Laboratorio 3. Conjuntos ordenados:

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1 Laboratorio. Conjuntos ordenados:.- Tabule grafique las siguientes funciones: utilice 0 5 a) = 5 b) = 0 - / c) = / No ha regla Regla Regla 5 a) = 5 b) Y = 0 - c) = Y , , /n = n 5. m / n = m-n Si m<n / m-n.- Desarrolle en términos de eponentes positivos los siguientes ejercicios: a) ( ) ( ()() ) = = Regla. m n = m+n b) w w 8 = w. m n = m+n = w Regla ()(8) c) ( / ) ()() ( = ) 8 8 = = ()() ( ) Regla 8 9, Regla 7 8. () n = n n 9. ( / ) n = n / n 7. ( m ) n = mn.- Evaluar las siguientes epresiones: a) (00) / = = 0 Regla. /n = n b) () -/5 = regla = = /n = n. -/n = / /n = / n c) (/) 5/ 5 5 = 5 = o 5 = ( ) 5 Regla 9 Regla. /n = n 9. ( / ) n = n / n. m/n = n m = ( n ) m

2 Ejercicios para clase:. ( 0 ) = () =. 8 = = =. = () = =. = 5. ()() 8 ( ) = =. 8 9 = = = = 5 8 (8)() () ( ) 7. = = = (9 )( w )( z ) 9wz 9wz 9 w z. {[+]+5[ -(-)]} = ( 0+ ) (z + ) = 9 z+. ( + ) + ( + z) = + + z. ( + ) ( + z) = z 5. (+)(-5) = 0. ( + )( + 5) = (t-)(5t +t-) = 0t 9t + t+ 8. (+ 5) (8 + ) = ( + ) ( + ) + ( + ) = { + } = { } 0. ( ) ( 5).. + 9= + + = 8 8 { ( )( ) } = ( + ) = ( + )( ) = = = 5 7. = + z z 8. = z z

3 = = + = = = = = = = =

4 Reglas de Factorización: Teorema fundamental de aritmética: un número natural n>, o es primo, o se puede epresar como un producto de factores primos en forma única (ecepto por el orden de los factores) o bien como un producto de potencias primas: = () = ()() = ()()() = () Ejemplo: D = {/ es divisor de } = {,,, 8,,,, } D = {/ es divisor de } = {,,,,, 9, 8,, }.- Factor común: a) + z = (+z) Ejemplo: + 8 = ( + ) b) + ( a+ b) + ab= ( + a)( + b) Ejemplo: 5 + = c) ab + ( ab + cb) + cd = ( a + c)( b + d ) Ejemplo: = ( + )( + ).- Trinomio cuadrado perfecto a) + a + a = ( + a) Ejemplo: + 8+ = ( + ) b) a + a = ( a) Ejemplo: + 9= ( ).- Diferencia de dos cuadrados a a a a) = + Ejemplo: = ( + )( ) = ( + )( + )( ).- Suma de dos cubos: + a = ( + a)( a+ a ) Ejemplo: ( + ) = ( + )( + ) 5.- Diferencia de dos cubos: a = ( + a)( + a+ a ) Ejemplo: 8 = = ( )( + + ) Matemáticas : Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez

5 Ejercicios para clase: z = 5(+) 8abc abcd+ bcd = abc a bd+ bcd.- ( ).- 5 = ( + 5)( 5).- p + p+ = ( p+ )( p+ ) = ( 9).- z + z+ 8= ( z+ )( z+ ) = ( + )( + ) = ( + ) = ( + )( + ) 9.- = ( + 5 ) = ( + )( ) 0.- = ( + )( ) = ( + )( + ).- ( + )( ).- ( + ) = ( + ) + = + = +.- Desarrolle 0+ 5= 5 Propiedad conmutativa 5.- Desarrolle + 8= ( + )( + ).- Desarrolle hasta obtener: = ( + )( + )( )( + + ) Matemáticas : Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez

6 Laboratorio No. 5. Factorización: Realice la factorización para cada uno de los siguientes ejercicios, en una hoja aparte. Dado que las respuestas acompañan al documento, deberá desarrollar los ejercicios e indicar la razón (regla) que lo fundamenta.. =. 9 =. zt + zst zt =. + = 5. s s+ 8=. + 5 = = = 0. =. 9z + z+ =. + = + =.. + z z = 5. = = Respuestas:. ( ) ( + )( ).. zt ( zt 5t zt ) +. z +. ( )( + ). ( )( ) 5. ( s )( s ). ( )( + ) + ( )( + ). ( )( 8) + z z ( )( + + ) +. ( + )( + 9) 7. ( ) 8. ( )( 5) No olvide poner su nombre en la parte superior comenzando por su apellido paterno Matemáticas : Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez

7 Ejercicios adicionales no son para revisar, ni tienen un valor sobre la calificación, son ejercicios para realizar en casa de manera voluntaria. Fracciones: =. = 7+. c+ d 9 c. c d = 7. c = Ecuaciones Lineales: z z * + z z z + = 9 0. ( ) + = * + + = + + ( ) = = 0 5. = = 5 9. = 5 Ecuaciones cuadráticas: + =. ( ) = ( ) 7. = t t 0. z = =. + 9= 5. ( w + ) w + = w w 9. 8 = 0. =. 7 7 =. + = 0 7. ( + ) 5 = = 0. = =

8 Ejercicios adicionales no son para revisar, ni tienen un valor sobre la calificación, son ejercicios para realizar en casa de manera voluntaria. Fracciones: =. = 7+. c+ d 9 c. c d = 7. c = Ecuaciones Lineales: z z * + z z z + = 9 0. ( ) + = * + + = + + ( ) = = 0 5. = = 5 9. = 5 Ecuaciones cuadráticas: + =. ( ) = ( ) 7. = t t 0. z = =. + 9= 5. ( w + ) w + = w w 9. 8 = 0. =. 7 7 =. + = 0 7. ( + ) 5 = = 0. = =

9 Ejercicios para la clase: (cancelación) = 8 ( ) = = = + ( )( + ) + + = = ( )( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = = = ó = = = ( + h) + h h + h ( + h) ( + h) + h + h = = = = h h h h h() = = + h h + h + h = + = = = = ( ) = = = + + ( + )( ) ( + ) ( + ) ( + ) 8 8 = ( + )( + ) + = = ( ) = = = ( ) = + = = = = 7 7 7

10 8.- + = + = ( )( ) = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) + 8 = = = ( )( ) ( + ) ( ) = = = = ( 5) = = = ( )( + ) ( )( + ) = = = = ( + )( ) + ( )( + )( + ) 9 ( )( + ) + ( )( ) +.-. = = = = + ( )( + ) = = = = = = = ( ).- = = = = ( ) ( ) ( ) = = = = = + = = = = = = = =

11 Laboratorio : Fracciones: = 9+ 0 = = = + = = = + =

12 Funciones: Función: elemental para el estudio del cálculo. Una función es un tipo especial de relación de entrada salida, o insumo producto, que epresa cómo una cantidad (la salida) depende de otra cantidad (entrada). Ejemplo, la cantidad de ingresos en un negocio, depende del volumen de ventas. Definición: Una función es una regla que asigna a cada número de entrada eactamente un número de salida. El conjunto de todos los números de entrada a los cuáles se aplica la regla se denomina dominio de la función. Al conjunto de todos los números de salida se le llama ámbito o contradominio. f() que se le f de significa el número de salida en el ámbito de f que corresponde al número de entrada en el dominio. f() donde =entrada f() la salida. Ejemplo f() = + Para encontrar la salida de la entrada, se reemplaza en cada. por lo tanto: F()= + esto nos da: F() = 5 Advertencia: f() NO significa f multiplicado por, sino la salida que corresponde a la entrada. El dominio consiste en todos los números reales para los que la ecuación tiene sentido produce valores funcionales que son números reales. h = Aquí, cualquier número real eceptuando el, es valido. El no puede ser posible puesto que convierte el denominador en cero. g () t = t Se debe evitar tener raíces cuadradas negativas, por lo tanto t debe ser maor o igual que cero. En una epresión tal como: f() = A la totalidad de la epresión se denomina argumento de la función, es la variable de salida o variable dependiente, concerniente al ámbito o cotradominio. es la variable independiente. Concerniente al dominio. El valor de cuando se le aplicó un valor se denomina imagen. El conjunto de todas las imágenes se conoce como rango, que es el conjunto de todos los valores que toma la variable. Ejemplo: = El dominio: 0 00 Dominio = {/ 0 00} Contradominio: por lo tanto, {/50 850} Dominio Contra dominio

13 f ( ) =.0 Funciones lineales f ( ) = f = f = f = + f =

14 Funciones Cuadráticas f = f = f = + f = f = + f =

15 f = f = f = Funciones Cúbicas f = f =

16 f = + f = f = f = Funciones Simétricas f = f =

17 f = f = hiperbólica rectangular a > Funciones no algebraicas f ( ) = Eponencial f = Logb Logarítmicas

18 Problema: Un fabricante vende productos a un precio de $0 por unidad, sus costos fijos son de 000 por mes, sus costos variables son de $ por unidad. Cuántos productos debe vender el fabricante para no caer en pérdidas? Ingreso: Precio por cantidad 0 Costos: Costos variables + costos fijos: = = 000 / 8 = 5 Ingresos 0 Costos Problema: Cineme, analiza la posibilidad de incrementar sus ingresos vía una disminución del precio, para ello realiza los cálculos necesarios. Observa qué con 5 personas que ingresan a ver una película con un precio de $0, obtiene $00. Dicha empresa quiere bajar el precio en $0.50 por persona adicional de esta forma aumentar sus ganancias. Será esto viable? Hasta que punto puede ser o no redituable? Incremento de Total de personas Reducción del Nuevo precio (d) Ingreso personas (a) (b) precio (c) = = 0 (a)(d) = 00 (5 + ) = 0.5() = = 9.5 (a)(d) = (5 + ) = 7 0.5() = 0 = 9 (a)(d) = 0 (5 + 0) = 5 0.5(0) = = 5 (a)(d) = 75 (5 + ) = 0.5() = =.5 (a)(d) = 77 (5 +) = 7 0.5() = 0 = (a)(d) = 78 (5 + ) = 8 0.5() = =.5 (a)(d) = 78 (5 + ) = 9 0.5() = = (a)(d) = 77 5 (5 + 5) = 0 0.5(5) = =.5 (a)(d) = 75 X (5 + ) = 0.5() = 0.5 (0 0.5) (5 + ) (0 0.5) 0 (5 + 0) = (0)=0 0 0 = 0 (a)(d) = 55 (0) = 0 ( 5)( 0.5 0) + + = = = 5 = = 0 Donde se encuentran los ceros. 0.5 Vértice: b b b b = = f (, ) =, f a a a a = = = ( ).5.5 = = =