz-Thorin 3.Preliminares 3 2.Teorema de Riesz-Thorin 8 3.Aplicaciones del teorema de convexidad 9 4.Prueba del teorema de convexidad. Método complejo 23 Capítulo II. Teorema de Marcinkievicz 3.Función Distribución y Operadores de tipo débil 3 2.Teorema de Marcinkievicz. Caso diagonal 37 3.Teorema de Marcinkievicz. Caso general 45 Apéndice 59 Referencias 73 7

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9 Introducción En el campo de la Matemática, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos a partir de un conjunto discreto de puntos. Problemas de este tipo son comunes en la Física o Análisis Numérico. La teoría de interpolación de operadores en espacios L p está fuertemente ligada con este concepto y encuentra muchas aplicaciones en análisis funcional y armónico. El amplio conocimiento actual sobre la teoría de la medida e integración en diferentes espacios, y los problemas más destacados de este tema, son los que brindan el argumento de la importancia en el desarrollo de interpolación de operadores. Frecuentemente, ciertos operadores de distinta clase son estudiados y es importante conocer si son acotados o no desde un espacio de medida en otro. Muchas veces estos operadores, tienen una expresión analítica que toma sentido para un determinado conjunto o tipo de funciones fácilmente manejables, pero carece de sentido cuando queremos extenteder el dominio del operador a un espacio más general o a otro espacio de funciones. La interpretación de los teoremas de interpolación, puede dar alguna información para la solución de este tipo de problemas. A lo largo de este trabajo, aplicaremos los teoremas de interpolación a operadores destacados como el de Fourier, los de convolución y los potenciales de Riesz. Nuestro objetivo es hacer una exposición detallada sobre los teoremas de convexidad de Riesz-Thorin y los teoremas de interpolación de Riesz-Stein y Marcinkievicz. También, mostrar importantes aplicaciones sobre operadores y generalización de desigualdades clásicas. Para comenzar, en el capítulo I damos los preliminares necesarios para poder enunciar el Teorema de convexidad de Riesz-Thorin. El conocimiento de la teoría de la medida, el análisis funcional de operadores y espacios de Lebegue, son los que nos pemitirán entender esta primera parte. Luego enunciamos el teorema de convexidad y damos diferentes aplicaciones. Seguimos con el desarrollo de la demostración del teorema a través del llamado método complejo. Y concluimos este capítulo con el Teorema de interpolación de Riesz-Stein. El capítulo II, básicamente consta de dos partes. En la primera, hacemos un breve estudio de operadores de tipo débil y función distribución, definimos la clase de Marcinkievicz. Luego demostramos el Teorema de in- 9

10 terpolación de Marcinkievicz. Caso diagonal y mostramos algunas de sus aplicaciones más conocidas. En la segunda parte, nos concentramos en el estudio del Teorema de interpolación de Marcinkievicz. Caso general y una de sus importantes aplicaciones. Concluimos este capítulo con las Condiciones de Kolmogoroff y Zygmund. Este trabajo contiene una tercera parte, que es el Apéndice. En éste destacamos importantes resultados matemáticos, clásicos y actuales, los cuales son fundamentales para la entendimiento de los dos capítulos. Teoremas como La desigualdad de Hölder, Desigualdad integral de Minkowski y Desigualdad de Young son ejemplos de los resultados clásicos. El llamado Principio del máximo de Phragmén-Lindelöf y el Teorema de las tres líneas son el argumento principal en el desarrollo de la demostración del teorema de Riesz-Thorin a través del método complejo.

11 Breve reseña histórica El primer resultado de interpolación de operadores data del año 9 y es debido a I. Schur. Dos años más tarde, Young prueba un resultado del mismo tipo referente a espacios L p y a un operador T. La extensión de estos resultados a operadores lineales entre espacios L p generales son los teoremas de Riesz-Thorin (Riesz en 926 y Thorin, por el método complejo, en 948) y Marcinkiewicz (usando el método real en 939). La demostración de este último teorema, en su caso más general, es debida a Zygmund en el año 956. En el mismo año A. P. Calderón y Zygmund extienden los teoremas de interpolación al caso de operadores sub-lineales y, E. M. Stein demuestra un teorema de interpolación relativo a familias analíticas de operadores. En la década de los 6, A. P. Calderón, J. L. Lions y J. Peetre desarrollan una teoría que incluye espacios de Banach abstractos y que generaliza los resultados anteriores. Esta teoría puede ser resumida del siguiente modo. Sean (A, A ) y (B, B ) dos pares compatibles de espacios de Banach (esto es, existen dos espacios vectoriales topológicos separados A y B tales que A, A están contenidos continuamente en A, y B, B en B) y sea T : A B un operador tal que su restricción a A i da un operador continuo de A i en B i, i =,. Un método de interpolación consiste en construir espacios de Banach A y B tales que T : A B resulte lineal continuo (propiedad de interpolación). Existen dos diferentes puntos de vista según que las técnicas empleadas sean de variable real o de variable compleja. Se llaman respectivamente método real (desarrollado por J. L. Lions, J. Peetre) y método complejo (desarrollado por J. L. Lions, A. P. Calderón). http : //biblioteca.universia.net/html bura/f icha/params/id/ html

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13 Capítulo I Teorema de convexidad de Riesz-Thorin.Preliminares Sea (,µ) un espacio de medida σ-finito, donde µ es una medida positiva y L p = L p (, µ) el correspondiente espacio de Lebesgue sobre los números complejos (o reales), de todas las funciones f a valores en C (o R) y medibles, con f p = ( f p dµ) p <. Para toda función f y para todo λ > cosideremos: Luego y f λ (x) = { f(x) si f(x) λ si f(x) > λ { si f(x) λ f λ (x) = f(x) si f(x) > λ f = f λ + f λ, Entonces, para p p, tenemos que f p = f λ p + f λ p f λ λ, f λ f, f λ f. (.a) (.b) f λ p p λ p p implica f λ p λ p p f λ p λ p p f p, y para p p, f λ p p λ p p implica f λ p λ p p f λ p λ p p f p. Ahora consideremos el espacio vectorial sobre C (ó R) L p +L p las funciones de la forma f = f + f donde f L p y f L p. de todas Lema. Sean p p p y λ >. (a) Si f L p entoces f λ L p y f λ L p. (b) L p L p + L p. (c) Si f L p L p y p < entonces f p p f p p + f p p. 3

14 (d) Si f L p L entonces f L p. Demostración: (a) y (b) resultan de los comentarios anteriores al lema. Para probar (c) tomamos λ = y usamos f implica f p p implica f p f p y f p p implica f p f p, por lo tanto f p = f p + f p f p + f p f p + f p. Probemos (d): en los casos p = p ó p =, es inmediato. Veamos el caso p < p <, sabemos que f(x) f p.p. x y tomamos = E E 2 donde E = {x : f(x) } y E 2 = {x : f(x) > }, entonces f p dµ = f p dµ + E f p dµ E 2 f p dµ + E f p dµ f p p + f p µ(e 2 ), E 2 como f(x) en E 2 tenemos µ(e 2 ) = dµ E 2 f p dµ E 2 luego f L p. f p dµ <, De las partes (c) y (d) del Lema. podemos observar que, en general, si p p p y f L p L p, entonces f L p. Fijemos dos espacios de medidas (,µ), (Y,ν) y consideremos operadores lineales T definidos en un subespacio de funciones µ-medibles sobre con imagen en el espacio de las funciones ν-medibles sobre Y. Si p p < y T es un operador lineal definido en L p + L p, entonces T está definido en el conjunto L p L p y es lineal en L p y L p. Recíprocamente, si T está definido en el conjunto L p L p y es lineal en los espacios L p y L p, existe un único operador lineal T definido en el espacio L p + L p tal que T = T en L p L p (dado por T (g + h) = T (g) + T (h) para g L p y h L p ). 4

15 Por lo tanto, si tenemos un operador lineal T definido en L p + L p, ó un operador T definido en el conjunto L p L p tal que es lineal en los espacios L p y L p, por la parte (b) del Lema. T se extiende a todo espacio L p con p p p. Un operador lineal T se dice sub-lineal si T (f + g) está unívocamente definido, siempre que T (f) y T (g) estén definidos y además T (f + g) T (f) + T (g). Definición.2 Un operador lineal T (o sub-lineal) definido en un espacio vectorial L L p (, µ) es de tipo (p,q) sobre L con constante M pq <, si T f L q (Y, ν) y T f q M pq f p para toda f L. Si L = L p, simplemente diremos que T es de tipo (p,q) con constante M pq, lo cual es equivalente a decir que T es un operador acotado o continuo desde L p (, µ) en L q (Y, ν) con norma T pq M pq. Definición.3 El conjunto tipo de T, es el conjunto τ(t ) de todos los puntos (, ) en p q R2 tales que L p está contenido en el dominio de definición de T y T es de tipo (p, q). En general trabajaremos con operadores de tipo (p,q) donde p, q, y estamos interesados en los conjuntos tipo contenidos en el cuadrado unidad del plano {(x, y) R 2 : x, y }. Por ejemplo, si sabemos que T es de tipo (p,p), el conjunto τ(t ) contiene el punto (, ) el cual pertenece a la diagonal principal. Y si T es de tipo p p (p,p ) donde + =, τ(t ) contiene el punto (, ) el cual pertenece a p p p p la diagonal secundaria: podemos apreciar los siguientes gráficos asociados al ejemplo: 5

16 Sean S un subespacio vectorial denso de L p = L p (, µ) para todo p < y T un operador lineal definido en S. Sea q <, entonces T es de tipo (p,q) sobre S si y sólo si existe un único operador T definido sobre todo el espacio L p tal que T es de tipo (p,q) y T = T en S (ver del apéndice). En general, consideraremos: (i) S la clase de todas las funciones simples definidas en, esto es S = { f = n k= } a k Ak : a k C, A k medible y A k A j, k, j n. (ii) En el caso = R n, S es la clase de todas las funciones continuas (o suaves) de soporte compacto, es decir S = { f : R n C, f función continua (o suave) y de soporte compacto } Tanto en (i) como en (ii), S es denso en L p para todo p <. Más aún, si S es como en (i), entonces es denso en L. Lema.4 Sea S como en (i) o (ii), T un operador lineal definido en S y p, p <, q, q. Entonces, T es de tipo (p, q ) y de tipo (p, q ) sobre S con constantes M y M respectivamente si y sólo si T se extiende a un operador en L p + L p tal que la restricción a L p es de tipo (p, q ) y la restricción a L p es de tipo (p, q ) con las mismas constantes M y M respectivamente. Demostración: Primero probaremos la implicación. Como T es de tipo (p i,q i ) sobre S con i =, ; T se extiende a un operador T de tipo (p,q ) en L p con constante M y también se extiende a un operador T definido en L p de tipo (p,q ) con constante M. Definimos el operador T en L p + L p de la siguiente manera: supongamos que T = T en L p L p, si h = f + f L p + L p, entonces T h = T f + T f. Veamos que T esta bien definido, en efecto si h = f + f y h = g + g, = f g + f g luego f g = f g, donde f g L p y f g L p entonces T f T g = T f T g ó bien T f + T f = T g + T g. Por lo tanto T está bien definido, siempre que T = T en L p L p. 6

17 Si S es como en (ii) y f L p L p, existe una sucesión {f m } m N en S tal que f m converge a f en L p y en L p, entonces T i f = lím m T if m = lím m T f m en L q i, i =, ; y podemos elegir una subsucesión {f mk } de {f m } tal que T i f = lím k T f mk p.p. en R n, para i =, ; luego T = T (ver 2 del apéndice). Si S es como en (i), supongamos que f y f L p L p. Existe una sucesión de funciones simples {f m } tal que f f 2... f m f para todo m N y f m converge a f p.p. en. Como lím f f m p i = p.p. en, i =, ; y f f m p i (2 f ) p i, m por el teorema de la convergencia dominada f m converge a f en L p i para i =, ; y podemos concluir, como antes, que T f = T f (ver 2 del apéndice). La recíproca del lema es bastante inmediata. Sean T el operador lineal definido en S y T definido en L p +L p la extensión de T tal que su restricción a L p i es de tipo (p i,q i ) con constante M i para i =,. Como S L p i i =, y T = T en S, entonces T es de tipo (p i,q i ) sobre S con constante M i i =,. Definición.5 Dados p, p, q, q. Para cada t [, ] definimos los intermedios p t y q t dados por = t + t p t p p y = t + t q t q q Notemos que el conjunto de todos los intermedios p t (respectivamente q t ) coincide con el intervalo que tiene como extremos p y p (respectivamente q y q ). Además p = p t si y sólo si t = (p p) p (p p ) p (.5.) Para otener (.5.) hay que despejar t de la ecuación p = p t. 7

18 Si tomamos p y p los conjugados de p y p respectivamente, obtenemos el intermedio p t, que es el conjugado de p t, en efecto = ( t + t) ( t) t = p t p p ] ] ( t) [ p + t [ p = ( t) + t p p =. p t 2. Teorema de Riesz-Thorin Teorema 2. Teorema de interpolación o convexidad de Riesz-thorin (a) Sea S el conjunto de todas las funciones simples a valores complejos definidas en y sea T un operador lineal definido en S, tal que T f es una función ν-medible en Y. Si T es de tipo (p, q ) y de tipo (p, q ) sobre S con constantes M y M respectivamente, donde p, p, q, q. Entonces T es de tipo (p t, q t ) sobre S para todo t [, ], con constante M t que satisface M t M t M t. (2.a) Más aún, T se extiende a un operador lineal T definido sobre el espacio vectorial generado por L p t, p t < tal que la restricción a cada L pt es un operador acotado desde L pt en L qt de norma T ptq t M t M t siempre que p t <. (b) Si T es un operador lineal definido en el espacio vectorial complejo L p + L p, donde la restricción de T a L p i es de tipo (p i, q i ) con constante M i, i =, ; entonces la restricción de T a L pt es de tipo (p t, q t ) para todo t [, ] con constante M t que satisface (2.a). 8

19 Corolario 2.2 Si S es la clase de todas las funciones continuas (o suaves) a valores complejos y de soporte compacto definidas en = R n y T es un operador lineal de tipo (p i, q i ) sobre S, i =, ; donde p, p < y q, q. Entonces T se extiende a un operador lineal T definido en el espacio vectorial complejo L p + L p tal que la restricción a L p t es un operador acotado de L p t en L q t con norma T pt q t M t para todo t [, ] y M t satisface (2.a). Demostración: usando el Lema.4, T se extiende a un operador lineal T definido L p + L p tal que la restricción a L p i es de tipo (p i,q i ) con constante M i, i =,. Luego T satisface la parte (b) del Teorema 2., lo cual prueba el corolario. Podemos hacer los dos siguientes comentarios, que justifican el nombre de convexidad del Teorema 2.. Bajo las hipótesis de este teorema se cumple: τ(t ) es un conjunto convexo contenido en el cuadrado unidad del plano. Si (α, β ), (α, β ) τ(t ) y p t = ( t)α + tβ, q t = ( t)α + tβ, entonces la función ϕ(t) = log( T pt q t ) es una función convexa de t, en efecto: llamemos M t = T pt q t, luego ϕ(t) = log(m t ), como M t M t M t, entonces ϕ(t) ( t) log(m ) + t log(m ) luego ϕ(t) = ϕ(( t) + t) ( t)ϕ() + t ϕ() Por lo tanto ϕ satisface la definición de función convexa para t (, ). 3. Aplicaciones del teorema de convexidad Observación 3. Consideremos la transformada de Fourier F actuando en L (R n, dx) y en L 2 (R n, dx), donde dx es la medida de Lebesgue. Sabemos que F : L L es lineal y se satisface ˆf f, es decir, F es de tipo (, ) con constante menor o igual que. Por otro lado, F es una isometría de L 2 en L 2, es decir, ˆf 2 = f 2, luego F es de tipo (2,2) con constante menor o igual que. Estamos en condiciones de probar el siguiente resultado. 9

20 Teorema 3.2 Desigualdad de Hausdorff-Young en R n Si f L p para p 2, entonces F f = ˆf L p y ˆf p f p, donde p + p =. Demostración: Como F es de tipo (, ) y es de tipo (2,2) con constantes M, M, por el Corolario 2.2 F es de tipo (p t,q t ) con constante M t. Además se cumple = t + t p t 2 = t 2 y q t = t 2 entonces p t + q t =, por lo tanto q t = p t. El teorema anterior afirma que F es de tipo (p, p ) con p 2, p y p conjugados. Por lo tanto, el conjunto τ(f ) tiene el siguiente gráfico: Ahora, consideremos F actuando en L (T, dµ) y en L 2 (T, dµ) donde T = S, dµ = (2π) dx y F f = {c n } n Z, con c n = 2π f(x)e inx dµ(x) el coeficiente n-ésimo de Fourier de f, entonces F f es una función medible en el espacio (Z, ν) donde ν es la medida discreta, así l p = L p (Z, dν). Asumiendo que F : L (T) l es continua e inyectiva con sup c n 2π f dµ, lo cual nos dice que F es de tipo (, ) con constante menor o igual que. Y que F : L 2 (T) l 2 es una isometría, o sea {c n } 2 2 = c n 2 = 2π f 2 dµ = f 2 2. Entonces, podemos probar el siguiente resultado, usando el Corolario 2.2 de manera análoga a como hicimos en el Teorema

21 Teorema 3.3 Desigualdad de Hausdorff-Young para series de Fourier Si f L p (T) y n Z c n e inx es la serie de Fourier asociada a f, entonces ( n Z ) ( c n p p 2π ) f(x) p p dx, donde 2π p + = y p 2. p Observación 3.4 (i) Sea T un operador de convolución de tipo (p,q) con p > q, entonces T. En efecto, sabemos que T es lineal y conmuta con las traslaciones, entonces τ h (T f)+t f q = T (τ h f+f) q M pq τ h f+f p (3.4.) donde consideramos que M pq = T pq. Haciendo tender h a infinito en la desigualdad (3.4.) obtenemos (ver 3 del apéndice). Entonces 2 q T f q M pq 2 p f p, T f q 2 p q Mpq f p para toda f L p, luego, como M pq = T pq, resulta así, si M pq se debe cumplir que 2 p q Mpq M pq, p q, entonces q p. Esto nos dice que si p > q, debe ser M pq = y por lo tanto T. Esto prueba la afirmación. (ii) Sea k fijo en L y K el correspondiente operador convolución, entonces K es de tipo (,) con constante menor o igual a k ; también K es de tipo (, ) con constante menor o igual a k. Luego, por el teorema de convexidad, si p = p t con p, K es de tipo (p,p) con constante menor o igual que k t k t = k (ver 4 del apéndice). Sean ahora k fijo en L q q y K : L L q el operador convolución definido por Kf = k f, entonces K es de tipo (,q) con constante menor o igual a k q. Además, si g L q con + = entonces k g q q k q g q, 2

22 lo cual nos dice que K es un operador de tipo (q, ) con constante igual a k q. Como K es un operador lineal que está definido en L y en L q, entonces podemos extender K adecuadamente a L p con p q. Teorema 3.5 Desigualdad generalizada de Young Si f L p y g L q, p, q, con p + q, entonces f g Lr, y f g r f p g q donde r = p + q. Demostración: fijamos g L q y sea K el operador definido por Kh = h g, entonces K es de tipo (,q) y de tipo (q, ) con constantes M y M iguales a g q donde + =. Luego por el teorema de Riesz-Thorin, K es de tipo q q (p t,r t ) donde t [, ] con constante menor o igual que g q y = t + t = t + t = t p t q q q, = t = ( r t q q + t ) = q q +. p t Llamamos p = p t y r = r t, entonces se deduce el teorema. Entonces el teorema anterior afirma que el conjunto τ(k) tiene el siguiente gráfico: 22

23 4. Prueba del teorema de convexidad. Método complejo Sean L p = L p (, µ), p < p < p y S el conjunto de todas las funciones simples definidas en. El Teorema 2.2 se refiere a la norma de un oprador T en diferentes espacios L p, entonces, expresaremos la norma p en términos de las normas p i i =,. Una manera sencilla de hacer esto, es la siguiente, si f L p, f p dµ = ( f p p ) p dµ = ( f p p ) p dµ < entonces f = f p p L p, f = f p p L p y f p p = f p p = f p p. Más en general, definimos f +iy = f (+i) p p y f +iy = f (+i) p p para todo y R, esto implica ( ) f +iy = f Re (+i) p p = f p p = f y de manera similar f +iy = f. Además se satisface entonces f p dµ = f +iy p dµ = f +iy p dµ, f p p = f iy p p = f +iy p p para todo y R. Ahora extenderemos la relación anterior para funciones simples a valores complejos haciendo una leve modificación en la definición de f +iy y f +iy. Tomamos el conjunto D = {z = x + iy C : x } C, acotado lateralmente por = {z = iy : y R} y = {z = + iy : y R}. Dados p, p, para cada z definimos p z por = z + z p z p p ( ) p p entonces p z = zp + ( z)p si p < y p z = p z si p =. 23

24 Fijamos t (, ) de modo que p t = p. Sea f(x) = a k Ak (x) función simple, denotemos el argumento de f por φ(x), entonces f(x) = f(x) exp(iφ(x)). Para cada z D definimos f z (x) = f(x) p pz exp(iφ(x)), entonces f z (x) = a k p pz e i arg(a k) Ak (x). = a k (z)b k (x), donde a k (z) = a k p pz exp(i arg(a k )), función analítica y acotada en D, y b k (x) = Ak (x), por lo tanto f z es una función simple para cada z fijo, y f z (x) = f(x) Re ( Luego p pz ) f iy p dµ = donde f +iy p dµ = ( ) { p p/p si z = iy Re = p z p/p si z = + iy f p dµ para todo iy, (4.a) f p dµ para todo +iy (4.b) y por lo tanto f p p = f iy p p = f +iy p p para todo y R. Para continuar, usaremos la siguiente definición, una función a valores en L p (, µ) = L p, F : D L p, la cual asigna a cada z D una función F (z) = F z L p, se dice analítica, si para toda función simple ψ, la función numérica < F z, ψ >= F z (x)ψ(x)dµ es analítica en el sentido usual. Ahora, definiendo Φ(z) = f z para cada z D, obtenemos: (a) Φ : z f z S L p L p, Φ es una función a valores en L p i, i =, ; acotada y analítica en D. (b) Φ(t) = f, es decir f t = f, que resulta de p t = p. (c) definiendo Φ = sup{ Φ(iy) p, Φ( + iy) p tal que y R}, (4..) tenemos que entonces Φ = máx{ f ( ) p p p, f ( ) p p p } Φ < si f p < (4..2) y Φ = si f p =. 24

25 Probaremos la afirmación (a): Tomamos Φ : z f z S L p, entonces por la desigualdad de Minkowski y usando que a k (z) es acotada, otenemos que ( ) Φ(z) p = f z p = f z (x) p p dµ(x) = ( ak (z) Ak (x) dµ(x) p ( ) p ) a k (z) p p Ak (x)dµ(x) ( ) c p k p A k (x)dµ(x) = ck µ(a k ) p < para todo z D, donde c k es la constante que acota a a k (z) en D. Por lo tanto, Φ es acotada como función de D en L p. De manera análoga, se puede ver que Φ es acotada como función de D en L p. Además, sea ψ en S, < f z, ψ >= ak (z)b k (x)ψ(x)dµ(x) = a k (z) b k (x)ψ(x)dµ(x) es analítica en D, pues a k (z) es analítica en D. Luego tenemos que Φ es analítica en D. Ahora veremos que a k (z) es analítica y acotada en D, en efecto a k (z) = a k p pz e i arg(a k) y entonces, si p = a k (z) = a k ( z) p p e i arg(a k) ( y si p < a k (z) = a k ( z) p p +z p de donde resulta claro que a k (z) es anal tica en D. Como a k (z) = a k Re p pz, z = x + iy, p )e i arg(a k), tenemos que si p = ( ) p Re = ( x) p p con x (, ), ( p si p < Re p z Luego a k (z) es acotada en D. p z ) = ( x) p + x p con x (, ). p p 25

26 Definición 4.2 Dada f L p L p y t fijo en (,), F f (p, p ) = F f = {Φ : D L p L p : Φ satisface (a) y (b)} Para una Φ F f, Φ está definido como en (4..). Para una función f simple, podemos deducir que F f es no vacío. Para una función general f L p L p, lo probaremos en la siguiente proposición. Proposición 4.3 Sea f L p L p y t fijo en (, ). Se cumple: (i) F f (p, p ) es no vacío. (ii) Si Φ F f (p, p ), Φ(iy) p M y Φ( + iy) p M para todo y R, entonces f pt M t M. t En particular, se satisface la recíproca de (4..2), esto es, si Φ < entonces f pt <. Demostración: Probemos (i). Del Lema. sabemos que si f L p L p y p < p t < p entonces f L pt. Elegimos una sucesión {f k } k N en S tal que f f k pi tiende a cero cuando k tiende a infinito, para i =, t,. Para cada función simple f k, existe Φ k F f (p, p ). Definimos Φ(z) = Φ k (z) + f f k. Luego Φ es acotada y analítica en D, pues Φ k lo es. Y como Φ(t) = Φ k (t) + f f k = f, entonces Φ F f (p, p ). Probemos (ii): tomamos p = p t y sean p, p, p t conjugados de p, p, p t respectivamente y g simple tal que g p t. Entonces existe Φ F f (p, p ), con Φ (t) = g y Φ (iy) p, Φ ( + iy) p para todo y R. Consideremos la función F (z) = Φ(z)Φ (z)dµ definida en D. Como Φ es de la forma Φ (z) = g z, también Φ(z) = f z, g z (x) = a k (z)b k (x) además, como Φ F f (p, p ) entonces con a k (z) analítica en D, b k función simple, f z b k dµ es analítica en D, y Φ(z)Φ (z) = f z ak (z)b k, por lo tanto F (z) = a k (z) f z b k dµ y cada integral es una función analítica de z en D. Luego F es una función analítica en D. 26

27 Por la desigualdad de Hölder, F (iy) Φ(iy) p Φ (iy) p M para todo y R, y F ( + iy) Φ( + iy) p Φ ( + iy) p M para todo y R. Luego, por el Teorema de las tres líneas (ver 5 del apéndice), resulta F (t) M t M t para < t <. Como Φ(t) = f y Φ (t) = g, entonces F (t) = Φ(t)Φ (t)dµ = fgdµ M t M, t ahora, usando que se satisface { f pt = sup } fgdµ : g S y g p t (ver 6 del apéndice), podemos deducir f pt M t M t. Para demostrar la recíproca de (4..2), elegimos M = Φ y M = Φ y usamos (ii). Demostración del teorema de convexidad 2.2 Parte (a) Sea T un operador lineal definido en S que satisface T f q M f p, T f q M f p para toda f S, y sea p = p t. Dada f = a k Ak S con f p =, tenemos definida Φ(z) = f z y satisface Φ F f (p, p ), con Φ = = f p. Como g = T f L q L q, tenemos definida Ψ(z) = T (Φ(z)) = a k (z)t (b k ). Ψ es una función analítica y acotada de D en L q L q, con la propiedad Ψ(t) = T (Φ(t)) = T f = g, y Ψ(iy) q M Φ(iy) p M Φ = M f p para todo y R, Ψ( + iy) q M Φ( + iy) p M Φ = M f p para todo y R. Luego tenemos que Ψ F g (q, q ) y luego por la Proposición 4.3 (ii): g q = g qt ( M f p ) t ( M f p ) t = M t M t f p entonces T f q M t M t f p, para toda f S con f p =. 27

28 Si f S con norma p distinta de, tomamos f = f f p es lineal, se cumple y como T T f q M t M t f p para toda f S. Probemos el Más aún de la parte (a) del teorema. Por hipótesis, T está definido en S y es de tipo (p i,q i ) con constante M i, i =,. Por la parte (a), T es de tipo (p t,q t ) sobre S con constante M t M t M. t Para cada t fijo en (,), existe T t : L p t L q t extensión de T : S L q t tal que T t es de tipo (p t,q t ) sobre L p t con la misma constante M t. Ahora, dados s y t fijos en (,) y f L pt L ps, f, existe sucesión creciente {f k } en S tales que f k f para todo k N y f k converge a f en norma p y en norma s cuando k tiende a infinito. Por lo tanto y de manera análoga lím T tf T f k qt = lím T t f T t f k qt = k k lím T sf T f k qs = k luego, existe una subsucesión {f kj } j tal que lím j T tf T f kj = p.p. en Y, y lím j T s f T f kj = p.p. en Y. Entonces T t y T s coinciden en L pt L ps. Definimos, para J conjunto finito de índices T : < p t < L pt > Y como T ( θ J y T es la extensión de T que buscamos. ) c θ f ptθ = ( ) c θ T ptθ fptθ θ J Parte (b) Por hipótesis T está definida en L p + L p y es de tipo (p i,q i ) en L p i i =,. Queremos ver que la restricción de T a L pt es de tipo (p t,q t ). Por la parte (a), sabemos que T restringido a S es de tipo (p t,q t ) con constante M t. Luego existe T extensión continua de T, definida en L p t y de tipo (p t,q t ) con la misma constante M t. Veamos que T = T en L p t. 28

29 Sea f L pt L p +L p, entonces existen f L p, f L p tales que f = f + f. Para f existe sucesión creciente {g k } en S tal que g k f para todo k N, f g k p tiende a cero cuando k tiende a infinito, y g k converge a f p.p. en. De la misma forma, para f existe sucesión {h k } con las mismas propiedades. Y entonces se cumplen lím g k + h k = f + f = f, k lím T g k T f q = y lím T h k T f q =. k k Luego existen subsucesiones {g kj }, {h kj } tales que lím T g k j T f = y lím T h kj T f = j j p.p. en Y y por el teorema de la convergencia dominada Como T es continua lím g k j + h kj f pt =. j lím j T ( g kj + h kj ) T f pt =, de la misma manera que antes, existen subsucesiones {g kji }, {h kji } tales que lím T ( ) g kji + h kji T f = p.p. en Y. i Entonces, para casi todo punto tenemos T f = lím i T ( g kji + h kji ) = lím i T ( g kji ) + T ( h kji ) = lím T ( ) ( ) g kji + T hkji = T f + T f = T f, por lo tanto T = T. i Para concluir esta sección, daremos una generalización del teorema de convexidad, dada por E. M. Stein. 29

30 Teorema 3.4 Teorema de interpolación de Riesz-Stein Sean (, µ), (Y, ν) dos espacios de medida, S el conjunto de funciones simples definidas en, T z un operador que transforma cada f S en T z f medible en (Y, ν) para cada z fijo en D, y p, q, p, q. Si T z f es una función analítica y acotada en D, tal que T iy f L q (Y, ν), T +iy f L q (Y, ν) y T iy f q M f p para toda f S y para todo iy, T +iy f q M f p para toda f S y para todo + iy, entonces, para todo t en [, ], T t f L q t (Y, ν) y T t f qt M t M t f pt para toda f S donde = t + t p t p p y = t + t q t q q Demostración: Es suficiente probar el teorema para f S con norma p t igual a uno. En el caso de f S con norma distinta de uno, procedemos como en (a) del teorema de convexidad. Sea f = a k Ak S con f pt =. Y como en la prueba de (a) del teorema de convexidad, sean Φ(z) = f z y Ψ(z) = T z f z definidas en D, de la siguiente manera f z (x) = f(x) p pz exp ( i arg f(x) ) ( ) T z f z (x) = T z ak (z)b k (x) = a k (z)t z (b k (x)), donde a k (z) = a k p pz exp(i arg(a k )) y b k (x) = Ak (x). Por lo tanto Ψ es una función analítica y acotada en D, pues T z f z lo es, y tal que Ψ(t) = T t (f t ) = T t f. Esto implica que Ψ F Tt f(q, q ). Luego, por las hipótesis sobre T z y por (4.a), (4.b) Ψ(iy) q = T iy f iy q M f iy p = M ( f pt ) p t p = M, para todo iy, de manera análoga Ψ( + iy) q M para todo + iy. Entonces, por (ii) de la Proposición 4.3, T t f qt M t M t = M t M t f pt. 3

31 Capítulo II Teorema de Marcinkievicz. Función Distribución y Operadores de tipo débil Definición. Sea (, µ) espacio de medida y f una función µ-medible definida en. Para cada α > definimos el siguiente conjunto medible E α = E α (f) = {x : f(x) > α} y la función f : (, ) [, ] dada por llamada función distribución de f. f (α) = µ(e α ), Ejemplo.2 Sea = R, µ la medida de Lebesgue y f(x) = x, entonces E α = {x R : x > α} y luego f (α) = para todo α >. Ejemplo.3 Sea = R, µ la medida de Lebesgue y f(x), entonces { si α < f (α) = si α Ejemplo.4 Sea A tal que µ(a) = a <, y sea f(x) = c A (x) con c constante positiva, entonces { a si α < c f (α) = si α c Ejemplo.5 Sean {A k } m k= una colección de subconjuntos medibles y disjuntos en con µ(a k ) = a k < ; {c k } m k= colección de constantes tales que c c 2... c m, y f(x) = m c k Ak (x) k= 3

32 Entonces, si α c, E α = luego f (α) =. Si c > α c 2, E α = A luego f (α) = a. Si c 2 > α c 3, E α = A A 2, luego f (α) = a + a 2. Siguiendo así, podemos obtener que f (α) = a [c2,c )(α) + (a + a 2 ) [c3,c 2 )(α) (a + a a m ) [,cm)(α). Proposición.6 Sea f una función µ-medible definida en, su función distribución f tiene las siguientes propiedades: (a) f es decreciente y continua a derecha. (b) Si f(x) g(x), entonces para todo α >, f (α) g (α). (c) Si {f k } sucesión creciente de funciones µ-medibles tales que f k f para todo k N y f k converge a f p.p. en, entonces lím k (f k) = f y {(f k ) } es una sucesión creciente. (d) Si f(x) g(x) + h(x) entonces f (α) g ( α 2 ) + h ( α 2 ). Demostración: (a) Si α β, E α = {x : f(x) > α} {x : f(x) > β} = E β entonces µ(e α ) µ(e β ), por lo tanto f es decreciente. Si {α n } es una sucesión decreciente que converge a α, entonces E α = E αn donde {E αn } n es una sucesión creciente de conjuntos, entonces lím f (α n ) = f (α). n (b) f(x) g(x) implica E α (f) E α (g). (c) Como E α (f) = E α (f k ) y {E α (f k )} sucesión creciente de conjuntos, entonces lím k (f k) (α) = f (α). (d) Sea x tal que f(x) > α, entonces g(x) > α 2 ó h(x) > α 2 ; luego E α(f) E α 2 (g) E α 2 (h), ( ) ( α α f (α) g + h 2 2 ). 32

33 Proposición.7 Sean f y f como en la Proposición.6, entonces (a) Desigualdad de Chebyshev Para cada < p <, y para todo α > (b) finito y f (α) α p E α f(x) p dµ. Si f L p ( ), p <. Entonces, para cada α >, f (α) es sup{α p f (α) : α > } f p p. (c) Si f L p ( ), p <, entonces α p f (α) tiende a cero cuando α tiende a cero. (d) Si α p f (α) dα <, entonces lím α α p f (α) = y lím α αp f (α) =. Demostración: Como x E α si y sólo si f(x) > α, entonces f p dµ f p dµ α p E α dµ = α p f (α), E α para todo α >. Luego (a) y (b) se satisfacen. (c) De la parte (b) sabemos que f (α) α p f p para todo α >. Luego por la continuidad de la integral y usando la parte (a) lím f (α) =, α lím α Fijamos β > y sea α < β, E α f p dµ = lím α αp f (α) =. lím α αp f (α) = lím α p( f (α) f (β) ) = α 33

34 lím αp( µ(e α ) µ(e β ) ) f p dµ. (.7.) α { f <β} Como, por el teorema de la convergencia dominada, f p dµ = lím β + { f <β} entonces lím α αp f (α) =. En (.7.) usamos que, E β E α y µ(e α ) < entonces µ(e α E β ) = µ(e α ) µ(e β ), y µ(e α E β ) = µ{x : β f(x) > α} por lo tanto f p dµ { f β} {α< f β} (d) Si η ( α, α) entonces E 2 α E η E α, y 2 α α 2 η p f (η) dη f (α) ηp p luego, tenemos que α α 2 α α 2 f p dµ α p dµ = α p µ ( ) E α E β. E α E β η p f (α) dη = f (α) ( ) α p = f (α) p αp = f 2 p (α) αp p p f (α) α p p ( 2 ) α p α 2 α α 2 η p f (η) dη η p dη = ( 2 p ) y la integral tiende a cero, cuando α tiende a cero ó cuando α tiende a infinito. En el siguiente lema, podemos observar una importante relación entre la norma p de f y su función distribución. 34

35 Lema.8 Si f es una función medible en (, µ) y p <, entonces f p dµ = p α p f (α) dα. Demostración: Como f p p = f p dµ = ps p { f >s} dµ ds = f ps p ds dµ = ps p f (s) ds. Es importante destacar del Lema.8 la siguiente conclusión. Dos funciones medibles f L p (, µ) y g L p (Y, ν) con p <, se dicen equimedibles si sus funciones distribución coinciden. El Lema.8, nos dice que si dos funciones son equimedibles, entonces tienen la misma norma, es decir f L p ( ) = g L p (Y ). Para dar las posteriores definiciones, hacemos primero la siguiente observación. Hemos probado que, f p < implica sup{α ( f (α) ) p : α > } f p <. La recíproca de este resultado, no es cierta en general. Por ejemplo, tomamos f(x) = x p entonces, para α > { E α = x (, ) : x p definida para x (, ), } > α = {x (, ) : x < α } p 35

36 por lo tanto f (α) < α p ó bien α ( f (α) ) p <. Sin embargo, f(x) p = x no es integrable en (, ). Definición.9 Sea f una función medible en (, µ) y p <, decimos que f pertenece a la clase de Marcinkiewicz L p, o que f satisface la propiedad p de Marcinkiewicz, si [ f ] p. = sup { α ( f (α) ) p : α > } <. Para p =, definimos L = L. Notemos que, por la desigualdad de Chebyshev, (a) de la Proposición.7, se satisface [ f ] p f p. Entonces, para p <, f L p implica [ f ] p f p < implica L p L p. Comentario: Se puede ver que, si < p <, entonces [ define una ]p casi-norma que es equivalente a una norma en el espacio L p, que además lo hace un espacio de Banach. También se puede probar que L es un espacio completo no normable. Definición. Sea T un operador definido en L p (, µ) con valores en la clase de las funciones medibles en (Y, ν), es decir, T f es ν-medible en Y. T se dice que es de tipo débil (p, q) con constante A pq, p, q <, si para todo α > (T f) (α) = ν { y Y : T f(y) > α } ( ) q f p A pq. α En otras palabras, T es un operador de tipo débil (p, q) con constante A pq, si T f L p, y [ T f ] q A pq f p. 36

37 Como L = L, T de tipo débil (p, ) coincide con T de tipo fuerte (p, ). Esto extiende la definición para p, q. Un operador T de tipo débil (p, q), es un operador acotado de L p en L q. Por esta razón, la clase de Marcinkievicz L q, es en general, llamada espacio L q débil. 2. Teorema de interpolación de Marcinkievicz. Caso diagonal Sean (, µ) y (Y, ν) dos espacios de medida, S la clase de funciones simples definidas en (, µ), y T un operador sub-lineal que asigna a cada f S una función T f ν-medible definida en Y. Sean p < p y para cada t (, ), tomamos p = p t dado por = t + t. p t p p Teorema 2. Teorema de interpolación de Marcinkievicz Sea T un operador sub-lineal definido en S, de tipo débil (p i, p i ) con constante M i, i =, ; esto es (T f) (α) = ν { y Y : T f(y) > α } ( ) p f p M, α (T f) (α) = ν { y Y : T f(y) > α } ( ) p f p M. α Entonces, para todo t (, ), (a) T es de tipo fuerte (p, p), p = p t, es decir T f p M t f p para toda f S, donde M t satisface 37

38 (b) M t KM t M t y K depende de p, p, p (como p = p t, en particular K depende de t) de la siguiente manera ( p K = 2 + p ) p. p p p p Observación 2.2 La parte (a) del teorema de Marcinkievicz, da una condición del tipo del teorema de Riesz-Thorin para el caso p i = q i, i =, ; pero no lo incluye, pues la constante K depende de t, y tiende a infinito cuando t tiende a cero o cuando t tiende a uno. Por lo que el Teorema 2., recién enunciado, no es una generalización del teorema de convexidad. Para probar el Teorema 2. usaremos el siguiente resultado. Lema 2.3 Sean f L p y f α, f α como en (.a) y (.b) del Capítulo I, p < p < y p = p t. Entonces para todo α >, f α L p L p, f α L p L p. Más aún, y f p p = (p p ) f p p = (p p) α p p f α p p α p p f α p p dα dα. Demostración: Como f α f y f α f, entonces f α, f α L p. Y vimos en el Lema. del Capítulo I, que f α L p y f α L p. Esto verifica la primera tesis del lema. Ahora, usando el teorema de Fubini-Tonelli, tenemos ( ) α p p f α p p dα = α p p f α p dµ dα = α p p f ( ) f p dµ dα = { f >α} α p p f p dα dµ = f p { f >α} ( f α p p f p dµ dα = ) α p p dα dµ = 38

39 f p f p p dµ = f p dµ. p p p p Usando el mismo procedimiento podemos probar que α p p f α p p dα = p p f p dµ. Demostración del teorema 2.: Dado α > y f L p podemos escribir f = f α + f α. Como T es un operador sub-lineal, tenemos T f(x) T f α (x) + T f α (x) y por (d) de la Proposición.6 ) ) (T f) (λ) (T f α ) ( λ 2 + (T f α ) ( λ 2 para todo λ >. Caso p < : Por el Lema 2.3 sabemos que f α L p y f α L p. Y usando el comentario anterior para el operador T, resulta [ ( ) ( )] α α p α p (T f) (α) dα p α p (T f α ) + (T f α ) dα 2 2 (2M ) p p Notemos que p (2M ) p p p [( ) p ( p α p 2M α f α 2M p + α f α p α p p f α p p ( p (2M ) p p p + p (2M ) p p p ) p ] dα = dα + (2M ) p p α p p f α p p dα = + p (2M ) ) p f p p p p. (2..) ( p p p + C máx{(2m ) p, (2M ) p }. p ) máx{(2m ) p, (2M ) p } = p p 39

40 Reemplazando T por at, con a >, por el Lema.8 tenemos a p T f p p = p α p (a T f) (α) dα y por (2..) a p T f p p C máx{(2am ) p, (2aM ) p } f p p. Elegimos a de tal manera que se cumpla (2aM ) p = (2aM ) p es decir a = M p ) M 2( p p p, luego a p T f p p C 2 p a p M p f p p. Como entonces p = t + t implica p p = ( t)p p + t p p, p p p p p = p p p p = ( t)p p + t p p p p = p p p p p p t p p t p p p p y de manera similar, se puede ver que p = t p p p p p + p = ( t)p. Por lo tanto ( M p ) M p p p p p M p = ( p. M t M) t Sustituyendo a en T f p p C 2 p a p p M p f p p, 4

41 obtenemos donde T f p KM t M t f p, ( K = 2C p p = 2 + p ) p p p p p y K tiende a infinito cuando t tiende a cero (pues p tiende a p ), ó cuando t tiende a uno (pues p tiende a p ). Caso p = : Asumimos que M =. Por definición, tipo débil (, ) coincide con tipo fuerte (, ). Recordemos que { f(x) si f(x) α f α (x) = si f(x) > α como suponemos M = { si f(x) α f α (x) = f(x) si f(x) > α T f α f α α y si λ α (T f α ) (λ) = ν{y Y : T f α (y) > λ} =. Por otro lado, como p < T f p p = p α p (T f) (α) dα. Usando el método de sustitución con α = 2β en la ecuación anterior y que T es sub-lineal, obtenemos T f p p = p 2 p p (2β) p (T f) (2β) 2 dβ = 2 p p (α) p (T f α ) (α) dα + 2 p p 2 p p (α) p (T f α ) (α) dα, (α) p (T f) (2α) dα (α) p (T f α ) (α) dα = 4

42 como T es de tipo (p, p ) 2 p p y usando el Lema 2.3 (α) p (T f α ) (α) dα 2 p p 2 p M p p Entonces, se cumple (α) p ( M f α p α p (α) p p f α p p dα = 2p M p f p p p p. ( ) p p p T f p 2 M p f p para p < p <, p p ) p dα lo cual concluye el teorema para el caso p =, pues M = y p = ( t)p. Para el caso en que M (suponemos M >, pues en el caso M = resulta T el operador nulo), tomamos T = M t T. Una inmediata aplicación del teorema de Riesz-Thorin, fue el teorema de Hausdorff-Young, para series e integrales de Fourier. Ahora también daremos una aplicación del teorema de Marcinkievicz para el análisis de Fourier. Teorema 2.4 Teorema de Hardy-Littlewood-Paley en R n (a) Si < p 2, existe una constante M p tal que, para cada f L p se satisface [ R n ˆf(x) p x (p 2)n dx ] p [ ] Mp f(x) p dx R n (b) Si 2 q <, existe una constante M q tal que, para cada f L q se satisface [ R n ˆf(x) q dx ] q [ ] Mq f(x) q x (q 2)n dx R n p. q. Demostración: Consideramos los dos espacios de medidas dados por (, µ) = (R n, dx) y (Y, ν) = (R n, x 2n dx), donde dx es la medida de Lebesgue en R n. 42

43 Parte (a): Sea T el operador lineal definido por T f(x) = ˆf(x) x n, donde f está definida en (, µ) y T f está definida en (Y, ν). Usando el teorema de Plancherel, T f 2 dν = ˆf(x) 2 x 2n dx Y R x = ˆf(x) 2 dx = n 2n R n f(x) 2 dx = f 2 dµ, R n por lo tanto, T es de tipo (2,2) con constante M =. Ahora veremos que T es de tipo débil (,), es decir, que existe una constante M tal que (T f) (α) M f α para todo α >. Sea f L (R n, dx), tenemos que (T f) (α) = ν ( E α (T f) ) = ν { y Y : T f(y) > α } = ν { y Y : ˆf(y) y n > α }. Por otro lado, para y R n sabemos que ˆf(y) f. Para y E α ( ) α < ˆf(y) α n y n f y n. esto es y > = β, f entonces E α (T f) B = { x R n : x > β }, luego, usando coordenadas polares y denotando ω n el área de la superficie de la esfera en R n (ver 7 del apéndice) S n β ν ( E α (T f) ) = E α (T f) dν B dν = { x >β} dx = x 2n ( ) r n r 2n dr d x = d x r n dr = d x = S n β S nr n n β d x f ( ) S nα = f d x n n S α = n ω f n α. n 43

44 Concluimos que T es de tipo débil (,) con constante M = n ω n. Y ya probamos que T es de tipo (2,2) con constante M =. Usando el Teorema 2. para el operador T, existe una constante M p que satisface la condición (a). Parte (b): Sea 2 q < y llamamos p = q, entonces < p 2 y se satisface la parte (a) para p. Si f L p, por el Teorema 2.2 de Hausdorff- Young ˆf L q, como { } ˆf q = sup ˆfg dµ : g Lq = L p y g q, R n y el supremo se alcanza, esto es, existe g L q con g q tal que ˆf q = ˆfg dµ. R n Por la fórmula de multiplicación para la transformada de Fourier y por la desigualdad de Hölder (ver 6 del apéndice), ˆf q = ˆfg dµ = fĝ dµ R R = n n f(x) x n(q 2) q ĝ(x) x n(q 2) q dx R n ( ) ( ) f(x) q x n(q 2) q dx ĝ(x) q x n(q 2) q dx. (2.4.) R n Rn Aplicando (a) para q = p y usando g q, obtenemos ˆf q M q g q M q esto prueba la parte (b). ( ( R n f(x) q x n(q 2) dx R n f(x) q x n(q 2) dx ) q, ) q 44

45 En (2.4.) hemos usado que q + p = implica p = q q, entonces ( ) q n(p 2) = n q 2 n q + 2 q = n q 2q + 2 q = n(q 2) q = n(q 2) p q. = 3. Teorema de interpolación de Marcinkievicz. Caso general En el Lema. del Capítulo I, vimos que si p < p < p y f L p, entonces f α L p, f α L p. Y en el Lema 2.3 del Capítulo II, vimos que si f L p y conocemos las normas f α p, f α p para todo α >, entonces podemos expresar f p en términos de f α p, f α p. El próximo Lema, es un complemento del Lema 2.3. Lema 3. Sean p i q i, i =, ; p < p < p <, q q q < con q q. Asumiendo que se satisface la siguiente igualdad para p = p t y q = q t con el mismo t en (, ) y definiendo {( (g λ, h λ ) v = máx (q q ) ( (q q) q p p p q q = q p p p q q = v, (3..) λ q q h λ v q p λ q q g λv q p ) p q } dλ. ) p q dλ, 45

46 Entonces (f λ, f λ ) v f p dµ = f p p. Observación 3.2 Para el caso en que p i = q i i =, el Lema 3. se reduce al Lema 2.3 de este Capítulo, con v =. Demostración del Lema 3.: Consideremos la siguiente expresión, la cual se corresponde con f λ, donde [ [ ( [ ( λ q q f λv q p ] p q dλ = ) q p ] p q f λv p dµ λ q q. dλ = F (λ, x) = f λv p, r = q p, r ] r F (λ, x)dµ(x)) dν, dν = λ q q dλ. Aplicando la desigualdad integral Minkowski para F (λ, x) (ver 6 del apéndice), obtenemos la siguiente acotación [ ( r ] r F (λ, x)dµ(x)) dν Para un x fijo, se satisface o equivalentemente ( f λv (x) = f λv (x) = ( ) p q f λv q λ q q dλ dµ. { f(x) si λ v f(x) si λ v > f(x) { f(x) si λ f(x) v si λ > f(x) v ) F (λ, x) r r dν dµ(x) = 46

47 Luego entonces ( ) p q f λv q λ q q dλ dµ = f p f (q q ) p v (q q p ) q dµ = q [ (q q ) p q ] p q λ q q f λv q p dλ pues, usando la hipótesis sobre v, se cumple ( f v λ q q f q (q q ) p q f p dµ, ) p q dλ dµ = f p dµ, v (q q ) p q = q p p p q q (q q ) p q = p p. Aplicando el mismo procedimiento para f λ, se sigue la tesis del lema. Teorema 3.3 Teorema de interpolación de Marcinkievicz. Caso general Sean T un operador sub-lineal definido en S; p i q i, i =, ; y p < p < p, q q q con q q. Donde p = p t, q = q t, < t <, = t + t, p t p p = t + t. q t q q Si T es de tipo débil (p i, q i ) con constante M i, i =,, es decir ( ) qi f pi (T f) (α) M i, i =,, α entonces (a) T es de tipo (p, q), con p = p t, q = q t para todo t (, ), esto es T f q M t f p para toda f L p. (b) M t KM t M, t donde K = K(p, q, p, q, t) y tiende a infinito cuando t tiende a cero o uno. 47

48 Obervación 3.4 El siguiente ejemplo ( dado por R. Panzone) muestra que la condición q q es necesaria para que el teorema sea válido. Tomamos f : [, ] C función integrable y sea T definido por T f(x). = F (x). = x 2 f(t)dt. Luego T es lineal y F : [, ] C es también integrable. Para cada α >, E α = E α (T f) = { x [, ] : T f(x) > α } = { x [, ] : αx 2 < J }, donde J = f f. Si J =, luego E α =. Si J < α, x E α implica entonces x ( ) 2 [ J, y E α, α ( f ( ) 2 f (T f) (α). α Si J > α, para todo x [, ] se satisface x α ) 2 ], ( ) 2 J, sí y solo sí T f(x) > α, y E α = [, ], α entonces (T f) (α) = J ( 2 ( ) 2 J α α) f. α Por lo tanto, en cualquier caso, obtenemos ( ) 2 f (T f) (α). α 48

49 Y más aún, como la medida de I = [, ] es finita, implica que para todo p, se cumple f f p y entonces ( ) 2 f p (T f) (α). α Esto nos dice que T es de tipo débil (p, 2) para todo p. Ahora, si suponemos que el Teorema 3.3 es cierto también para q = q, podríamos aplicar el teorema al operador T en (, 2) y (2, 2), y en consecuencia, T resultaría de tipo (p, 2) para todo < p < 2. Pero T no puede ser de tipo (p, 2) para cualquier p >, por que eso nos diría que T f 2 M p f p y que T f 2 es integrable siempre que f p es integrable, lo cual no es cierto si elegimos f L p tal que J, pues T f(x) 2 = J 2 x, no integrable en [, ]. Proposición 3.5 Si T es un operador lineal (o sub-lineal) que para cada α > puede ser descompuesto como T = T + T 2 donde T es de tipo (p, ) con constante 2 α y T 2 es de tipo (p, p) con constante c α q p, entonces T es de tipo débil (p, q). Demostración: Es suficiente considerar f p =. Como ) ) (T f) (α) (T f) ( α 2 + (T 2 f) ( α 2 y por hipótesis T f α ( ) α 2, entonces (T f) =, 2 lo cual implica ( ) α (T f) (α) (T 2 f) 2 ( c α q p 2 α ) p = 2p α p cp α p q = (2c)p α q y entonces [ ] ( T f = sup{α (T f) (α) ) q : α > } (2c) p q p = (2c) q f p. 49

50 Si f p, se puede elegir f = f p f y usando que f tiene norma uno y que el oprador T es lineal (o sub-lineal), se puede ver sencillamente que se cumple la proposición. El resultado anterior nos será útil para probar una fuerte aplicación a los potenciales de Riesz, los cuales tienen una considerada importancia en problemas de funciones armónicas en R n. Definición 3.6 Sea < γ < n. El potencial de Riesz de orden γ, denotado por I γ, está definido por I γ f(x) = a γ R n f(t) x t γ n dt = a γ k γ f(x), donde k γ (x) = x γ n, a γ = π n 2 2 γ Γ ( ) γ 2 Γ ( n ) γ 2 2 y Γ denota la clásica función gamma. Corolario 3.7 El operador I γ, < γ < n, es de tipo débil (p, q) para p q = γ, con p < q <. n Demostración: Sea λ > fijo y tomamos k (x) = k γ (x) B(,λ), donde B(,λ) denota la función característica de la bola de centro cero y radio λ, k (x) = k γ (x) k (x), T f = k f, T f = k f. (Para los siguientes cálculos, es importante leer 7 del apéndice). Veamos que k L, y además k = B(,λ) x γ n dx = ω n r γ γ λ S n = ω n λ γ λ γ = c λ γ, r γ n r n dr d x = T f p = k f p k f p = c λ γ f p, para p. 5

51 Esto nos dice que T es de tipo (p, p) con constante c λ γ. Ahora, veamos que k L p, ( ( S n R n k p λ ) ( ) p = x (γ n)p p B c (,λ)(x) dx = R n ) r (γ n)p r n p r dr d x = (ω (γ n)p +n n (γ n)p + n ) p. Para poder seguir, probemos que (γ n)p + n <, en efecto, usando la hipótesis del corolario que relaciona γ, n, p y q, obtenemos λ p = p = q γ n = qn n qγ qn y p = p p. Además, como p > y qn >, implica qn n qγ >, entonces p = por lo tanto tenemos que qn qn n qγ = n + qγ qn n qγ, (γ n)p + n = γp n(p ) = γqn qn n qγ n(n + qγ) qn n qγ = Retomando los cálculos para k, n 2 qn n qγ <. ω n k r p = (ω (γ n)p +n n (γ n)p + n ) λ p = ω n λ (γ n)p +n p ( (γ n)p + n ) p = λ γ n p ( (γ n)p + n ) pues γ n + n ( = γ n + n ) = γ n p p p p. 5

52 Luego k p = c 2 λ γ n p, de donde T f = k f k p f p c 2 λ γ n p f p, lo cual nos dice que T es de tipo (p, ) con constante c 2 λ γ n p. Notar que a γ ( T + T ) = a γ (k f + k f) = a γ (k f + k γ f k f) = a γ k γ f = I γ, por lo tanto I γ = a γ T + a γ T. Y como queremos usar la proposición 3.5, planteamos el siguiente sistema de dos ecuaciones para α y λ, Se puede verificar que, si elegimos α 2 = a γ c 2 λ γ n p ; c α q p = aγ c λ γ. c = (a γ c ) p p q 2 a γ c 2, entonces el sistema tiene solución, y se satisface ( ) p 2 a γ c 2 λ γ n aγ c p q p γp = λ p q. c Luego podemos concluir que I γ es de tipo débil (p, q). Se sigue inmediatamente del corolario y del caso general del teorema de Marcinkievicz el próximo resultado. Teorema 3.8 El teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev sobre los potenciales de Riesz El operador I γ, < γ < n es de tipo (p, q) para p q = γ n con < p < q <. Es decir, I γ es de tipo fuerte sobre el segmento abierto que tiene como puntos extremos ( γ n γ, ) y (, ), y es paralelo a la diagonal principal, en el n n n cuadrado unidad; y en el punto (, ) es de tipo débil. n γ 52