ISSN: Número 37. Marzo de 2014 páginas 57-70

Transcripción

1 ISSN: 85-4 Númro 7. rzo 4 págis 57-7 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl Fh rpió: /4/ Fh ptió: 5// Rsum Astrt Rsumo L strutur grupo s u oió importt l prizj l Álgr. Co ll omiz l strió rtrísti too sistm xiomátio l mtmáti. Est oumto mustr u ls grupo lio tomo ut progrsios y mtris urs or impr. S utiliz st tipo mtris porqu l rlizr irts oprios o toos los lmtos l mtriz s oti su lmto trl. Los utors sigu u sui lógi psos qu ilit l sñz y prizj l tm trto. Plrs lv: Esñz l álgr struturs lgris grupo. Th group strutur is importt opt i lrig lgr. With this tur strtio gis ll xiomti systm o mthmtis. This oumt shows lss o li group osirig progrssios o-orr squr mtris. Us ths mtris to prorm rti oprtios us ll th lmts o th mtrix rturs its trl lmt. Th uthors ollow logil squ o stps tht ilitt th thig lrig o th sujt. Kywors: thig lgr lgri struturs groups A strutur o grupo é um oito importt m prr álgr. Com ss strção rtrísti omç too o sistm xiomátio mtmáti. Est oumto mostr um lss grupo lio osiro progrssõs strh orm mtrizs qurs. Usr sts mtrizs pr tur rts oprçõs porqu toos os lmtos mtriz volt o su lmto trl. Os utors sgum um sqüêi lógi pssos qu ilitm o sio prizgm o sujito. Plvrs-hv Álgr sio struturs lgéris grupo.. Itrouió E l sñz l mtmáti mrg situios qu ostuliz l prizj los otios propios st isipli. U spto rtrístio l álgr s l lto ivl strió sus optos ásios ls iiults optuls qu st rm rprst pr los stuits s sigiitiv. E l Istituto Pgógio Crs IPC l sigtur Estruturs Algris ui l urto smstr l rrr prosor mtmátis s itrou los otios rrts l opto grupo. L oió grupo s utr prst muhs ls rms l mtmáti y s srio qu los stuits mipul ls propis ihos lmtos por st rzó tr osolios lguos ooimitos prvios tr los uls pomos sñlr: l ritméti mjo sus oprios y propis; oios Númro 7. rzo 4. Pági 57

2 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl ojutos; sistms umérios úmros rls y úmros ompljos; trsormios gométris trslios rotios y rlxios; álgr mtriil; oios álulo uios susios progrsios tr otrs. E los liros txtos sugrios pr st urso s pu vr jmplos rlioo l oió grupo o: mtris propis ritmétis los sistms umérios oios álulo gomtrí pro os llm l tió qu o lo h o ls progrsios ritmétis o gométris. Espíimt l urso Estruturs Algris los jmplos trjos so strtos. L strutur grupo s u sistm xiomátio ásio y umtl l mtmáti. No s áil logrr qu l stuit quir rigurosi qu grli qu isrimi tr u opto u otro o tr vris oprios rlizs sor l mismo ojuto. Pr qu l stuit mustr qu u ojuto ulquir o u ly omposiió itr ii sor él s u grupo ompror los xioms grupo y mjr los ooimitos prvios ts sñlos. E st trjo vrmos ómo rlior mtris y progrsios ritmétis y gométris trvés l oió grupo lio. Los jmplos y otrjmplos propustos prmitirá qu los prtiipts pr itiir si u ojuto o u ly omposiió ii sor él s u grupo lio o o. Amás s iluy ots o los utors sos su xprii ot l ár álgr sugris los sptos qu s tizr pr ilitr l sñz y prizj l tm trto. S prst uriosis rltivs l lrio los mss l ño s pu osirr omo u ls mtris srits st trjo. L orgizió l rtíulo s omo sigu: l sió s rps los optos ly omposiió ly omposiió itr iiió progrsios y s itrou l iiió grupo y grupo lio; l sió s los psos srios pr pror qu u ojuto o u ly omposiió itr s u grupo y s h omtrios uo stos psos; l sió 4 s u jmplo grupo utilizo u ojuto mtris uyos lmtos s orm utilizo progrsios ritmétis; l sió 5 s otro jmplo grupo pro utilizo u ojuto mtris uyos lmtos s orm utilizo progrsios gométris y; ilmt s olusios y l iliogrí.. Grupos y progrsios Diiió : U ly omposiió itr iri sor u ojuto A qu otrmos por * s u rgl qu soi os lmtos x y A u lmto A qu otmos por x*y. Ejmplo : L sum usul úmros turls s u ly omposiió itr iri. Aquí AN y os m úmros turls tmos m*m s u úmro turl. Pr u ojuto A y u ly omposiió itr * rsult itrst ompror si stis lgu ls siguits propis: i Elmto utro: U lmto y l ojuto A s llmo lmto utro jo * si pr ulquir lmto x A s ti x*yxy*x. Pági 58. Númro 7. rzo 4.

3 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl ii Elmto ivrso: U lmto z l ojuto A s l ivrso jo * u lmto x A si s ti x*zyz*x o y s l lmto utro i. iii Asoitiv: L oprió * stis l propi soitiv si pr ulsquir x y z A s umpl x*y*zx*y*z. iv Comuttiv: L oprió * stis l propi omuttiv si pr ulsquir x y A s umpl x*yy*x. Not: - Cuo xist los lmtos utro ivrso u ojuto pr u ly omposiió itr stos so úios. - L xisti lmtos utro ivrso p l ojuto A y l ly omposiió itr *. Pu rs l so qu pr u ojuto A y os lys omposiió itr sor A s tg istitos lmtos utro ivrso. - L xisti lmto ivrso p l xisti lmto utro s ir primro s grtizr l xisti lmto utro pr lugo grtizr l xisti lmto ivrso l omproió sguir st or s importt. Diiió : Si u ojuto A y u ly omposiió itr * sor A stis ls propis i ii y iii imos qu A* s u grupo y si más stis l propi iv imos qu A* s u grupo lio o omuttivo. Diiió : U progrsió ritméti s u susió l qu térmio spués l primro s oti grgo l térmio trior u ti ostt llm rzó l progrsió. E u progrsió ritméti s ti: -r sio l térmio -ésimo s l primr térmio y r s l rzó l progrsió. Diiió 4: U progrsió gométri s u susió l qu térmio spués l primro s oti multiplio l térmio trior por u ti ostt llm rzó l progrsió. E u progrsió gométri s ti: r - sio l trmio -ésimo s l primr trmio y r s l rzó l progrsió. Si l susió ti u úmro iito térmios s i qu l progrsió s iit.. Psos pr ompror si A* s u grupo: p. Estlr los lmtos qu oorm l ojuto A sor l ul s v trjr s ir l stuit str lro uls lmtos orm l ojuto A uls so ls rtrístis qu omprt stos lmtos y qu prmit istiguir pr u ojto o si prt o o l ojuto A. p. Estlr l ly omposiió iri tr lmtos l ojuto. El stuit tr lo qu h l ly omposiió o u pr lmtos l ojuto A st prt s srio qu tom lmtos spíios y pliqu l ly omposiió ii. Es ir tr omiio opriol sor los lmtos l ojuto o y l ly omposiió itr ii. Not : Estos os psos so los qu rprst myor iovit los stuits l momto ompror si pr u ojuto o y u ly Númro 7. rzo 4. Pági 59

4 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl omposiió itr ii sor ést s ti u strutur grupo. A st puto los stuits o roo y o s oprr o los lmtos l ojuto. p. Pror qu l ly omposiió s u ly omposiió itr s ir pror qu l oprió s rr si osirmos os lmtos u ojuto l plir l ly omposiió sor stos lmtos s prou u lmto l ojuto otrs plrs l lmto otio l plir l ly omposiió itr s u lmto l mism turlz los lmtos tomos iiilmt. p4. Pror l xisti lmto utro l ojuto o jo l ly omposiió ii. p5. Pror l xisti lmto ivrso l ojuto o jo l ly omposiió ii. p. Vriir qu los lmtos l ojuto o jo l ly omposiió itr umpl l propi soitiv. Psos pr ompror si A* s u grupo lio: Toos los triors y más: p7. Vriir qu los lmtos l ojuto o jo l ly omposiió itr umpl l propi omuttiv. A otiuió ilustrmos los psos sritos triormt pr ompror si A* s u grupo pr llo trjrmos u ojuto A ormo por mtris rlios o progrsios ritmétis o gométris. 4. Trjo l oió grupo o mtris y progrsios ritmétis Estmos itrsos iir u ly omposiió rlio o l sum úmros ompljos l sum usul mtris y ls progrsios ritmétis. 4.. El ojuto C p Estlio l ojuto o l qu s v trjr: Ls mtris qu vmos trtr ls sios siguits so mtris urs s ir tmño x y tmié s pu llmr mtris or. Cosirmos ls mtris or : A uyos lmtos sus ils y olums so progrsios ritmétis rzó y rsptivmt o omo l lmto l posiió y o úmros ompljos. A sts mtris ls otmos por y qu stos lmtos ls rtriz ompltmt. Al ojuto ormo por sts mtris lo otrmos por C. S ti qu mtriz C s u lmto l ojuto ls mtris or o trs los úmros ompljos l ul otrmos omo tc. Pági. Númro 7. rzo 4.

5 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl Ejmplo :. Cosir l mtriz mr qu Osrv qu s u mtriz qu umpl o ls propis qu i C.. Cosir l mtriz - - mr qu: 5 Amás ls mtris C ti l siguit propi: Si osirmos l sum los lmtos l mtriz s ti: 9999 y lugo si iviimos st rsulto tr l uro l or l mtriz omo rsulto l lmto qu oup l posiió l mtriz.. Pr l mtriz - s ti qu iviio tr l uro l or l mtriz y s l lmto qu oup l posiió l mtriz. 4. Los lmtos l mtriz - - so rios. Sumo los lmtos tmos y iviio st rsulto tr l uro l or l mtriz s ti Algus ls mtris s pu itrprtr omo prts l lrio u ms ulquir. Cosirmos l mtriz 7 s ir l mtriz Rviso l lrio l ms sptimr l ño y ompráolo o l mtriz trior s osrv qu los lmtos l mtriz 7 stá uios l squi suprior izquir iho ms. Cosirmos l ojuto B omo l ojuto ls mtris or qu umpl qu l sumr toos sus lmtos y iviirlos por l uro l or l mtriz l lmto trl. S tr uio psr qu los ojutos B y C so iguls. El ojuto C stá otio l ojuto B si mrgo B o stá otio C. El siguit jmplo mustr u mtriz l qu l lmto l posiió s l rsulto sumr tos ls trs l mtriz y lugo iviirlo tr l Númro 7. rzo 4. Pági

6 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl Pági. Númro 7. rzo 4. uro su or pro sus lmtos o sigu progrsios ritmétis sus ils y olums. Ejmplo : E l mtriz: l sum sus lmtos 9 qu iviio tr l lmto l posiió pro o s u ls mtris pr lguos C. p y p Diio l ly omposiió y proo qu s u ly omposiió itr: Cosirmos hor l mtriz Al sumr ls mtris y s oti l mtriz. E to Osrv qu l sumr os mtris l ojuto C l rsulto s uvo u mtriz l ojuto C. D quí tmos qu l sum mtris l orm s rr. Ejmplo 4:. L sum ls mtris - y - - s l mtriz s ir l mtriz Si osirmos ls mtris y l sum sts os mtris s l mtriz: 5 5 5

7 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl p4 Otio l lmto utro jo l ly omposiió itr ii: Dl trjo qu hmos rlizo o mtris álgr lil tmos qu l mtriz ul or s l mtriz. Es ir y stis l propi qu pr ulquir mtriz. p5 Otio l lmto ivrso jo l ly omposiió itr ii: Pr l mtriz osirmos l mtriz ---. Es ir o l propi qu ---. Amás s ti p y p7 Comproo ls propis soitiv y omuttiv pr l ly omposiió itr ii: Osrv qu l ly omposiió itr ii s l sum usul mtris or l ul smos qu stis ls propis soitiv y omuttiv. D lo trior tmos l siguit Proposiió : El ojuto C{ tc} juto o l sum usul mtris or s u grupo lio. 4.. El ojuto C4 Cosirmos hor l so prtiulr ls mtris urs or 4 uyos lmtos sigu progrsios ritmétis tto ils omo olums. S umplirá qu l sum los lmtos l mtriz iviio tr l uro su or l lmto l posiió trl l mtriz? A otiuió trjrmos l siguit Ejmplo 5: S l mtriz or 4: uyos lmtos sus ils y olums so progrsios ritmétis. A st mtriz l otmos 47 omo l so ls mtris or. Osrv qu st mtriz uyo or s pr o s oti u lmto trl omo su l so ls mtris or. Númro 7. rzo 4. Pági

8 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl U uriosi r st jmplo s qu rviso l lrio l ms sptimr y l trior mtriz osrvmos qu los lmtos 47 stá uios l squi suprior izquir iho lrio. D lo trior pomos irmr qu ls mtris urs uyos lmtos sus ils y olums so progrsios ritmétis y su or s pr o s umpl ls propis trjs. 4. El ojuto C5 A otiuió ivitmos los prtiipts ompror qu pr ls mtris 5 s stis ls propis pros ls mtris. Srí ovit ompror mit u grlizió qu ihs propis stá prsts ls mtris pr impr. 4.4 Grlizo: C o impr U ls tps ruils álgr s l grlizió situios prtiulrs. tris l orm o impr. E lo qu sigu trjrmos o l sripió grl ls mtris. E vist qu ls mtris sigu progrsios ritmétis tto ils omo olums s ti qu l posiió i j ihs mtris stá por j-i-. D mr qu osirmos mtris mij o mijj-i- o i y j o tro positivo impr y C. Al ojuto mtris lo otrmos por C logí o l so l mtris or. U vz qu tmos u xprsió pr ls mtris prormos qu l sum usul mtris s u ly omposiió itr sor l ojuto C. A otiuió prormos qu sumo los lmtos l mtriz o tro positivo impr y iviio st rsulto tr l uro l or l mtriz os l posiió trl ést. Pr l mtriz l posiió trl st por m. mij j i i i j i j i [ ] [ ] s impr m Cosirmos l mtriz hij o ijj-i-h o i j o tro positivo impr y h C. Tmos qu: h mijij mijij j-i-j-i-h j-i-h h. Pági 4. Númro 7. rzo 4.

9 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl Es áil pror qu l mtriz s l lmto utro C y pr l mtriz s ti l mtriz ---- omo lmto ivrso. L soitivi y omuttivi s sigu l sum usul mtris or. D lo qu hmos hho hst l momto tmos l siguit Proposiió : Ls mtris tro positivo impr o l sum usul mtris s u grupo lio o lmto utro y pr l mtriz s ti l mtriz ---- omo lmto ivrso. El siguit orolrio s imito: Corolrio : Ls mtris tro positivo impr o l sum usul mtris s u sugrupo l grupo ls mtris or tro positivo impr jo l sum usul mtris. Not : Comzmos trjo l so prtiulr mtris ors 4 y 5 pr lugo psr grlizr los rsultos otios l so mtris or. Est proso lo prtiulr lo grl s omit o rui los liros txto qu ivolur l tm grupos. Tmié sul psr los jmplos y jriios plios por los ots los ursos álgr strt. Pr muhos stuits rsult u iovit qu l myorí txtos omit ls prus sos prtiulrs qu oritrí l pru l so grl. Est s u tivi qu rlizr l ot su trjo o los stuits y stos su vz su trjo iiviul o l i otr mtril orto qu ilit l proso grlizió t rut sts sigturs. 4.5 ultipliió usul mtris sor l ojuto ls mtris C Vmos qu su l so ls mtris C o l multipliió usul ii sor lls. D álgr lil smos multiplir sts mtris. Pr tl i osirmos los siguits sos prtiulrs 4 y l prouto sts os mtris s l mtriz Notmos qu: i Al sumr los lmtos l mtriz o s umpl l propi qu i ls mtris s ir ls ils y olums l mtriz o so progrsios ritmétis u rzó i tmpoo l sum toos sus lmtos ivii tr l or l mtriz l uro s l térmio trl. ii Est mtriz o orrspo l mtriz ---. Por tto jo l prouto usul mtris ih oprió o s u ly omposiió itr C Númro 7. rzo 4. Pági 5

10 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl 5. Trjo l oió grupo o mtris y progrsios gométris Ahor stmos itrsos iir u ly omposiió rlio o l multipliió úmros ompljos ls progrsios gométris y ls mtris urs tmño impr. E l prt trior st srito vimos qu ls mtris l orm o osrv ls propis qu l i uo s osir l prouto usul sts mtris. E lo qu sigu itrouimos u ojuto mtris y u oprió qu prsrv ls propis qu lo i. p Estlio l ojuto o l qu s v trjr:. Cosirmos ls mtris or : A s ir ls mtris uyos lmtos sus ils y olums sigu progrsios gométris rzó y rsptivmt o lmto l posiió o C. A sts mtris ls otmos por P y qu stos lmtos ls rtriz ompltmt. Al ojuto tos ls mtris P lo otrmos por P s ir P{P C}. Ejmplo :. Cosir l mtriz P- mr qu P Ls mtris P ti l siguit propi: Si osirmos l prouto los lmtos l mtriz P s ti o s l lmto l mtriz P l posiió spués lulr l ríz ov st prouto. Cosirmos l ojuto PB omo l ojuto ls mtris or qu umpl qu l multiplir toos sus lmtos y lulr su ríz ov l lmto trl.. S tr uio qu los ojutos PB y P so iguls. Porímos mostrr qu l ojuto P st otio PB si mrgo PB o st otio P. Vrmos otiuió qu o to mtriz l qu l lmto l posiió s l rsulto multiplir tos ls trs l mtriz sus lmtos sigu progrsios gométris sus ils y olums. El siguit jmplo os lo mustr. Ejmplo 7: L mtriz A 4 stis l propi trior pro A o s u ls mtris P pr lguos C. Pági. Númro 7. rzo 4.

11 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl p y p Diio l ly omposiió y proo qu s u ly omposiió itr: Cosirmos hor l mtriz P Diio l oprió * tr ls mtris P y P l siguit mr: * D sto qu lro qu P*PP p4 Otio l lmto utro jo l ly omposiió itr ii: El lmto utro pr st oprió s l mtriz or o tr s s ir P y stis l propi qu P* PPP*P pr ulquir mtriz P. p5 Otio l lmto ivrso jo l ly omposiió itr ii: Pr grtizr qu l mtriz P tg u mtriz Pg tl qu P*PgPPg*P st impor l oiió C *. E st so s ti más qu PgP Como l mtriz trior Pg s úi l otrmos por P - o P - P L oiió olo triormt qu C * s qu pr mtris omo P 8 o xist u mtriz P o C tl qu P*PP pus so xistir tl mtriz l rlizr l oprió * sor sts mtris y hr l igulió lmto lmto s trí. E vist lo prsto s srio osirr otro ojuto y lugr osirr l ojuto P utilizrmos l ojuto PC {P tc*} pr sgurr qu too lmto ti lmto ivrso. Amás l ly omposiió itr o qu s trj st ojuto s l mism P l igul qu l lmto utro. Númro 7. rzo 4. Pági 7

12 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl p y p7 Comproo ls propis soitiv y omuttiv pr l ly omposiió itr ii: Osrv qu l ly omposiió itr ii p l prouto usul úmros ompljos l ul smos qu stis ls propis soitiv y omuttiv. D lo trior tmos l siguit Proposiió : Si osirmos l ojuto PC {P tc*} tmos qu PC s u grupo lio jo l oprió * o lmto utro l mtriz P y pr l mtriz P s ti P - P omo lmto ivrso. E álgr lil puimos lulr l trmit u mtriz ur. Cuál s l trmit l mtriz P? t P t t Utilizo propis oois los trmits: i xtrr u slr u olum o ltr l vlor l trmit; ii l trmit u mtriz o os olums iguls s ulo. Not 4: Tmos u mtriz qu s ivrtil jo l ly omposiió itr * uyo trmit s ulo. A otiuió ivitmos los prtiipts ompror qu pr ls mtris P5 s stis ls propis pros ls mtris P. Pomos irmr qu ls mtris urs uyos lmtos sus ils y olums so progrsios gométris y su or s pr o s umpl ls propis trjs P. Si mrgo pr ls mtris P y P5 si s umpl. Srí ovit ompror mit u grlizió qu ihs propis stá prsts ls mtris P pr impr. Grlizo: E lo qu sigu hrmos l grlizió ls triors situios prtiulrs. tris l orm P o impr. E lo qu sigu trjrmos o l sripió grl ls mtris P. E vist qu ls mtris P sigu progrsios gométris tto ils omo olums s ti qu l posiió i j ihs mtris st por j- i-. D mr qu osirmos mtris Pmij o mij j- i- o i y j o tro positivo impr y C*. Al ojuto mtris P lo otrmos por PC logí o l so l mtris or. U vz qu tmos u xprsió pr ls mtris P prormos qu l oprió * s u ly omposiió itr sor l ojuto PC. Pági 8. Númro 7. rzo 4.

13 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl Cosirmos l mtriz Phij o ij j- h i- o i j o tro positivo impr y h C*. Tmos qu P*Ph mij*ij mijij j- i- j- h i- j- h i- Ph. Es áil pror qu l mtriz P s l lmto utro PC y pr l mtriz P o C * s ti l mtriz P - P omo lmto ivrso. L soitivi y omuttivi ls mtris P o C * s sigu l soitivi y omuttivi l prouto úmros ompljos. Filmt prormos qu l multipliió los lmtos l mtriz P o tro positivo impr s igul tomr l lmto l posiió trl y lvrlo l. Pr l mtriz P l posiió trl st por m. ultiplio los lmtos l mtriz Pmij o mij j- i- o i y j tro positivo impr y C* rur qu st oiió s osir pr grtizr l xisti l lmto ivrso s ti: i j m ij j i i j i i m ij m s impr i j D lo triormt xpusto tmos l siguit Proposiió 4: Ls mtris Pij o ij j- i- o ij tro positivo impr y C* o l oprió * s u grupo lio o lmto utro P pr l mtriz P s ti P - P omo lmto ivrso. Not 5: Ls mtris P o C* so mtris ivrtils jo l ly omposiió itr * pro su trmit s ulo. Es ir pr ls mtris P o C* o s ti l rtrizió mtris ivrtils trvés l trmit rsulto qu s válio uo l ly omposiió itr s l multipliió usul mtris. Colusios Bsos l xprii omo ots stos ursos los utors romi l sui llv l srrollo st rtíulo. Al iiio st tm t strto omo lo s l oió grupo l ot pu guir los psos qu umplir los stuits pr ompror qu u ojuto o u ly omposiió itr ii sor él s u grupo. E st trjo s v situios prtiulrs situios grls pr qu los stuits pu ir otio progrsivmt l gro rigurosi y grli qu ollv l álgr strt. Los utors utiliz ls mtris y ls progrsios pr trjr l tm grupos pus osir qu so oios qu l stuit h mjo ursos triors y qu o ivolur u ivl lto omplji uso st mr itrouir l opto grupo o lmtos qu so ooios pr llos. Númro 7. rzo 4. Pági 9

14 U ls torí grupos uso progrsios ritmétis gométris y mtris urs or impr Josph Friso This Arrz Eilmo Crvjl Biliogrí Hrsti I. N. 97. Álgr mor. Grupos illos mpos y torí Glois.Trills éxio. Bll E. T. 99. Histori ls tmátis. Foo Cultur Eoómi. éxio. Frligh J.B Álgr Astrt. Aiso-Wsly Iromri. Argti Josph Friso. Liio Euió ió tmáti l Uivrsi Ctrl Vzul. Curst l strí Euió mió Esñz l tmáti l Uivrsi Pgógi Exprimtl Lirtor UPEL. Prosor Istrutor Cotrto l Dprtmto tmátis y Físi l UPEL. Ár ivstigió tr Histori ls tmátis y l Euió tmáti. josp.riso@gmil.om This Arrz. Egrs l Istituto Pgógio Crs IPC l spili tmátis. gistr Euió mió Esñz l tmáti por l Uivrsi Pgógi Exprimtl Lirtor UPEL. Prosor Asistt Coorior l Progrm tmáti y J l Cátr Álgr l Dprtmto tmátis y Físi l IPC. Coorior l Progrm Cooprtivo Formió Dot l Esul tmáti l Uivrsi Ctrl Vzul UCV. Tmié h pulio rtíulos sor Ivstigió Iovió Euió tmáti. this_rrz@yhoo.om Eilmo Crvjl. Liio tmátis por l Uivrsi Niol Colomi y mgístr tmátis por l Uivrsi Ctrl Vzul UCV. Prosor Istrutor Cotrto l Dprtmto tmátis y Físi l Uivrsi Pgógi Exprimtl Lirtor. Prosor Istrutor l Dprtmto tmátis y Estísti l Esul Amiistrió y Coturí UCV. H pulio rtíulos álgr. qrvjl@gmil.om Pági 7. Númro 7. rzo 4.