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1 Mecánica fluidos Webpage: Departamento de Física Universidad de Sonora 1

2 Temario III.- VECTORES. 1. Clasificación de cantidades físicas: Escalares vectores. 2. Representación de un vector: Gráficamente. nalíticamente: Mediante magnitud dirección Mediante componentes vectores unitarios 3. Operaciones con vectores: Suma resta: Método gráfico. Método analítico. Producto de un escalar por un vector. Producto escalar o producto punto. Producto vectorial o producto cru. Introducción Cinemática en una dimensión. Para describir un movimiento en una dimensión sólo se requiere especificar la posición la velocidad v al tiempo t, es decir (t) v(t), relaciones conocidas como ecuaciones de movimiento. 2

3 Introducción En este caso, tanto la posición como la velocidad el tiempo, se representan por un numero real. demás, las operaciones entre ellos son las ordinarias de la aritmética: suma, resta, multiplicación división; es decir el algebra de los números reales Por ejemplo, en la figura el auto cambia su posición del punto B Δ = 50m - 30m = 20m Introducción El estudio de la Física va de lo sencillo a lo complejo de lo particular a lo general. En este conteto, se vuelve necesario analiar el movimiento de un cuerpo que se mueve a no en un eje (o recta), como lo hemos hecho hasta ahora con el estudio del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRU), sino en dos ejes mutuamente perpendiculares que forman una superficie plana o, simplemente, plano. Estos ejes serán ahora nuestro sistema de referencia, al cual también se le conoce como Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas rectangulares. 3

4 Introducción Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas rectangulares eje vertical (variable dependiente) (unidades) 1 abscisas l l l l l l l l l l (unidades) eje horiontal -1 (variable independiente) -2-3 l l l l l l l ordenadas Introducción En dos dimensiones la posición queda determinada por un punto en el plano cartesiano. Se especifica a partir del origen del sistema, a sea: Mediante la pareja de puntos coordenados: (,). Especificando la distancia el ángulo (tomando en cuenta a partir de qué eje hacia dónde se mide dicho ángulo). + (m) II cuadrante I cuadrante 3 (4,3) 2 d 1 θ l l l l l l l l l l (m) -1 III cuadrante -2 IV cuadrante 4

5 1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares vectores Hasta esta parte del curso, hemos hecho uso de conceptos como posición o velocidad sobre un eje, en los que sólo ha sido necesario especificar la magnitud; pero en el momento en que hemos intentado estudiar el movimiento en dos dimensiones, nos hemos topado con la necesidad de especificar, por ejemplo, la posición como un par de puntos coordenados o como una distancia (magnitud) una dirección. En este punto es pertinente hacer notar la eistencia de conceptos de mecánica en los que nos encontraremos con dos diferentes tipos de magnitudes: escalares vectoriales. 1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares vectores Escalares. Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real una unidad de medida, es decir, es suficiente especificar el cuánto. Ejemplos de este tipo de magnitud son la cantidad de mananas en un cesto, la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. 5

6 1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares vectores Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad, el volumen, el trabajo mecánico, la potencia, la temperatura, etc. 1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares vectores Vectores. las magnitudes vectoriales, a diferencia de las cantidades escalares, no se les puede determinar completamente mediante un número real una unidad de medida, en el caso de las cantidades vectoriales es necesario especificar el cuánto el para dónde. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la traectoria en cada punto) el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta). l igual que con la velocidad ocurre con las fueras: sus efectos dependen no sólo de la intensidad, sino también de las direcciones sentidos en que actúan. 6

7 1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares vectores Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración, el momentum o cantidad de movimiento, el momentum angular, etc. Para representarlas ha que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos etremos dados en un cierto orden. Escalares vectores en física Escalares tiempo distancia masa volumen trabajo temperatura carga voltaje corriente Vectores posición desplaamiento velocidad aceleración fuera momento campo eléctrico densidad de corriente campo magnético 7

8 2.- Representación de un vector. Representación gráfica del vector cambio de posición en el plano Considere que un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen, a partir de allí recorre 4m en dirección horiontal en el sentido del eje de las positivas. Posteriormente se mueve 3m en dirección vertical en sentido del eje positivo Posición inicial (m) (4,3) Posición final B (m) 2.- Representación de un vector. Representación gráfica del vector cambio de posición en el plano En este caso, el desplaamiento o cambio de posición se representa mediante la flecha C que va desde la posición inicial hasta la posición final Posición inicial + (m) C (4,3) Posición final B Tiene las siguientes características: Magnitud (o longitud): 5 m Dirección: Sentido: al Norte del Este (m) 8

9 2.- Representación de un vector. Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha. Un vector se acostumbra a denotar por una letra con una flecha sobre ella. La magnitud o módulo del vector se indica por o simplemente. 2.- Representación de un vector. nalíticamente, un vector se puede representar: mediante el uso de coordenadas cartesianas. En este caso, se requieren 2 números ordenados (,) si se trata de un vector en dos dimensiones (plano) o 3 números ordenados (,,) si el vector se ubica en un espacio tridimensional. En el ejemplo anterior, el vector desplaamiento se representa como C = (4,3). mediante la magnitud la dirección. En este caso, la dirección se puede especificar mediante un ángulo (polar) medido respecto a un eje (generalmente, un eje horiontal dirigido a la derecha que, en el plano cartesiano, corresponde al eje +), cuando se trate de un vector en el plano (2D); en el caso en que tengamos un vector en 3 dimensiones hará falta un segundo ángulo, generalmente llamado aimutal. En el ejemplo anterior, el vector desplaamiento se representa como C = 5m a al Norte del Este. 9

10 lgunas propiedades de los vectores. Vector nulo. Un vector nulo se define como aquel cua magnitud es cero, es decir si = 0 entonces es un vector nulo. Igualdad de vectores: Sean B dos vectores, se establece que son iguales, es decir = B si solo tienen igual magnitud dirección. B lgunas propiedades de los vectores. Vector opuesto: Se llama vector opuesto de, al vector que tiene la misma magnitud dirección, pero con sentido opuesto a, el cual se representa por. continuación se representan, tanto el vector original, como su opuesto. 10

11 Suma de vectores. Suma gráfica de vectores: método del paralelogramo Sean B dos vectores cualquiera, para obtener la suma de ambos vectores se procede de la siguiente forma: Se forma un tercer vector de tal forma que se construa un triángulo con ambos vectores formando dos lados del triángulo. + B El vector que va desde el origen de hasta el etremo de B es definido como el vector suma + B. Este procedimiento se conoce como método del paralelogramo es mu útil cuando trabajamos con dos vectores. B Suma de vectores. Suma gráfica de vectores: método del polígono En ocasiones es necesario realiar la suma de más de dos vectores, en tal caso el procedimiento recibe el nombre de método del polígono. En este caso se procede de la siguiente forma: Se coloca el primer vector en el origen de coordenadas, partir del etremo de este primer vector se coloca el inicio del segundo vector, l final de este segundo vector se coloca el inicio del tercero, así sucesivamente; La resultante (o suma) es el vector que inicia en el punto inicial del primer vector termina en el punto final del último vector involucrado en la suma. 11

12 Suma de vectores. Suma gráfica de vectores: un par de ejemplos Método del paralelogramo. Una persona caminando 3.0m al este luego 4.0m al norte se ubica 5.0m a 530 al Norte del Este. Método del polígono. La resultante (o suma) R es el vector que empiea al inicio del primer vector termina al final de cuarto vector. Suma de vectores. Sustracción o resta gráfica de vectores La diferencia de 2 vectores B, representada por B, es el vector -B B sumado al vector, es decir B = + ( B) continuación se muestra el método del paralelogramo, aplicado a este caso. B B B 12

13 Suma de vectores. Propiedad conmutativa de la suma Esta propiedad establece que la suma de dos vectores es la misma, independientemente del orden de los sumandos. En el esquema adjunto se representa esta propiedad de la adición de vectores. + B B B B S + Suma de vectores. Propiedad conmutativa de la resta Esta propiedad establece que la resta de dos vectores es la misma, independientemente del orden en que se realicen las operaciones. D B B D En el esquema adjunto se representa esta propiedad de la sustracción de vectores. B 13

14 Producto de un vector por un escalar El producto de un vector por un escalar m es un vector mm con magnitud m veces la magnitud de con la misma dirección de, pero el sentido puede ser opuesto al de, según si m es positivo o negativo. 3 2 Es importante mencionar que m puede ser maor o menor que 1. Vector unitario Es un vector que epresado en las unidades correspondientes tiene magnitud uno, de allí su nombre. Se acostumbra a representar por una letra con acento circunflejo: ˆn Vector unitario Cualquier vector puede ser representado como el producto de un vector unitario âa en la dirección de, la magnitud de. O sea = aˆ 14

15 Componentes de un vector Cualquier vector puede considerarse siempre como la suma de dos o mas vectores cualquier conjunto de vectores que al sumarse den como resultante el vector se les llama los componentes de. Componentes de un vector unque el método gráfico puede ser mu útil para entender fácilmente las operaciones con vectores, no se pueden calcular las variables con precisión. Para cálculos generalmente se trabaja usando las llamadas componentes del vector. Las componentes facilitan el cálculo de la operaciones con vectores, tales como la suma, resta multiplicación de vectores. La definición detallada se desprende de la figura. Para el caso de desplaamientos, las componentes corresponden a las coordenadas del punto final respecto al sistema, siempre cuando el origen del vector coincida con el sistema coordenado. 15

16 Componentes 3D de un vector Si se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podrá ser considerado como la suma de 3 vectores en las direcciones X, Y Z que se llamaran,, respectivamente. î kˆ ĵ Componentes 3D de un vector Entonces podemos escribir Si se llaman iˆ, ˆj, kˆ a los tres vectores unitarios en las direcciones X, Y, Z respectivamente, tenemos que = + + = iˆ = ˆj = kˆ î kˆ ĵ 16

17 Componentes 3D de un vector Por lo tanto un vector El modulo de por: estaría dado en el espacio, podrá escribirse siempre en la forma: = iˆ + ˆj + kˆ = kˆ î ĵ Representación polar rectangular. Eisten dos maneras de especificar un vector en 2D: la representación polar la representación cartesiana o rectangular. En ambas se usan dos números reales. Representación polar (r,θ). Esta es más intuitiva a que usa la magnitud del vector (un número positivo) el ángulo que define la dirección (el cual se mide a partir del eje + en dirección contrarreloj). Representación cartesiana o rectangular (, ). Esta usa las componentes del vector en dirección de los ejes cartesianos. 17

18 Representación polar rectangular. Relaciones entre las dos descripciones Para establecer la relación eistente entre ambas representaciones es conveniente recurrir al siguiente esquema. Usando la trigonometría, encontramos que Polar a rectangular: = rcosθ = rsenθ Rectangular a polar: = + θ = tan r l usar la calculadora para encontrar θ, siempre dará un valor entre π/2 +π/2. Si <0 se le debe sumar π al resultado de la calculadora, si >0 pero <0, habrá que sumar 2π. Suma algebraica de vectores. En el caso de la suma (o resta) analítica de vectores, las cosas son mu sencillas debido a que para obtener la resultante basta simplemente con sumar (o restar) por separado las componentes de los vectores involucrados en la operación. En el esquema adjunto, podemos ver que lo anterior nos lleva a que 18

19 Producto escalar o producto punto. El producto punto (o producto interior) también es llamado producto escalar debido a que el resultado, por definición, es una magnitud escalar. El producto escalar de dos vectores, representado por el símbolo. B, se define como el producto de las magnitudes de B, por el coseno del ángulo entre los dos vectores. B θ Producto escalar o producto punto. La definición de producto punto, matemáticamente, se escribe como De donde se hace evidente que Es decir, el producto punto es conmutativo. B Bcosθ B = B También se puede ver que los vectores unitarios satisfacen que θ iˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 1 iˆ ˆj = ˆj kˆ = kˆ iˆ = 0 B 19

20 Producto escalar o producto punto. Si consideramos dos vectores B, dados por ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = i+ j+ k Entonces, el producto punto se puede escribir como B = B + B + Notese que el producto escalar de un vector consigo mismo, es su magnitud al cuadrado = = B = Bi+ B j+ Bkˆ 2 B Producto vectorial o producto cru El producto vectorial de dos vectores B, representado por el símbolo B B, se define como un vector cuo módulo es el B producto de las magnitudes de ˆn θ ambos vectores por el seno del ángulo entre ellos. La dirección del vector B es perpendicular al plano formado por B de tal manera que, B B forman un sistema detrógiro (regla de la mano derecha). 20

21 Producto vectorial o producto cru Con lo anterior B = ( Bsenθ ) nˆ nˆ En donde es un vector unitario que indica la dirección perpendicular a B acorde a la regla de la mano derecha. ˆn B θ B Producto vectorial o producto cru De la definición, acorde a la regla de la mano derecha, es importante evidenciar la NO conmutatividad del producto vectorial, en esta operación el orden de los factores SI altera el producto. De la figura adjunta podemos ver que B = B 21

22 Producto vectorial o producto cru partir de la definición de producto vectorial, se puede ver que los vectores unitarios satisfacen que iˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 0 iˆ ˆj = kˆ ˆ j kˆ = iˆ kˆ iˆ = ˆj î kˆ ĵ Producto vectorial o producto cru Si consideramos dos vectores B, dados por = iˆ + ˆj + kˆ B = B iˆ + B ˆj + B kˆ Entonces, el producto cru se puede escribir como B = iˆ B por lo que será necesario desarrollar el determinante anterior para encontrar las componentes del vector B. ˆj B B kˆ 22