Riesgo de tipos de interés Componentes principales

Transcripción

1 Riesgo de tipos de interés Componentes principales 16 de mayo de 2006

2 Contenidos Componentes principales Componentes principales

3 Generalidades Componentes principales Controlar el comportamiento de la curva de tipos a través de un solo factor es, a menudo, escaso. En el otro extremo, utilizar una muestra de todos los factores y de sus evoluciones diarias (por ejemplo), puede ser excesivo. La técnica de componentes principales nos puede asistir para seleccionar una combinación adecuada de tipos, y de esta manera controlar a través de unos pocos factores los movimientos más relevantes de la curva.

4 Si tenemos una muestra de N variables aleatorias distintas, cada una de tamaño n (N podría ser el número de tipos de interés que podemos estimar en el mercado y n la cantidad de días que hemos observado, con n grande). Vamos a llamar x (j) al vector que indica la muestra j-ésima normalizada alrededor de la media. La longitud del vector x (j) es N para 1 j n. Si disponemos a los datos en una matriz X, donde las columnas indican la variable (los tipos centrados) y las filas nos indican la muestra seleccionada, tenemos que fila i := x (i) = (x (i) 1, x (i) 2,..., x (i) N )

5 X := x (1) 1 x (1) 2 x (1) N x (2). x (2) 1 x (2) 2 N x (n) 1 x (n) 2 x (n) N La matriz de covarianzas Cov de estos datos puede escribirse como: Cov ij = 1 n < c i, c j >= 1 n ( ) X T X ij de N N. donde aquí < c i, c j > representa el producto escalar entre vectores de dimensión n y c j representa el vector columna de la posición j (es decir, sus coordenadas son las n muestras de la variable fija x j ). Los vectores fila x (i) representan un punto en el espacio de dimensión N.

6 Podemos plantearnos ahora el problema siguiente: cuál es la dirección, en el espacio de dimensión N, para la cual la variabilidad de la muestra es máxima?

7 Por ejemplo, si tenemos n muestras para 2 tipos (cada vector x (i) tiene dos componentes), podemos pintar los puntos en el plano. Si centramos los datos en el origen (restando las medias), la dirección que buscamos corresponde a la que define la recta de regresión. Una forma de calcularla es la siguiente: denotemos por e al vector de norma 1 que nos da la dirección que queremos hallar. Ahora proyectamos los puntos sobre la recta en la dirección de e. La suma de las proyecciones elevadas al cuadrado vienen dadas por P(e) = n (< x (i), e >) 2 i=1 donde <, > denota el producto escalar, en este caso en R 2.

8 Podemos escribir directamente al vector e en términos de un ángulo θ n P(θ) = (x (i) (i) 1 cos(θ) + x 2 sen(θ))2 i=1 Si derivamos respecto de θ e igualamos a cero nos queda P (θ) = 2 n i=1 (x (i) 1 cos(θ)+x (i) 2 (i) (i) sen(θ))( x 1 sen(θ)+x 2 cos(θ)) = 0

9 Desarrollando los cálculos y teniendo en cuenta que n i=1 nos queda la condición x (i) k x (i) l =< c k, c l >= 2Cov kl < Cov e, e >= 0 Cov e = λe donde e es el vector ortogonal a e girando en el sentido positivo del ángulo, y para algún número λ. De este modo, λ debe ser un autovalor de la matriz de covarianzas y e un autovector correspondiente.

10 Si consideramos la base {e 1, e 2 } := {e, e } tenemos que ( λ1 0 Cov (e 1 e 2 ) = (e 1 e 2 ) 0 λ 2 ) con λ 1 λ 2 donde la máxima variabilidad se da en la dirección del autovector correspondiente al primer autovalor.

11 Esto se puede generalizar a más dimensiones utilizando multiplicadores de Lagrange. Obsérvese que la matriz de covarianzas en cualquier dimensión (número de variables) es simétrica y (semi) definida positiva. Podemos ver esto fácilmente a partir de la definición Cov ij = 1 n < c i, c j >= 1 n < c j, c i >= C ji.

12 Para ver que es definida positiva: < Cov v, v >= N i,j=1 Cov ijv i v j = 1 N n i,j=1 < c i, c j > v i v j = 1 n N n k=1 i,j=1 x (k) i x (k) j v i v j = 1 ( n N ) ( n k=1 i=1 x (k) N ) i v i j=1 x (k) j v j = 1 ( n N ) n k=1 i=1 x (k) 2 i v i 0 Obsérvese que si los datos caen sobre un subespacio de menor dimensión, podemos encontrar un v que sea ortogonal a todos ellos y por lo tanto la matriz de covarianzas no sería estrictamente definida positiva (sería semidefinida).

13 Después de calcular la matriz de covarianzas Cov y de obtener la base de autovectores correspondientes en las columnas de una matriz A podemos escribir Cov = ADA T donde D contiene los autovalores de Cov ( 0) ordenados de mayor a menor. Llamemos a estos autovectores e i, como en el ejemplo, ahora para 1 i N.

14 La matriz C := AD 1/2 se llama la matriz de componentes. Contiene las direcciones multiplicadas por la desviación estándar de los datos en esa dirección. Tiene la propiedad Cov = ( AD 1/2) ( AD 1/2) T = CC T Ilustración: Cálculo de la matriz de componentes para un conjunto de datos de tipos de interés. Ejercicio: Realizar el mismo cálculo para otros conjuntos de tipos de interés.

15 La idea de una componente principal es la de mirar los datos en las direcciones de los vectores e i, especialmente considerando a los primeros vectores de la lista, ya que nos aportarán las direcciones más importantes en cuanto a variabilidad de los datos.

16 Volviendo al ejemplo en dos variables, si todos los puntos cayeran sobre una recta nos bastaría con el vector e 1 para dar cuenta de todo lo que le sucede a los datos, ya que en la dirección de e 2 no habría ninguna variación (digamos que la varianza en la dirección de e 2 sería nula). Cómo podemos aprovechar esta información? Es evidente que en este caso extremo sólo necesitaríamos considerar a las proyecciones de los datos en la dirección de e 1. Sin embargo, si no es el caso que los datos estén sobre una recta, pero la variación en la dirección de e 2 es muy pequeña, esto nos indica que los datos serían muy planos, es decir que estarían casi sobre una recta y podríamos reducir la dimensión de nuestro problema.

17 Teniendo en mente estas reflexiones, definamos unas nuevas variables que sean las proyecciones de los datos x (i) sobre las direcciones principales. Por ejemplo p (i) 1 =< x (i), e 1 >, p (i) 2 =< x (i), e 2 >,..., p (i) N =< x(i), e N > Escrito de forma más compacta esto es p (i) = x (i) A donde ahora disponemos en el vector fila p (i) a las proyecciones de los datos x (i) sobre los autovectores, dispuestos en forma de columna en la matriz A.

18 Cuál sería ahora la matriz de covarianzas de los datos p (i)? Calculemos 1 n PT P = 1 n AT X T X A = A T Cov A = D de modo que las proyecciones son independientes y sus varianzas son idénticas a los autovalores!

19 Esto nos muestra que si los autovalores son muy pequeños entonces las proyecciones sobre el autovector correspondiente son también pequeñas. Si dejamos de lado deliberadamente los autovalores más pequeños, y sus correspondientes direcciones, podemos explicar aproximadamente el comportamiento de todos los datos con un número más reducido de variables de proyección, cuyas direcciones serán las más importantes de todas las componentes principales. Ilustracion: Comprobar que si eliminamos los autovalores pequeños obtenemos una matriz de covarianzas similar al hacer ADA T.

20 Si reemplazamos a la matriz P por una matriz P que tiene ceros en un número determinado de las últimas columnas, la matriz de covarianzas de P será ahora una diagonal D donde desaparecerán el número indicado de autovalores (que suponemos pequeños). Esto nos lleva a una nueva matriz de covarianzas y a una matriz de datos aproximados X al reemplazar a los vectores originales por sus proyecciones sobre las direcciones principales.

21 Podemos estimar el error cuadrático medio que se cometerá al reemplazar los datos X por los datos proyectados x (i) = p (i) 1 et p (i) N 1 et N 1 + p(i) N et N x (i) = p (i) 1 et p (i) k + 0 et k et N (los vectores e j son columna), escrito en forma compacta x (i) = p (i) A T x (i) = p (i) A T k

22 ECM = 1 n = 1 n n (x (i) x (i)) ( x (i) x (i)) T i=1 n i=1 ( p (i) p (i)) A T A (p (i) p (i)) T por ser A ortogonal = 1 n = n (p (i) p (i)) ( p (i) p (i)) T i=1 N j=k+1 1 n n ( i=1 p (i) j ) 2 = N i=k+1 donde k es el número de autovalores que hemos retenido. Si esta suma es menor que una tolerancia ε, entonces tendremos controlado el error cometido sobre los datos. λ i.

23 Esto nos muestra que la elección de las componentes principales nos permite reducir la dimensión de nuestro problema, reemplazándolo por uno en el que tendremos menos variables. Por otra parte, si queremos obtener un histograma de valores de una cartera por simulación, podemos generar escenarios para las dos o tres primeras componentes en las correspondientes direcciones principales, obteniendo de esta manera una descripción simplificada de las variables originales.

24 Las variables que retenemos van a explicar en cierta proporción al comportamiento de todos los datos originales. Una forma de medir la relevancia de cada variable retenida es mediante el pocentaje que representa en la varianza total. En fórmula Porcentaje explicado por componente i := λ i λ 1 + λ λ N De este modo, si queremos saber cuál va a ser el porcentaje explicado por las dos primeras componentes deberemos calcular λ 1 + λ 2 λ 1 + λ λ N ya que las proyecciones son independientes entre sí.

25 Cuando las variables que consideramos provienen de datos de distinta naturaleza podemos usar la matriz de correlaciones en lugar de la de covarianzas (esto normaliza las escalas con las que vemos a cada dato). ρ ij = Cov ij Covii Covjj De este modo, la matriz de correlaciones tiene unos en la diagonal, y a ésta podemos aplicarle la misma reducción de variables que le aplicamos a la de covarianzas. Importante: Nótese que trabajar con la matriz de correlaciones es equivalente a calcular la de covarianzas a las variables normalizadas, esto es, divididos por su desviación típica. Asumiremos a partir de ahora que los datos están normalizados de esta manera y que además se hallan centrados alrededor de la media

26 Variaciones del valor de una cartera Dadas las curvas de tipos para tiempo t: ( ) r (t) = r (t) 1, r (t) 2,..., r (t) N, donde t es la fecha que corresponde a cada muestra, calculamos las variaciones en un plazo de tiempo t (un día o una semana) dadas por s (t) = r (t+ t) r (t). Nótese que si el número de muestras es muy grande, la media de cada diferencia es aproximadamente cero. Sean (σ 1,..., σ N ) sus desviaciones típicas. Suponemos de ahora en más que hemos normalizado a las s (t).

27 Los datos s son los que utilizaremos para hacer el análisis de componentes principales. Como antes, denotaremos por e i a cada autovector unitario de la matriz de autovectores. Nos quedaremos con las proyecciones de los datos en las tres primeras direcciones: s (t) p (t) 1 e 1 + p (t) 2 e 2 + p (t) 3 e 3 y rescalamos los vectores para tener componentes de varianza 1: s (t) a (t) 1 c 1 + a (t) 2 c 2 + a (t) 3 c 3 c i := λ 1/2 i e i

28 Recordemos que las variables p (t) i son independientes y tienen varianza λ i. Podemos escribir las variaciones del valor de una cartera de bonos a partir del día de hoy (0) para el día t del siguiente modo: ( V cartera r ( t)) ( V cartera r (0)) donde r ( t) = (a 1, a 2, a 3 ) C T

29 Sensibilidad a componentes Si tenemos en cuenta las variaciones de los valores de la cartera cuando cambiamos alguna de las componentes a i, tenemos una forma de calcular la exposición de la inversión ante cambios en estos parámetros. Concretamente, podemos definir sensibilidades en el precio a partir de las componentes del siguiente modo. Para calcular la sensibilidad respecto de la primera componente basta con considerar un movimiento pequeño que solo tenga en cuenta la primera dirección (a 1, a 2, a 3 ) = (h, 0, 0) La sensibilidad primera viene dada por sensibilidad primera [ Vcartera(h,0,0) V cartera(0,0,0) h V cartera (0, 0, 0) ]

30 Nótese que, al ser la primera componente un movimiento paralelo de los tipos, esta cantidad es (salvo el signo) prácticamente la duración de Fisher-Weil. Ilustración: Determinación de las sensibilidades de una cartera formada por un bono con cupón del 4 % pagado anualmente a 5 años y un bono del 3 % anual a 10 años. Nominal 1, curva inicial dada por la fila del 30 dic 2005 en la hoja de datos.

31 Cobertura con componentes Queremos cubrir el riesgo de variación de valor de una cartera de bonos ante el efecto de las componentes principales. Vamos a comprar o vender una cantidad determinada de esos bonos de modo que el valor de hoy sea equivalente a la cartera original y que sea insensible respecto de las tres componentes. Esto nos impone cuatro condiciones y por lo tanto debemos contar (mínimo) con cuatro bonos. Supongamos que el valor inicial de nuestra cartera es 100. Sean B 1, B 2, B 3 y B 4, queremos hallar (β 1, β 2, β 3, β 4 ) tales que 100 = ( β i B i r (0)) i y además i β i B i ( r ( t)) = i β i B i ( r (0))

32 donde r ( t) lo obtenemos con (h, 0, 0) (a 1, a 2, a 3 ) = (0, h, 0) (0, 0, h) para una pequeña variación h de cada componente.

33 Inversión en una componente Podemos diseñar una inversión en bonos, que por ejemplo sea neutral respecto de dos de las componentes y que suponga una exposición directa a la componente restante. Supongamos, por ejemplo, que sea neutral a las variaciones de las dos primeras. Necesitaremos 3 bonos, B 1,B 2,B 3. Buscamos (β 1, β 2, β 3 ) tales que Valor inicial = 3 i=1 β i B i ( r (0)) y además 3 β i B i (r ( t)) = i=1 3 i=1 β i B i ( r (0))

34 cuando el r ( t) lo imponemos usando (a 1, a 2, a 3 ) = (h, 0, 0) y (a 1, a 2, a 3 ) = (0, h, 0). Esto se aplicaría en particular si una componente tiene reversión a la media, y está alejada de esa media.

35 Cómo determinamos la cercanía a la media? Podemos definir una cantidad llamada Z-score del factor, que determina lo alto o lo bajo que está (respecto del nivel medio). Z = factor min max min donde max :=percentil 95 min :=percentil 5 Para una curva determinada s (t), podemos calcular la primera proyección (el primer factor) del siguiente modo p 1 =< s (t), e 1 >

36 Un Z-score próximo a 100 % significa factor relativamente alto, mientras que Z-score próximo a 0 % significa factor relativamente bajo. Si creemos que los factores tienen tendencia a situarse en su nivel medio, un Z-score alto debe interpretarse como una señal para entrar en una estrategia que aproveche la potencial bajada de ese factor. Ilustración: Determinación de la cobertura de una cartera. Bonos a 2,5,7 y 10 años en una cartera de valor inicial 100. Cupones del 5 % anual. Ilustración: Cálculo de inversiones en componentes dada una curva inicial (hoy) dada por r = (2.75,2.9,3.02,3.13,3.23,3.31,3.38,3.44,3.49,3.54) Todos los datos son porcentuales y asumimos que hoy es el día posterior al último dato que tenemos.

37 Simulación con componentes Sea ahora una muestra de N variables independientes con media cero y varianza 1. Las disponemos en una matriz Z donde indicamos con z (i) al vector que tiene la fila i, del mismo modo que hicimos para las x (i). Si multiplicamos a la matriz Z por D 1/2 generamos nuevas variables aleatorias que tienen las mismas varianzas que las proyecciones p (i). p (i) = z (i) D 1/2 Entonces generamos las x (i) por medio de x (i) = p (i) A T = z (i) D 1/2 A T = z (i) ( A D 1/2) T, donde A D 1/2 = C es la matriz de componentes y nos queda X = Z C T

38 La matriz de covarianzas de las x generadas de esta manera viene dada por ( ) Cov = CZ T ZC T = C ZZ T C T = CC T De este modo vamos a poder replicar el comportamiento de las variables x con muestras de variables independientes z asociadas a cada componente principal. Si aprovechamos la capacidad de reducción de la dimensión que nos aportan las componentes principales, sólo debemos considerar dos o tres variables para hacer una simulación. Ejercicio: cálculo de Var y Tail-Var de una cartera de bonos usando simulación Montecarlo basada en componentes principales. Ejercicio: Simular los precios a un día de la cartera obtenida con un factor descubierto. Estimar rendimiento/var.

39 Componentes principales Los tipos de interés muestran tendencias a largo plazo que suponen un regreso a ciertos niveles, que acaban siendo unas medias a largo plazo. Vamos a ver cómo se modeliza este tipo de comportamiento. Tenemos un proceso evolutivo de comportamiento local con meta a largo plazo y componente aleatoria. El tiempo da saltos de tamaño fijo t.

40 Las variables que tenemos son: 1. S n denota un nivel o rendimiento en tiempo n t. 2. La variación entre tiempo (n 1) t y tiempo n t se denota por S n = S n S n 1. La regla estocástica de evolución viene dada por: S n = a (µ S n 1 ) t + σ tz n Esta es la versión discreta del proceso conocido por Ornstein-Uhlenbeck. Este proceso es la base de los modelos continuos (Vasicek y Hull-White): ds t = a (µ S t ) dt + σdw t donde W t es el movimiento Browniano.

41 Deriva y aleatoriedad Componentes principales El primer sumando del salto S n : a (µ S n 1 ) t recoge la deriva determinista. El segundo sumando σ tz n recoge toda la aleatoriedad del salto S n. Parámetros µ es la media a largo plazo, es decir, el nivel al que se revierte. a (a > 0) es la tasa de reversión, mide la velocidad con la que se revierte al nivel µ. σ es la volatilidad, el nivel de incertidumbre con el que se va evolucionando.

42 Variables aleatorias Componentes principales Las Z n son variables aleatorias normales estándar independientes. Dado el nivel S n 1, cada S n es una variable normal con media varianza a (µ S n 1 ) t σ 2 t Cada S n es una variable normal con media = µ + (1 a t) n (S 0 µ) µ + e an t (S 0 µ) varianza σ2 (1 e 2an t) 2a Ilustración: Simulación de un proceso de reversión. Variar a y σ.

43 Situación determinista Componentes principales El caso σ = 0 es un proceso de reversión a la media puramente determinista: S n = a (µ S n 1 ) t La posición en tiempo n t queda completamente determinada por la posición inicial S 0 (y los parámetros a y µ). Aproximadamente: S n µ S 0 µ = (1 a t)n e an t. Esto significa que la distancia de S n a µ se reduce exponencialmente, con velocidad dada por la tasa de reversión a. Ilustración: Gráficas.

44 Tiempo a reversión Componentes principales En el caso σ = 0, para llegar a un tiempo N t en el que se precisa que S N µ S 0 µ = 1 2 N t = ln2 a Es decir, el tiempo necesario para reducir la distancia al nivel de reversión a la mitad es inversamente proporcional a la tasa a.

45 En el caso general σ 0, hay algunas fórmulas expĺıcitas del tiempo de llegada al nivel de reversión. Pero el cálculo más importante desde el punto de vista estratégico es el tiempo a reversión a un nivel próximo a la media a largo plazo. En este caso, que involucra strikes K, topes T (stop loss) y horizonte temporal H, no disponemos de tales fórmulas y es necesario recurrir a la simulación.

46 Ilustración Simulación del tiempo de llegada a un strike K partiendo de un nivel inicial S 0. Tiempo medio de llegada. Usar: a = 100 %, µ = 20, σ = 500 %, t = 0,05, strike (K)=15, tope (T )=0, S 0 = 8. Hacer la gráfica del porcentaje de llegadas contra el tiempo en años. Dado un horizonte temporal H = N t, determinar el strike K que se alcanza (antes de llegar a un tope, y dentro del horizonte temporal) con un nivel de confianza de 80 %.

47 Estrategia de inversión Si S 0 está por debajo de µ, fijamos strike K, tope T y horizonte temporal H. La estrategia es comprar S (estar largo ) y vender al llegar al nivel K. La ganancia viene dada por S S 0. Ilustración: Simular pérdidas y ganancias de la estrategia.

48 Calibración de la reversión Supongamos que tenemos una serie de valores históricos de S n. Podemos hacer una regresión de la serie Y n = S n contra los valores de X n = S n y deducir los valores de a y de µ: S n = ms n 1 + b + residuo Una vez calculados a y µ podemos estimar σ del siguiente modo: 1 tσ = ( Sn a t (µ S n 1 )) 2 num datos

49 Ejercicio: Estimar los parámetros de la curva de los tipos a un año. Estimar a continuación los de la primera componente principal, comparar los parámetros. Simular y comparar con los datos reales.

50 Guía para hacerlo en Matlab Definimos el vector y con las diferencias diarias de los tipos a un año. Si en el vector x tenemos los datos correspondientes a los tipos a un año, queremos estimar por cuadrados mínimos: y i = a(µ x i ) t = a t x i + a tµ = k 1 x i + k 2 De este modo, tenemos que resolver el sistema ( ) ( ) k1 k1 M = y = M\y donde k 2 M = k 2 x x n 1