Una introducción a la teoría de pesos A p

Transcripción

1 Una introducción a la teoría de pesos A p Martha Guzmán Partida UNISON Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p / 44

2 Sesión 2. Sea f 2 L loc (Rn ). La función maximal de Hardy-Littlewood de f se de ne como Mf (x) := sup jf (y)j dy, Q 3x jqj Q donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x y jqj representa la medida de Lebesgue de Q. En algunas ocasiones haremos uso de la función maximal de Hardy-Littlewood centrada en bolas, la cual está de nida como M c f (x) := sup jf (y)j dy. r >0 jb (x, r)j B (x,r ) Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 2 / 44

3 Ya que las medidas de un cubo y una bola son comparables, existen constantes c n y C n, dependiendo sólo de n, tales que c n M c f (x) Mf (x) C n M c f (x). () Por (), los operadores M y M c se pueden intercambiar y usaremos cualesquiera de ellos cuando sea conveniente. Obtenemos el mismo valor de Mf (x), si en la de nición solamente tomamos cubos en los cuales x es punto interior. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 3 / 44

4 Theorem (T) Sea f una función localmente integrable en R n. Para x 2 R n, sea M 0 f (x) = sup P 3x jf (y)j dy, jpj P donde el supremo se toma sobre todos los cubos P tales que x es punto interior de P. Entonces se tiene que M 0 f (x) = Mf (x). Demostración. Claramente se tiene que M 0 f (x) Mf (x). Para x 2 R n sea Q un cubo que contiene a x, no necesariamente en su interior. Sea fp k g k= una sucesión decreciente de cubos tales que P k ) Q para cada k y \ k= P k = Q. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 4 / 44

5 Tenemos que x es punto interior de cada P k ; además por el Lema de Fatou, jf (y)j dy lim inf jf (y)j dy, Q k! P k y dado que lim k! jp k j = jqj se sigue que jf (y)j dy lim inf jf (y)j dy M 0 f (x), jqj Q k! jp k j P k por lo tanto Mf (x) M 0 f (x). Como consecuencia, Mf es semicontinua inferiormente: Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 5 / 44

6 Theorem (T2) Sea f una función localmente integrable en R n, entonces el conjunto E t = fx 2 R n : Mf (x) > tg es abierto. Demostración. Sea x 2 E t, entonces existe un cubo P tal que x 2 P y se tiene que jf (y)j dy > t. jpj P Como x 2 P, existe r > 0 tal que B r (x) P y puesto que P E t obtenemos que x es punto interior de E t. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 6 / 44

7 En la Sesión mostramos que el operador M es de tipo débil (, ), esto es: Si f 2 L (R n ) entonces para cada t > 0 jfx 2 R n : Mf (x) > tgj 3n t kf k. (2) Es inmediato ver que si f 2 L (R n ) entonces kmf k kf k. (3) Usando el Teorema de Interpolación de Marcinkiewicz que establece: Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 7 / 44

8 Theorem (Marcinkiewicz) Sean (X, µ), (Y, ν) espacios de medida, p 0 < p. Sea T : L p 0 (X, µ) + L p (X, µ)! (Y, ν) un operador sublineal que es de tipo débil (p j, p j ) j = 0,, esto es, existe C j > 0 tal que para cada λ > 0 ν (fy 2 Y : jtf (y)j > λg) C j kf k p j p j λ p j. Entonces, T es de tipo fuerte (p, p) para p 0 < p < p, es decir, existe una constante C > 0 tal que ktf k L p (Y,ν) C kf k L p (X,µ). Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 8 / 44

9 Obtenemos como consecuencia inmediata que M : L p (R n )! L p (R n ) es de tipo fuerte (p, p), < p <, esto es kmf k L p (R n ) C kf k L p (R n ). (4) La desigualdad (4) se puede generalizar para medidas de la forma w (x) dx. Daremos condiciones necesarias y su cientes en w para que M sea de tipo fuerte (p, p) con respecto a w (x) dx, para < p <. La obtención de tales desigualdades forma parte de la teoría de pesos A p, introducida por B. Muckenhoupt. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 9 / 44

10 La condición Ap Dado un espacio de medida, un peso es una función medible w : R n! [0, ]. Los problemas que abordaremos son los siguientes: Problem () Dado < p <, determinar aquellos pesos w en R n para los cuales el operador maximal M es de tipo fuerte (p, p) con respecto a la medida w (x) dx, esto es, para los cuales existe C > 0 tal que /p /p (Mf (x)) p w (x) dx C jf (x)j p w (x) dx. (5) R n R n Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 0 / 44

11 Si generalizamos el problema anterior a un par de pesos (u, w) obtenemos: Problem (2) Dado < p <, determinar aquellos pares de pesos (u, w) en R n, para los cuales el operador maximal M es de tipo fuerte (p, p) con respecto al par de medidas u (x) dx y w (x) dx, es decir, para los cuales existe una constante C > 0 tal que /p /p (Mf (x)) p u (x) dx C jf (x)j p w (x) dx. (6) R n R n Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p / 44

12 Otro problema interesante es obtener desigualdades de tipo débil: Problem (3) Dado p <, determinar aquellos pares de pesos (u, w) en R n, para los cuales el operador maximal M es de tipo débil (p, p) con respecto al par de medidas u (x) dx y w (x) dx, es decir, para los cuales se tiene la desigualdad u (fx 2 R n : Mf (x) > tg) Ct p R n jf (x)j p w (x) dx, (7) para cierta constante C > 0, donde para un conjunto E, u (E ) signi ca u (E ) = E u (x) dx. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 2 / 44

13 Empezaremos con el Problema 3. Supongamos que el par de pesos (u, w) satisface la desigualdad (7) para una p dada, p <, para toda f 2 L loc (Rn ) y toda t > 0. R Sea f 0, sea Q un cubo tal que f Q := f jq j Q (y) dy > 0. Entonces f Q M (f X Q ) (x) para todo x 2 Q. Puesto que M (f X Q ) (x) = sup R 3x f (y) dy f (y) dy, jrj R \Q jqj Q entonces, para cada t con 0 < t < f Q se veri ca Q E t = fx 2 R n : M (f X Q ) (x) > tg. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 3 / 44

14 Por la desigualdad (7) obtenemos u (Q) Ct p Tomando límite cuando t! f Q (f Q ) p u (Q) C Q Q f (x) p w (x) dx. f (x) p w (x) dx. (8) Si S es un subconjunto medible de Q, podemos reemplazar f en (8) por f X S, así p f (x) dx u (Q) C f (x) p w (x) dx. (9) jqj S S Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 4 / 44

15 De hecho, (9) es equivalente a (8). Con f (x) en (9) obtenemos jsj p u (Q) Cw (S). (0) jqj De (0) conseguimos la siguiente información acerca de (u, w): Theorem (T3) Sea (u, w) un par de pesos para los cuales el operador maximal M es de tipo débil (p, p). Entonces a) w (x) > 0 para casi toda x 2 R n, a menos que u (x) = 0 para casi toda x. b) u es localmente integrable, a menos que w (x) = para casi toda x. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 5 / 44

16 Proof. a) Supongamos que w (x) = 0 en un conjunto S de medida positiva. Sin pérdida de generalidad supongamos que S es acotado, así w (S) = 0. Por (0) se sigue que u (Q) = 0 para todo cubo Q que contiene a S, en consecuencia u (x) = 0 casi para toda x 2 R n. b) Si u (Q) =, para algún cubo Q, consecuentemente u (Q 0 ) = para cualquier cubo Q 0 tal que Q Q 0. Por (0) obtenemos w (S) = para cualquier conjunto S con medida positiva, de lo que se deduce que w (x) = para casi toda x. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 6 / 44

17 Ahora derivaremos una condición necesaria sobre el par de pesos (u, w), a n de que la condición de tipo débil se satisfaga para toda f 2 L p (R n ) y t > 0. Si p =, la desigualdad (0) se puede escribir de la forma u (x) dx C w (x) dx. () jqj Q jsj S La desigualdad () es válida para todo cubo Q y todo conjunto S Q con jsj > 0. Sea a 2 R tal que a > inf es Q (w) = inf ft > 0 : jfx 2 Q : w (x) < tgj > 0g. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 7 / 44

18 Así, el conjunto S a = fx 2 Q : w (x) < ag tiene medida positiva. Sustituyendo el conjunto S en () por S a obtenemos u (Q) jqj Ca. Puesto que esta desigualdad se veri ca para todo a > inf es Q (w), concluimos que para casi toda x 2 Q. u (y) dy C inf es Q (w) Cw (x) (2) jqj Q Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 8 / 44

19 Mostraremos que (2) es equivalente a: M (u) (x) Cw (x) para casi toda x 2 R n. (3) Es claro que (3) implica (2) para todo cubo Q. Recíprocamente, si (2) se cumple para todo cubo Q, entonces el conjunto tiene medida cero. B = fx 2 R n : M (u) (x) > Cw (x)g En efecto, si x 2 R n, cumple M (u) (x) > Cw (x), entonces existe un cubo Q que contiene a x para el cual u (y) dy > Cw (x). jqj Q Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 9 / 44

20 Podemos suponer SPG que Q tiene vértices con todas sus coordenadas racionales. Por consiguiente, el conjunto B está contenido en una unión numerable de conjuntos de medida cero, y así B tiene medida cero. Ahora podemos formular la siguiente: De nition La condición (3), M (u) (x) Cw (x) para casi toda x 2 R n, se denomina la condición A para el par de pesos (u, w). Cuando se satisface decimos que el par de pesos (u, w) pertenece a la clase A. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 20 / 44

21 Veremos a A como una colección de pares de pesos (u, w). La constante A será la C más pequeña para la cual se veri ca (3). En los cálculos anteriores hemos visto que si M es de tipo débil (, ) con respecto al par (u, w), entonces (u, w) 2 A, es decir, la condición A es una condición necesaria para que M sea de tipo débil (, ) con respecto al par (u, w). A continuación veremos que A también es su ciente para garantizar la desigualdad de tipo débil (, ). Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 2 / 44

22 Theorem (T4) El operador maximal de Hardy-Littlewood M es de tipo débil (, ) con respecto al par de pesos (u, w), si y sólo si (u, w) 2 A. Demostración. Quedó probado que si M es de tipo débil (, ) entonces (u, w) 2 A. Supongamos que (u, w) 2 A, así M (u) (x) Cw (x) para casi toda x 2 R n. Sea f 2 L (R n ). Usaremos que fx 2R n :Mf (x )>tg u (x) dx C t R n jf (x)j Mu (x) dx. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 22 / 44

23 (omitiremos la prueba de esta desigualdad por ser algo técnica y requerir de la descomposición de Calderón-ygmund que describiremos un poco más adelante) Así, la condición A nos produce u (fx 2 R n : Mf (x) > tg) Ct R n jf (x)j Mu (x) dx Ct R n jf (x)j w (x) dx. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 23 / 44

24 Ahora analicemos el caso < p <. Comenzaremos buscando una condición necesaria para que M sea de tipo débil (p, p) con respecto al par de pesos (u, w). Si M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u, w) entonces se satisface (9), esto es p f (x) dx u (Q) C f (x) p w (x) dx jqj S S para toda función f 0, todo cubo Q y todo conjunto medible S Q. Tomemos f tal que f (x) = (f (x)) p w (x), Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 24 / 44

25 es decir, f (x) = w (x) p. Esta función no es necesariamente localmente integrable, pero: Fijemos un cubo Q y sea S j = x 2 Q : w (x) > j para j =, 2,... En cada S j, f es acotada, de aquí que R S j f < por lo que (9) implica p w (x) u (Q) p dx C w (x) p dx. jqj S j jqj jqj S j Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 25 / 44

26 Puesto que las integrales son nitas tenemos p u (x) dx w (x) p dx C. jqj Q jqj S j Como S S 2... y [ j= S j = fx 2 Q : w (x) > 0g, aplicando Teorema T3 (a) el conjunto Q n [ j= S j tiene medida cero. p Finalmente obtenemos u (x) dx w (x) p dx jqj Q jqj Q C. (4) Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 26 / 44

27 De nition Para p >, diremos que el par de pesos (u, w) satisface la condición A p o que pertenece a la clase A p si existe una constante C tal que p u (x) dx w (x) p dx C, jqj Q jqj Q para todo cubo Q. La más pequeña de tales constantes C se llama la constante A p para el par (u, w). Hemos probado que si M es de tipo débil (p, p) con respecto al par (u, w), entonces (u, w) 2 A p. Es decir: la condición A p es una condición necesaria para garantizar la desigualdad del tipo débil (p, p). Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 27 / 44

28 Theorem Si (u, w) 2 A p, entonces u y w p son localmente integrables. R Q Demostración. Si jqj u (x) dx =, tenemos que jq 0 j R u Q (x) dx = para todo cubo Q 0 Q. 0 De la condición A p obtenemos jq 0 j R w Q (x) 0 p dx = 0, y así w (x) p = 0 c.t.p., en consecuencia w (x) = c.t.p., el cual es un caso que excluimos. Análogamente, si jqj R Q w (x) p dx =, entonces u (x) = 0 c.t.p., el cual también es un caso que se excluye. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 28 / 44

29 La condición A puede verse como un caso límite de la condición A p cuando p!. En efecto, hemos visto que la condición A es equivalente a u (x) dx C inf es Q (w), jqj Q que puede escribirse como u (x) dx sup es Q w C. jqj Q Por otra parte p w (x) p dx = w jqj Q L p (Q,jQ j dx) Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 29 / 44

30 y así w L p (Q,jQ j dx)! w L (Q ) = sup es Q w, cuando p!, pues / (p )!. También podemos demostrar igual que antes: Theorem Si (u, w) 2 A entonces u es localmente integrable y w es localmente acotada. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 30 / 44

31 Ahora probaremos que la condición A p para el par (u, w), es su ciente para que el operador M sea tipo débil (p, p) con respecto a (u, w). Theorem (T5) Sea < p <. El operador maximal de Hardy-Littlewood M es de tipo débil (p, p) con respecto al par de pesos (u, w), si y sólo si (u, w) 2 A p. La prueba de este resultado requiere de la descomposición de Calderón-ygmund que describimos a continuación. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 3 / 44

32 Theorem (Calderón-ygmund) Sea f 2 L (R n ) y sea λ > 0. Entonces, existe una colección a lo más numerable C λ de cubos que no se traslapan y que consta de cubos diádicos maximales sobre los cuales el promedio de jf j es mayor que λ. Esta colección satisface: a) jf (x)j λ para casi toda x /2 S Q 2C λ Q. b) S Q 2C λ Q λ kf k. c) λ < jq j jf j 2 n λ, para cada Q 2 C λ. Adicionalmente, podemos asegurar que Q fx 2 R n : Mf (x) > λg [ Q 2C 4 n λ 3Q. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 32 / 44

33 Demostración del Teorema T5. Ya hemos visto que si M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u, w) entonces (u, w) 2 A p. Supongamos que (u, w) 2 A p. Por la desigualdad Hölder con p y p 0 = p/ (p cubo Q y toda f 0 se cumple ) tenemos que para todo f Q = f (x) w (x) /p w (x) /p dx jqj Q /p f (x) p w (x) dx w (x) jqj Q jqj Q (p p dx )/p y de aquí obtenemos la siguiente estimación Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 33 / 44

34 (f Q ) p u (Q) u (Q) f (x) p w (x) dx w (x) jqj Q jqj Q C f (x) p w (x) dx, Q (p ) p dx es decir, para todo cubo Q y toda f 0 se cumple la desigualdad (8). Nótese que (8) implica que L p loc (w) L loc (Rn ). F Ahora mostraremos que la desigualdad (8) implica la desigualdad de tipo débil (p, p). En efecto, sea f 2 L p loc (w), y sea f k = f X Q (0,k) para k 2 N, donde Q (0, k) es el cubo centrado en 0 con longitud de lado k. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 34 / 44

35 Así, f = lim f k puntualmente, con f k 2 L p (w) \ L (R n ). Si mostramos que la desigualdad de tipo débil (7) se cumple para todo f k entonces dado que tendremos fx 2 R n : Mf (x) > tg = [ k fx 2 Rn : Mf k (x) > tg fx 2R n :Mf (x )>tg que es justo lo que deseamos. u (x) dx = lim k! lim k! Ct p fx 2R n :Mf k (x )>tg u (x) dx R n f k (x) p w (x) dx = Ct p R n f (x) p w (x) dx, Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 35 / 44

36 Por tanto podemos suponer SPG que f 2 L p (w) \ L (R n ). Sea t > 0. Usando la descomposición de Calderón-ygmund obtenemos una colección de cubos que no se traslapan fq j g tales que t 4 n < f (x)dx t jq j j Q j 2 n, fx 2 R n : Mf (x) > tg [ j 3Q j. Puesto que (8) es equivalente a (9), esto es, p f (x) dx u (Q) C f (x) p w (x) dx para S Q, jqj S S tomando Q = 3Q j y S = Q j tenemos que Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 36 / 44

37 Por consiguiente p u (3Q j ) C f (x) dx f (x) p w (x) dx. j3q j j Q j Q j u (fx 2 R n : Mf (x) > tg) u (3Q j ) j p C f (x) dx f (x) p w (x) dx j j3q j j Q j Q j p C 3 np f (x) dx f (x) p w (x) dx j jq j j Q j Q j Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 37 / 44

38 C3 np 4 np t p f (x) p w (x) dx j Q j Ct p R n f (x) p w (x) dx, lo cual concluye nuestra prueba. Con lo visto previamente, obtenemos que la condición A p es la respuesta al problema 3. Reunimos los resultados en el siguiente teorema: Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 38 / 44

39 Theorem (T6) Sean u, w pesos en R n y sea p <. Las siguientes a rmaciones son equivalentes: a) M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u, w), es decir, existe una constante C tal que para toda f 2 L loc (Rn ) y toda t > 0 u (fx 2 R n : Mf (x) > tg) Ct p R n jf (x)j p w (x) dx. b) Existe una constante C tal que para toda función f 0 en R n y para todo cubo Q se cumple ( 8), es decir p f (x) dx u (Q) C f (x) p w (x) dx. jqj Q Q Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 39 / 44

40 Theorem (T6 continuación) c) (u, w) 2 A p, esto es, existe una constante C, tal que para todo cubo Q p u (x) dx w (x) p dx C, jqj Q jqj Q para < p <, y u (x) dx sup es Q w C, jqj Q para p =. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 40 / 44

41 Enseguida mostraremos un resultado de acotamiento fuerte para el operador M que se obtiene como consecuencia del teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Corollary (C) Sea (u, w) 2 A p. Entonces para todo q con p < q <, el operador maximal M es acotado de L q (w) a L q (u), es decir, existe una constante C tal que para todo f 2 L q (w) (Mf (x)) q u (x) dx C jf (x)j q w (x) dx. R n R n Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 4 / 44

42 Demostración. Por Teorema T6, el operador M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u, w). Entonces, por el Teorema de Interpolación de Marcinkiewicz, bastará mostrar que M es acotado de L (w) en L (u). Probaremos que kmf k L (u) kmf k kf k kf k L (w ). Recordemos que kf k L (u) = sup fα : u (fx 2 Rn : jf (x)j > αg) > 0g. Como u (x) dx es absolutamente continua con respecto a la medida de Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 42 / 44

43 Lebesgue, se tiene que si α es tal que u (fx 2 R n : Mf (x) > αg) > 0 entonces por consiguiente jfx 2 R n : Mf (x) > αgj > 0, fα : u (fx 2 R n : Mf (x) > αg) > 0g fα : jfx 2 R n : Mf (x) > αgj > 0g, de aquí que kmf k L (u) kmf k. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 43 / 44

44 Si α cumple que jfx 2 R n : jf (x)j > αgj > 0, por el Teorema T3 se tiene w (x) > 0 c.t.p. De aquí que w (fx 2 R n : jf (x)j > αg) > 0 y así fα : jfx 2 R n : jf (x)j > αgj > 0g fα : w (fx 2 R n : jf (x)j > αg) > 0g, por lo tanto kf k kf k L (w ). Pero, para x 2 R n se tiene siempre Mf (x) = sup Q 3x consecuentemente, kmf k kf k. jf j kf k jqj Q Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 44 / 44

45 S. M. Buckley, Estimates for operator norms on weighted spaces and reverse Jensen inequalities, Transactions of the American Mathematical Society 340 (), (993), pp D. Cruz-Uribe, J. M. Martell, C. Pérez, Weights, Extrapolation and the Theory of Rubio de Francia, Series: Operator theory: advances and applications, Vol. 25, Springer Basel, 20. J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 29, American Mathematical Society Publications, 200. J. García-Cuerva, J. L. Rubio de Francia, Weighted Norm Inequalities and Related Topics, North Holland Mathematics Studies, Vol. 6, North Holland, 985. L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 249, Springer, L. Grafakos, Modern Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 250, Springer, Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 44 / 44

46 B. Muckenhoupt, Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Transactions of the American Mathematical Society 65 (972), pp B. Muckenhoupt, R. Hunt, R. Wheeden, Weighted norm inequalities for the conjugate function and the Hilbert transform, Transactions of the American Mathematical Society 76 (973), pp J. L. Rubio de Francia, Factorization theory and A p weights, American Journal of Mathematics 06 (3), (984), pp E. Sawyer, A characterizationof a two-weight norm inequality for maximal operators, Studia Mathematica 75, (982), pp. -. E. M. Stein, Harmonic analysis: real variable methods, orthogonality and oscillatory integrals, Princeton University Press, 993. Martha Guzmán Partida (UNISON) Una introducción a la teoría de pesos A p 44 / 44