Límites de valores singulares de un haz de matrices

Transcripción

1 Límites de valores singulares de un haz de matrices Juan-Miguel Gracia Francisco E. Velasco Universidad del País Vasco Depto. de Matemática Aplicada y Estadística XXI CEDYA / XI CMA, Ciudad Real, 22 de septiembre de 2009.

2 Índice Motivación Acotaciones más ajustadas Comportamiento asintótico

3 Índice Motivación Acotaciones más ajustadas Comportamiento asintótico

4 Submatriz sudeste más próxima que hace múltiple a 0 ( n m ) n A B C (n+m) (n+m), det A 0. m C D d = sup t 0 d := mín X C m m 0 valor propio múltiple A B C X X D ( ) M tn f (t), f (t) := σ 2m 1 O M M := D CA 1 B, N := I m + CA 2 B Si t 1 0 t.q. d = f (t 1), = f acotada, estrict. creciente y rg N = 1. ( ) ( ) ( ) M tn O N M O = t + O M O O O M l := ĺım t f (t), = d = l.

5 Submatriz sudeste más próxima que hace múltiple a 0 ( n m ) n A B C (n+m) (n+m), det A 0. m C D d = sup t 0 d := mín X C m m 0 valor propio múltiple A B C X X D ( ) M tn f (t), f (t) := σ 2m 1 O M M := D CA 1 B, N := I m + CA 2 B Si t 1 0 t.q. d = f (t 1), = f acotada, estrict. creciente y rg N = 1. ( ) ( ) ( ) M tn O N M O = t + O M O O O M l := ĺım t f (t), = d = l.

6 Submatriz sudeste más próxima que hace múltiple a 0 ( n m ) n A B C (n+m) (n+m), det A 0. m C D d = sup t 0 d := mín X C m m 0 valor propio múltiple A B C X X D ( ) M tn f (t), f (t) := σ 2m 1 O M M := D CA 1 B, N := I m + CA 2 B Si t 1 0 t.q. d = f (t 1), = f acotada, estrict. creciente y rg N = 1. ( ) ( ) ( ) M tn O N M O = t + O M O O O M l := ĺım t f (t), = d = l.

7 Planteamiento y ejemplo F, G C m n, Problema Hallar ĺım σ i(tf + G), t i = 1, 2,..., mín(m, n). Ejemplo F := i , G := i i i i i i rg F = 2, σ i (tf + G).

8 Planteamiento y ejemplo F, G C m n, Problema Hallar ĺım σ i(tf + G), t i = 1, 2,..., mín(m, n). Ejemplo F := i , G := i i i i i i rg F = 2, σ i (tf + G).

9 σ i t Figura: Los 5 = mín(5, 6) valores singulares de tf + G.

10 Valores singulares para algunos t 0 σ(10 4 F + G) σ(10 5 F + G) σ(10 6 F + G) 17319, , , ,01 8, ,24321, ,00 8, ,24376, ,00 8, , , , ,94607

11 Índice Motivación Acotaciones más ajustadas Comportamiento asintótico

12 Acotación clásica A, E C m n, i = 1,..., mín(m, n), σ i (A + E) σ i (A) E c i ( ) 0 t.q. σ i (A + E) σ i (A) c i (E)? Li y Li dieron una respuesta afirmativa si la matriz E tiene cierta estructura. Notación X C p q : σ(x ) := ( σ 1(X ), σ 2(X ),..., σ máx(p,q) (X ) ) donde σ 1(X ) σ 2(X ) σ máx(p,q) (X ) σ i (X ) := 0 cuando i > rg X.

13 Acotación clásica A, E C m n, i = 1,..., mín(m, n), σ i (A + E) σ i (A) E c i ( ) 0 t.q. σ i (A + E) σ i (A) c i (E)? Li y Li dieron una respuesta afirmativa si la matriz E tiene cierta estructura. Notación X C p q : σ(x ) := ( σ 1(X ), σ 2(X ),..., σ máx(p,q) (X ) ) donde σ 1(X ) σ 2(X ) σ máx(p,q) (X ) σ i (X ) := 0 cuando i > rg X.

14 Acotación clásica A, E C m n, i = 1,..., mín(m, n), σ i (A + E) σ i (A) E c i ( ) 0 t.q. σ i (A + E) σ i (A) c i (E)? Li y Li dieron una respuesta afirmativa si la matriz E tiene cierta estructura. Notación X C p q : σ(x ) := ( σ 1(X ), σ 2(X ),..., σ máx(p,q) (X ) ) donde σ 1(X ) σ 2(X ) σ máx(p,q) (X ) σ i (X ) := 0 cuando i > rg X.

15 Acotación de los Li, Li Teorema (Li-Li, 2005) ( ) G1 O, O G 2 ( ) G1 E 1, E 2 G 2 ε := máx( E 1, E 2 ), i = 1, 2,..., { mín µ2 σ(g η i := 2 ) σ i µ 2 si σ i σ(g 1), mín µ1 σ(g 1 ) σ i µ 1 si σ i σ(g 2). Entonces, i = 1, 2,..., ( ) ( ) σ G1 E 1 G1 O 2ε 2 i σ E 2 G i 2 O G 2 η i + ηi 2 + 4ε. 2

16 Acotación de los Li, Li Teorema (Li-Li, 2005) ( ) G1 O, O G 2 ( ) G1 E 1, E 2 G 2 ε := máx( E 1, E 2 ), i = 1, 2,..., { mín µ2 σ(g η i := 2 ) σ i µ 2 si σ i σ(g 1), mín µ1 σ(g 1 ) σ i µ 1 si σ i σ(g 2). Entonces, i = 1, 2,..., ( ) ( ) σ G1 E 1 G1 O 2ε 2 i σ E 2 G i 2 O G 2 η i + ηi 2 + 4ε. 2

17 Acotación de los Li, Li Teorema (Li-Li, 2005) ( ) G1 O, O G 2 ( ) ( ) G1 E 1 O E1, E := E 2 G 2 E 2 O ε := máx( E 1, E 2 ), i = 1, 2,..., { mín µ2 σ(g η i := 2 ) σ i µ 2 si σ i σ(g 1), mín µ1 σ(g 1 ) σ i µ 1 si σ i σ(g 2). Entonces, i = 1, 2,..., ( ) ( ) σ G1 E 1 G1 O 2ε 2 i σ E 2 G i 2 O G 2 η i + ηi 2 + 4ε. 2 (( ) σ G1 O i O G 2 ) + E ( ) G1 O 2 E 2 σ i O G 2 η i + ηi E = c i(e). 2

18 Índice Motivación Acotaciones más ajustadas Comportamiento asintótico

19 Descomposición de valores singulares, SVD F, G C m n con r = rg F. matrices unitarias U C m m, V C n n t.q. ( ) U S1 O FV =, S O O 1 = diag(s 1,..., s r ) con s 1 s r > 0 los v.s. 0 de F. Supongamos ( ) U G11 G 12 GV =, con G G 21 G 11 C r r. = 22 t R y para cada i, ( ) ts1 + G 11 G 12 σ i (tf + G) = σ i. G 21 G 22

20 Haz regular A, B C n n, S 1, G 11 C r r, σ i (A) σ 1(B) σ i (A + B), i = 1, 2,..., n. t s i σ 1(G 11) = σ i (ts 1) σ 1(G 11) σ i (ts 1 + G 11) i = 1,..., r. Como s i > 0, = ĺım σ i(ts 1 + G t 11) =, i = 1,..., r.

21 Teorema principal Teorema ĺım σ i(tf + G) = t ( ) ĺım σ ts1 + G 11 G 12 i = t G 21 G 22 {, i = 1,..., r := rg F, σ i r (G 22), i = r + 1, r + 2,... Ion Zaballa

22 Aplicación al Ejemplo G 22 = 0 4i 0 0 4,0825 2,8577i 0,8165i 0, ,0412i 1, ,1213i 0, ,3333i 2,2357 0,0404i 0,2357 0,6667i Sus valores singulares, calculados con Matlab, son: 8, , ,94607 σ(10 4 F + G) σ(10 5 F + G) σ(10 6 F + G) 17319, , , ,01 8, ,24321, ,00 8, ,24376, ,00 8, , , , ,94607

23 Aplicación al Ejemplo G 22 = 0 4i 0 0 4,0825 2,8577i 0,8165i 0, ,0412i 1, ,1213i 0, ,3333i 2,2357 0,0404i 0,2357 0,6667i Sus valores singulares, calculados con Matlab, son: 8, , ,94607 σ(10 4 F + G) σ(10 5 F + G) σ(10 6 F + G) 17319, , , ,01 8, ,24321, ,00 8, ,24376, ,00 8, , , , ,94607

24 Fin Muchas gracias por vuestra atención.