Modelo matemático. 1. Introducción

Transcripción

1 Modelo matemático 1. Introducción Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real (desde la variación en el tamaño de una población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración, densidad, etc.). El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro, sin necesidad de experimentar en la realidad. El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente: 1. Encontrar un problema del mundo real, por observación de un fenómeno que nos interese. (Ej: Observamos que un recipiente cerrado, que contenía un fluido, al ser calentado explotó) 2. Identificar cuáles son las variables que intervienen en ese fenómeno y tratar de simplificarlas desechando las que no tengan influencia en el fenómeno, o su influencia sea despreciable en relación a lo que queremos estudiar (Ej: La variable independiente será la temperatura, y la dependiente la presión. Para descartar o incorporar a nuestro modelo otras variables debemos preguntarnos: La presión atmosférica influirá en el fenómeno? El tipo de fluido cambiará las condiciones del fenómeno?, etc.) 3. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática. (Ej: Podemos medir la presión y la temperatura, hacer un gráfico de una en función de la otra, y preguntarnos: La variación es lineal? Es cuadrática?, Logarítmica? etc.) 4. Aplicar los conocimientos matemáticos que poseemos de estas funciones para llegar a conclusiones matemáticas que puedan servirnos para entender cómo se desarrollará el fenómeno sin necesidad de repetir la experiencia. 5. Si queremos verificar nuestro modelo, podemos comparar los datos obtenidos como predicciones matemáticas, con datos reales de nuevas experiencias. Si los datos son diferentes, nuestro modelo no representa a la realidad y se reinicia el proceso. Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización, pero si está bien construido, puede servirnos como una herramienta útil a los fines de la predicción.

2 Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones entre variables observadas en el mundo real, algunas de las cuales (las mas comunes y sencillas) se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente. Seguramente ya las conoces, pero intenta pensar en ellas como posibles modelos matemáticos de fenómenos físicos. 2. Modelos Lineales Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma: y = f(x) = mx + b Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales. Ejemplo: Los buzos aficionados pueden descender hasta una profundidad de 40 m con un tubo de aire comprimido común. Si el buzo se sumerge una profundidad h, experimenta una presión p representada por p=po + ρ.h, donde po es la presión atmosférica N/m 2 (Newton por metro) a nivel del mar, ρ es la constante que representa el peso específico del agua marina (1.027 N/m 3 ). El modelo matemático que representa la variación de la presión en función de la profundidad medida en metros, es entonces: p=1.027.h , su resultado está en N/m 2 y corresponde a una función lineal.

3 3. Modelos Potenciales Una función es llamada potencial, cuando tiene la forma: f(x) = x a, donde a es constante. Y hay varios casos: a. Cuando a es entero: la forma general de la gráfica depende si a es par o impar; si a es par, la gráfica es similar a la parábola y = x 2 ; de lo contrario, la gráfica se parecerá a la función y = x 3. Es importante mencionar, que cualquiera que sea el caso, cuando a crece, la gráfica se vuelve más plana cerca de 0, cuando Ix I es menor o igual a 1, y mas empinada si Ix I es mayor a 1. Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones con a par: x 2 y x 6. Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones con a impar: x 3 y x 5.

4 b. Si es a=1/n: y= x 1/n, donde n es un entero positivo. La función f(x) = x 1/n es una función raíz. Al igual que en el caso anterior, su gráfica depende de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica será similar al de raíz cúbica. c. Si a= -1 estamos en un caso particular. Este tipo de función es llamada función recíproca, y su forma es f(x) = x -1 ó f(x) = 1/x, y su gráfica corresponde a una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas.

5 Ejemplo: La distancia que recorre un vehículo desde que el conductor acciona el freno hasta que el vehículo se detiene se conoce como distancia de frenado. Esta distancia depende de muchas variables: suelo seco o mojado, estado del sistema de frenado, estado de las cubiertas, etc. Pero si suponemos suelo seco y buen estado del vehículo (hemos descartado variables) esta distancia puede relacionarse con la velocidad a la que viajaba el vehículo cuando se acciona el freno, y es una función cuadrática: df=0.005 v 2 Donde df es la distancia recorrida durante el frenado, v la velocidad a la que viajaba el vehículo al momento de accionarse el freno, y una constante medida en h 2 /Km, determinada experimentalmente con suelo seco y vehículos en buen estado. 4. Modelos trigonométricos En el caso de estas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-, ) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las gráficas.

6 Ejemplo: Un cuerpo suspendido verticalmente, sostenido por un resorte, al ser estirado y soltado adquiere un movimiento armónico simple (descartando variables mas complejas). Si consideramos que la posición del cuerpo cuando se encontraba en reposo es el orígen, la distancia al mismo puede calcularse en cada momento (como una función del tiempo) con una ecuación del tipo: d= a cos (b.t), donde d es la distancia a la que se encuentra el cuerpo del orígen para el tiempo t, y a y b son constantes que dependen del material, longitud, diámetro y otros parámetros del resorte que lo sostiene. 5. Modelos exponenciales Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = a x, donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-, ) y su imagen (0, ). Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será ascendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario).

7 Otra caracterísitca interesante es que ambas curvas cortan al eje de ordenadas en 1, ya que cualquier número elevado a la potencia cero es 1. Ejemplo: El consumo de alcohol es uno de los principales factores de riesgo en los accidentes de tránsito. Un indicador importante para determinar si una persona se encuentra alcoholizada es la concentración de alcohol en sangre, que depende de la cantidad de alcohol ingerido, y de las características físicas de la persona que lo ingiere. Organizaciones médicas han investigado que el porcentaje de riesgo R de tener un accidente aumenta exponencialmente con la concentración, según la función: R=6.(1.013) x Donde R es el % de riesgo de tener un accidente, y x la concentración de alcohol en sangre. Las constantes se han determinado experimentalmente, considerando personas dentro de un estándar de pesos y alturas (se han simplificado variables para que el modelo sea sencillo). Observe que sin haber consumido alcohol (x=0) tenemos un 6% de riesgo. 6. Modelos logarítmicos Son funciones que tienen la forma f(x) = log a x, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ) y su imagen (-, ). Veamos ejemplos:

8 Como podemos observar en las dos gráficas anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la gráfica de éste se apega más al eje Y. Por tratarse de la función inversa de la exponencial, su gráfica corta al eje de absisas en 1, ya que log a 0, cualquiera sea a, es uno, porque a 0 =1. Ejemplo: El ph se utiliza para indicar el nivel de acidez de una sustancia. En 1909 este término (potencial de Hidrógeno) fue introducido por P. L. Sorensen, quien lo definió como el logaritmo decimal del inverso de la concentración de iones de hidrógeno: ph=-log IH + I 7. Bibliografía STEWART, James. "Cálculo, Trascendentes Tempranas". 4 ed. Tr. de Andrés Sestier. México, Ed. Thomson, p BOCCO, Mónica. Funciones elementales para construir modelos matemáticos. Instituto Nacional de Educación Tecnológica. Ministerio de Educación de la Nación